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5从力做的功到平面向量的数量积


一、教学目标:1.知识与技能:(1)通过物理中“功”等实例,理解平 面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.(2)体会平面向量的数 量积与向量投影的关系. (3)掌握平面向量数量积的运算律和它的一些 简单应用.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两 个平面向量的垂直关系.2.过程与方法:教材利用同学们熟悉的物理知识 (“做功”)得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮 助学生理解和巩固相应的知识,教材设置了4个例题;通过讲解例题, 培养学生逻辑思维能力.3.情感态度价值观:通过本节内容的学习,使同 学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系;让学生 进一步领悟数形结合的思想;同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数 量积,有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神. 二.教学重、难点 :重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义; 运算律.难点: 运算律的理解 三.学法与教法 (1)自主性学习+探究式学习法:(2)反馈练习法:以练习来检验知识的应 用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学过程
1

北师大版高中数学必修4 第二章《平面向量》

从力做的功到平面向量的数量积

2

数量积的物理意义:
F
?
F ? cos?

S

如果一个物体在力 F的作用下产生位移 s, 那么力F所做的功W 可用公式计算: W ? F ? S ?| F || S | cos?

数量积的定义:

注意:两个向量的数量积是数量,而不是向量.

规定: 0 ? a ? 0

3

2、数量积 a ? b ?| a || b | cos? 的几何意义:
数量积a ? b等于a的长度a 与b在a的方向上的投影数量 b cos?的乘积 .

B

b
?
O
B

a ? b ? b ? a cos?

a
| b | cos?
B

A
B

A 当θ=90°,投影为0

O

θ

A θ B1 B1 O A 当θ为锐角时,投影为正值 当θ为钝角时,投影为负值 O

θ

重要性质:
设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单 位向量,θ是a与e的夹角,则 (1)e· a=a· e = |a| cosθ (2)a⊥b a· b=0

(3)当a与b同向时,a· b=|a||b|
当a与b反向时,a· b=-|a| |b| 特别地,a· a =|a|2或|a|=√a· a。 (4)cosθ= a· b |a||b|

(5)|a·b|≤|a||b|

思考: ? ? 2 ( a ? b) ? ? ? 2 ( a ? b) ?

5

5、数量积的运算律:
⑴交换律: a ? b ? b ? a ⑵对数乘的结合律:(? a) ? b ? ?(a ? b) ? a ? (?b) ⑶分配律:(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c
思考: ? ? ? ? ? ? 反之成立吗? 若a ? c ? b ? c,有a ? b吗?

注意:数量积不满足结合律

即: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
6

课堂练习
判断下列各题是否正确

(1)若a=0,则对任意向量b,有a· b=0----- (√)
(2)若a≠0,则对任意非零向量b,有a· b≠0-(3)若a≠0,且a· b=0,则b=0 ------------------(4)若a· b=0,则a=0或b=0 --------------------(5)对任意向量a有a2=│a│2 ---------------(6)若a≠0且a· b=a· c,则b=c -------------------

(× )

( ×)
(× ) (√ ) (× )
7

三、典型例题分析
如图, 在平行四边形 ABCD中,已知 AB ? 4, AD ? 3, ?DAB ? 60? , 例 1、
解: ?1?因为AD与BC平行且方向相同 ,

求 : ?1?. AD ? BC

?2?.AB? CD

?3?.AB? DA

D

C

? AD与BC的夹角为 0?. ? AD ? BC ? AD ? BC ? cos0? ? 3 ? 3 ?1 ? 9

?2?.? AB与CD平行, 且方向相反
? AB与CD的夹角是 180?

或 AD ? BC ? AD ? 9

2

60?
A120? B

进行向量数量积 计算时,既要考 2 虑向量的模,又 或 AB ? CD ? ? AB ? ?16 要根据两个向量 ?3?.? AB与AD的夹角是60? ,? AB与DA的夹角是120? 方向确定其夹角。 ? 1? ? 8 ? AB ? DA ? AB ? DA ? cos120 ? 4 ? 3 ? ? ? ? ? ?6 ? 2?

? AB ? CD ? AB ? CD ? cos180? ? 4 ? 4 ? ?? 1? ? ?16

? ? ? ? ? 2.已知a与b的夹角为120 , | a |? 4,| b |? 2, 课堂练习1 ? ? ? ? 求: | a ? b |;| 3a ? 4b | .

? ? ? ? ? ? 2.已知a, b满足: | a |? 1, | b |? 2,| a ? b |? 2, ? ? 求|a ? b |?

9

10

例2、 已知 a ? 5, b ? 4, 且a与b夹角为60? ,问k为何值时,

解: ? k a ? b ? a ? 2b ? k a ? b ? a ? 2b ? 0
? k a ? ?2k ? 1?a ? b ? 2b ? 0
2 2

?

使 k a ? b ? a ? 2b

?

? ?

? ?

? ?

?

??

?

14 所以当 k ? 时, k a ? b ? a ? 2b 15

14 解得 : k ? 15

k ? 25 ? ?2k ?1?? 5 ? 4 ? cos60? ? 2 ?16 ? 0

?

? ?

?

两个向量的数量积是否 为零,是判断相应的两条 直线是否垂直的重要方 法之一.
11

四、作业布置
2 2

1.已知 a ? 1, b ? 4, a ? b ? a ? 0, 则a与b的夹角是 :

A.90?

B.60? C.120?

? ?

D.150?

2.已知 a ? 3, b ? 5, 且a ? b ? 12, 则b在a的方向上投影为___

3. 已知向量x与a ? ?2,?1?共线, 且a ? x ? ?18, 则x的坐标为_________
4. 已知a与b的夹角为 30? 且 a ? 3, b ? 1, 求向量p ? a ? b与q ? a ? b的夹角的余弦 .

5.已知平面四边形 ABCD中, AB ? a, BC ? b, CD ? c, DA ? d , 且a ? b ? b ? c ? c ? d ? d ? a, 试判断四边形 ABCD的形状特征 .

6.若a ? ?cos? , sin ? ?, b ? ?cos ? , sin ? ?, 且 k a ? b ? 3 a ? k b ?k ? 0?

?1?用k表示数量积a ? b ?2?求a ? b的最小值, 并求此时a与b的夹角? .

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