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天津市河西区2016年高中学业水平测试数学模拟试卷


天津市河西区 2016 年高中学业水平测试模拟试卷





本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 100 分,考试用时 90 分 钟。第Ⅰ卷 1 至 4 页,第Ⅱ卷 5 至 8 页。 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用 条形码。答题时,务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷
注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 2.本卷共 20 题,共 45 分。其中第(1)~(15)题每小题 2 分;第(16)~(20) 题每小题 3 分。 参考公式:

? 柱体的体积公式 V柱体 ? Sh ,其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高.

1 ? 锥体的体积公式 V锥体 ? Sh ,其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高. 3 4 ? 球的体积公式 V球 ? ?R 3 ,其中 R 表示球的半径. 3
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设全集 U ? {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8} , M ? {1 , 3 , 5 , 7 }, N ? {5 , 6 , 7 }, 则 CU (M ? N ) = (A) {5 , 7 }, (2)函数 y ? 3 sin( ? (A) (B) { 2 , 4} (C) { 2 , 4 , 8} (D) {1 , 3 , 5 , 6 , 7 }

x ? ) 的最小正周期是 2 4
(B) ? (C) 2? (D) 4?

?
2

(3)已知复数 z1 ? 3 ? i , z2 ? 1 ? i , z1 是 z1 的共轭复数,则 (A) 1 ? i (B) 1 ? i (C) 2 ? i

z1 ? z2

(D) 2 ? i

(4)已知平面向量 a= (1 , x ) ,b= ( ?1 , x ) ,若 2a-b 与 b 垂直,则∣a∣= (A) 3 (B) 2 (C) 2 (D) 4

(5)命题“ ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否定是 (A) ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 (C) ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 (B) ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 (D) ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 3 ? 0

(6)在等比数列 {a n } 中,若公比 q ? 4 , S3 ? 21 ,则该数列的通项公式 an ? (A) 4 n ?1 (7)椭圆 (B) 4 n (C) 3 n (D) 3 n ?1

y2 x2 ? ? 1 的焦点坐标为 16 9
(B) ( 7 , 0) 或 (? 7 , 0) (D) (5 , 0) 或 ( ?5 , 0)

(A) ( 0 , 5) 或 ( 0 , ? 5) (C) ( 0 , 7 ) 或 ( 0 , ? 7 ) (8)双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的渐近线方程为 4 x (A) y ? ? (B) y ? ? x 2

(C) y ? ?2 x

(D) y ? ?4 x

(9)抛物线 x 2 ? 2 py 的焦点为 F ( 0 , 2) ,则 p 的值为 (A) ? 2 (B) 2 (C) ? 4 (D) 4

(10) 下列函数 f ( x) 中, 满足 “对任意 x1 、x2 ? (0 ,? ?) , 当 x1 ? x2 时, 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ” 的是 (A) f ( x) ? ( x ? 1) 2 (B) f ( x) ? e x (C) f ( x) ?

1 (D) f ( x) ? ln(x ? 1) x

(11)若直线 l1 : 2mx ? y ? 6 ? 0 和 l 2 : (m ? 3) x ? y ? 7 ? 0 互相平行,则 m 的值为 (A) ? 1 (B)1 (C) ? 1 或 1 (D)3

(12)若函数 y ? f ( x) 的图象上每个点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,然后 将图象上所有的点沿 x 轴向左平移

?
2

个单位,沿 y 轴向下平移 1 个单位,得到函数

1 y ? sin x 的图象,则 y ? f ( x) 为 2

1 ? sin(2 x ? ) ? 1 2 2 1 ? (C) y ? sin(2 x ? ) ? 1 2 4
(A) y ?

1 ? sin(2 x ? ) ? 1 2 2 1 1 ? (D) y ? sin( x ? ) ? 1 2 2 4
(B) y ?

(13)如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的 等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积是

4 3 ? 3 1 (B) ? 2 3 ? (C) 3 3 ? (D) 6
(A)

(第 13 题)

(14)已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (0 , ? ?) 时, f ( x) ? log2 x ,在 f (?8) ? (A)3 (B)

1 3

(C) ?

1 3

(D) ? 3

(15)从 [ 0 , 10] 中任取一个数 x ,从 [ 0 , 6 ] 中任取一个数 y ,则使 x ? 5 ? y ? 3 ? 4 的概 率为 (A)

1 2

(B)

5 9

(C)

2 3

(D)

5 12

(16)从标有数字 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片中任取 2 张,则这 2 张卡片上的数字之积 为 6 的概率为 (A)

1 5

(B)

1 15

(C)

2 15

(D)

1 3

(17)已知 a ? 21.2 , b ? ( ) ?0.8 , c ? 2 log5 2 ,则 a , b , c 的大小关系为 (A) c ? b ? a (B) c ? a ? b (C) b ? a ? c (D) b ? c ? a

1 2

(18)设 l 是直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列结论正确的是 (A)若 l ∥ ? , l ∥ ? ,则 ? ∥ ? (B)若 l ∥ ? , l ? ? ,则 ? ? ?

(C) ? ? ? , l ? ? ,则 l ? ?

(D)若 ? ? ? , l ∥ ? ,则 l ? ?

(19)如图,正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1 ? 2 AB , 则异面直线 A1 B 与 AD1 所成角的余弦值为

D1 A1 B1

C1

1 5 3 (C) 5
(A) (20)给出下列四个命题:

2 5 4 (D) 5
(B)

D A
B
(第 19 题)

C

①某班级一共有 52 名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本,已知 7 号、33 号、46 号同学在样本中,那么样本中另一位同学的编号为 23;②一 组数据 1,2,3,3,4,5 的平均数、众数、中位数都相同; ③一组数据 a ,0,1,2,3,若该组数据的平均值为 1,则样本的标准差为 2; ④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为 y ? a ? bx 中,

b ? 2 , x ? 1 , y ? 3 ,则 a ? 1 .其中真命题为
(A)①②④ (B)②④ (C)②③④ (D)③④

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第 Ⅱ卷
注意事项: 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2. 本卷共 9 题,共 55 分。 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 3 分,共 15 分. (21)已知 a ? (1 , 2) ,b ? (4 , 2) ,设 a 与 b 的夹角为 ? ,则 cos ? ? (22)函数 f ( x) ? x ? .

1 ( x ? 2) 的最小值是 x?2

.

?x ? y ? 4 ? 0 ? (23)已知实数 x 、 y 满足不等式组 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? y?4?0 ?
(24)当 n ? 5 时,执行如图所示的程序框图, , 输出的 S 值等于 .
开始 输入 n

.



i ? 1, P ? 2, S ? 0 m ?1, S ?1


m?n


输出 S

S ?S?m m ? m ?1

结束

(第 24 题) (25)如图,在离地面高 200 m 的热气球上, 观测到山顶 C 处的仰角为 15°、山脚 A 处的俯 角为 45°,已知 ?BAC ? 60? ,则山的高度

BC 为

m.
(第 25 题)

三、解答题:本大题共 4 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (26) (本小题满分 8 分) 已知在递增等差数列 {a n } 中, a3 ? 1 , a 4 是 a3 和 a 7 的等比中项. (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,求该数列的前 10 项的和 S10 的值.

(27) (本小题满分 10 分) 已知 sin? ?

? 4 ,? ?( ,? ) . 2 5

(Ⅰ)求 sin(? ?

?
6

) 的值;

(Ⅱ)求 tan 2? 的值.

(28) (本小题满分 10 分) 已知圆 C 经过点 A( 2 , 0) , B (1 , ? 3 ) ,且圆心在直线 y ? x 上. (Ⅰ) 求圆 C 的方程;

(Ⅱ)过点 (1 ,

3 ) 的直线 l 截圆所得弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程. 3

(29) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? x3 ?

1 3

a 2 x ? 2 x(a ? R ) . 2

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在点 P ( 2 , f ( 2)) 处的切线的斜率为 ? 4 ,求 a 的值; (Ⅱ)当 a ? 3 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若过点 ( 0 , ? ) 可作函数 y ? f ( x) 图象的三条不同切线,求实数 a 的取值范 围.

1 3

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数学参考解答
评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题:本大题共 20 小题,其中第(1)~(15)题每小题 2 分;第(16)~(20) 题每小题 3 分,共 45 分. (1) C (6) A (11)B (16)C (2) D (7) C (12)B (17)A (3) D (8) A (13)D (18)B (4) C (9) D (14)D (19)D (5) C (10)C (15)A (20)B

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分. (21)

4 5

(22)4

(23)6

(24)11

(25)300

三、解答题:本大题共 4 小题,共 40 分. (26) (本小题满分 8 分) (Ⅰ)解:在递增等差数列 {a n } 中,设公差 d ? 0 ,

a1 ? 2d ? 1 ? ?a ? ?3 由题意, ? ,解得 ? 1 , 2 ? d ?2 ?(a1 ? 3d ) ? a1 ? 6d
所以数列 {a n } 的通项公式为 an ? 2n ? 5 . (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知, S10 ? 10 ? (?3) ? (27) (本小题满分 10 分) ????4 分

10 ? 9 ? 2 ? 60 . 2

????8 分

? 4 3 , ? ? ( , ? ) ,所以 cos ? ? ? , 2 5 5 3 1 4 3 ?3 ? ? cos ? ? ? 所以 sin(? ? ) ? sin? ? , 2 2 10 6 4 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 tan ? ? ? , 3 24 2 tan ? 所以 tan 2? ? . ? 2 7 1 ? tan ?
(Ⅰ)解:因为 sin? ? (28) (本小题满分 10 分) (Ⅰ)解: AB 的中点坐标为 ( , ?

????2 分 ????5 分 ????6 分 ????10 分

3 2

3 ) ,直线 AB 的斜率为 3 , 2

可得 AB 的垂直平分线方程为 2 3x ? 6 y ? 0 ,与直线 y ? x 的交点为 ( 0 ,0) ,即圆心坐标为

( 0 , 0) ,半径为 2,
所以圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 . (Ⅱ)解:当直线 l 的斜率存在时,设斜率为 k , 因为直线 l 过点 (1 , ????5 分

3 3 3 ) ,所以直线 l 的方程为 y ? ? k ( x ? 1) ,即 y ? kx ? ?k, 3 3 3

则圆心到直线的距离 d ?

3 ?k 3 1? k 2

,由垂径定理,

(

3 ?k 3 1? k 2

) 2 ? ( 3) 2 ? 22 ,解得 k ? ?

3 , 3
????8 分

则直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 , 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? 1 ,满足题意, 所以直线 l 的方程为 x ? 1 或 x ? 3 y ? 2 ? 0 .

????10 分

(29) (本小题满分 12 分) (Ⅰ)解: f ' ( x) ? ? x 2 ? ax ? 2 , 因为函数 f ( x) 在点 P ( 2 , f ( 2)) 处的切线的斜率为 ? 4 , 所以 ? 4 ? 2a ? 2 ? ?4 ,解得 a ? 1 . (Ⅱ)解:当 a ? 3 时, f ' ( x) ? ? x 2 ? 3x ? 2 ? ?( x ? 1)( x ? 2) , 当 1 ? x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; 当 x ? 1 或 x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减, 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 (1 , 2) , 单调递减区间为 (?? , 1) 和 ( 2 , ? ?) . (Ⅲ)解:设点 A(t , ? t 3 ? ????7 分 ????3 分

1 3

a 2 t ? 2t ) 是函数 f ( x) 图象上的切点,则过点 A 的切线斜率 2
????8 分

k ? ?t 2 ? at ? 2 ,
所以过点 A 的切线方程为 y ? t 3 ? t 2 ? 2t ? (?t 2 ? at ? 2)( x ? t ) , 因为点 ( 0 , ? ) 在该切线上,

1 3

a 2

1 3

1 1 a 3 3 2 2 1 1 即 t 3 ? at 2 ? ? 0 , 3 2 3 1 若过点 ( 0 , ? ) 可作函数 y ? f ( x) 图象的三条不同切线, 3 2 3 1 2 1 则方程 t ? at ? ? 0 有三个不同的实数根, ????9 分 3 2 3 2 1 1 令 g (t ) ? t 3 ? at 2 ? ,则函数 y ? g (t ) 的图象与 x 轴有三个不同的交点, 3 2 3 a g ' (t ) ? 2t 2 ? at ? 0 ,解得 t ? 0 或 t ? , 2 1 a 1 1 因为 g (0) ? , g ( ) ? ? a3 ? , 3 2 24 3 a 1 1 所以令 g ( ) ? ? a3 ? ? 0 ,即 a ? 2 , 2 24 3
所以 ? ? t 3 ? t 2 ? 2t ? (?t 2 ? at ? 2)(0 ? t ) , 所以实数 a 的取值范围是 ( 2 , ? ?) . ????12 分


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