当前位置:首页 >> 数学 >>

高三数学第一轮复习专题一 第一讲


专题一
第一讲

数学思想方法
函数与方程思想

1. 函数与方程思想的含义 (1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念 的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题, 从而使问题获得解决.经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、 图象变换等. (2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造 方程, 通过解方程或方程组, 或者运用方程的性质去分析、 转化问题, 使问题获得解决. 方 程的教学是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观 察处理问题.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系. 2. 函数与方程的思想在解题中的应用 (1)函数与不等式的相互转化,对函数 y=f(x),当 y>0 时,就化为不等式 f(x)>0,借助于 函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式. (2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分 重要. (3)解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次 函数的有关理论. (4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达 式的方法加以解决,建立空间直角坐标系后,立体几何与函数的关系更加密切.

1. (2013· 陕西)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于 300 m2 的内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x(单位:m)的取值范 围是 ( )

A.[15,20] C.[10,30] 答案 C

B.[12,25] D.[20,30]

S△ADE 解析 如图,△ADE∽△ABC,设矩形的另一边长为 y,则 = S△ABC ?40-y?2=? x ?2,所以 y=40-x,由题意知 xy≥300,即 x(40- ? 40 ? ?40? x)≥300,整理得 x2-40x+300≤0,解不等式得 10≤x≤30. 2. (2013· 课标全国Ⅱ)设 a=log36,b=log510,c=log714,则 A.c>b>a C.a>c>b 答案 D 1 1 解析 设 a=log36=1+log32=1+ ,b=log510=1+log52=1+ ,c=log714=1 log23 log25 1 +log72=1+ ,显然 a>b>c. log27 3. (2012· 浙江)设 a>0,b>0,e 是自然对数的底数 ( ) B.b>c>a D.a>b>c ( )

A.若 ea+2a=eb+3b,则 a>b B.若 ea+2a=eb+3b,则 a<b C.若 ea-2a=eb-3b,则 a>b D.若 ea-2a=eb-3b,则 a<b 答案 A 解析 当 0<a≤b 时,显然 ea≤eb,且 2a≤2b<3b, ∴ea+2a<eb+3b,即 ea+2a≠eb+3b 成立, 所以它的逆否命题:若 ea+2a=eb+3b, 则 a>b 成立,故 A 正确,B 错误; 当 0<a≤b,由 ea≤eb,2a<3b, 知 ea-2a 与 eb-3b 的大小关系不确定, 故 C 错误;同理,D 错误. 4. (2013· 北京)若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=________;前 n 项 和 Sn=________. 答案 2 2n 1-2


解析 设等比数列的公比为 q, 由 a2+a4=20, a3+a5=40.∴20q=40, 且 a1q+a1q3=20, n a1?1-q ? n+1 解之得 q=2,且 a1=2.因此 Sn= =2 -2. 1-q 5. (2013· 安徽)已知直线 y=a 交抛物线 y=x2 于 A,B 两点.若该抛物线上存在点 C,使得 ∠ACB 为直角,则 a 的取值范围为________. 答案 [1,+∞)

解析 以 AB 为直径的圆的方程为 x2+(y-a)2=a,

2 ? ?y=x 由? 2 得 y2+(1-2a)y+a2-a=0. 2 ?x +?y-a? =a ?

即(y-a)[y-(a-1)]=0, ?a>0 ? 则由题意得? 解得 a≥1. ?a-1≥0, ?

题型一 利用函数与方程思想求解最值、范围问题 例1 (1)设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=ln x 的图象分别交于点 M、N,则当|MN|达到最 小时 t 的值为 A.1 1 B. 2 C. 5 2 D. 2 2 ( )

(2)若 a,b 是正数,且满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围为________. 审题破题 (1)由题意可知|MN|=f(x)-g(x)=x2-ln x,因此该问题可转化为:求 x 为何值 时,函数 F(x)=x2-ln x 取得最小值. a+3 a?a+3? (2)由 ab=a+b+3 变形可得 b= , 从而求 ab= 的取值范围问题可转化为求函 a-1 a-1 a?a+3? 数 f(a)= 的值域问题;若设 ab=t,则 a+b=t-3,从而 a,b 可看成方程 x2-(t a-1 -3)x+t=0 的两根,利用方程的思想解决. 答案 解析 (1)D (2)[9,+∞)

(1)可知|MN|=f(x)-g(x)=x2-ln x. 2 1 2x -1 令 F(x)=x2-ln x,则 F′(x)=2x- = , x x 2 所以当 0<x< 时,F′(x)<0,F(x)单调递减; 2 2 当 x> 时,F′(x)>0,F(x)单调递增, 2 2 故当 x= 时,F(x)有最小值,即|MN|达到最小. 2 (2)方法一 (看成函数的值域) a+3 ∵ab=a+b+3,a≠1,∴b= . a-1 a+3 而 b>0,∴ >0. a-1 即 a>1 或 a<-3, 又 a>0,∴a>1,故 a-1>0. a+3 ?a-1?2+5?a-1?+4 ∴ab=a· = a-1 a-1 4 =(a-1)+ +5≥9. a-1

4 当且仅当 a-1= ,即 a=3 时取等号. a-1 ∴ab 的取值范围是[9,+∞). 方法二 若设 ab=t,则 a+b=t-3, 所以 a,b 可看成方程 x2-(t-3)x+t=0 的两个正根. Δ=?t-3? -4t≥0, ? ? 从而有?a+b=t-3>0, ? ?ab=t>0, t≤1或t≥9, ? ? 即?t>3, ? ?t>0, 解得 t≥9,即 ab≥9.
2

所以 ab 的取值范围是[9,+∞). 反思归纳 (1)求参数的取值范围,一般有两种途径:其一,充分挖掘题设条件中的不等 关系,构建以待求字母为元的不等式(组)求解;其二,充分应用题设中的等量关系,将 待求参数表示成其他变量的函数,然后,应用函数知识求值域. (2)当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系减少变量的个数,如果最后能把其中 一个变量表示成关于另一个变量的表达式,那么就可用研究函数的方法将问题解决. x2 变式训练 1 若点 O 和点 F(-2,0)分别是双曲线 2-y2=1 (a>0)的中心和左焦点, 点 P 为双曲 a → → 线右支上的任意一点,则OP· FP的取值范围为 ( ) A.[3-2 3,+∞) 7 ? C.? ?-4,+∞? 答案 B 解析 因为 F(-2,0)是已知双曲线的左焦点,所以 a2+1=4,即 a2=3,所以双曲线方程 x2 x2 x2 → 0 0 2 为 -y2=1.设点 P(x0,y0), 则有 -y2 0=1 (x0≥ 3),解得 y0= -1 (x0≥ 3),因为FP= 3 3 3 x2 4x2 → → → 0 0 (x0+2,y0),OP=(x0,y0),所以OP· FP=x0(x0+2)+y2 = x ( x + 2) + - 1 = +2x0-1, 0 0 0 3 3 3 此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线 x0=- ,因为 x0≥ 3,所以当 x0= 3时, 4 4 → → → → OP· FP取得最小值 ×3+2 3-1=3+2 3,故OP· FP的取值范围是[3+2 3,+∞). 3 题型二 利用函数与方程思想研究方程根的问题 π 例 2 如果方程 cos2x-sin x+a=0 在(0, ]上有解,求 a 的取值范围. 2 审题破题 可分离变量为 a=-cos2x+sin x,转化为确定的相关函数的值域. π 解 方法一 设 f(x)=-cos2x+sin x(x∈(0, ]). 2 显然当且仅当 a 属于 f(x)的值域时,a=f(x)有解. 1 5 ∵f(x)=-(1-sin2x)+sin x=(sin x+ )2- , 2 4 B.[3+2 3,+∞) 7 ? D.? ?4,+∞?

π 且由 x∈(0, ]知 sin x∈(0,1]. 2 易求得 f(x)的值域为(-1,1]. 故 a 的取值范围是(-1,1]. π 方法二 令 t=sin x,由 x∈(0, ],可得 t∈(0,1]. 2 将方程变为 t2+t-1-a=0. 依题意,该方程在(0,1]上有解. 设 f(t)=t2+t-1-a. 1 其图象是开口向上的抛物线,对称轴 t=- ,如图所示. 2

?f?0?<0 ? 因此 f(t)=0 在(0,1]上有解等价于? , ?f?1?≥0 ? ? ?-1-a<0 即? ,∴-1<a≤1.故 a 的取值范围是(-1,1]. ?1-a≥0 ?

反思归纳 研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题,通常有两种处理 思路:一是分离参数构建函数,将方程有解转化为求函数的值域;二是换元,将复杂方 程问题转化为熟悉的二次方程,进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数 加以解决. 变式训练 2 已知方程 9x-2· 3x+(3k-1)=0 有两个实根,求实数 k 的取值范围. 解 令 3x=t,则方程化为 t2-2t+(3k-1)=0;(*) 要使原方程有两个实根,方程(*)必须有两个正根, Δ=?-2? -4?3k-1?≥0, ? ? 1 2 t2=3k-1>0, ∴?t1· 解得 <k≤ . 3 3 ? ?t1+t2=2>0, 1 2? 故实数 k 的取值范围是? ?3,3?. 题型三 利用函数与方程思想求解不等式问题 例3 已知 f(t)=log2t,t∈[ 2,8],对于 f(t)值域内的所有实数 m,不等式 x2+mx+4>2m+ 4x 恒成立,求 x 的取值范围. 审题破题 本题可先求出 m 的范围, 不等式 x2+mx+4>2m+4x 恒成立可转化为函数 g(m) =m(x-2)+(x-2)2 的值恒大于 0. 1 ? 解 ∵t∈[ 2,8],∴f(t)∈? ?2,3?. 1 ? 2 2 原题转化为当 m∈? ?2,3?时,不等式 x +mx+4>2m+4x 恒成立,即 m(x-2)+(x-2) >0
2

恒成立. 1 ? 令 g(m)=m(x-2)+(x-2)2,m∈? ?2,3?, 1 ? 问题转化为 g(m)在 m∈? ?2,3?上恒大于 0, 1? ? ?g? >0, 2 ? 则? ? ? ?g?3?>0, 1 ? ?2?x-2?+?x-2?2>0, 即? ? ?3?x-2?+?x-2?2>0.

解得 x>2 或 x<-1. 反思归纳 在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数利用函数 的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中,需要确定合适的 变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化.一般地,已知存在范围的量为变量, 而待求范围的量为参数. 变式训练 3 设不等式 2x-1>m(x-1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 的取值都成立, 则 x 的取值 范围是 3? A.? ?0,4? 3 ? C.? ?4,+∞? 答案 C 解析 原不等式即(x-1)m-(2x-1)<0,设 f(m)=(x-1)m-(2x-1),则问题转化为求一 次函数 f(m)的值在区间[-2,2]内恒为负时应满足的条件, ? ? ?f?2?<0, ?2?x-1?-?2x-1?<0, 3 得? 即? 解得 x> . 4 ?f?-2?<0, ?-2?x-1?-?2x-1?<0, ? ? 题型四 利用函数与方程思想解决数列问题 例4 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n2-4n+4. (1)求数列{an}的通项公式; an 1 (2)设 bn= n,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证: ≤Tn<1. 2 4 审题破题 可将 Tn 看作关于自然数 n 的函数,通过函数的单调性来证明不等式. (1)解 当 n=1 时,a1=S1=1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-4n+4-[(n-1)2-4(n-1)+4]=2n-5. ∵a1=1 不适合上式, ? n=1 ?1, ∴an=? . ?2n-5, n≥2 ? ( B.(2,+∞) D.(-∞,2) )

(2)证明

?2, a 由题意知 b = =? 2 2n-5 ? 2 ,
n n n n

1

n=1 . n≥2

1 当 n=1 时,T1= , 2

2n-5 1 -1 1 当 n≥2 时,Tn= + 2 + 3+?+ n , 2 2 2 2 2n-7 2n-5 1 1 -1 1 T = + + +?+ n + n+1 , 2 n 22 23 24 2 2 1 1 ? 2n-5 1 1 2 ①-②得: Tn= - 2+2? ?23+?+2n?- 2n+1 2 2 2 1 2n-5 1 = ?1-2n-2?- n+1 , 2? ? 2 2n-1 ∴Tn=1- n (n≥2),当 n=1 时也适合上式. 2 2n-1 故 Tn=1- n (n∈N*). 2 2n-1 ∵ n >0 (n∈N*),∴Tn<1. 2 2n-1 ? 2n+1? 当 n≥2 时,Tn+1-Tn=?1- n+1 ?-?1- n ? 2 ? 2 ? ? ? 2n-3 = n+1 >0,∴Tn<Tn+1 (n≥2). 2 1 3 1 ∵T1= ,T2=1- = ,∴T2<T1. 2 4 4 1 故 Tn≥T2,即 Tn≥ (n∈N*). 4 1 综上, ≤Tn<1 (n∈N*). 4

① ②

反思归纳 (1)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数,数列的通项公式即 为相应的解析式,因此在解决数列问题时,应注意用函数的思想求解. (2)数列不等式问题, 可以通过变形、 整理, 转化为数列所对应的函数的单调性问题解决. 变式训练 4 (2012· 浙江)设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前 n 项和, 则下列命题 错误 的是 .. A.若 d<0,则数列{Sn}有最大项 B.若数列{Sn}有最大项,则 d<0 C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意 n∈N*,均有 Sn>0 D.若对任意 n∈N*,均有 Sn>0,则数列{Sn}是递增数列 答案 C 解析 设{an}的首项为 a1, d? 1 d 则 Sn=na1+ n(n-1)d= n2+? ?a1-2?n. 2 2 由二次函数性质知 Sn 有最大值时,则 d<0,故 A、B 正确; ( )

因为{Sn}为递增数列,则 d>0,不妨设 a1=-1,d=2,显然{Sn}是递增数列,但 S1=- 1<0,故 C 错误; 对任意 n∈N*,Sn 均大于 0 时,a1>0,d>0,{Sn}必是递增数列,D 正确.

典例

x2 y2 2 (14 分)(2012· 北京)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0),离心率为 . a b 2

直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程. (2)当△AMN 的面积为 规范解答 a=2, ? ?c 2 (1)由题意得? = , a 2 ? ?a =b +c ,
2 2 2

10 时,求 k 的值. 3



解得 b= 2.

x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1.[4 分] 4 2 y=k?x-1?, ? ?2 2 (2)由?x y 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.[5 分] + = 1 ? ?4 2 设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 4k2 则 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2= , 1+2k2 2k2-4 x1x2= .[8 分] 1+2k2 所以|MN|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] 2 ?1+k2??4+6k2? = .[10 分] 1+2k2 又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d= 所以△AMN 的面积为 |k| 4+6k2 1 S= |MN|· d= .[12 分] 2 1+2k2 由 |k| 4+6k2 10 ,解得 k=± 1.∴k 的值为 1 或-1.[14 分] 2 = 3 1+2k |k| , 1+k2

评分细则 (1)不列方程没有 a2=b2+c2,扣 1 分;(2)求|MN|时直接使用弦长公式没有中 间变形,扣 1 分;(3)最后结论不写不扣分. 阅卷老师提醒 (1)本题易错点:不会整合题目条件,没有列出方程求 b、c;运算能力较 差,用弦长表示面积出现计算错误; 1 (2)阅卷中发现考生的快捷解法: 直线 y=k(x-1)过定点 T(1,0), 则 S△AMN= · |AT|· |y1-y2|, 2 大大简化运算过程.

1. 在正实数集上定义一种运算“*”:当 a≥b 时,a*b=b3;当 a<b 时,a*b=b2,则满足 3*x=27 的 x 的值为 A.3 C.1 或 2 答案 D
?x≤3 ?x>3 ? ? 解析 由题意得? 3 或? 2 , ?x =27 ? ? ?x =27

( B.1 或 9 D.3 或 3 3

)

x2 y2 3a 2. (2012· 课标全国)设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点,P 为直线 x= 上 a b 2 一点,△F2PF1 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为 1 2 3 4 A. B. C. D. 2 3 4 5 答案 C 解析 由题意,知∠F2F1P=∠F2PF1=30° , 3 ? ∴∠PF2x=60° .∴|PF2|=2×? ?2a-c?=3a-2c. ∵|F1F2|=2c,|F1F2|=|PF2|, ∴3a-2c=2c, c 3 ∴e= = . a 4 3 3. 方程 x2- x-m=0 在 x∈[-1,1]上有实根,则 m 的取值范围是 2 9 9 5 A.m≤- B.- <m< 16 16 2 5 9 5 C.m≥ D.- ≤m≤ 2 16 2 答案 D 3 3 9 x- ?2- ,x∈[-1,1]. 解析 m=x2- x=? 2 ? 4? 16 5 当 x=-1 时,m 取最大值为 , 2 3 9 9 5 当 x= 时,m 取最小值为- ,∴- ≤m≤ . 4 16 16 2 ( )

解得 x=3 或 3 3.

(

)

1?x 4. 已知函数 f(x)=? ?3? ,等比数列{an}的前 n 项和为 f(n)-c,则 an 的最小值为 A.-1 答案 D 1 解析 由题设,得 a1=f(1)-c= -c; 3 2 a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=- ; 9 2 a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=- , 27 又数列{an}是等比数列, 2?2 ?1 ? ? 2 ? ∴? ?-9? =?3-c?×?-27?,∴c=1. a3 1 又∵公比 q= = , a2 3 1?n 2?1?n-1 * 所以 an=- ?3? =-2? ?3? ,n∈N . 3 因此,数列{an}是递增数列, 2 ∴n=1 时,an 有最小值 a1=- . 3 B.1 2 C. 3 2 D.- 3

(

)

5. 对于满足 0≤p≤4 的实数 p,使 x2+px>4x+p-3 恒成立的 x 的取值范围是__________. 答案 解析 (-∞,-1)∪(3,+∞) x2+px>4x+p-3 对于 0≤p≤4 恒成立可以变形为 x2-4x+3+p(x-1)>0 对于

0≤p≤4 恒成立,所以一次函数 f(p)=(x-1)p+x2-4x+3 在区间[0,4]上的最小值大于 0, 2 ? ?x -4x+3>0 ? 即 2 , ?x -1>0 ? 所以 x 的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞). 6. 设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0, 且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是________. 答案 (-∞,-3)∪(0,3)

解析 设 F(x)=f(x)g(x),由于 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,得 F(- x)=f(-x)· g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),即 F(x)为奇函数. 又当 x<0 时,F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0, 所以 x<0 时,F(x)为增函数. 因为奇函数在对称区间上的单调性相同, 所以 x>0 时,F(x)也是增函数. 因为 F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3). 所以 F(x)<0 的解集是(-∞,-3)∪(0,3)(草图如图所示).

专题限时规范训练
一、选择题 1. 函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2, 对任意 x∈R,f′(x)>2, 则 f(x)>2x+4 的解集为( A.(-1,1) C.(-∞,-1) 答案 B 解析 设 φ(x)=f(x)-(2x+4),则 φ′(x)=f′(x)-2>0, ∴φ(x)在 R 上为增函数, 又 φ(-1)=f(-1)-(-2+4)=0, ∴由 φ(x)>0 可得 x>-1. 故 f(x)>2x+4 的解集为(-1,+∞). 2. 若函数 f(x)、g(x)分别为 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f(x)-g(x)=ex,则有 ( A.f(2)<f(3)<g(0) C.f(2)<g(0)<f(3) 答案 D 解析 由题意得 f(x)-g(x)=ex,f(-x)-g(-x)=e x,即-f(x)-g(x)=e x,由此解得 f(x) - - - ex-e x ex+e x ex-e x = ,g(x)=- ,g(0)=-1,函数 f(x)= 在 R 上是增函数,且 f(3)>f(2) 2 2 2 - e2-e 2 = >0,因此 g(0)<f(2)<f(3),选 D. 2 ?1,x为有理数, ? 3. 设函数 D(x)=? 则下列结论错误的是 ( ) ? ?0,x为无理数,
- -

)

B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞)

)

B.g(0)<f(3)<f(2) D.g(0)<f(2)<f(3)

A.D(x)的值域为{0,1} C.D(x)不是周期函数 答案 C

B.D(x)是偶函数 D.D(x)不是单调函数

解析 利用函数的单调性、奇偶性、周期性定义判断可得. 由已知条件可知,D(x)的值域是{0,1},选项 A 正确; 当 x 是有理数时,-x 也是有理数, 且 D(-x)=1,D(x)=1,故 D(-x)=D(x), 当 x 是无理数时,-x 也是无理数, 且 D(-x)=0,D(x)=0,即 D(-x)=D(x), 故 D(x)是偶函数,选项 B 正确; 当 x 是有理数时,对于任一非零有理数 a,x+a 是有理数,且 D(x+a)=1=D(x), 当 x 是无理数时,对于任一非零有理数 b,x+b 是无理数, 所以 D(x+b)=D(x)=0,故 D(x)是周期函数,但不存在最小正周期,选项 C 不正确; 由实数的连续性易知,不存在区间 I,使 D(x)在区间 I 上是增函数或减函数,故 D(x)不

是单调函数,选项 D 正确. 4. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3 成等差数列,若 a1=1,则 S4 等于( A.7 答案 C 解析 设等比数列{an}的公比为 q,则由 4a1,2a2,a3 成等差数列,得 4a2=4a1+a3. ∴4a1q=4a1+a1q2.∴q2-4q+4=0. a1?1-q4? ∴q=2,∴S4= =15. 1-q 5. (2012· 陕西)在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 a2+b2=2c2,则 cos C 的最小值为 3 2 A. B. 2 2 答案 C a2+b2-c2 c2 解析 ∵cos C= = , 2ab 2ab 又∵a2+b2≥2ab,∴2ab≤2c2. 1 1 ∴cos C≥ .∴cos C 的最小值为 . 2 2 2 2 x y 6. 若 a>1,则双曲线 2- =1 的离心率 e 的取值范围是 a ?a+1?2 A.(1, 2) C.[ 2, 5] 答案 B c?2 a2+?a+1?2 1?2 1 2 解析 e2=? =1+? ?a? = ?1+a? ,因为当 a>1 时,0<a<1,所以 2<e <5,即 2 a2 <e< 5. π 7. 设函数 f(x)=x3+sin x,若 0≤θ≤ 时,f(mcos θ)+f(1-m)>0 恒成立,则实数 m 的取值范 2 围是 A.(0,1) C.(-∞,1) 答案 C 解析 易知 f(x)为奇函数且为增函数, f(mcos θ)+f(1-m)>0, 即 f(mcos θ)>f(m-1),∴mcos θ>m-1, ? ?m>m-1, π 而 0≤θ≤ 时,cos θ∈[0,1],∴? 得 m<1. 2 ?0>m-1 ? ax-1 bx+1 8. 若不等式 >0 的解集为{x|-1<x<2},则不等式 <0 的解集是 x+b ax+1 ( ) B.(-∞,0) 1? D.? ?-∞,2? ( ) B.( 2, 5) D.( 3, 5) ( 1 C. 2 1 D.- 2 ) B.8 C.15 D.16 )

(

)

1 A.{x| <x<1} 2 1 C.{x|- <x<1} 2 答案 A ax-1 解析 >0?(ax-1)(x+b)>0, x+b

1 B.{x|x< 或 x>2} 2 D.{x|x<-1 或 x>2}

转化为 x1=-1,x2=2 是方程(ax-1)(x+b)=0 的两个根(且 a<0), ? ??-a-1??-1+b?=0 即? ??2a-1??2+b?=0 ?
?a=-1 ? bx+1 -2x+1 1 解得? ,∴ = <0? <x<1.故选 A. 2 ax+1 -x+1 ?b=-2 ?

二、填空题 9. 若关于 x 的方程(2-2 答案 [-1,2)
-|x-2| -|x-2|

)2=2+a 有实根,则实数 a 的取值范围是________.

解析 令 f(x)=(2-2

)2.

要使 f(x)=2+a 有实根, 只需 2+a 是 f(x)的值域内的值. ∵f(x)的值域为[1,4), ∴1≤a+2<4,∴-1≤a<2. 10.已知圆 x2+y2+2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则 ab 的取值范围 是____________. 1 答案 (-∞, ] 4 解析 圆心坐标为(-1,2),因为圆关于直线对称, 所以-2a-2b+2=0 即 a+b-1=0, 1 1 1 ∴ab=a(1-a)=-a2+a=-(a- )2+ ≤ . 2 4 4 11.已知△ABC 的一个内角为 120° ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的面积 为________. 答案 15 3 解析 由于三边长构成公差为 4 的等差数列,故可设三边长分别为 x-4,x,x+4. 由一个内角为 120° 知其必是最长边 x+4 所对的角. 由余弦定理得 (x+4)2=x2+(x-4)2-2x(x-4)cos 120° , ∴2x2-20x=0,∴x=0(舍去)或 x=10. 1 ∴S△ABC= ×(10-4)×10×sin 120° =15 3. 2 12.已知数列{an}是递增数列,且对于任意的 n∈N*,an=n2+λn 恒成立,则实数 λ 的取值范

围是________. 答案 λ>-3 解析 由{an}是递增数列,得 an<an+1 对 n∈N*恒成立,即 n2+λn<(n+1)2+λ(n+1), 整理得 λ>-(2n+1). 而-(2n+1)≤-3,所以 λ>-3. 三、解答题 13.已知函数 f(x)=ax2+ax 和 g(x)=x-a,其中 a∈R,且 a≠0.若函数 f(x)与 g(x)的图象相交 于不同的两点 A、B,O 为坐标原点,试求△OAB 的面积 S 的最大值. 解 依题意,f(x)=g(x),即 ax2+ax=x-a, ①

整理得 ax2+(a-1)x+a=0, ∵a≠0,函数 f(x)与 g(x)的图象相交于不同的两点 A、B, ∴Δ>0,即 Δ=(a-1)2-4a2=-3a2-2a+1=(3a-1)· (-a-1)>0, 1 ∴-1<a< 且 a≠0. 3 设 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1<x2, a-1 由①得 x1x2=1>0,x1+x2=- . a |-a| 设点 O 到直线 g(x)=x-a 的距离为 d,则 d= , 2 |-a| 1 ∴S= 1+12|x1-x2|· 2 2 1 = -3a2-2a+1 2 1? 2 4 1 = -3? ?a+3? +3. 2 1 ∵-1<a< 且 a≠0, 3 1 3 ∴当 a=- 时,S 取得最大值 . 3 3 14.椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,短轴长为 2,离心率为 → → 交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于相异两点 A,B,且AP=3PB. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 m 的取值范围. 解 y2 x2 (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b

2 ,直线 l 与 y 轴 2

设 c>0,c2=a2-b2, c 2 2 由题意,知 2b= 2, = ,所以 a=1,b=c= . a 2 2 x2 故椭圆 C 的方程为 y2+ =1,即 y2+2x2=1. 1 2 (2)设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠0),l 与椭圆 C 的交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),

? ?y=kx+m, 由? 2 2 得(k2+2)x2+2kmx+m2-1=0, ?2x +y =1, ?

Δ=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0,(*) -2km m2-1 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . k +2 k +2 → → 因为AP=3PB,所以-x1=3x2, ? ?x1+x2=-2x2, 所以? 2 ?x1x2=-3x2. ? 所以 3(x1+x2)2+4x1x2=0. m2-1 ?-2km?2+4· 所以 3· =0. ? k2+2 ? k2+2 ? ? 整理得 4k2m2+2m2-k2-2=0, 即 k2(4m2-1)+(2m2-2)=0. 1 当 m2= 时,上式不成立; 4 2-2m2 1 当 m2≠ 时,k2= 2 , 4 4m -1 由(*)式,得 k2>2m2-2, 2-2m2 又 k≠0,所以 k2= 2 >0. 4m -1 1 1 解得-1<m<- 或 <m<1. 2 2 1? ?1 ? 即所求 m 的取值范围为? ?-1,-2?∪?2,1?.


相关文章:
2015届高三数学第一轮复习:常用简易逻辑
2015届高三数学第一轮复习:常用简易逻辑_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015 届高三数学第一轮复习:常用简易逻辑 第一讲:四种命题、充要条件【考纲要求】 1...
高三数学一轮复习第一讲集合的概念与运算
高三数学一轮复习第一讲集合的概念与运算_数学_高中教育_教育专区。2014 届高三第一轮复习讲义 第一讲集合的概念与运算 【课前预习】 一、知识梳理 1、理解集合...
高三数学一轮复习 专题一 第一讲 集合与逻辑用语教案
高三数学一轮复习 专题一 第一讲 集合与逻辑用语教案 隐藏>> 专题一 第一讲 集合与常用逻辑用语 一、集合间的包含与运算关系问题 1、集合间的基本关系 例 1:...
2016届高三文科第一轮复习资料第一讲
2016届高三文科第一轮复习资料第一讲_数学_高中教育_教育专区。2016 届高三文科第一轮复习第一讲资料(函数、集合、复数) 1.函数 f ( x) ? 3x 2 1? x ?...
第一讲:2015年中考数学第一轮复习专题训练(一)
第一讲:2015年中考数学第一轮复习专题训练(一)_数学_初中教育_教育专区。2013 年中考实数专题复习对于实数,中考中重点考查平方根、算术平方根、立方根、无理数、...
高三数学专题讲座复习(高考一轮复习 必修一).doc
高三数学专题讲座复习(高考一轮复习 必修一).doc_数学_高中教育_教育专区。必修...(8-11) 必修一第一讲 集合 1.设集合 P={3,4,5},Q={4,5,6,7},...
2014高三数学一轮复习 第一讲 集合的概念与运算
2014高三数学一轮复习 第一讲 集合的概念与运算_数学_高中教育_教育专区。高三一轮复习基础 第一讲 集合的概念与运算 ? ()元素与集合的关系:属于(?)和不属于...
2013年高三数学一轮复习专题第01讲_集合分析版
2013 年高考数学第一轮复习单元第一讲一.课标要求: 1.集合的含义与表示 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; (2)能选择自然语言、图形...
2015高三数学(文)一轮复习专题讲解【教师用】——函数
2015高三数学(文)一轮复习专题讲解【教师用】——函数_高三数学_数学_高中教育_教育专区。专题一第一节 2 函数 函数的基本概念 A组 -x -3x+4 的定义域为_...
高三数学第一轮复习单元讲座 第01讲 集合教案 新人教版
交流试题 会员交流资料 《新课标》高三数学(人教版)第一轮复习单元讲座 第一讲一.课标要求: 1.集合的含义与表示 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的...
更多相关标签: