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2.1(2)空间点直线平面之间的位置关系(教学设计)


2.1(2)空间点、直线、平面之间的位置关系(教学设计) 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 教学目标: 1、知识与技能 (1)了解空间中两条直线的位置关系; (2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力; (3)理解并掌握公理 4; (4)理解并掌握等角定理; (5)理解并掌握异面直线所成角的定义、范围及应用。 2、过程与方法 (1)自主合作探究、师生的共同讨

论与讲授法相结合; (2)让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。 3、情感态度与价值观 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣。 重点: 1、异面直线的概念; 2、公理 4 及等角定理。 难点: 异面直线所成角的计算。 教学过程 一、复习回顾: 1、平面有哪些性质?(无限延展性) (1)同一平面内的两条直线位置关系有哪些?(平行、相交) (2)空间的两条直线有哪些位置关系呢? 二、创设情景、导入课题 通过身边诸多实物(如:正方体、正四面体(学生自已做的几何体等) ) ,引导学生思考、举例和相互交流得出异 面直线的概念:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 三、师生互动、新课讲解 1、教师给出长方体模型,引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系: 相交:同一平面内,有且只有一个公共点 平行:同一平面内,没有公共点

共 面直线 :

直线: 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点

例 1:判断:下列各图中直线 l 与 m 是异面直线吗?
m

?

m

l

?

l
?
l

m
?

1
?
?

2
m

3
?
m

m
?

l
?

l
?
l

4 2、平行公理:

5

6

在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。在空间中,是否有类似的规律? 组织学生观察长方体模型并思考: 长方体 ABCD-A′B′C′D′中, BB′∥AA′,DD′∥AA′, BB′与 DD′平行吗?(平行) 再联系其他相应实例归纳出公理 4 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 数学符号语言表示: 共同讨论得出符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b c∥b 公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 的作用:用于判断空间两条直线平行。 例 2(课本 P45 例 2) :如图,已知空间四边形 ABCD 中,点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点,试判断 四边形 EFGH 是什么四边形,并证明你的结论。 证明:连结 BD ∵E、H 分别是 AB、AD 的中点 ∴EH 是△ABD 的中位线 ∴EH∥BD,且 EH=
H E D G C A
A D B C A' D' B' C'

=>a∥c

1 BD 2 1 BD 2
B

同理,FG∥BD,且 FG= ∴EH∥FG,且 EH=FG

F

∴四边形 EFGH 是平行四边形 探究:在例 2 中,若加上条件 AC=BD,那么这 个四边形是什么四边形?(菱形) 例 3:如右图:长方体 ABCD-A′B′C′D′中,E、F 分别是 C′D′、 CC′的中点,那么 A′E 与 BF 的位置关系怎

样?

D' A'

E B'

C'

F D A B C

3、等角定理: 平几中的等角定理在空间中结论是否依然成立? 让学生观察、思考: ∠ADC 与∠A′D′C′、∠ADC 与∠A′B′C′的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何? (∠ADC = ∠A'D'C' ,∠ADC + ∠A′B′C′ = 180 ) 师生共同归纳出如下定理 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 4、以教师讲授为主,师生共同交流,导出异面直线所成的角的概念。 如图,已知异面直线 a、b,经过空间中任一点 O 作直线 a'∥a、b'∥b,我们把 a'与 b'所成的锐角(或直角)叫 异面直线 a 与 b 所成的角(夹角) 。
0

结论: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了简便,点 O 一般取在两直线 中的一条上;

② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, 〕 ;

?

2

③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 例 4: (1)如图,观察长方体 ABCD-A′B′C′D′,有没有两条棱所在的直线是 互相垂直的异面直线? (2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么,另一条直线是否也 与这条直线垂直? (3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?
A D B C A' D' B' C'

例 5(课本 P47 例 3)如图,已知正方体 ABCD-A′B′C′D′。 (1)哪些棱所在直线与直线 B A′是异面直线? (2)直线 B A′与 CC′的夹角是多少?
A'

D' B'

C'

D

C

A

B

(3)哪些棱所在直线与直线 AA′垂直? 课堂练习: (课本 P48 练习 NO:1;2) 四、课堂小结,巩固反思: (1)本节课学习了哪些知识内容? (2)计算异面直线所成的角应注意什么? (3)通过本节课的学习,最大收获是什么? 五、布置作业: A 组: 1、 (课本 P51 习题 2.1A 组第 3 题) (做在书上即可) 2、 (课本 P51 习题 2.1A 组第 4 题) (做在书上即可) 3、 (课本 P51 习题 2.1A 组第 5 题) (做在书上即可) 4、 (1)分别在两个平面内的两条直线的位置关系是_______。(相交,平行、异面) (2)不平行的两条直线的位置关系是_________(相交或异面) (3)直线 a 和 b 是异面直线,直线 c//a,那么 b 与 c 的位置关系是_____(相交或异面) (4)两条直线没有公共点,它们的位置关系是______(平行或异面)

B 组: 1、 (课本 P51 习题 2.1B 组第 1 题) (做在书上即可) 2.一条直线与两条异面直线中的一条相交,那么它与另一条之间的位置关系是( D ) A. 平行 B. 相交 C. 异面 D.可能相交、可能平行、可能异面

3.已知 a、b 是异面直线,c∥a,那么 c 与 b(C) A.一定是异面直线 C. 不可能是平行直线 B.一定是相交直线 D.不可能是相交直线
H E F G

4、如图,正方体 ABCD-EFGH 中如图,正方体 ABCD-EFGH 中 O 为侧面 ADHE 的中心,求 (1)BE 与 CG 所成的角? (2)FO 与 BD 所成的角? 解:(1)如图:∵CG∥BF, ∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE 与 CG 所成的角, 0 0 又 ? BEF 中∠EBF =45 ,所以 BE 与 CG 所成的角为 45 (2)连接 FH, ∵HD∥EA∥FB ∴HD∥FB ∴四边形 HFBD 为平行四边形, ∴HF∥BD,∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO 与 BD 所成的角。 连接 HA、AF,易得 FH=HA=AF,∴△AFH 为等边△, 0 0 又依题意知 O 为 AH 中点, ∴∠HFO=30 即 FO 与 BD 所成的夹角是 30 注 4:求异面直线的步骤是:“一作(找)二证三求”

D A B

C

5、如图,已知长方体 ABCD-EFGH 中, AB = 2 3 , AD = 2 3 , AE = 2 (1)求 BC 和 EG 所成的角是多少度?

H E

G F D C B

(2)求 AE 和 BG 所成的角是多少度? 0 0 解答:(1) 45 (2) 60
A

6、(tb2601303)正四面体 ABCD 中,已知 E、F、G、H 分别是 AC、BC、BD、AD 的中点,求证:四边形 EFGH 是正方形。


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