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高中数学高考总复习离散型随机变量的期望方差及正态分布习题及详解


高考总复习

高中数学高考总复习离散型随机变量的期望方差及正态分 布习题及详解
一、选择题 1.(2010· 新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没 有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( A.100 B.200 C.300 D.400 [答案] B [解析] 记“不发芽的种子数为 ξ”, ξ~B(1 000, 则 0.1), 所以 E(ξ)=1 000×0.1=100, 而 X=2ξ,故 E(X)=E(2ξ)=2E(ξ)=200,故选 B. 2.设随机变量 ξ 的分布列如下: )

ξ P

-1 a

0 b

1 c )

1 其中 a,b,c 成等差数列,若 E(ξ)= ,则 D(ξ)=( 3 4 A. 9 1 B.- 9 2 C. 3 5 D. 9 [答案] D

[解析] 由条件 a,b,c 成等差数列知,2b=a+c,由分布列的性质知 a+b+c=1,又 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 E(ξ)=-a+c= ,解得 a= ,b= ,c= ,∴D(ξ)= ×?-1-3?2+ ?0-3?2+ ?1-3?2= . ? 3? ? 2? ? 9 3 6 3 2 6 ? 3.某区于 2010 年元月对全区高三理科 1400 名学生进行了一次调研抽测,经统计发现 5 科总分 ξ(0<ξ<750)大致服从正态分布 N(450,1302),若 ξ 在(0,280)内取值的概率为 0.107, 则该区 1400 名考生中总分为 620 分以上的学生大约有(结果四舍五入)( A.100 人 B.125 人 C.150 人
含详解答案

)

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D.200 人 [答案] C [解析] 由条件知,P(ξ>620)=P(ξ<280)=0.107,1400×0.107≈150. 4.(2010· 山东济南模拟)下列判断错误的是( )

A.在 1000 个有机会中奖的号码(编号为 000~999)中,有关部门按照随机抽取的方式 确定后两位数字是 09 号码为中奖号码,这是用系统抽样方法确定中奖号码的; B.某单位有 160 名职工,其中业务人员 120 名,管理人员 24 名,后勤人员 16 名.要 从中抽取容量为 20 的要本,用分层抽样的方法抽取样本; C.在正常条件下电子管的使用寿命、零件的尺寸,在一定条件下生长的小麦的株高、 穗长、单位面积的产量等一般都服从正态分布; D.抛掷一枚硬币出现“正面向上”的概率为 0.5,则某人抛掷 10 次硬币,一定有 5 次 出现“正面向上”. [答案] D 5.(2010· 上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共 7 个,从中任取 2 个球,已知取到 6 白球个数的数学期望值为 ,则口袋中白球的个数为( 7 A.3 B.4 C.5 D.2 [答案] A [解析] 设白球 x 个, 则黑球 7-x 个, 取出的 2 个球中所含白球个数为 ξ, ξ 取值 0,1,2, 则 C7-x2 ?7-x??6-x? P(ξ=0)= 2 = , C7 42 x· ?7-x? x?7-x? P(ξ=1)= = , C 72 21 Cx2 x?x-1? P(ξ=2)= 2= , C7 42 ?7-x??6-x? x?7-x? x?x-1? 6 ∴0× +1× +2× = , 42 21 42 7 ∴x=3. 6.一台机器生产某种产品,如果生产一件甲等品可获利 50 元,生产一件乙等品可获利 30 元,生产一件次品,要赔 20 元,已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为 0.6、0.3 和 0.1,则这台机器每生产一件产品,平均预期可获利( A.39 元 B.37 元
含详解答案

)

)

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C.20 元 100 D. 元 3 [答案] B [解析] ξ 的分布列为 ξ p 50 0.6 30 0.3 -20 0.1

∴E(ξ)=50×0.6+30×0.3+(-20)×0.1=37(元),故选 B. 7.(2010· 广州市)某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动,现场准备的抽奖箱里放置了 分别标有数字 1000、800、600、0 的四个球(球的大小相同),参与者随机从抽奖箱里摸取一 球(取后即放回),公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金(元),并规定摸到标有数字 0 的 球时可以再摸一次,但是所得奖金减半(若再摸到标有数字 0 的球就没有第三次摸球机会), 求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元.( A.450 元 B.900 元 C.600 元 D.675 元 [答案] D 1 [解析] 摸到数字 0 的概率为 ,再摸一次,故得 500 元、400 元、300 元、0 元的概率 4 1 1 1 分别为 × = ,故分布列为 4 4 16 ξ P 1000 1 4 800 1 4 600 1 4 500 1 16 400 1 16 300 1 16 0 1 16 )

1 1 1 1 1 1 1 ∴E(ξ)=1000× +800× +600× +500× +400× +300× +0× =675. 4 4 4 16 16 16 16 8.小明每次射击的命中率都为 p,他连续射击 n 次,各次是否命中相互独立,已知命 中次数 ξ 的期望值为 4,方差为 2,则 p(ξ>1)=( 255 A. 256 9 B. 256 247 C. 256 7 D. 64 [答案] C )

含详解答案

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[解析] 由条件知 ξ~B(n,P),
?E?ξ?=4, ?np=4 ? ? ∵? ,∴? , ? ? ?D?ξ?=2 ?np?1-p?=2

1 解之得,p= ,n=8, 2 1 1 1 ∴P(ξ=0)=C80×?2?0×?2?8=?2?8, ? ? ? ? ? ? 1 1 1 P(ξ=1)=C81×?2?1×?2?7=?2?5, ? ? ? ? ? ? ∴P(ξ>1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1) 1 1 247 =1-?2?8-?2?5= . ? ? ? ? 256 9.某次国际象棋比赛规定,胜一局得 3 分,平一局得 1 分,负一局得 0 分,某参赛队 员比赛一局胜的概率为 a,平局的概率为 b,负的概率为 c(a,b,c∈[0,1)),已知他比赛一 局得分的数学期望为 1,则 ab 的最大值为( 1 A. 3 1 B. 2 1 C. 12 1 D. 6 [答案] C 1 1 3a+b?2 1 1 [解析] 由条件知,3a+b=1,∴ab= (3a)· · b≤ ? = ,等号在 3a=b= ,即 a 3 3 ? 2 ? 12 2 1 1 = ,b= 时成立. 6 2 ?x-μi? 1 10.(2010· 深圳市调研)已知三个正态分布密度函数 φi(x)= e- (x∈R,i= 2σi2 2πσi
2

)

1,2,3)的图象如图所示,则(

)

A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3 B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3 C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3 D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3
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[答案] D [解析] 正态分布密度函数 φ2(x)和 φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称,所以其平均 数相同,故 μ2=μ3,又 φ2(x)的对称轴的横坐标值比 φ1(x)的对称轴的横坐标值大,故有 μ1<μ2 =μ3.又 σ 越大,曲线越“矮胖”,σ 越小,曲线越“瘦高”,由图象可知,正态分布密度函 数 φ1(x)和 φ2(x)的图象一样“瘦高”,φ3(x)明显“矮胖”,从而可知 σ1=σ2<σ3. 二、填空题 11.(2010· 山东潍坊质检)如图,A、B 两点间有 5 条线并联,它们在单位时间内能通过 的信息量依次为 2,3,4,3,2.现从中任取 3 条线且记在单位时间内通过的信息总量为 ξ.则信息总 量 ξ 的数学期望为________.

[答案]

42 5

[解析] 由题意得,ξ 的可能取值为 7,8,9,10. C21C22+C22C11 3 C21C22 1 ∵P(ξ=7)= = , 3 = ,P(ξ=8)= C5 5 C53 10 C21C21C11 2 C22C11 1 P(ξ=9)= = ,P(ξ=10)= = , 3 C5 5 C53 10 ∴ξ 的分布列为: ξ P 7 1 5 8 3 10 9 2 5 10 1 10

1 3 2 1 42 E(ξ)= ×7+ ×8+ ×9+ ×10= . 5 10 5 10 5 12.(2010· 广东江门市模考)产量相同的机床Ⅰ、Ⅱ生产同一种零件,它们在一小时内生 产出的次品数 X1、X2 的分布列分别如下:

X1 P

0 0.4

1 0.4

2 0.1

3 0.1

X2 P

0 0.3

1 0.5

2 0.2

两台机床中,较好的是________,这台机床较好的理由是________. [答案] Ⅱ 因为 E(X1)=E(X2),D(X1)>D(X2)

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13.(2010· 南京调研)袋中装有大小相同的黑球和白球共 9 个,从中任取 2 个都是白球的 5 概率为 .现甲、乙两人从袋中轮流取球,甲先取,乙后取,然后甲再取?,每次取 1 个球, 12 取出的球不放回,直到其中有一人取到白球时终止.用 X 表示取球终止时取球的总次数. (1)袋中原有白球的个数为________. (2)随机变量 X 的数学期望 E(X)=________. 10 [答案] (1)6 (2) 7 [解析] (1)设袋中原有 n 个白球,则从 9 个球中任取 2 个球都是白球的概率为 n?n-1? 2 5 即 = ,化简得 n2-n-30=0. 12 9×8 2 解得 n=6 或 n=-5(舍去). 故袋中原有白球的个数为 6. (2)由题意,X 的可能取值为 1,2,3,4. 6 2 P(X=1)= = ; 9 3 3×6 1 P(X=2)= = ; 9×8 4 3×2×6 1 P(X=3)= = ; 9×8×7 14 3×2×1×6 1 P(X=4)= = . 9×8×7×6 84 所以 X 的概率分布列为: X P 1 2 3 2 1 4 3 1 14 4 1 84 Cn2 5 = , C92 12

2 1 1 1 10 所求数学期望 E(X)=1× +2× +3× +4× = . 3 4 14 84 7 14.(2010· 广东高考调研)如果随机变量 ξ~B(n,p),且 E(ξ)=4,且 D(ξ)=2,则 E(pξ -D(ξ))=________. [答案] 0 [解析] ∵ξ~B(n,p),且 E(ξ)=4,∴np=4, 1 又∵D(ξ)=2,∴np(1-p)=2,∴p= , 2 1 1 ∴E(pξ-D(ξ))=E( ξ-2)= E(ξ)-2=0. 2 2

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三、解答题 15.某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生是否选修哪门课程互不影响,已知某学生 只选修甲的概率为 0.08,只选修甲和乙的概率是 0.12,至少选修一门的概率是 0.88,用 ξ 表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积. (1)记“函数 f(x)=x2+ξx 为 R 上的偶函数”为事件 A,求事件 A 的概率; (2)求 ξ 的分布列和数学期望. [解析] 设该学生选修甲、乙、丙的概率分别是 x,y,z,

?x?1-y??1-z?=0.08 ? 由题意有?xy?1-z?=0.12 ?1-?1-x??1-y??1-z?=0.88 ? ?x=0.4 ? 解得?y=0.6 ?z=0.5 ?



.

(1)∵函数 f(x)=x2+ξx 为 R 上的偶函数,∴ξ=0. ξ=0 表示该学生选修三门功课或三门功课都没选. ∴P(A)=P(ξ=0)=xyz+(1-x)(1-y)(1-z) =0.4×0.6×0.5+0.12=0.24. (2)依题意 ξ=0,2,则 ξ 的分布列为 ξ P ∴E(ξ)=0×0.24+2×0.76=1.52. 16.(2010· 新乡市调研)高二下学期,学校计划为同学们提供 A、B、C、D 四门方向不同 的数学选修课,现在甲、乙、丙三位同学要从中任选一门学习(受条件限制,不允许多选, 也不允许不选). (1)求 3 位同学中,选择 3 门不同方向选修的概率; (2)求恰有 2 门选修没有被 3 位同学选中的概率; (3)求 3 位同学中,选择选修课程 A 的人数 ξ 的分布列与数学期望. A43 3 [解析] (1)设 3 位同学中,从 4 门课中选 3 门课选修为事件 M,则 P(M)= 3 = . 4 8 (2)设 3 位同学中,从 4 门课中选 3 门课选修,恰有 2 门没有选中为事件 N,则 P(N)= C42C32A22 9 = . 43 16 (3)由题意,ξ 的取值为 0、1、2、3. C31×3×3 27 33 27 则 P(ξ=0)= 3= ,P(ξ=1)= = , 4 64 43 64 0 0.24 2 0.76

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C32×3 9 1 1 P(ξ=2)= 3 = ,P(ξ=3)= 3= . 4 64 4 64 ∴ξ 的分布列为 ξ P 0 27 64 1 27 64 2 9 64 3 1 64

27 27 9 1 3 ∴E(ξ)=0× +1× +2× +3× = . 64 64 64 64 4 17.设两球队 A、B 进行友谊比赛,在每局比赛中 A 队获胜的概率都是 p(0≤p≤1). 2 (1)若比赛 6 局,且 p= ,求其中 A 队至多获胜 4 局的概率是多少? 3 (2)若比赛 6 局,求 A 队恰好获胜 3 局的概率的最大值是多少? (3)若采用“五局三胜”制,求 A 队获胜时的比赛局数 ξ 的分布列和数学期望. [解析] (1)设“比赛 6 局,A 队至多获胜 4 局”为事件 A, 则 P(A)=1-[P6(5)+P6(6)] 2 2 2 256 473 =1-?C65?3?5?1-3?+C66?3?6?=1- = . ? ? ?? ? ? ?? 729 729 473 ∴A 队至多获胜 4 局的概率为 . 729 (2)设“若比赛 6 局,A 队恰好获胜 3 局”为事件 B,则 P(B)=C63p3(1-p)3. 当 p=0 或 p=1 时,显然有 P(B)=0.

? 当 0<p<1 时,P(B)=C63p3(1-p)3=20· [p(1-p)]3≤20·? ??
1 当且仅当 p=1-p,即 p= 时取等号. 2 5 故 A 队恰好获胜 3 局的概率的最大值是 . 16

p+1-p?2?3 5 ?1 =20·2?6= ? ? 16 2 ??

(3)若采用“五局三胜”制,A 队获胜时的比赛局数 ξ=3,4,5. P(ξ=3)=p3, P(ξ=4)=C32p3(1-p)=3p3(1-p) P(ξ=5)=C42p3(1-p)2=6p3(1-p)2, 所以 ξ 的分布列为: ξ P 3 p3 4 3p3(1-p) 5 6p3(1-p)2

E(ξ)=3p3(10p2-24p+15). [点评] 本题第(3)问容易出错,“五局三胜制”不一定比满五局,不是“五局中胜三

局”.A 队获胜包括:比赛三局,A 队全胜;比赛四局,A 队前三局中胜两局,第四局胜; 比赛五局,前四局中胜两局,第五局胜,共三种情况.
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