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2013年全国高考理科数学试题分类汇编18:坐标系与参数方程


2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 18:坐标系与参数方程
一、选择题 1 . (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) 在极坐标系中,圆 p =2 cos ? 的 )

垂直于极轴的两条切线方程分别为 A. ? =0(? ? R )和? cos=2 C. ? = B. ? =





?
2

(? ? R)和? cos=2

?
2

(? ? R)和? cos=1

D. ? =0(? ? R )和? cos=1

【答案】B 二、填空题 2 . (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学 (理) (含答案) 已知圆的极坐标方程为 ? ? 4cos ? , 圆 试题 )

? ?? 心为 C, 点 P 的极坐标为 ? 4, ? , 则|CP| = ______. ? 3?
【答案】 2

3

3 . (2013 年高考上海卷(理) 在极坐标系中,曲线 )

? ? cos ? ? 1 与 ? cos ? ? 1 的公共点到极点的距离为

__________
【答案】

1? 5 . 2
? )到直线 ρ sinθ =2 的距离等于_________. 6

4 . (2013 年高考北京卷(理) 在极坐标系中,点(2, ) 【答案】1

5 . (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案) 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为 )

极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为 ? cos ? ? 4 的直线与曲线 ? 相交于 A, B 两点,则 AB ? ______
【答案】 16

?x ? t2 ? (为参数) 3 ?y ? t ?

6 . (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版) (坐标系与参数方程选讲选做题) )

? x ? 2 cos t ? ? ? C 的参数方程为 ? y ? 2 sin t (为参数), C 在点 ?1,1? 处的切线为,以坐标原点为极点, x 轴 已知曲线
的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________.

? sin ? ? ?
【答案】

? ?

??

?? 2 4?

7 . (2013 年高考陕西卷(理) C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角? 为参数, )

则圆 x 2 ? y 2 ? x ? 0 的参数方程为______ .
y P O θ

x

【答案】 ?

? x ? cos 2 ? ? y ? cos ? ? sin ?

,? ? R

8 . (2013 年高考江西卷(理) (坐标系与参数方程选做题)设曲线 C 的参数方程为 ? )

?x ? t ?y ? t
2

(为参数),若以

直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 c 的极坐标方程为__________
【答案】

? cos 2 ? ? sin ? ? 0

? x ? t, ? x ? 3cos ? , l:? (t 为参数)过椭圆 C : ? 9 . 2013 年高考湖南卷 ( (理) 在平面直角坐标系 xoy 中,若 ? y ? t ? a ) ? y ? 2sin ?

(?为参数)的 右顶点,则常数 a的值为 ________.
【答案】3

10 .( 2013 年 高 考 湖 北 卷 ( 理 )) 在 直 角 坐 标 系

xOy 中 , 椭 圆 C 的 参 数 方 程 为

? x ? a cos? ?? 为参数,a ? b ? 0 ? .在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 ? ? y ? b sin ?

O 为 极 点 ,以 x 轴 正 半 轴 为极 轴 )中 , 直线 与 圆 O 的 极 坐 标方 程 分别 为

? sin ? ? ?

? ?

??

2 m ? m为非零常数 ? 与 ? ? b .若直线经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 ?? 4? 2

C 的离心率为___________.
【答案】 三、解答题 11. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) 选修 4—4;坐标系与参数 )

6 3

方程

已 知 动 点 P, Q 都 在 曲 线 C : ?

? x ? 2cos ? (? 为 参 数 上 , 对 应 参 数 分 别 为 ? ? ? 与 ? y ? 2sin ?

? ? 2? (0 ? ? ? 2? ) , M 为 PQ 的中点.
(Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.

【答案】

12. (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) 选修 4-4:坐标系与参数方程 )

在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1 ,直线 C2 的极坐标方程分别为

? ? 4sin ? , ? ? cos ? ? ?

? ?

??

? ? 2 2. . 4?

(I)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (II)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为

?x ? t3 ? a ? ? b 3 ? t ? R为参数 ? ,求 a, b 的值. ? y ? t ?1 ? 2

【答案】

13. (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) 坐标系与参数方程:在平面直角 )

坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点 A 的极坐标为 ( 2, 线的极坐标方程为 ? cos(? ?

?
4

) ,直

?
4

) ? a ,且点 A 在直线上.

(1)求 a 的值及直线的直角坐标方程; (2)圆 c 的参数方程为 ?
【答案】解:(Ⅰ)由点

? x ? 1 ? cos ? ,( ? 为参数),试判断直线与圆的位置关系. ? y ? sin ?

A( 2, ) 在直线 ? cos(? ? ) ? a 上,可得 a ? 2 4 4

?

?

所以直线的方程可化为 ? cos ? ? ? sin ? ? 2 从而直线的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 (Ⅱ)由已知得圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? y ? 1
2 2

所以圆心为 (1, 0) ,半径 r ? 1

以为圆心到直线的距离 d ?

2 ? 1 ,所以直线与圆相交 2

14. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) C.[选修 4-4: )

坐标系与参数方程]本小题满分 10 分. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 直 线 的 参 数 方 程 为 ?

?x ? t ? 1 ( 为 参 数 ), 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 ? y ? 2t

? x ? 2 tan 2 ? ( ? 为参数),试求直线与曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标. ? ? y ? 2 tan ?
【答案】C 解:∵直线的参数方程为 ?

?x ? t ? 1 ∴消去参数后得直线的普通方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 ① ? y ? 2t


同理得曲线 C 的普通方程为 y 2 ? 2 x

①②联立方程组解得它们公共点的坐标为 (2,2) , ( ,?1) 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

1 2

15.2013 年高考新课标 1 理) 选修 4—4:坐标系与参数方程 ( ( )

? x ? 4 ? 5cos t (为 ? y ? 5 ? 5sin t

参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? . (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ).
【答案】将 ?

? x ? 4 ? 5cos t 消去参数,化为普通方程 ( x ? 4) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 25 , ? y ? 5 ? 5sin t ? x ? ? cos ? 代入 x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 得, y ? ? sin ? ?

即 C1 : x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 ,将 ?

? 2 ? 8? cos ? ? 10 ? sin ? ? 16 ? 0 ,
∴ C1 的极坐标方程为 ? 2 ? 8 ? cos ? ? 10 ? sin ? ? 16 ? 0 ; (Ⅱ) C2 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 , 由 ?

? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 ?x ? 1 ?x ? 0 ? 解得 ? 或 ? ,∴ C1 与 C2 的 交 点 的 极 坐 标 分 别 为 2 2 ?x ? y ? 2 y ? 0 ?y ?1 ?y ? 2 ?

( 2,

? ? ), (2, ) . 4 2


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