当前位置:首页 >> 数学 >>

3.2立体几何中的向量方法


主备人:汪相 课题(专题) :3.2 立体几何中的向量方法 班级 【学习目标】

审核人:叶丐舟
姓名

1. 向量的相关知识:概念、基本运算、建系方法、坐标求法(不定点的坐标) 、平行与垂 直、法向量求法.

sin ? ? cos ? ?

P oP ? n p0 p n

r />.(见第一.3所示图)

2. 向量作为工具解决立几问题的方法

【学习重点难点】
空间向量的坐标表示方法

一 自主学习
一.空间距离的计算 1. 空间两点间的距离:设 A、B 是空间两点,则 A、B 两点间的距离 2. 两条异面直线间的距离:设 a 、 b 是两条异面直线, n 是 a 、 b 的公共法向量(即 ,点 A?a,B?b 则异面直线 a、b 间的距离 n ? a且n ? b )

B

d?

AB ? n n
n

b

d

即 AB在n 方向上的射影长为异面直线 a、b 间的距离。 3.点(或线)到平面的距离: 1)设 n是平面 ?的法向量 ,点Po 是平面 ?外一点,. P 是平面α 内任一点,则 PO 到平面α 的距离 P0

A

a

n
P θ

β

d

d?

Po P ? n n
α

O

先预习后思考,最后才是做题目。

主备人:汪相

审核人:叶丐舟

2)直线与平面(或平面与平面)的距离转化为点到平面的距离。 二.空间角度的计算 1. 两条异面直线所成的角:设 l1 与 l2 两条异面直线, n ∥l1 , m ∥l2,则 l1 与 l2 所成 的角 α =< n , m >或α =л -< n , m > (0<α ≤

? ) 2
? ) 2

cos< n , m >=

n?m n?m



cosα =

n?m n?m

(0<α ≤

2. 斜线 P0P 与平面α 所成的角θ (0 ? ?

? ) 2

?

3.二面角:设相交平面α 与β的法向量分别为 n, m ,则α 与β所成的角的大小为< n, m > 或

? ? ? n, m ? (如何确定?)
B

α C D β A

提出疑惑

二 互动展示
知识点一 用向量方法判定线面位置关系 (1)设 a、b 分别是 l1、l2 的方向向量,判断 l1、l2 的位置关系: ①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3). ②a=(5,0,2),b=(0,4,0). (2)设 u、v 分别是平面 α、β 的法向量,判断 α、β 的位置关系:

先预习后思考,最后才是做题目。

主备人:汪相
①u=(1,-1,2),v=(3,2, ?

审核人:叶丐舟

1 ). 2

②u=(0,3,0),v=(0,-5,0). (3)设 u 是平面 α 的法向量,a 是直线 l 的方向向量,判断直线 l 与 α 的位置关系. ①u=(2,2,-1),a=(-3,4,2). ②u=(0,2,-3),a=(0,-8,12).

知识点二 利用向量方法证明平行问题 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点.求 证:MN∥平面 A1BD.

先预习后思考,最后才是做题目。

主备人:汪相
知识点三 利用向量方法证明垂直问题

审核人:叶丐舟

在正棱锥 P—ABC 中,三条侧棱两两互相垂直,G 是△PAB 的重心,E、F 分别为 BC、PB 上的点,且 BE∶EC=PF∶FB=1∶2. (1)求证:平面 GEF⊥平面 PBC; (2)求证:EG 是 PG 与 BC 的公垂线段.

知识点四 利用向量方法求角 四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PA 与平面 ABCD 所成的角为 60° , 在四边形 ABCD 中,∠D=∠DAB=90° ,AB=4,CD=1,AD=2. (1)建立适当的坐标系,并写出点 B,P 的坐标; (2)求异面直线 PA 与 BC 所成角的余弦值.

正方体 ABEF-DCE′F′中,M、N 分别为 AC、BF 的中点(如图所示), 求平面 MNA 与平面 MNB 所成二面角的余弦值.

先预习后思考,最后才是做题目。

主备人:汪相
知识点五 用向量方法求空间的距离

审核人:叶丐舟

已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC=2,求点 B 到平面 EFG 的距离.

考题赏析
(高考链接)

如图所示,在四棱锥 O—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠ABC= OA⊥底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点. (1)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (2)求点 B 到平面 OCD 的距离.

? , 4

先预习后思考,最后才是做题目。

主备人:汪相

审核人:叶丐舟

1.已知 A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1),则平面 ABC 的一个单位法向量是(

)

3 3 , ,- 3 3 3 3 C. (- , , 3 3
A. (

3 ) 3 3 ) 3

B. (

3 3 3 ,- , ) 3 3 3 3 3 3 D. (- ,- ,- ) 3 3 3

2.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1,E、F 分别是正方形 A1B1C1D1 和 ADD1A1 的中心, 则 EF 和 CD 所成的角是( ) A.60° B.45° C.30° D.90° 3.设 l1 的方向向量 a=(1,2,-2),l2 的方向向量 b=(-2,3,m),若 l1⊥l2,则 m=( ) A.1 B.2 C.

1 2

D.3

4.若两个不同平面 α,β 的法向量分别为 u=(1,2,-1),v=(-3,-6,3),则( ) A.α∥β B.α⊥β C.α,β 相交但不垂直 D.以上均不正确 5.已知 a、b 是异面直线,A、B∈a,C、D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且 AB=2,CD=1, 则 a 与 b 所成的角是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 6.若异面直线 l1、l2 的方向向量分别是 a=(0,-2,-1),b=(2,0,4),则异面直线 l1 与 l2 的夹角的余弦值等于( ) A. ?

2 2 2 5 2 5 B. C.- D. 5 5 5 5

7.已知向量 n=(6,3,4)和直线 l 垂直,点 A(2,0,2)在直线 l 上,则点 P(-4,0,2)到直线 l 的距离为________. 8.平面 α 的法向量为(1,0,-1),平面 β 的法向量为(0,-1,1),则平面 α 与平面 β 所 成二面角的大小为________. 9.已知四面体顶点 A(2,3,1)、B(4,1,-2)、C(6,3,7)和 D(-5,-4,8),则顶点 D 到平 面 ABC 的距离为________.

10. 如图所示, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥平面 ABCD, PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于 F. (1)证明:PA∥平面 BDE; (2)证明:PB⊥平面 DEF.

先预习后思考,最后才是做题目。

主备人:汪相

审核人:叶丐舟

11.如图所示,已知点 P 在正方体 ABCD—A′B′C′D′的对角线 BD′上,∠PDA =60° . (1)求 DP 与 CC′所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA′D′D 所成角的大小. 12. 如图,四边形 ABCD 是菱形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=2,∠BAD=60°. 平面 PBD⊥平面 PAC, (1)求点 A 到平面 PBD 的距离; (2)求异面直线 AB 与 PC 的距离. 13.如图所示,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形, AC = 2a,BB1 = 3a,D 为 A1C1 的中点,在线段 AA1 上是否存在点 F,使 CF⊥平面 B1DF? 若存在,求出| AF |;若不存在,请说明理由. 14.如图(1)所示,已知四边形 ABCD 是上、下底边长分别为 2 和 6,高为 等腰梯形.将它沿对称轴 OO1 折成直二面角,如图(2).

3



(1)证明:AC⊥BO1; (2)求二面角 O—AC—O1 的余弦值.

三 总结拓展
知识小结:

先预习后思考,最后才是做题目。

主备人:汪相

审核人:叶丐舟

例题及作业答案:
知识点一 用向量方法判定线面位置关系 (1)设 a、b 分别是 l1、l2 的方向向量,判断 l1、l2 的位置关系: ①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3). ②a=(5,0,2),b=(0,4,0). (2)设 u、v 分别是平面 α、β 的法向量,判断 α、β 的位置关系: ①u=(1,-1,2),v=(3,2, ?

1 ). 2

②u=(0,3,0),v=(0,-5,0). (3)设 u 是平面 α 的法向量,a 是直线 l 的方向向量,判断直线 l 与 α 的位置关系. ①u=(2,2,-1),a=(-3,4,2). ②u=(0,2,-3),a=(0,-8,12). 解 (1)①∵a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3), ∴a=-

1 b,∴a∥b,∴l1∥l2. 3

②∵a=(5,0,2),b=(0,4,0),∴a· b=0,∴a⊥b,∴l1⊥l2. (2)①∵u=(1,-1,2),v=(3,2, ?

1 ), 2
3 v,∴u∥v,∴α∥β. 5

∴u· v=3-2-1=0,∴u⊥v,∴α⊥β. ②∵u=(0,3,0),v=(0,-5,0),∴u=-

(3)①∵u=(2,2,-1),a=(-3,4,2), ∴u· a=-6+8-2=0,∴u⊥a,∴l?α 或 l∥α. ②∵u=(0,2,-3),a=(0,-8,12), ∴u=-

1 a,∴u∥a,∴l⊥α. 4

知识点二 利用向量方法证明平行问题

如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点.求证:MN∥平面 A1BD. 证明 方法一 如图所示,以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为 1,则可求得

先预习后思考,最后才是做题目。

主备人:汪相

审核人:叶丐舟

M (0,1,

1 1 ),N ( ,1,1), 2 2 1 1 ,0, ) , 2 2

D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0), 于是 MN =(

设平面 A1BD 的法向量是 n=(x,y,z). n=(x,y,z).

DB =0,得 ? 则 n·

? x ? z ? 0, ? x ? y ? 0,

取 x=1,得 y=-1,z=-1.∴n=(1,-1,-1).

1 1 ,0, )· (1,-1,-1)=0, 2 2 1 1 方法二 ∵ MN = C1 N ? C1M ? C 1 B1 ? C 1C 2 2 1 1 ? ( D1 A1 ? D1D) ? DA1 2 2 ∴ MN ∥ DA1 ,又∵MN?平面 A1BD.
又 MN · n= ( ∴MN∥平面 A1BD. 知识点三 利用向量方法证明垂直问题 在正棱锥 P—ABC 中,三条侧棱两两互相垂直,G 是△PAB 的重心,E、F 分别为 BC、PB 上的点,且 BE∶EC=PF∶FB=1∶2. (1)求证:平面 GEF⊥平面 PBC; (2)求证:EG 是 PG 与 BC 的公垂线段. 证明 (1)方法一

如图所示,以三棱锥的顶点 P 为原点,以 PA、PB、PC 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 令 PA=PB=PC=3,则 A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0). 于是 PA =(3,0,0), FG =(3,0,0), 故 PA =3 FG ,∴PA∥FG. 而 PA⊥平面 PBC,∴FG⊥平面 PBC, 又 FG?平面 EFG,∴平面 EFG⊥平面 PBC. 方法二 同方法一,建立空间直角坐标系,则 E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0).

先预习后思考,最后才是做题目。

主备人:汪相
EF =(0,-1,-1), EG =(0,-1,-1), 设平面 EFG 的法向量是 n=(x,y,z),
则有 n⊥ EF ,n⊥ PA , ∴?

审核人:叶丐舟

? y ? z ? 0, 令 y=1,得 z=-1,x=0,即 n=(0,1,-1). ? x ? y ? z ? 0,

而显然 PA =(3,0,0)是平面 PBC 的一个法向量. 这样 n· PA = 0,∴n⊥ PA 即平面 PBC 的法向量与平面 EFG 的法向量互相垂直, ∴平面 EFG⊥平面 PBC. (2)∵ EG =(1, ? 1, ? 1) , PG =(1,1,0) , BC =(0, ? 3,3) , ∴ EG · PG =1 ? 1= 0, EG · BC =3 ? 3 = 0, ∴EG⊥PG,EG⊥BC, ∴EG 是 PG 与 BC 的公垂线段. 知识点四 利用向量方法求角 四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PA 与平面 ABCD 所成的角为 60° , 在四边形 ABCD 中,∠D=∠DAB=90° ,AB=4,CD=1,AD=2. (1)建立适当的坐标系,并写出点 B,P 的坐标; (2)求异面直线 PA 与 BC 所成角的余弦值.

解 (1)如图所示,以 D 为原点,射线 DA,DC,DP 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向, 建立空间直角坐标系 D—xyz, ∵∠D=∠DAB=90° ,AB=4,CD=1,AD=2, ∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0). 由 PD⊥面 ABCD 得∠PAD 为 PA 与平面 ABCD 所成的角. ∴∠PAD=60° . 在 Rt△PAD 中,由 AD=2,得 PD=2 3 . ∴P(0,0,2 3 ). (2)∵ PA =(2,0,-2 3 ), BC =( ? 2, ? 3,0) ∴ cos〈 PA , BC 〉=

PA ? BC PA BC

??

13 13

∴PA 与 BC 所成角的余弦值为

13 . 13

正方体 ABEF-DCE′F′中,M、N 分别为 AC、BF 的中点(如图所示),求 平面 MNA 与平面 MNB 所成二面角的余弦值.

先预习后思考,最后才是做题目。

主备人:汪相

审核人:叶丐舟

解 取 MN 的中点 G,连结 BG,设正方体棱长为 1. 方法一 ∵△AMN,△BMN 为等腰三角形, ∴AG⊥MN,BG⊥MN. ∴∠AGB 为二面角的平面角或其补角. ∵AG=BG=

6 , 4 AB ? AG ? GB, ,设〈 AG , GB 〉=θ ,

AB 2= AG 2+2 AG · GB + GB 2, 6 2 6 6 6 2 ∴1=( ) +2× × cosθ+( ). 4 4 4 4 1 1 ∴cosθ= ,故所求二面角的余弦值为 . 3 3

方法二 以 B 为坐标原点,BA,BE,BC 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系 B-xyz

1 1 1 1 ,0, ),N ( , ,0), 2 2 2 2 1 1 1 中点 G( , , ), 2 4 4
则 M( A(1,0,0),B(0,0,0), 由方法一知∠AGB 为二面角的平面角或其补角.

1 1 1 1 1 1 ,- ,- ), GB =( ,- ,- ), 2 4 4 2 4 4 1 ? GA ? GB 8 ? ?1 , ∴ cos< GA , GB >= = 3 3 3 GA GB ? 8 8 1 故所求二面角的余弦值为 . 3
∴ GA =( 方法三 建立如方法二的坐标系, ∴?

? ? AM ? n1 ? 0, ? ? AN ? n1 ? 0,

先预习后思考,最后才是做题目。

主备人:汪相
1 ? 1 ? x ? z ? 0, ? ? 2 2 即? 取 n1=(1,1,1). ?? 1 x ? 1 y ? 0, ? ? 2 2
同理可求得平面 BMN 的法向量 n2=(1,-1,-1). ∴cos〈n1,n2〉=

审核人:叶丐舟

n1 ? n2 n1 n2
1 3

?

?1 1 ?? , 3 3? 3

故所求二面角的余弦值为

知识点五 用向量方法求空间的距离 已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC=2,求点 B 到平面 EFG 的距离. 解

如图所示,以 C 为原点,CB、CD、CG 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标 系 C-xyz. 由题意知 C(0,0,0),A(4,4,0), B(4,0,0),D(0,4,0),E(4,2,0), F(2,4,0),G(0,0,2).

BE =(0,2,0), BF =(-2,4,0), 设向量 BM ⊥平面 GEF,垂足为 M,则 M、G、E、F 四点共面, 故存在实数 x,y,z,使 BM = x BE + y BF + z BG , 即 BM = x(0,2,0)+y( ? 2,4,0)+z( ? 4,0,2) =( ? 2y ? 4z,2x+4y,2z). 由 BM⊥平面 GEF,得 BM ⊥ GE , BM ⊥ EF , EF =0, GE =0, BM · 于是 BM · ?(?2 y ? 4 x, 2 x ? 4 y, 2 z) ? (4, 2, ?2) ? 0, 即? ?(?2 y ? 4 z, 2 x ? 4 y, 2 z) ? (?2, 2,0) ? 0, 15 ? ? x ? 11 , ? x ? 5 z ? 0, ? 7 ? ? 即 ? x ? 3 y ? 2 z ? 0, ,解得 ? y ? ? , 11 ? x ? y ? z ? 1, ? ? 3 ? ? z ? 11 , ?
∴ BM =(-2y-4z,2x+4y,2z)= ?

?2 2 6? , , ? ? 11 11 11 ?

先预习后思考,最后才是做题目。

主备人:汪相
2 2 6 2 11 ( )2 ? ( )2 ? ( )2 ? 11 11 11 11 2 11 即点 B 到平面 GEF 的距离为 . 11
∴| BM |=

审核人:叶丐舟

考题赏析
(安徽高考)

如图所示,在四棱锥 O—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠ABC=

? , 4

OA⊥底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点. (1)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (2)求点 B 到平面 OCD 的距离. 解 作 AP⊥CD 于点 P.如图,分别以 AB、AP、AO 所在直线为 x、y、z 轴建立平面直 角坐标系.

A(0,0,0),B(1,0,0), P (0,

2 2 2 ,0),D (- , ,0), 2 2 2

O(0,0,2),M(0,0,1). (1)设 AB 与 MD 所成角为 θ, ∵ AB =(1,0,0),

MD = (-

2 2 , ,-1), 2 2

先预习后思考,最后才是做题目。

主备人:汪相
∴cos ? =

审核人:叶丐舟

AB ? MD AG ? MD

?

1 2

.∴θ=

? . 3

∴AB 与 MD 所成角的大小为 (2)∵ OP =(0,

? . 3

2 2 2 , ?2 ) , OD =( ? , , ? 2 ), 2 2 2

∴设平面 OCD 的法向量为 n = ( x, y , z ),则 n· OP =0, n· OD = 0.

? 2 y ? 2 z ? 0, ? ? 2 得? ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, ? ? 2 2 取 z= 2 ,解得 n = (0,4, 2 ).设点 B 到平面 OCD 的距离为 d, 则 d 为 OB 在向量 n 上的投影的绝对值.
∵ OB =(1,0, ? 2) ,∴d= ∴点 B 到平面 OCD 的距离为

OB ? n n

?

2 , 3

2 , 3

1.已知 A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1),则平面 ABC 的一个单位法向量是(

)

3 3 , ,- 3 3 3 3 C. (- , , 3 3
A. ( 答案 D

3 ) 3 3 ) 3

B. (

3 3 3 ,- , ) 3 3 3 3 3 3 D. (- ,- ,- ) 3 3 3

AB =(-1,1,0),是平面 OAC 的一个法向量. AC =(-1,0,1), BC =(0,-1,1)
设平面 ABC 的一个法向量为 n=(x,y,z) ∴?

?? x ? y ? 0, ?? x ? z ? 0,

令 x=1,则 y=1,z=1 ∴n=(1,1,1) 单位法向量为: ?

3 3 3 n =±( , , ). 3 3 3 n

先预习后思考,最后才是做题目。

主备人:汪相

审核人:叶丐舟

2.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1,E、F 分别是正方形 A1B1C1D1 和 ADD1A1 的中心, 则 EF 和 CD 所成的角是( ) A.60° B.45° C.30° D.90° 答案 B 3.设 l1 的方向向量 a=(1,2,-2),l2 的方向向量 b=(-2,3,m),若 l1⊥l2,则 m=( ) A.1 B.2 C.

1 2

D.3

答案 B 解析 因 l1⊥l2,所以 a· b=0,则有 1×(-2)+2×3+(-2)×m=0, ∴2m=6-2=4,即 m=2. 4.若两个不同平面 α,β 的法向量分别为 u=(1,2,-1),v=(-3,-6,3),则( ) A.α∥β B.α⊥β C.α,β 相交但不垂直 D.以上均不正确 答案 A 解析 因 v=-3u,∴v∥u. 故 α∥β. 5.已知 a、b 是异面直线,A、B∈a,C、D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且 AB=2,CD=1, 则 a 与 b 所成的角是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案 C 解析 设〈 AB ,CD 〉=θ , AB ·CD =( AC + CD + DB ·CD = | CD |2= 1, cos θ =

AB ? CD

1 ? ,所以θ =60° AB CD 2

6.若异面直线 l1、l2 的方向向量分别是 a=(0,-2,-1),b=(2,0,4),则异面直线 l1 与 l2 的夹角的余弦值等于( ) A. ?

2 2 2 5 B. C.- D. 5 5 5

2 5 答案 B 5
解析 设异面直线 l1 与 l2 的夹角为 θ, 则 cosθ=

a ?b a?b

?

(?1) ? 4 5 ? 4 ? 16

?

4 2?5

7.已知向量 n=(6,3,4)和直线 l 垂直,点 A(2,0,2)在直线 l 上,则点 P(-4,0,2)到直线 l 的距离为________.

36 61 , 61 解析 PA =(6,0,0) ,因为点 A 在直线 l 上, n 与 l 垂直,所以点 P 到直线 l 的距
答案

PA ? n
离为

62 ? 32 ? 42

?

36 36 61 ? 61 61

8.平面 α 的法向量为(1,0,-1),平面 β 的法向量为(0,-1,1),则平面 α 与平面 β 所 成二面角的大小为________. 答案

? 2? 或 , 3 3

先预习后思考,最后才是做题目。

主备人:汪相
解析 设 n1=(1,0,-1),n2=(0,-1,1) 则 cos〈n1,n2〉= 〈n1,n2〉=

审核人:叶丐舟

2? .因平面 α 与平面 β 所成的角与〈n1,n2〉相等或互补,所以 α 与 β 3 ? 2? 所成的角为 或 . 3 3
9.已知四面体顶点 A(2,3,1)、B(4,1,-2)、C(6,3,7)和 D(-5,-4,8),则顶点 D 到平 面 ABC 的距离为________. 答案 11 解析 设平面 ABC 的一个法向量为 n =(x,y,z) 则?

1? 0 ? 0 ? (?1) ? (?1) ?1 1 ?? 2 2? 2

? ?n ? AB ? 0,

? ?n ? AC ? 0, ? ?? x, y, z ? ? (2, ?2, ?3) ? 0, ? ? ?? x, y, z ? ? (4, 0, 6) ? 0, ? y ? 2 x, ?2 x ? 2 y ? 3z ? 0, ? ?? 2 ? z ? ? x, ?4 x ? 6 z ? 0, ? 3 ?

令 x=1,

2 ), AD =( ? 7, ? 7,7) 3 14 AD ? n ?7 ? 14 ? 3 77 3 故所求距离为 ? ? ? ? 11 , 3 7 n 4 1? 4 ? 9
则 n = (1,2, ?

10. 如图所示, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥平面 ABCD, PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于 F. (1)证明:PA∥平面 BDE; (2)证明:PB⊥平面 DEF. 证明 (1)如图建立空间直角坐标系,

设 DC=a,AC∩BD=G,连结 EG,则 A(a,0,0),P(0,0,a),C(0,a,0),E (0,

a a a a , ),G ( , ,0). 2 2 2 2

先预习后思考,最后才是做题目。

主备人:汪相
于是 PA =(a,0, ? a) , EG =( ∴ PA = 2 EG ,∴PA∥EG. 又 EG ? 平面 DEB.PA ? 平面 DEB. ∴PA∥平面 DEB. (2)由 B(a,a,0),得 PB =(a, a, ? a),

审核人:叶丐舟

a a ,0, ? ), 2 2

a a , ), 2 2 a2 a2 ? ? 0, ∵ PB · DE = 2 2
又 DE =(0, ∴PB⊥DE. 又 EF⊥PB,EF∩DE=E,∴PB⊥平面 EFD. 11.如图所示,已知点 P 在正方体 ABCD—A′B′C′D′的对角线 BD′上,∠PDA =60° .

(1)求 DP 与 CC′所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA′D′D 所成角的大小. 解

如图所示,以 D 为原点,DA 为单位长度建立空间直角坐标系 D—xyz. 则 DA =(1,0,0) , CC ' = (0,0,1). 连结 BD,B′D′. 在平面 BB′D′D 中, 延长 DP 交 B′D′于 H. 设 DH = (m,m,1) (m>0),由已知〈 DH , DA 〉= 60° , 由 DA · DH = | DA || DH |cos〈 DH , DA 〉, 可得 2m = 2m2 ?1 解得 m =

2 2 2 ,所以 DH =( , ,1), 2 2 2

先预习后思考,最后才是做题目。

主备人:汪相

审核人:叶丐舟

(1) 因为 cos〈 DH , CC ' 〉=

2 2 ?0? ? 0 ? 1? 1 2 2 2 ? 2 1? 2

(2) 所以〈 DH , CC ' 〉= 45° , 即 DP 与 CC′所成的角为 45° . (2)平面 AA′D′D 的一个法向量是 DC = (0,1,0).

因为 cos〈 DH , DC 〉=

2 2 ?0? ? 0 ? 1? 1 2 2 2 ? 2 1? 2

所以〈 DH , DC 〉= 60°, 可得 DP 与平面 AA′D′D 所成的角为 30° . 12. 如图,四边形 ABCD 是菱形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=2,∠BAD=60°. 平面 PBD⊥平面 PAC, (1)求点 A 到平面 PBD 的距离; (2)求异面直线 AB 与 PC 的距离. (1)解 以 AC、BD 的交点为坐标原点,以 AC、BD 所在直线为 x 轴、y 轴建立如图所 示的空间直角坐标系,则 A(3,0,0) ,B(0,1,0) ,C( ?3 ,0,0) ,D(0, ? 1,0) , P(3,0,2). 设平面 PBD 的一个法向量为 n1=(1,y1,z1). 由 n1⊥ OB , n1⊥ OP ,可得 n1=(1,0, ?

3 ). 2

(1) OA =( 3 ,0,0) ,点 A 到平面 PBD 的距离,

d?

OA ? n1 n1

?

2 21 , 7

13.如图所示,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形, AC = 2a,BB1 = 3a,D 为 A1C1 的中点,在线段 AA1 上是否存在点 F,使 CF⊥平面 B1DF? 若存在,求出| AF |;若不存在,请说明理由. 解 以 B 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 B-xyz. 假设存在点 F,使 CF⊥平面 B1DF, 并设 AF =λ AA1 =λ(0,0,3a)=(0,0,3λa) (0<λ<1) , ∵D 为 A1C1 的中点, ∴D(

2 2 a, a ,3a) 2 2 2 2 2 2 B1D = ( a, a ,3a)-(0,0,3a)= ( a, a , 0), 2 2 2 2 B1F ? B1B ? BA ? AF = (0,0, ?3a) ? ( 2a,0,0) ? (0,0,3?a)

∵CF⊥平面 B1DF, ∴CF⊥ B1D , CF ⊥ B1F ,

先预习后思考,最后才是做题目。

主备人:汪相
? ?CF ? B1D ? 0, ? ? ?CF ? B1F ? 0,
即?

审核人:叶丐舟

?3? a ? 0 ? 0,

2 ?9? ? 9? ? 2 ? 0, 2 1 解得 λ= 或 λ= 3 3

∴存在点 F 使 CF⊥面 B1DF,且

1 1 时,| AF |= ,| AA1 | = a 3 3 2 2 当λ= ,| AF | = ,| AA1 | = 2a. 3 3
当λ= 14.如图(1)所示,已知四边形 ABCD 是上、下底边长分别为 2 和 6,高为 的等腰梯形.将它沿对称轴 OO1 折成直二面角,如图(2). eq \r(3)

(1)证明:AC⊥BO1; (2)求二面角 O—AC—O1 的余弦值. (1)证明 由题设知 OA⊥OO1,OB⊥OO1. 所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角,即 OA⊥OB. 故以 O 为原点,OA、OB、OO1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如 图所示,则相关各点的坐标是 A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,1,

3 )、O1(0,0,

3 ).

AC · BO1 =-3+ 3 · 3 =0. 所以 AC⊥BO1.
(2)解 因为 BO1 · OC = ?3 + 3 · 3 =0. 所以 BO1⊥OC.由(1)AC⊥BO1,所以 BO1⊥平面 OAC,

BO1 是平面 OAC 的一个法向量.
设 n=(x,y,z)是平面 O1AC 的一个法向量, 由?

? ? n ? AC ? 0,

? ??3x ? y ? 3z ? 0, ?? ? ? ? y ? 0, ? n ? O1C ? 0,

取 z=

3,

得 n=(1,0, 3 ). 设二面角 O-AC-O1 的大小为θ,由 n 、 BO1 的方向可知θ =〈n, BO1 〉 , 所以 cosθ = cos〈n , BO1 〉=

n ? BO1 n BO1

?

3 4

即二面角 O—AC—O1 的余弦值是

3 . 4

先预习后思考,最后才是做题目。

主备人:汪相

审核人:叶丐舟

先预习后思考,最后才是做题目。


相关文章:
选修2-1教案 3.2立体几何中的向量方法
§3.2 立体几何中的向量方法(二) 教学要求:向量运算在几何证明与计算中的应用.掌握利用向量运算解几何题的方法,并能 解简单的立体几何问题. 教学重点:向量运算...
【教案】3.2立体几何中的向量方法
【教案】3.2立体几何中的向量方法_数学_高中教育_教育专区。3.2.2 向量法解决空间角问题(习题课) (1) 、三维目标 1.知识与能力:向量运算在几何计算中的应用...
3.2立体几何中的向量方法
3.2立体几何中的向量方法_数学_高中教育_教育专区。3.2 立体几何中的向量方法教学目标: 1. 掌握好向量的相关知识:概念、基本运算、建系方法、坐标求法(不定点...
3.2立体几何中的向量方法
3.2立体几何中的向量方法_数学_高中教育_教育专区。主备人:汪相 课题(专题) :3.2 立体几何中的向量方法 班级 【学习目标】 审核人:叶丐舟姓名 1. 向量的...
3.2 立体几何中的向量方法(1)
3.2 立体几何中的向量方法(1)_数学_高中教育_教育专区。3.2 立体几何中的向量方法(1)班别:___ 组别:___ 姓名:___ 评价:___【学习目标】 (1)掌握平...
3.2立体几何中的向量方法(1)
3.2立体几何中的向量方法(1)_数学_高中教育_教育专区。§3.2 立体几何中的向量方法(1)学校___班级 一、选择题 1 ? 1.若平面 α、β 的法向量分别为 a...
3.2立体几何中的向量方法(1)
3.2立体几何中的向量方法(1)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 3.2立体几何中的向量方法(1)_数学_高中教育_教育专区。3.2 立体...
3.2立体几何中的向量方法2
3.2立体几何中的向量方法2_数学_高中教育_教育专区。高二年级数学选修 2-1 《...已知 AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 17,则该二面角的大小为( ) A.150° B.45...
选修2-1 3.2立体几何中的向量方法(一)
选修2-1 3.2 立体几何中的向量方法(一) 一、选择题 1、已知线段 AB 的两端点的坐标为 A(9,-3,4),B(9,2,1),则与线段 AB 平行的坐标平面是( A....
更多相关标签:
中信证券 | 立体几何中的向量方法 | 立体几何的向量方法 | 立体几何向量方法 | 立体几何向量方法评课 | 空间向量与立体几何 | 向量法解立体几何 | 立体几何向量法 |