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(理)立体几何中的向量方法442


高三数学导学案(理)
编写人: 邹彩云 【课题】 :立体几何中的向量方法 4 编号 42

【学习目标】 :用向量方法求异面直线所成的角,直线与平面所成的角、二面角的大小. 【重难点】 【知识点梳理】

(1)异面直线所成的角 如图,已知两条异面直线 a、b,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b.则把 a′与 b′所成的

锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角).异面直线

π? ? 所成的角的范围是?0,2?; ? ? (2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面 所成的角.①直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;②直线和平面平行,或 π? ? 在平面内,则它们所成的角是 0° 的角.直线与平面所成角的范围是?0,2? ? ? (3)二面角的平面角 如图在二面角 αlβ 的棱上任取一点 O,以点 O 为垂足,在半平面 α 和 β 内分别 作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB,则∠AOB 叫做二面角的平面角.

二面角的范围是[0,π] 2.空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线 l1,l2 的方向向量分别为 m1,m2,则 l1 与 l2 的夹角 θ 满足 cos θ= |cos〈m1,m2〉|. (2)设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 m,n,则直线 l 与平面 α 的夹 角 θ 满足 sin θ=|cos〈m,n〉|. (3)求二面角的大小 (ⅰ)如图①,AB、CD 是二面角 αlβ 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则二面角的 → ,CD →〉 大小 θ=〈AB .

(ⅱ)如图②③,n1,n2 分别是二面角 α-l-β 的两个半平面 α,β 的法向量,则二面角的大小 θ 满足 cos θ=cos〈n1,n2〉或-cos〈n1,n2〉 . 【课堂探究】

探究:空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线 l1,l2 的方向向量分别为 m1,m2,则 l1 与 l2 的夹角 θ 满足 cos θ= __________ ________ (2)设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 m,n,则直线 l 与平面 α 的夹 角 θ 满足 sin θ= __________ ________ (3)求二面角的大小 (ⅰ)如图①,AB、CD 是二面角 αlβ 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则二面角的 → ,CD →〉 大小 θ=〈AB .

(ⅱ)如图②③,n1,n2 分别是二面角 α-l-β 的两个半平面 α,β 的法向量,则二面角的大小 θ 满足 cos θ= __________ ________ 典例解析

一、 求异面直线所成的角 【例 1】已知 ABCDA1B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱,高 AA1=2,求 (1)异面直线 BD 与 AB1 所成角的余弦值; (2)四面体 AB1D1C 的体积.

【训练 1】 (2011· 全国高考)已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点, 则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为________.

二 利用向量求直线与平面所成的角 【例 2】 ?如图所示, 已知点 P 在正方体 ABCDA′B′C′D′的对角线 BD′上, ∠PDA=60° . (1)求 DP 与 CC′所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA′D′D 所成角的大小.

1 【训练 2】已知三棱锥 PABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥AC,PA=AC=2AB,N 为 AB 上一点,AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点. (1)证明:CM⊥SN; (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.

三、利用向量求二面角 【例 3】如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB=60° , AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (1)证明:PA⊥BD; (2)若 PD=AD,求二面角 APBC 的余弦值.

【训练 3】 如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD, AP=AB=2,BC=2 2,E,F 分别是 AD,PC 的中点. (1)证明:PC⊥平面 BEF; (2)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小.

【课堂检测】

1.如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是 a=(1,0,1), b=(0,1,1),那么,这条斜线与平面所成的角是( A.90° B.30° C.45° D.60° ).

2.(人教 A 版教材习题改编)已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1), 则两平面所成的二面角的大小为( A.45° C.45° 或 135° ). B.135° D.90°

3.已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量,若 cos〈m,n〉

1 =-2,则 l 与 α 所成的角为(

).

A.30° B.60° C.120° D.150° 4.在如图所示的正方体 A1B1C1D1ABCD 中,E 是 C1D1 的中点,则异面直线 DE 与 AC 夹角的余弦值为( 10 A.- 10 1 B.-20 ). 1 C.20 10 D. 10

5. 如图所示, 在三棱柱 ABCA1B1C1 中, AA1⊥底面 ABC, AB=BC=AA1, ∠ABC =90° , 点 E、 F 分别是棱 AB、 BB1 的中点, 则直线 EF 和 BC1 所成的角是________.

【课后巩固】

1 1、如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB=2PD. (1)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ; (2)求二面角 Q BPC 的余弦值.


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