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2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—安徽卷



2014 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数学(理科)
第 I 卷(选择题共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.设 i 是虚数单位, z 表示复数 z 的共轭复数。若 z ? 1 ? i, 则 A. ? 2 B. ? 2i C. 2 ) D. 2i

z ? i? z ?( i



2. “ x ? 0 ”是“ ln(x ? 1) ? 0 ”的(

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )

A.34 B.55 C.78 D.89 4.以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中 取相同的长度单位,已知直线 l 的参数方程是 ?

?x ? t ? 1 , (t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程 ?y ? y ? 3


是 ? ? 4cos? ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( A. 14 B. 2 14 C. 2

D. 2 2

?x ? y ? 2 ? 0 ? 5.x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 , 若 z ? y ? ax 取得最大值的最优解不唯一, 则实数 a ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

的值为( A.

) B. 2或

1 或 ?1 2

1 2

C.2 或 1

D. 2或 ? 1

6.设函数 f ( x)(x ? R) 满足 f ( x ? ? ) ? f ( x) ? sin x ,当 0 ? x ? ? 时, f ( x) ? 0 ,则

f(

23? ) ?( 6
1 2



A.

B.

3 2

C. 0

D. ?

1 2


7.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为(

A. 21 ? 3

B. 18 ? 3

C. 21

D. 18 )

8.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为 60 ? 的共有( A.24 对 B.30 对 C.48 对 D.60 对 9.若函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? a 的最小值为 3,则实数 a 的值为( A.5 或 8 B. ? 1 或 5 C. ? 1 或 ? 4 D. ? 4 或 8 )

10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a, b, a ? b ? 1, a ? b ? 0, 点 Q 满 OQ ? 2(a ? b) 。 曲线 C ? {P | OP ? a cos? ? b sin ? , 0 ? ? ? 2? } , 区域 ? ? {P | 0 ? r ?| PQ |? R, r ? R} 。 若 C ? ? 为两段分离的曲线,则( ) A. 1 ? r ? R ? 3 B. 1 ? r ? 3 ? R C. r ? 1 ? R ? 3 D. 1 ? r ? 3 ? R

(在此卷上答题无效)
二.选择题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置。

11.若将函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? 则 ? 的最小正值是________.

? ?

??

? 的图像向右平移 ? 个单位,所得图像关于 y 轴对称, 4?

12.数列 {an } 是等差数列,若 a1 ? 1, a3 ? 3, a5 ? 5 构成公比为 q 的等比数列,则

q ? ________。

? x? 13.设 a ? 0, n 是大于 1 的自然数, ?1 ? ? 的展开式为 a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ?? an xn 。若点 ? a?
Ai (i, ai )(i ? 0,1,2) 的位置如图所示,则 a ? ______ 。

n

14. 设 F1 , F2 分别是椭圆 E : x ?
2

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左. 右焦点, 过点 F1 的直线交椭圆 E 于 b2
____。

E 的方程为______ A, B 两点,若 AF 1 ? 3 BF 1 , AF 2 ? x 轴,则椭圆

15. 已知两个不相等的非零向量 a, b , 两组向量 x1, x2 , x3 , x4 , x5 和 y1, y2 , y3 , y4 , y5 均由 2 个 a 和 3 个 b 排列而成。 记 S ? x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? x3 ? y3 ? x4 ? y4 ? x5 ? y5 ,Smin 表示 S 所有可能取值中的最小值。则下列命题的是_________(写出所有正确命题的编号) 。 ① S 有 5 个不同的值。 ②若 a ? b 则 Smin 与 | a | 无关。 ③若 a b 则 Smin 与 | b | 无关. ④若 | b |? 4 | a | ,则 Smin ? 0 。 ⑤若 | b |? 2 | a |, Smin ? 8| a |2 ,则 a 与 b 的夹角为

? 4

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。解 答写在答题卡上的指定区域内。 16. (本小题满分 12 分)设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别是 a, b, c ,且

b ? 3, c ? 1, A ? 2 B.
(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 sin( A ?

?
4

) 的值。 2 ,乙获胜的 3

17. (本小题满分 12 分)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛,假设每局甲获胜的概率为 概率为

1 ,各局比赛结果相互独立。 3

(Ⅰ)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率;

(Ⅱ)记 为比赛决出胜负时的总局数,求 的分布列和均值(数学期望)。
18. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 1 ? (1 ? a) x ? x2 ? x3 其中 a ? 0 。 (Ⅰ)讨论 f ( x ) 在其定义域上的单调性; (Ⅱ)当 x ? [0,1] 时,求 f ( x ) 取得最大值和最小值时的 x 的值。 19. (本小题满分 13 分)如图, 已知两条抛物线 E1 : y 2 ? 2 p1 x? p1 ? 0?和 E2 : y 2 ? 2 p2 x? p2 ? 0? , 过原点 O 的两条直线 l1 和 l 2 , l1 与 E1 , E2 分别交于 A1 , A2 两点, l 2 与 E1 , E2 分别交于 B1 , B2 两点。 (Ⅰ)证明: A1B1 // A2 B2 ;

(Ⅱ)过原点 O 作直线 l (异于 l1 , l 2 )与 E1 , E2 分别交于 C1 , C2 两点。

记 ?A1B1C1 与 ?A2 B2C2 的面积分别为 S1 与 S2 ,求

S1 的值。 S2

20. (本题满分13分)如图, 四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,A1 A ? 底面 ABCD . 四边形 ABCD

为梯形, AD // BC ,且 AD ? 2 BC .过 A1 , C, D 三点的平面记为 ? , BB1 与 ? 的交点为 Q 。 (Ⅰ)证明: Q 为 BB1 的中点; (Ⅱ)求此四棱柱被平面 ? 所分成上下两部分的体积之比; (Ⅲ)若 A1 A ? 4 , CD ? 2 ,梯形 ABCD 的面积为 6,求平面 ? 与底面 ABCD 所成二面 角大小。

21. (本小题满分 13 分)设实数 c ? 0 ,整数 p ? 1 , n ? N 。
*

(I)证明:当 x ? ?1 且 x ? 0 时, (1 ? x) p ? 1 ? px ;

p ?1 c 1? p an ? an ,证明: an ? an?1 ? c p (II)数列 ?an ?满足 a1 ? c , an ?1 ? 。 p p

1 p

1

参考答案 1.C,解析:

z 1? i ?i?z ? ? i ? (1 ? i ) ? ?(i ? 1) ? (i ? 1) ? 2 i i

2.B,解析:ln( x ? 1) ? 0 ? 0 ? x ? 1 ? 1 ? ?1 ? x ? 0 ,所以“ x ? 0 ”是“ ln( x ? 1) ? 0 ” 的必要而不充分条件。 3.B,解析:

x
y

1 1 2

1 2 3

2 3 5

3 5 8

5 8 13

8 13 21

13 21 34

21 34 55

z

5 5? 5 0 ,故运算 7 次后输出的结果为 55。
4.D,解析:将直线 l 方程化为一般式为: x ? y ? 4 ? 0 , 圆 C 的标准方程为: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 , 圆 C 到直线 l 的距离为: d ?

|2?4| ? 2 2

∴弦长 L ? 2 R2 ? d 2 ? 2 2 。 解析二:将直线 l 的参数方程是 ?

?x ? t ? 1 , (t 为参数)化为一般式方程为 x ? y ? 4 ? 0 , ?y ? y ? 3

圆 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? 可化为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,有计算知圆心(2,0)到直线

x ? y ? 4 ? 0 的距离为 2 ,因此弦长可计算知为 2 2 ,因此选 D
5.D,解析:画出约束条件表示的平面区域如右图

z ? y ? ax 取得最大值表示直线 z ? y ? ax 向上平移移动最大, a 表示直线斜率,有两种情 况: a ? ?1 或 a ? 2 。
6.A,解析:

f(

23? 17? 17? )? f( ) ? sin 6 6 6 11? 11? 17? ? f( ) ? sin ? sin 6 6 6 5? 5? 11? 17? ? f ( ) ? sin ? sin ? sin 6 6 6 6 1 1 1 1 ? 0? ? ? ? 2 2 2 2

7.A,解析:如右图,将边长为 2 的正方体截去两个角,

∴ S表 ? 2 ? 2 ? 6 ?

1 3 ? 1? 1 ? 2 ? ? ( 2) 2 ? 21 ? 3 2 4
0

8.C,解析:与正方体一条对角线成 60 的对角线有 4 条, ∴从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对, 其中所成的角为 60 ? 的共有 4 ? 12 ? 48 (对) 。

9.D,解析:

x ? ?1 ??3 x ? a ? 1, ? ?? x ? a ? 1, ?1 ? x ? ? a a a ? 2 (1)当 时, ?1 ? ? ,此时 f ( x) ? ? 2; 2 ? a ? 3x ? a ? 1 x?? ? 2

a ? ??3x ? a ? 1, x ? ? 2 ? a (2)当 a ? 2 时, ?1 ? ? ,此时 f ( x) ? ? a 2 ? x ? a ? 1, ? 2 ? x ? ?1 ? ? 3x ? a ? 1 x ? ?1
a ? 1|? 3 ,解得 a ? ?4 或 a ? 8 。 2 a 注:此题也可以由绝对值的几何意义得 f ( x) min ?| ? ? 1|? 3 ,从而得 a ? ?4 或 a ? 8 。 2 a a 由x ? 1 ? 0知x ? ?1 ,由2x ? a ? 0知x ? ? ,此题转化为数轴上两点 ? , 解析二: 解析: 2 2
在两种情况下, f ( x) min ? f ( ? ) ?| ? -1 到数轴上一点距离之和的最小值为 3 的问题,由 ?

a 2

a ? (?1) ? 3 知 ?4 或 8,故选 D 2

10.A,解析:设 a ? (1,0), b ? (0,1) 则 OP ? (cos? ,sin ? ) , OQ ? ( 2, 2) 所以曲线 C 是单位圆,区域 ? 为圆环(如右图)

∵ | OQ |? 2 ,∴ 1 ? r ? R ? 3 。 11.

3? , 8

解析: f ( x ? ? ) ? sin[2( x ? ? ) ? ∴

?
4

] ? sin(2 x ?

?
4 ?

? 2? ) k? 3? , (k ? Z ) ,当 k ? ?1 时 ? min ? 。 2 8

?
4

? 2? ?

?
2

? k? , (k ? Z ) ,∴ ? ? ?

?
8

12. q ? 1 , 解析:∵ {an } 是等差数列且 a1 ? 1, a3 ? 3, a5 ? 5 构成公比为 q 的等比数列, ∴ (a1 ? 1)(a1 ? 4d ? 5) ? (a1 ? 2d ? 3) 即 (a1 ? 1)[(a1 ? 1) ? 4(d ? 1) ? [(a1 ? 1) ? 2(d ? 1)]
2 2

2 令 a1 ? 1 ? x, d ? 1 ? y , 则有 x( x ? 4 y) ? ( x ? 2 y) , 展开的 y ? 0 , 即 d ?1 ? 0 , ∴ q ? 1。

13. a ? 3 ,解析:由图易知 a0 ? 1, a1 ? 3, a2 ? 4

? n ?3 ? 1 2 ? a 1 1 2 ∴ Cn ? ? 3, Cn ? ( ) ? 4 ,∴ ? ,解得 a ? 3 。 a a ? n(n ? 1) ? 4 ? ? 2a 2
14. x ?
2

3 2 y ? 1, 2 5c 1 2 ,? b ) 3 3

解析:由题意得通径 AF2 ? b2 ,∴点 B 坐标为 B (?

? 2 2 1 b ? (? b 2 ) 2 ? 5c ? 3 2 2 3 b ? 1 ? c 将点 B 坐标带入椭圆方程得 (? )2 ? ,又 ,解得 ? 1 ? 2 3 b ?c2 ? 1 ? 3 ?
∴椭圆方程为 x ?
2

3 2 y ? 1。 2

15.②④, 解析:S 有下列三种情况:

S1 ? a ? a ? b ? b ? b , S 2 ? a ? a ? b ? a ? b ? b ? b , S3 ? a ? b ? a ? b ? a ? b ? a ? b ? b
2 2 ∵ S1 ? S 2 ? S 2 ? S3 ? a ? b ? 2a ? b ? (a ? b) ?| a ? b | ? 0 , 2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∴ Smin ? S3 ,

若 a ? b ,则 S min ? S3 ? b ,与 | a | 无关,②正确; 若 a b ,则 S min ? S3 ? 4a ? b ? b ,与 | b | 有关,③错误; 若 | b |? 4 | a | ,则 Smin ? S 3 ? 4| a | ?| b |cos 正确;
2 2 2 若 | b |? 2 | a |, Smin ? 8| a |2 ,则 S min ? S3 ? 4a ? b ? b ? 8 | a | cos ? ? 4 | a | ? 8 | a | 2 2

2

2 2 2 ?? | b | ?? 4| |a | ? |b |? |b ?? | | b |? |b0 ?2

,④

∴ cos ? ?

1 ? , ∴ ? ? ,⑤错误。 2 3

16. (本小题满分 12 分)解析: (Ⅰ)∵ A ? 2 B ,∴ sin A ? sin 2 B ? 2sin B cos B , 由正弦定理得 a ? 2b ?

a 2 ? c2 ? b2 2ac

∵ b ? 3, c ? 1 ,∴ a2 ? 12, a ? 2 3 。 (Ⅱ)由余弦定理得 cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 9 ? 1 ? 12 1 ? ?? , 2bc 6 3

2 2 由于 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? (? ) ?

1 3

2 2 , 3

故 sin( A ?

?
4

) ? sin A cos

?
4

? cos A sin

?
4

?

2 2 2 1 2 4? 2 。 ? ? (? ) ? ? 3 2 3 2 6

17. (本小题满分 12 分)解析:用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛” , Ak 表示 “第 k 局甲获胜” , Bk 表示“第 k 局乙获胜” ,则 P( Ak ) ? (Ⅰ) P( A) ? P( A 1A 2 ) ? P( B 1A 2A 3 ) ? P( A 1B2 A 3 A4 )

2 1 , P( Bk ) ? , k ? 1, 2,3, 4,5 3 3

? P( A1 ) P( A2 ) ? P( B1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? P( A1 ) P( B2 ( A3 ) P( A4 ) 2 2 1 2 2 2 1 2 2 56 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 81
(Ⅱ) X 的可能取值为 2,3,4,5

P( X ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( B1B2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? P( B1 ) P( B2 ) ?

5 9 2 9
10 81

P( X ? 3) ? P( B1 A2 A3 ) ? P( A1B2 B3 ) ? P( B1 ) P( A2 ) P ( A3 ) ? P ( A1 ) P ( B2 ) P ( B3 ) ?

P( X ? 4) ? P( A1 B2 A3 A4 ) ? P( B1 A2 B3 B4 ) ? P( A1 ) P( B2 ) P( A3 ) P( A4 ) ? P( B1 ) P( A2 ) P( B3 ) P( B4 ) ?

P( X ? 5 ) ? ? 1 P X( ?
故 X 的分布列为

? 2P ) X? (
2

8 ?P 3 )X ? ( ? 4 ) 81
3 4 5

X

5 2 9 9 5 2 10 8 224 ? 5? ? ∴ EX ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? 9 9 81 81 81
P
18. (本小题满分 12 分)

10 81

8 81

2 解析: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (??, ??) , f '( x) ? 1 ? a ? 2 x ? 3x

令 f '( x) ? 0 得 x1 ?

?1 ? 4 ? 3a ?1 ? 4 ? 3a , x2 ? , x1 ? x2 3 3

所以 f '( x) ? ?3( x ? x1 )( x ? x2 )

当 x ? x1 或 x ? x2 时 f '( x) ? 0 ;当 x1 ? x ? x2 时 f '( x) ? 0 故 f ( x ) 在 (??, x1 ) 和 ( x2 , ??) 内单调递减,在 ( x1 , x2 ) 内单调递增。 (Ⅱ)∵ a ? 0 ,∴ x1 ? 0, x2 ? 0 (1)当 a ? 4 时 x2 ? 1 ,由(Ⅰ)知 f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增 ∴ f ( x ) 在 x ? 0 和 x ? 1 处分别取得最小值和最大值。 (2)当 4 ? a ? 0 时, x2 ? 1 , 由(Ⅰ)知 f ( x ) 在 [0, x2 ] 上单调递增,在 [ x2 ,1] 上单调递减 ∴ f ( x ) 在 x ? x2 ?

?1 ? 4 ? 3a 处取得最大值 3

又 f (0) ? 1, f (1) ? a ∴当 1 ? a ? 0 时 f ( x ) 在 x ? 1 处取得最小值 当 a ? 1 时 f ( x ) 在 x ? 0 和 x ? 1 处同时取得最小值 当 4 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 x ? 0 取得最小值。 19. (本小题满分 13 分) (Ⅰ) 证: 设直线 l1 , l2 的方程分别为 y ? k1 x, y ? k2 x,(k1 , k2 ? 0) , 则由 ?

? y ? k1 x ? y ? k1 x 2p 2p 2 p 2 p2 得 A1 ( 21 , 1 ) ;由 ? 2 得 A2 ( 22 , ) 2 k1 k1 k k y ? 2 p x ? y ? 2 p1 x 1 1 ? 2

同理可得 B1 (

2 p1 2 p1 2p 2p , ) , B2 ( 22 , 2 ) 2 k2 k2 k2 k2 2 p1 2 p1 2 p1 2 p1 1 1 1 1 ? 2 , ? ) ? 2 p1 ( 2 ? 2 , ? ) 2 k2 k1 k2 k1 k2 k1 k2 k1

所以 A1 B1 ? (

A2 B2 ? (

2 p2 2 p2 2 p2 2 p2 1 1 1 1 ? 2 , ? ) ? 2 p2 ( 2 ? 2 , ? ) 2 k2 k1 k2 k1 k2 k1 k2 k1 p1 A2 B2 ,所以 A1B1∥A2 B2 。 p2

故 A1 B1 ?

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 A 1C1∥B2C2 , AC 1B 1∥A 2 B2 ,同理可得 B 1 1∥A 2C2 所以 ?A 1B 1C1∽?A 2 B2C2 ,因此

S1 | AB | ? ( 1 1 )2 S2 | A2 B2 |

又由(Ⅰ)中的 A1 B1 ?

| AB | p p1 S p2 A2 B2 知 1 1 ? 1 ,故 1 ? 1 2 。 p2 | A2 B2 | p2 S2 p2

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证:∵ BQ//AA1 , BC //AD,BC ∴ 平面QBC∥平面A1 AD 从而平面 A1CD 与这两个平面的交线相互平行,即 QC∥A1D 故 ?QBC 与 ?A1 AD 的对应边相互平行,于是 ?QBC∽?A1 AD ∴

BQ=B,AD AA1 ? A

BQ BQ BC 1 ? ? ? ,即 Q 为 BB1 的中点。 BB1 AA1 AD 2

(Ⅱ)解:如图,连接 QA,QD。设 AA1 ? h ,梯形 ABCD 的高为 d ,四棱柱被平面 ? 所 分成上下两部分的体积分别为 V上 和 V下

BC ? a ,则 AD ? 2a 。 1 1 1 VQ ? A1 AD ? ? ? 2a ? h ? d ? ahd , 3 2 3

1 a ? 2a 1 1 VQ ? ABCD ? ? ? d ? ( h) ? ahd 3 2 2 4 7 ahd ∴ V下 ? VQ ? A1 AD ? VQ ? ABCD ? 图1 12 3 3 7 11 ahd ? ahd 又 VA1B1C1D1 ? ABCD ? ahd ,∴ V上 ? VA1B1C1D1 ? ABCD ? V下 ? ahd ? 2 2 12 12


V上 11 ? V下 7

(Ⅲ)解法 1:如图 1,在 ?ADC 中,作 AE ? DC ,垂足为 E,连接 A 1E 又 DE ? AA1 ,且 AE

AA1 ? A

∴ DE ? 平面AEA 1 ,∴ DE ? A 1E ∴ ?AEA1 为平面 ? 和平面 ABCD 所成二面角的平面角。 ∵ BC //AD , AD ? 2 BC , ∴ S?ADC ? 2S?ABC 又∵梯形 ABCD 的面积为 6,DC=2,∴ S?ADC ? 4 , AE ? 4 于是 tan ?AEA1 ?

AA1 ? ? 1 , ?AEA1 ? , AE 4

故平面 ? 和底面 ABCD 所成二面角的大小为

? 。 4

解法 2: 如图 2, 以 D 为原点,DA ,DD1 分别为 x 轴和 z 轴正方向,建立空间直角坐标系。 设 ?CDA ? ?

因为 VABCD ?

2 4 a ? 2a , 0, 4) ? 2sin ? ? 6 , 所以 a ? , 从而 C (2cos ? , 2sin ? ,0) ,A1 ( sin ? sin ? 2

设平面 A 1 DC 的法向量为 n ? ( x, y,1)

4 ? x?4?0 ? DA1 ? n ? 由? 得 x ? ? sin ? , y ? cos ? sin ? ?DC ? n ? 2 x cos ? ? 2 y sin ? ? 0 ?
所以 n ? (? sin ? ,cos? ,1) 又平面 ABCD 的法向量 m ? (0,0,1) 所以 cos ? m, n ??

m?n 2 ? | m|?| n | 2

故平面 ? 和底面 ABCD 所成二面角的大小为

? 。 4

21. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证:用数学归纳法证明 (1)当 p ? 2 时, (1 ? x)2 ? 1 ? 2 x ? x2 ? 1 ? 2 x ,原不等式成立。 (2)假设 p ? k (k ? 2, k ? N *) 时,不等式 (1 ? x)k ? 1 ? kx 成立 当 p ? k ? 1时, (1 ? x)k ?1 ? (1 ? x)(1 ? x)k ? (1 ? x)(1 ? kx)

? 1 ? (k ? 1) x ? kx2 ? 1 ? (k ? 1) x
所以 p ? k ? 1时,原不等式成立。 综合(1) (2)可得当当 x ? ?1 且 x ? 0 时,对一切整数 p ? 1 ,不等式 (1 ? x) p ? 1 ? px 均 成立。 (Ⅱ)证法 1:先用数学归纳法证明 an ? c 。 (1)当 n ? 1 时由假设 a1 ? c 知 an ? c 成立。
1 1 p 1 p 1 p

(2)假设 n ? k (k ? 1, k ? N *) 时,不等式 ak ? c p 成立 由 an ?1 ?

p ?1 c 1? p an ? an 易知 an ? 0, n ? N * p p

当 n ? k ?1时
1

ak ?1 p ? 1 c ? p 1 c ? ? ak ? 1 ? ( p ? 1) ak p p p ak 1 1 c ? ( ? 1) ? 0 p p akp

由 ak ? c p ? 0 得 ?1 ? ?

由(Ⅰ)中的结论得 (

ak ?1 p 1 c 1 c c ) ? [1 ? ( p ? 1)] p ? 1 ? p ? ( p ? 1) ? p ak p ak p ak ak

因此 a

p k ?1

? c ,即 ak ?1 ? c

1 p 1

所以当 n ? k ? 1 时,不等式 an ? c p 也成立。 综合(1) (2)可得,对一切正整数 n ,不等式 an ? c 均成立。 再由
1 p

an?1 a 1 c ? 1 ? ( p ? 1) 得 n?1 ? 1 ,即 an?1 ? an an p an an
1 p

综上所述, an ? an?1 ? c , n ? N * 证法 2:设 f ( x) ?

p ?1 c x ? x1? p , x ? c p ,则 x p ? c ,并且 p p
1

1

p ?1 c p ?1 c f '( x) ? ? (1 ? p) x ? p ? (1 ? p ) ? 0 , x ? c p p p p x
由此可见, f ( x ) 在 [c , ??) 上单调递增,因而当 x ? c 时 f ( x) ? f (c ) ? c 。 (1)当 n ? 1 时由 a1 ? c ? 0 ,即 a1 p ? c 可知
1 p
1 p
1 p

1 p

1 p

a2 ?

p ?1 c 1 c a1 ? a11? p ? a1[1 ? ( p ? 1)] ? a1 , p p p a1
1 p 1 p

并且 a2 ? f (a1 ) ? c ,从而 a1 ? a2 ? c
1 p

故当 n ? 1 时,不等式 an ? an?1 ? c 成立。 (2)假设 n ? k (k ? 1, k ? N *) 时,不等式 ak ? ak ?1 ? c 成立,则
1 1 1 p

当 n ? k ? 1 时 f (ak ) ? f (ak ?1 ) ? f (c p ) ,即有 ak ?1 ? ak ?2 ? c p , 所以当 n ? k ? 1 时原不等式也成立。
1

综合(1) (2)可得,对一切正整数 n ,不等式 an ? an?1 ? c p 均成立。 法二:分析与证明:(Ⅱ)证法 1:先证 an ? c
1 p


1 1

p ?1 c ?p 1 1 ?p ?p p p an ?1 ? an ? a1 当 ? [( p ? 1)an ? ca1 p[an p ?1ca1 n n ]? n ] ? c (基本不等式) p p p p
且仅当 an ? ca
1? p n

即 an ? c 等号成立,又 a1 ? c

1 p

1 p

,所以由归纳法原理可知 an ? c

1 p



再证 an ? an?1 ;

an?1 p ? 1 c ? p p ? 1 c ?1 ? ? an ? ? c ? 1 ,所以 an ? an?1 成立; an p p p p

综上 an ? an?1 ? c

1 p
1

证法 2:当 x ? c p 时, x p ? c , x

?p

?

1 p ?1 c ,cx1? p ? x ,所以 x ? x ? x1? p 成立, c p p
1

p ?1 c p ?1 c 设 f ( x) ? x ? x1? p ,则 f ?( x) ? ? (1 ? p) x ? p ,令 f ?( x) ? 0 得, x ? c p , p p p p

p ?1 p c f ( x) ? f (c ) ? c ? c p p

1 p

1

1? p p

f (c ) ? c ,由数学归纳法原理可知,当 a1 ? c

1 p

1 p

1 p

时,

an ? an?1 ? c 成立。
1

1 p

事实上,本题的背景为不动点知识,其中 c p 恰好为迭代函数 f ( x) ?
1 p

p ?1 c x ? x1? p 的 p p
1 p

不动点,并且从上述证明可以发现,当 a1 ? c

时,数列 {an } 为常数列;当 0 ? a1 ? c 时,

a2 ? a3 ?

? an ?

? c ? a1 。

1 p


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