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辽宁省锦州市锦州中学2016届高三数学10月阶段测试试题 文


辽宁省锦州市锦州中学 2016 届高三数学 10 月阶段测试试题 文
(考试时间 120 分钟,满分 150 分) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本题共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分,四个选项中只有一个正确) 1.设 P={x︱x<4},Q={x︱ x <4} ,则 ( A. P ? Q 2. ” m ? B. Q ? P
2

) D. Q ? C R P )

C. P ? C R Q

1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的( 2
B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分必要条件 C.必要而不充分条件 3. P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的一点, F1 和 F2 是焦点,若∠F1PF2=30°,则△F1PF2 的面积等于 5 4
B. 16(2 ? 3) C. 4(2 ? 3) D. 16 )

(

)

A.

16 3 3

4. 设函数 f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线 x=1 对称,则 a 的值为( A.3 B.2 C.1 D. ? 1

5.已知下列四个命题:
2 5 ; 5 (2)若 ? ? ? 且 ? 、 ? 都是第一象限角,则 tan ? ? tan ? ;

(1)若点 P (a, 2a ) (a ? 0) 为角终边上一点,则 sin ? ?

? ? (3)若 ? 是第二象限角,则 sin ? cos ? 0 ; 2 2
7 (4)若 sin x ? cos x ? ? ,则 tan x ? 0 . 5

其中正确命题的个数为( A.1 B.2
2

) C 错误!未找到引用源。 .3 ) D.4

6. 若函数 f ( x) ? x ? ( x ? c) 在 x ? 2 处有极大值,则常数 c 的值为( A. 6 B.2 C.2 或 6 D.

2 3
)

7. 若函数 f ( x) ? cos(x ? ? ) ? 3 sin(x ? ? ) (0 ? ? ? ? ) 为奇函数,则 ? =( A.

? 2

B.

? 3

C. )

? 4

D.

? 6

8. 函数 f ( x) ? sin x cos x 最小值是( A.1 9. B.

1 2

C 错误!未找到引用源。 .?

1 2

D. ? 1 )
1

圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 8 ? 0 的最大距离与最小距离的差是(

A.18

B. 6 2

C 错误!未找到引用源。 .5 2

D. 4 2

10. 椭圆 ax 2 ? by 2 ? 1与直线 y ? 1 ? x 交于 A、B 两点,过原点与线段 AB 的中点的直线斜率 ( A. )

a 3 为,则 的值为 b 2

2 3 错误!未找到引用源。 27
D.

B.

9 3 错误!未找到引用源。 2

C 错误!未找到引用源。 .

2 3 3

3 2

11.已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 ( A. 2 B. 1 )

C 错误!未找到引用源。 .

2 3

D.

1 3

12.某程序框图如图所示,若输出的 S=57, 则判断框内为 ( A.k>7? B.k>6? C 错误!未找到引用源。 .k>5? D.k>4? 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知: sinα -sinβ = ? )

1 1 ,c osα -cosβ = ,则 cos(α -β )= 2 2

.

14. 已知 F 是椭圆的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交椭圆于点 D , 且 BF ? 2 FD ,则 C 的 离心率为 .
2

15. 直线 y ? 1 与曲线 y ? x ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围是 16. 设 函 数 f ( x) ? x ? 3ax ? b(a ? 0) . 若 曲 线
3

.

y ? f ( x) 在 点 ( 2 , f x( ) ) 与 直 线 y ?8 相 切 , 则 处

a?b ?

.

三、 解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答 应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分)
2

已知圆 C 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 0 相外切,并且与直线 x ? 3 y ? 0 相切于点 Q(3,? 3) ,求圆 C 的方程.

18.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(3x ? ? )( A ? 0, x ? (??, ??),0 ? ? ? ? 在 x ? (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 的解析式;

?
12

时取得最大值 4.

(III)若 f (

2 α 3

+

? 12 )= ,求 sinα . 12 5

19. (本题满分 12 分) 设 a, b, ? 都是正数,函数 f ( x) ? a sin ?x ? b cos?x 的周期为 ? ,且有最大值 f ( (Ⅰ)求函数的解析式 f ( x) ; (Ⅱ)若 [

?
12

) ? 4.

7? , m] 是 f ( x) 的一个单调区间,求 m 的最大值. 6

20.(本题满分 12 分)

,670) ,第 某校在高一期末考试中抽取前 100 名学生的考试成绩,按成绩分组,第一组 [660,665) ,第二组 [665 ,680) ,第五组 [680,685) 得到频率分布直方图 三组 [670,675) ,第四组 [675
如图所示. (I)求第三、四、五 组的频率; (II)为进一步考察学生的能力水平,学校决定在成绩高的第三、四、五组中 用分层抽样抽取 6 名学生进行面试, 求第三、 四、 五组每组各抽取多少名学生; (III)在(II)的前提下,学校决定在这 6 人中随机抽取两人,进入学生会 学习部任职,求第四组至少有一名学生进入学生会的概率.
0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0
频率 组距

660 665 670 675 680 685

21. (本题满分 12 分) 已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率为

1 ,且椭圆 E 2

上一点到两个焦点距离之和为 4; l1 , l2 是过点 P(0,2)且互相垂直的两条直线, l1 交 E 于 A,B 两点, l2 交 E 交 C, D 两点,AB,CD 的中点分别为 M,N. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求 l1的斜率 k 的取值范围; (Ⅲ)求 OM ? ON 的取值范围.

???? ? ????

3

22. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x 在 [1, 2] 上是增函数, g ( x) ? x ? a x 在 (0, 1] 上是减函数. (Ⅰ)求 f ( x) 、 g ( x) 的表达式; (Ⅱ)当 b ? ?1 时,若 f ( x) ? 2bx ?

1 在 x ? (0, 1] 内恒成立,求 b 的取值的范围. x2

4

参考答案 题号 选项 1 B 2 B 3 C 4 A 5 A 6 A 7 D 8 C 9 C 10 D 11 B 12 D

填空题 :13.

3 3 ;14. ; 4 3

15. (1, ) ;

5 4

16.28

17.解:设圆 C 的圆心为 ( a, b) ,

?b ? 3 ? 3 ? ? a ?3 a ? 4 ?a ? 0 则? ?? ?b ? 0或?b ? ?4 3 ? r ? 2或r ? 6 a ? 3b ? ? ? (a ? 1) 2 ? b 2 ? 1 ? ? 2 ?
所以圆 C 的方程为 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 4或x 2 ? ( y ? 4 3) 2 ? 36 ???? 10 分

18.

sin(2? ?

?
2

)?

3 3 3 1 5 2 2 , cos 2? ? , 1 ? 2sin ? ? , sin ? ? , sin ? ? ? . 5 5 5 5 5

???? 12 分

19.解: (Ⅰ) T ?

2?

?

? ? ? ? ? 2 , ∴ f ( x) ? a sin 2 x ? b cos2 x


? ? ? 1 3 f ( ) ? a sin ? b cos ? a ? b?4 12 6 6 2 2
而 f ( x) max ? 4 , ∴ a ? b ? 16
2 2


5

解①和②得

a ? 2, b ? 2 3 , ∴ f ( x) ? 2 sin 2x ? 2 3 cos2x

??6 分

(Ⅱ) f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 cos 2 x ? 4 sin( 2 x ?

?
3

) ,由单调区间

5? ? ? x ? k? ? , k ? Z 2 3 2 12 12 5? 7? ? 13 19 ? ? k? ? , k ? Z ? ? k ? , k ? Z (舍) 依题意,得 k? ? 12 6 12 12 12 ? 7? 7 13 , k? ? ]? ? k ? ,k ? Z ? k ?1 同理,由单调区间 [k? ? 12 12 12 12 7? 13? 19? 19? , m] ? [ , ] ,故 m 的最大值是 ∴ [ . ???? 12 分 12 7 12 12 2k? ? ? 2x ? ? 2k? ? ? k? ?
20. 解: 解: (I)由题意可知 第三组的频率为 0.06 ? 5 ? 0.3 第四组的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 ;第五组的频率为 0.02 ? 5 ? 0.1 ???3 分 (II)第三组的人数为 0.3 ? 100 ? 30 ;第四组的人数为 0.2 ? 100 ? 20 ;第五组的人数为 0.1 ? 100 ? 10 ,因为 这三组中共有 60 名学生,

?

?

?

30 ? 6 ? 3 人; 60 20 ? 6 ? 2 人; 第四组的人数为 60 10 ? 6 ? 1 人. 第五组的人数为 60
第三组的人数为 所以第三、四、五组每组各抽取学生数分别为 3 人 、2 人、1 人.???7 分 (III)设第三组 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ,第四组 2 位同学为 B1, B2 ,第五组 1 位同学为 C. 则 6 位同学中抽取两位共有: ( A 1 , B1 ) , ( A 1 , C ) , ( A2 , A 1 , A2 ) , ( A 1 , B2 ) , ( A 1 ) , ( A2 , B2 ) , 1 , A3 ) , ( A 3 ) , ( A2 , B

( A2 , C ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( A3 , C ) , ( B1, B2 ) , ( B1 , C ) , ( B2 , C ) 15 种可能.
其中第四组同学至少一人共有:( A1 , B1 ) ,( A1, B2 ) ,( A2 , B1 ) ,( A2 , B2 ) ,( A3 , B1 ) ,( A3 , B2 ) ,( B1, B2 ) ,( B1 , C ) ,

( B2 , C ) 9 种可能.
所以 P ?

3 9 3 ? ,即所求概率为 . 5 15 5

????12 分

x2 y 2 21.21.解: (Ⅰ)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b ?c 1 ?a ? 2 ? ? ?a ? 2 得? 由 ? 2a ? 4 ?b ? 3 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?
6

x2 y 2 ? ?1 ???4 分 4 3 (Ⅱ )由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为零 1 ? l1 : y ? kx ? 2,? l2 : y ? ? x ? 2. k 2 2 ?x y ?1 ? ? 由? 4 消去 y 并化简整理,得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 16kx ? 4 ? 0 3 ? y ? kx ? 2 ? 1 2 根据题意, ? ? (16k )2 ? 16(3 ? 4k 2 ) ? 0 ,解得 k ? . 4 1 2 1 2 1 1 1 2 同理得 (? ) ? , k ? 4,? ? k ? 4, k ? (?2, ? ) ? ( , 2) ???8 分 k 4 4 2 2 (Ⅲ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) x ? x2 16k 8k ,? x0 ? 1 ?? 那么 x1 ? x2 ? ? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 6 8k 6 y0 ? kx0 ? 2 ? ,? M (? , ) 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2 1 8 8(? ) 6 6 k 同理得 N (? ) , ) ,即 N ( k , 4 4 1 2 1 2 3? 2 3? 2 3 ? 4(? ) 3 ? 4(? ) k k k k 8 ???? ? ???? 8k 6 6 28 ??10 分 ? OM ? ON ? ? ? k ? ? ?? 2 2 4 4 1 3 ? 4k 3 ? 4k 2 3? 2 3 2 25 ? 12(k ? 2 ) k k k 4 28 7 1 1 17 ?? ? ? ?? ? ? k 2 ? 4,? 2 ? k 2 ? 2 ? 1 7 19 4 4 k 25 ? 12( k 2 ? 2 ) k ???? ? ???? 4 7 即 OM ? ON 的取值范围是 [ ? , ? ] ???12 分 7 19 a 22. 解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? 2 x ? ,依题意,得 x

? 椭圆方程为

f ?( x) ? 0 , x ? (1, 2], ? a ? 2 x 2 ? a ? 2 .
又因为 g ?( x) ? 1 ?

a 2 x

,依题意,得

g?( x) ? 0, x ? (0, 1], ? a ? 2 x ? a ? 2 .
∴ f ( x) ? x ? 2 ln x , g ( x) ? x ? 2 x .
2

∴ a ? 2. ??????????? 6 分

(Ⅱ) ∵ 当 x ? (0, 1) 时, f ?( x) ? 2 x ?

2 2( x ? 1)( x ? 1) ? ? 0, x x
???????????? 8 分

∴ f ( x) 在 x ? (0, 1] 上是减函数,其最小值为 1 .

7

令 y ? 2bx ?

1 2 ,则 y ? ? 2b ? 3 . ∵ b ? ?1, x ? (0, 1] , 2 x x

∴ y ? ? 0 在 x ? (0, 1] 上恒成立. ∴ y ? 2bx ? 依题意, ?

1 在 x ? (0, 1] 上是增函数,其最大值为 2b ? 1 . x2
??????????? 12 分

? b ? ?1 ,解得 ? 1 ? b ? 1 为所求范围. ?2b ? 1 ? 1

(评分标准仅供参考)

8


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