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铜陵市2016高三一模数学试卷理


铜陵市 2016 届高中毕业班第一次教学质量检测

高三理科数学试题
注意事项: 1. 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. (1)复数
2?i 在复平面内对应的点在( 1? i

) (D)第四象限

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (2)下列结论错误的是( ) (A)命题“若 p ,则 ?q ”与命题“若 q ,则 ?p ”互为逆否命题

(B)命题 p : ?x ? [0,1], e x ? 1 ,命题 q : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 p ? q 为真 (C)“若 am 2 ? bm 2 ,则 a ? b ”为真命题 (D) 若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题 (3) (2x ?

x ) 4 的展开式中 x 3 的系数是(



(A) 6 (B) 12 (C) 24 (D) 48 (4)设 a , b 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列四个命题中,正确命题的 个数是( ) ①若 a ? b, a ? ? , 则 b P ? ; ②若 a ? ? , ? ? ? , 则 a P ? ; ③若 a ? ? , ? ? ? , 则 a P ? ;④若 a P b, a P ? , b P ? , 则 ? P ? . (A)3 (B)2 (C)1 (D) 0 2 (5) △ABC 中, tan A , tan B 是方程 6 x ? 5 x ? 1 ? 0 的两根,则 tan C ? ( ) (A) ?1 (B) 1 (C) ?
5 7

(D)

5 7

1 1 1 (6)要计算 1 ? ? ? L ? 的结果,下面的程序框图中的横线上可以填( 2 3 2016

) 结束

开始

S ?0

n ?1 n ? n ?1

_____



输出 S


S ? S ?1/ n
1

(A) n ? 2016? (B) n ? 2016? (C ) n ? 2016? (D) n ? 2016? (7)某几何体的三视图如图所示,则其表面积为( )
正视图
1 1

3

侧视图(左)

俯视图

第(7)题图

(A) (C)

17? 2 19? 2

(B) 9? (D) 10?

(8)点 P 是圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 上任一点,则点 P 到 直线 x ? y ? 1 ? 0 距离的最大值为( (A) 2 (C) 3 2 (B) 2 2 (D) 2 ? 2 2 )

? (9)函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ( x ? R ) (? ? 0, ? ? ) 的部分图 2

? 2? 象如图所示,如果 x1 , x2 ? ( , ) ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 6 3
f ( x1 ? x2 ) ? ( ▲ )

y
1 (B) ? 2

3 (A) ? 2
1 (C) 2

1
O
? 6
2? 3

x

(D)

3 2

第(8)题图 )

2 2 ? x0 (10)设 P( x0 , y0 ) 是函数 f ( x) 图象上任意一点, 且 y0 ,则 f ( x) 的解析式可以是 (

(A) f ( x) ? x ?

1 4 (B) f ( x) ? e x ? 1 (C) f ( x) ? x ? (D) f ( x) ? tan x x x

(11)7 人站成两排队列,前排 3 人,后排 4 人,现将甲、乙、丙三人加入队列,前排加一 人,后排加两人,其他人保持相对位置不变,则不同的加入方法种数为( ) (A)120 (B)240 (C)360 (D)480 (12)已知函数 f ( x) ? ?
? x 2 ? 4 x, x ? 0 ? x ln x, x ? 0

, g ( x) ? kx ? 1 ,若方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 在 x ? (?2, 2) 有三 )
3 (C) ( , 2) 2 3 (D) (1,ln 2 e ) U ( , 2) 2

个实根,则实数 k 的取值范围为( (A) (1, ln 2 e )
3 (B) (ln 2 e , ) 2

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都 必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13)已知抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点是双曲线
x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点,则双曲线的渐近线方程 8 p

为_____. (14)已知 f ( x) 是 R 上的奇函数, f (1) ? 1 ,且对任意 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 成立, 则 f (2015) ? f (2016) ? _____.

(15)已知 a ? 1 , b ? 2 , a ? b ? b ? 3 , a ? b 与 a 的夹角为 ? ,则 cos? ? _____. (16)在 △ABC 中,已知 AB ? 8 , BC ? 7 , cos(C ? A) ?
13 ,则 △ABC 的面积为_____. 14

r

r

?

r

r

?

r

r

r

r

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ?1 ,数列 {bn } 满足 bn ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
1 ?n . (n ? 1) log 2 an

(18)(本小题满分 12 分) 2015 年 12 月 6 日宁安高铁正式通车后,极大地方便了沿线群众的出行生活.小明与小 强都是在芜湖工作的马鞍山人, 他们每周五下午都乘坐高铁从芜湖返回马鞍山. 因为工作的 需要, 小明每次都在 15:30 至 18:30 时间段出发的列车中任选一车次乘坐; 小强每次都在 16:00 至 18:30 时间段出发的列车中任选一车次乘坐. (假设两人选择车次时都是等可能地随机选 取) (Ⅰ)求 2016 年 1 月 8 日(周五)小明与小强乘坐相同车次回马鞍山的概率; (Ⅱ)记随机变量 X 为小明与小强在 1 月 15 日(周五) ,1 月 22 日(周五) ,1 月 29 日(周五)这 3 天中乘坐的车次相同的次数,求随机变量 X 的分布列与数学期望. 附:2016 年 1 月 10 日至 1 月 31 日每周五下午芜湖站至马鞍山东站的高铁时刻表.
车次 G7174 G7178 D5606 D5608 G7088 芜湖发车 13:37 15:05 15:37 17:29 18:29 到达马鞍山东 14:02 15:24 16:02 17:48 18:48 耗时 25 分钟 19 分钟 25 分钟 19 分钟 19 分钟

(19)(本小题满分 12 分) 如图,几何体 ABCA1 B1C1 中,面 ABC 是边长为 2 的正三角形, AA1 , BB1 , CC1 都垂直于面 ABC , 且 AA1 ? 2 BB1 ? 2CC1 ? 2 , D 为 B1C1 的中点, E 为 A1 D 的中点. A1 (Ⅰ)求证: AE ? 面A1 B1C1 ; (Ⅱ)求 BC1 与面 A1 B1C1 所成角的正弦值.
B1 B E A C1 C

D

第(19)题图

(20)(本小题满分 12 分)
3 x2 y 2 ,点 ( 3, 2) 为椭圆上的一点. ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 3 a b (Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程;

如图,椭圆 E :

(Ⅱ)若斜率为 k 的直线 l 过点 A(0,1) ,且与椭圆 E 交于 C , D 两点, B 为椭圆 E 的下顶点,求 证:对于任意的 k ,直线 BC , BD 的斜率之积为定值.

y A

D

O C
B
第(20)题图

x

(21)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x3 a x ,其中 a ? 0 且 a ? 1 ,若 ? ( x) ? (Ⅰ)求 a 的最小值; (Ⅱ) 当 a 取得最小值时, 证明: 对于任意的 0 ? x1 ? x2 , 当 x1 ? x2 ? 6 时, 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
f ' ( x) 是区间 (0, 2) 上的增函数. ax

请考生在第(22) , (23) , (24)题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目,如 果多做,则按所做的第一个题目计分。做答时请用 2B 铅笔在答卡上将所选题号后的方框涂 黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,点 P 是圆 O 直径 AB 延长线上的一点, PC 切圆 O 于点 C ,直线 PQ 平分 ?APC , 分别交 AC , BC 于点 M 、 N . (Ⅰ)求证: △ CMN 为等腰三角形; (Ⅱ)求证: PB ? CM ? PC ? BN .
[来源:

Q M A O

C N B

P

第(22)题图

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? x ? 2 cos ? ? x ? 1 ? t cos 45? 已知曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) , 直线 l 的参数方程为 ? (t y ? 1 ? 2 sin ? ? ? y ? t sin 45? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 的极坐标方程; (Ⅱ)求直线 l 截曲线 C 所得的弦长.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? 2 x ? a (Ⅰ)当 a ? 3 时,求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (Ⅱ)若 f ( x) ? x ? 1 ? 0 的解集为 A ,且 [?2, ?1] ? A ,求 a 的取值范围.

马鞍山市 2016 届高中毕业班第一次教学质量检测

高三理科数学试题
注意事项: 5. 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 6. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 7. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 8. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)复数
2?i 在复平面内对应的点在( ▲ ) 1? i

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 【答案】A 【命题意图】考查复数的基本概念和运算,难度:简单题. (2)下列结论错误的是( ▲ ) (A)命题“若 p ,则 ?q ”与命题“若 q ,则 ?p ”互为逆否命题

(D)第四象限

(B)命题 p : ?x ? [0,1], e x ? 1 ,命题 q : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 p ? q 为真 (C)“若 am 2 ? bm 2 ,则 a ? b ”为真命题 (D) 若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题 【答案】B 【命题意图】本题考查命题与逻辑,难度:简单题. (3) (2x ?

x ) 4 的展开式中 x 3 的系数是( ▲ )
(D) 48

(A) 6 (B) 12 (C) 24 【答案】C 【命题意图】本题考查二项式定理,难度:简单题.

(4)设 a , b 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列四个命题中,正确命题的 个数是( ▲ ) ①若 a ? b, a ? ? , 则 b P ? ; ②若 a ? ? , ? ? ? , 则 a P ? ; ③若 a ? ? , ? ? ? , 则 a P ? ;④若 a P b, a P ? , b P ? , 则 ? P ? . (A)3 (B)2 (C)1 【答案】D 【命题意图】本题考查空间线面位置关系,难度:简单题. (D) 0

(5) △ABC 中, tan A , tan B 是方程 6 x 2 ? 5 x ? 1 ? 0 的两根,则 tan C ? ( ▲ )

(A) ?1

(B) 1

(C) ?

5 7

(D)

5 7

【答案】A 【命题意图】考查两角和的正切公式和诱导公式,难度:简单题.
1 1 1 (6)要计算 1 ? ? ? L ? 的结果,下面的程序框图中的横线上可以填( ▲ ) 2 3 2016

开始

S ?0

n ?1 n ? n ?1

_____



输出 S

结束


S ? S ?1/ n

(A) n ? 2016? (B) n ? 2016? (C) n ? 2016? 【答案】B 【命题意图】本题考查程序框图的基本知识,难度:简单题. (7)某几何体的三视图如图所示,则其表面积为( ▲ ) (A) (C)
17? 2 19? 2

(D) n ? 2016?
1

(B) 9? (D) 10?

3

正视图
1 1

侧视图(左)

【答案】B 【命题意图】本题考查三视图知识,表面积的计算,难度:中 等题.
俯视图

第(7)题图

( 8 )点 P 是圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 上任一点,则点 P 到直线 x ? y ? 1 ? 0 距离的最大值为 ( ▲ ) (A) 2 (B) 2 2 (C) 3 2 【答案】C 【命题意图】本题考查直线与圆,难度:简单题. (D) 2 ? 2 2

? ? 2? (9) 函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ( x?R ) 如果 x1 , x2 ? ( , ) , (? ? 0, ? ? ) 的部分图象如图所示, 2 6 3
且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x1 ? x2 ) ? ( ▲ )
3 (A) ? 2
1 (C) 2 【答案】A 1 (B) ? 2

y 1
O
? 6
2? 3

x

(D)

3 2

第(8)题图

【命题意图】本题考查三角函数的图象和性质,难度:中等题.

2 2 ? x0 (10)设 P( x0 , y0 ) 是函数 f ( x) 图象上任意一点,且 y0 ,则 f ( x) 的解析式可以是( ▲ )

(A) f ( x) ? x ?

1 4 (B) f ( x) ? e x ? 1 (C) f ( x) ? x ? (D) f ( x) ? tan x x x

【答案】C 【命题意图】本题考查函数的图象,线性规划,难度:中等题. (11)7 人站成两排队列,前排 3 人,后排 4 人,现将甲、乙、丙三人加入队列,前排加一 人,后排加两人,其他人保持相对位置不变,则不同的加入方法种数为( ▲ ) (A)120 (B)240 (C)360 (D)480 【答案】C 【命题意图】本题考查计数原理,难度:较难题. (12)已知函数 f ( x) ? ?
? x 2 ? 4 x, x ? 0 ? x ln x, x ? 0

, g ( x) ? kx ? 1 ,若方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 在 x ? (?2, 2) 有三

个实根,则实数 k 的取值范围为( ▲ ) (A) (1, ln 2 e )
3 (B) (ln 2 e , ) 2

3 3 (C) ( , 2) (D) (1,ln 2 e ) U ( , 2) 2 2 【答案】D 【命题意图】 本题考查数形结合, 分离变量法, 函数的单调性等函数知识的综合运用, 难度: 较难题. f ( x) ? g ( x) ? 0 ? 【 解 析 】 显 然 , x ? 0 不 是 方 程 f ( x) ? g ( x) ? 0 的 根 , ?
? 1 x ? ? 4, x ? 0 ? ? x k ? ? ( x) ? ? ? 1 ? ln x, x ? 0 ? ?x

?3 ? 结合 ? ( x) 在 x ? (?2, 2) 图象得 k ? 1,ln 2 e U ? , 2 ? . ?2 ?

?

?

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都 必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13)已知抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点是双曲线 为 ▲ . 【答案】 y ? ? x 【命题意图】本题考查抛物线和双曲线的基本性质,难度:简单题. (14)已知 f ( x) 是 R 上的奇函数, f (1) ? 1 ,且对任意 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 成立, 则 f (2015) ? f (2016) ? ▲ .
x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点,则双曲线的渐近线方程 8 p

【答案】 ?1 【命题意图】本题考查函数的周期性,奇偶性,函数求值,难度:简单题. (15)已知 a ? 1 , b ? 2 , a ? b ? b ? 3 , a ? b 与 a 的夹角为 ? ,则 cos? ? 【答案】
2 7 7

r

r

?

r

r

?

r

r

r

r





【命题意图】本题考查平面向量的基本运算,难度:简单题.
13 ,则 △ABC 的面积为 14

(16)在 △ABC 中,已知 AB ? 8 , BC ? 7 , cos(C ? A) ?

▲ .

【答案】 10 3 【命题意图】本题考查余弦定理和三角形的面积公式,难度:较难 题. 【解析】如图,在边 AB 上取一点 D ,使得 AD ? CD ? x , 则 cos ?DCB ? cos(C ? A) ,于是在 △CBD 中,
x2 ? 72 ? (8 ? x)2 13 由余弦定理: ? ,解得 x ? 5 , 14 x 14

C

x x
A

7 8? x
D
B

从而 cos B ?

5 3 1 5 3 32 ? 72 ? 52 11 , S ? ?8? 7 ? ? 10 3 . ? , sin B ? 1 ? cos2 B ? 14 2 14 2 ? 3? 7 14

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ?1 ,数列 {bn } 满足 bn ?
1 ?n . (n ? 1) log 2 an

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 【命题意图】 本题考查数列的通项公式和前 n 项和的基本知识, 考查学生的运算能力, 难度: 中等题. 【解】 (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 4 ………………………………………(2 分) 由 Sn ? 2n ?1 ,得 Sn ?1 ? 2n (n ? 2) , ∴ an ? Sn ? Sn ?1 ? 2n ?1 ? 2n ? 2n (n ? 2) ∴ an ? ?
? 4, n ? 1 n ?2 , n ? 2

………………………(6 分)

(Ⅱ)当 n ? 1 时, b1 ? 当 n ? 2 时,
bn ?

1 5 5 ? 1 ? ,∴ T1 ? ………………………………(7 分) 2 log 2 4 4 4

1 1 1 1 ?n ? ?n ? ? ? n ……………………………(8 分) n(n ? 1) n n ?1 (n ? 1) log 2 2n

Tn ? ?

5 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ? ? +…+ ? ) ? (2 ? 3 ? 4 ? … ? n ) 4 2 3 3 4 4 5 n n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ? ? +…+ ? ) ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? … ? n ) 4 2 3 3 4 4 5 n n ?1

?

3 1 n(n ? 1) ……………………………………………………(11 分) ? ? 4 n ?1 2

3 1 n(n ? 1) 上式对于 n ? 1 也成立,所以 Tn ? ? . ? 4 n ?1 2

………………(12 分)

(18)(本小题满分 12 分) 2015 年 12 月 6 日宁安高铁正式通车后,极大地方便了沿线群众的出行生活.小明与小 强都是在芜湖工作的马鞍山人, 他们每周五下午都乘坐高铁从芜湖返回马鞍山. 因为工作的 需要, 小明每次都在 15:30 至 18:30 时间段出发的列车中任选一车次乘坐; 小强每次都在 16:00 至 18:30 时间段出发的列车中任选一车次乘坐. (假设两人选择车次时都是等可能地随机选 取) (Ⅰ)求 2016 年 1 月 8 日(周五)小明与小强乘坐相同车次回马鞍山的概率; (Ⅱ)记随机变量 X 为小明与小强在 1 月 15 日(周五) ,1 月 22 日(周五) ,1 月 29 日(周五)这 3 天中乘坐的车次相同的次数,求随机变量 X 的分布列与数学期望. 附:2016 年 1 月 10 日至 1 月 31 日每周五下午芜湖站至马鞍山东站的高铁时刻表.
车次 G7174 G7178 D5606 D5608 G7088 芜湖发车 13:37 15:05 15:37 17:29 18:29 到达马鞍山东 14:02 15:24 16:02 17:48 18:48 耗时 25 分钟 19 分钟 25 分钟 19 分钟 19 分钟

【命题意图】本题考查古典概型和二项分布,考查学生数据处理的能力,难度:中等题. 【解】 (Ⅰ)设“2016 年 1 月 29 日(周五)小明与小强两人乘坐同一趟列车回马鞍山”为事 件 A ,由题意,小明可选择的列车有 3 趟,小强可选择的列车有 2 趟,其中两 人可以同时乘坐的有 2 趟. 所以 P ( A) ? 分) (Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为 01 , , 2, 3. 1 由题, X ~ B(3, ) . 3 1 2 8 4 0 1 1 1 2 2 , P( X ? 1) ? C3 P( X ? 0) ? C3 ( ) 0 ( )3 ? ( )( ) ? , 3 3 27 3 3 9 1 2 2 1 2 1 3 . ……………………(9 P( X ? 2) ? C32 ( )2 ( )1 ? , P( X ? 3) ? C3 ( )3 ( ) 0 ? 3 3 9 3 3 27 分) 随机变量 X 的分布列为: X 0
p
EX ? 0 ?
8 27
1 C2 1 ? .…………………………………………………………(5 1 3 C ? C2 1 3

1
4 9

2
2 9

3
1 27

8 4 2 1 1 .……………………(12 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 (或 EX ? 3 ? ? 1 ) 27 9 9 27 3

分) (19)(本小题满分 12 分)

如图,几何体 ABCA1 B1C1 中,面 ABC 是边长为 2 的正三角形, AA1 , BB1 , CC1 都垂直于面 ABC ,且 AA1 ? 2 BB1 ? 2CC1 ? 2 , D 为 B1C1 的中点, E 为 A1 D 的中点. A1 (Ⅰ)求证: AE ? 面A1 B1C1 ; (Ⅱ)求 BC1 与面 A1 B1C1 所成角的正弦值. 【命题意图】考查线面垂直的证明、线面角的求法,向量法(坐标法) 的运用,中等难度. 方法 1:几何法 (Ⅰ) 【证明】取 BC 的中点 F ,连接 AD , AF , DF ,易知, A, F , D, A1 共 面. 在 Rt?ADF 中,由勾股定理易算得 AD ? 2 . ? AA1 ? 2 ,且 E 为 A1 D 的中点,? AE ? A1 D . 又由条件易得 AF ? BC , AA1 ? BC ,?BC ? 面 A1 AFD , ? B1C1 ? 面 A1 AFD ,? B1C1 ? AE . ? AE ? 面A1 B1C1 . (Ⅱ) 【解】记 DF ? B1C ? G ,过 G 作 GH ? A1 D ,垂足为 H , 易知 GH ? AE ,且 ?GHD∽?AEA1 , 1 则 GH 即为点 G 到平面 A1 B1C1 的距离,且 GH ? AE . 4 所以 ?GC1 H 为 BC1 与面 A1 B1C1 所成角. 由 ?ABC 边长为 2 得 AF ? 3 ,从而算得 A1 D ? 2 , AE ? 3 , 所以 GH ?
3 . 4
B1 H G B P F C

E B1 B A C1 C

D

A1 第(19)题图

E B1 C1

D

A

B

F

A1

C

E D A C1

1 5 又 C1G ? C1 B ? , 2 2
3 15 GH 15 所以 sin ?GC1 H ? ,即所以角的正弦值为 . ? 4 ? 10 C1G 10 5 2

E G

A1

H P

D

方法 2:坐标法(略) .

F
y

A

(20)(本小题满分 12 分)
3 x y 如图,椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 点( 3 , 2) 3 a b
2 2

为椭

D

圆上的一点. (Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程; (Ⅱ) 若斜率为 k 的直线 l 过点 A(0,1) , 且与椭圆 E 交于 C , D 两点, B 为椭圆 E 的下顶点,求证:对于任意的 k ,直线 BC , BD 的斜率之积为定 值. 【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和性质,考查学生运算能力,难 度:中等题. 【解】 (Ⅰ) Q e ?
3 3 3 2 a ,? a 2 ? b 2 ? ( a) , ?c ? 3 3 3

A

O C
B
第(20)题图

x



又椭圆过点 ( 3, 2) ,?

3 2 ? ?1 a 2 b2



由①②解得 a 2 ? 6, b2 ? 4 ,
x2 y 2 ? ? 1 .………………………………………………(4 分) 6 4 (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 1 , ………………………………………………………………… ( 5

所以椭圆 E 的标准方程为

分)
? 联立 ? 6 ? 4 ? 1 得: (3k 2 ? 2) x2 ? 6kx ? 9 ? 0 , ……………………………………… ( 7 ? ? y ? kx ? 1 ? x2 y2

分) 设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ? ? 分) 易知 B (0, ?2) , 故 kBC ? kBD ? 分)
? k2 ? 3k ( x1 ? x2 ) 9 2k ? ? k 2 ? 3k ? ? (3k 2 ? 2) ? ?2 为定值. ………………………… ( 12 x1 x2 x1 x2 3

6k 9 , x1 x2 ? ? 2 . …………………… ( 9 3k 2 ? 2 3k ? 2

y1 ? 2 y2 ? 2 kx1 ? 3 kx2 ? 3 k 2 x1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 9 ? ? ? ? …………………… ( 10 x1 x2 x1 x2 x1 x2

分) (21)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x3 a x ,其中 a ? 0 且 a ? 1 ,若 ? ( x) ? (Ⅰ)求 a 的最小值; (Ⅱ) 当 a 取得最小值时, 证明: 对于任意的 0 ? x1 ? x2 , 当 x1 ? x2 ? 6 时, 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 【命题意图】 本题考查导数的综合运用, 考查学生应用知识解决问题的能力, 难度: 较难题. 【解析】 (Ⅰ) f ' ( x) ? 3x 2 a x ? x3a x ln a ? a x (3x 2 ? x3 ln a) ,
2 由题知:当 x ? (0, 2) 时, ?' ( x) ? 6 x ? (3ln a) x 2 ? 0 恒成立,即 ln a ? ? 恒成立. x 2 1 1 又 x ? (0, 2) 时, ? ? (??, ?1) ,故 ln a ? ?1 ? ln ? a ? . x e e 1 即 a 的最小值为 . …………………………………………………………………… (5 分) e 1 x3 (Ⅱ) a ? 时, f ( x) ? x , e e ∵ 0 ? x1 ? x2 且 x1 ? x2 ? 6 ,∴ 0 ? x1 ? 3 , x2 ? 6 ? x1 . f ' ( x) 是区间 (0, 2) 上的增函数. ax

要证 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,只需证 只需证 e x
2

x13 x23 ( 0 ? x1 ? 3 ), ? ex1 ex2

? x1

?

3 x2 ,只需证 x2 ? x1 ? 3ln x2 ? 3ln x1 , x13

只需证 3ln x1 ? 3ln x2 ? x2 ? x1 ? 0 , x1 ? 0( *) ……………………………………………… ( 8 只需证 3 ln x1 ? 3 ln(6? x1 )? 6? 2 分)

设 g ( x) ? 3ln x ? 3ln(6 ? x) ? 6 ? 2 x, x ? (0,3) ,则 g '( x) ?

3 3 2( x ? 3) 2 ? ?2 ? , x 6? x x(6 ? x)

当 x ? (0,3) 时, g '( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 (0,3) 上单调递增. 于是对于任意的 0 ? x1 ? 3 , g ( x1 ) ? g (3) ? 0 ,即(*)式成立,故原命题成立.……(12 分)

请考生在第(22) , (23) , (24)题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目,如果 多做, 则按所做的第一个题目计分。 做答时请用 2B 铅笔在答卡上将所选题号后的方框涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,点 P 是圆 O 直径 AB 延长线上的一点, PC 切圆 O 于点 C ,直线 PQ 平分
?APC ,分别交 AC , BC 于点 M 、 N .

(Ⅰ)求证: △ CMN 为等腰三角形; (Ⅱ)求证: PB ? CM ? PC ? BN . 【命题意图】 本题考查弦切角定理, 三角形相似的判定, 难度:中等题.
[来源:

Q M A O

C N B

P

第(22)题图 【解】 (Ⅰ) PC 切圆 O 于点 C ,??PCB ? ?PAC . 又 ?CPM ? ?APM ,
??CNM ? ?CPM ??PCB ? ?APM ??PAM ? ?CMN .
? △ CMN 为等腰三角形.

..................................1 分 . .........................4 分

................................... 5 分

(Ⅱ)??CNM ? ?CMN ,又 ?CNM ? ?BNP ,??CMN ? ?BNP . ....................7 分 又 Q ?CPN ? ?BPN ,?△PNB∽△PMC ?
?PB ? CM ? PC ? BN
PB BN ? . PC CM

...................................9 分

................................... 10 分

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? x ? 2 cos ? 已知曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,直线 l 的参数方程为 ? y ? 1 ? 2 sin ?
? x ? 1 ? t cos 45? ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ? ? y ? t sin 45?

(Ⅰ)求曲线 C 的极坐标方程; (Ⅱ)求直线 l 截曲线 C 所得的弦长. 【命题意图】 考查极坐标方程与直角坐标方程的互化方法, 直线的参数方程中参数的几何意 义,难度:中等题. 【解】 (Ⅰ)曲线 C 的参数方程化为直角坐标方程为 x2 ? ( y ? 1)2 ? 4 令 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 代入(*)式 (*)

化简得曲线 C 的极坐标方程为:? 2 ? 2? sin ? ? 3 ? 0 . …………………………………… (5 分) (Ⅱ)将 ?
? x ? 1 ? t cos 45? 代入(*)式化简得 t 2 ? 2 ,? t1 ? 2, t2 ? ? 2 , ? y ? t sin 45?

所以所求弦长为 t2 ? t1 ? 2 2 .………………………………………………………………(10 分)

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? 2 x ? a (Ⅰ)当 a ? 3 时,求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (Ⅱ)若 f ( x) ? x ? 1 ? 0 的解集为 A ,且 [?2, ?1] ? A ,求 a 的取值范围. 【命题意图】本题考查含绝对值不等式的解法,转化的数学思想,难度:中等题. 【解】 (Ⅰ) a ? 3 时,f ( x) ? 2 ?
? x ? ?3 ? ?3 ? x ? 3 ?x ? 3 或 ? 或 ? x ?3 ?2 x ?3 ? 2 ? ? ?x ? 9 ? 2 ? ?3 x ? 3 ? 2 ?? x ? 9 ? 2

5 5? ? 即 ?7 ? x ? ? ,所以,不等式 f ( x) ? 2 的解集为: ? x | ?7 ? x ? ? ? .………………(5 分) 3 3? ?

(Ⅱ) [?2, ?1] ? A ? x ? 3 ? 2 x ? a ? x ? 1 ? 0 在 x ? [?2, ?1] 恒成立
? (3 ? x) ? 2 x ? a ? x ? 1 ? 0 在 x ? [?2, ?1] 恒成立 ? x ? a ? 2 在 x ? [?2, ?1] 恒成立

? a ? 2 ? x 或 a ? ?2 ? x 在 x ? [?2, ?1] 恒成立 ? a ? 4 或 a ? ?1.……………………………………………………………(10 分)


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