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上海市松江区2013年高考一模数学试题(理)


松江区 2012 学年度第一学期高三期末考试 数学(理科)试卷
(满分 150 分,完卷时间 120 分钟)
2013.1 一、填空题: (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
2 1.已知集合 A ? ?0, a? , B ? 1, a ,若 A ? B ? ?0,1,4,16? ,则 a ?

?

?



2.若行列式

2 x?1 1

4 2

? 0 ,则 x ?



3.若函数 f ( x) ? 2x ? 3 的图像与 g ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称,则 g (5) = . 4.某林场有树苗 30000 棵,其中松树苗 4000 棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个容 量为 150 的样本,则样本中松树苗的数量为 . 5.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ? n ,则 a3 ?

? ? 6.己知 a ? (1,2sin ?) , b ? cos ?, 1 ,且 a ? b ,则 tan ? ? . ( ?) x2 y2 ? ? 1 的右焦点,顶点在椭圆的中心,则抛物线方程为 7.抛物线的焦点为椭圆 5 4 2 5 8.已知 lg x ? lg y ? 1 ,则 ? 的最小值为 . x y 2 2 2 9.在△ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,若 b ? c ? a ? bc ,且 bc ? 8 ,
则△ABC 的面积等于
7



.


2 4 2n n ??

10.若二项式 ( x ? a) 展开式中 x 5 项的系数是 7,则 lim(a ? a ? ? ? a 11.给出四个函数:① f ( x) ? x ?

)=



1 x ?x 3 ,② g ( x) ? 3 ? 3 ,③ u( x) ? x ,④ v( x) ? sin x ,其中满足条件: x 对任意实数 x 及任意正数 m ,都有 f (? x) ? f ( x) ? 0 及 f ( x ? m) ? f ( x) 的函数为 . (写出所有满
足条件的函数的序号) 12.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a ,再由乙猜想甲刚才想的数字,把乙猜的数 字记为 b ,且 a, b ? ?0,1,2,3,?9?,若 a ? b ? 1 ,则称甲乙“心有灵犀” .现找两个人玩这个游戏,得出他 们“心有灵犀”的概率为 . 13.已知 y ? f (x) 是定义在 R 上的增函数,且 y ? f ( x) 的图像关于点 (6, 0) 对称.若实数 x, y 满足不等式

f ( x2 ? 6x) ? f ( y 2 ? 8 y ? 36) ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的取值范围是



14.定义变换 T 将平面内的点 P( x, y)( x ? 0, y ? 0) 变换到平面内的点 Q( x , y ) .

x y ? ? 1( x ? 0, y ? 0) 经变换 T 后得到曲线 C1 ,曲线 C1 经变换 T 后得到曲线 C2 ? ,依次类推, 4 2 * 曲线 Cn?1 经变换 T 后得到曲线 Cn ,当 n ? N 时,记曲线 Cn 与 x 、 y 轴正半轴的交点为 An (an ,0) 和
若曲线 C0 :

Bn (0, bn ) .某同学研究后认为曲线 Cn 具有如下性质:
①对任意的 n ? N ,曲线 Cn 都关于原点对称;
* * *

②对任意的 n ? N ,曲线 Cn 恒过点 (0, 2) ; ③对任意的 n ? N ,曲线 Cn 均在矩形 OAn Dn Bn (含边界)的内部,其中 Dn 的坐标为 Dn (an , bn ) ; ④记矩形 OAn Dn Bn 的面积为 Sn ,则 lim S n ? 1
n ??

其中所有正确结论的序号是



二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答题纸相应编 号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.
1 1

15.过点 (1,0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是(

)

A . x ? 2 y ?1 ? 0 ; C . 2x ? y ? 2 ? 0 ;

B . x ? 2 y ?1 ? 0 ; D . x ? 2 y ?1 ? 0
2 2

16.对于原命题: “已知 a、b、c ? R ,若 a ? b ,则 ac ? bc ” ,以及它 的逆命题、否命题、逆否命题, 在这 4 个命题中,真命题的个数为( ) A .0 个 B .1 个; D .4 个 C .2 个; 17.右图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 值.若 要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值有( )

A .1 个; B .2 个; C .3 个; D .4 个. 18.设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 1 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 且当 x ? [?2, 0] 时, f ( x) ? ( ) x ? 1 .若在区间 2 (?2, 6] 内关于 x 的方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有 3 个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是
( )

A . (1, 2) ;

B . (2, ??) ;

C . (1, 3 4) ;

D . ( 3 4, 2) .

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 已知 a ? (2cos x,1) , b ? (cos x, 3sin 2x) ,其中 x ? R .设函数 f ( x) ? a ? b ,求 f ( x ) 的最小正周期、最 大值和最小值. 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 已知 z ? C ,且满足 z ? ( z ? z )i ? 5 ? 2i .
2

?

?

? ?

(1)求 z ; (2)若 m ? R , w ? zi ? m ,求证: w ? 1 . 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼 在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度 v (单位:千克/年)是养殖密度 x (单位:尾/立方米)的函数.当 ;当 x 不超过 4(尾/立方米)时, v 的值为 2 (千克/年) 4 ? x ? 20 时, v 是 x 的一次函数;当 x 达到 20 (尾 /立方米)时,因缺氧等原因, v 的值为 0 (千克/年) . (1)当 0 ? x ? 20 时,求函数 v( x) 的表达式; (2)当养殖密度 x 为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米) f ( x) ? x ? v( x) 可以达到最大,并求出 最大值. 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分 已知递增的等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,且 a1 、 a2 、 a4 成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)设数列 {cn } 对任意 n ? N ,都有
*

c c1 c2 ? 2 ? ? ? n ? an ?1 成立,求 c1 ? c2 ? ? ? c2012 的值. 2 2 2n

(3)若 bn ?

an ?1 (n ? N * ) ,求证:数列 {bn } 中的任意一项总可以表示成其他两项之积. an

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分

2

2

对于双曲线 C :

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) ,定义 C1 : 2 ? 2 ? 1 为其伴随曲线,记双曲线 C 的左、 a2 b a b

右顶点为 A 、 B . (1)当 a ? b 时,记双曲线 C 的半焦距为 c ,其伴随椭圆 C1 的半焦距为 c1 ,若 c ? 2c1 ,求双曲线 C 的渐近 线方程; (2)若双曲线 C 的方程为 轨迹方程; (3)过双曲线 C : x2 ? y 2 ? 1 的左焦点 F ,且斜率为 k 的直线 l 与双曲线 C 交于 N1 、 N 2 两点,求证:对任 意的 k ? [?2 4 , 2 4 ] ,在伴随曲线 C1 上总存在点 S ,使得 FN1 ? FN 2 ? FS .
? 1 ? 1

x2 y 2 ? ? 1 ,弦 PQ ? x 轴,记直线 PA 与直线 QB 的交点为 M ,求动点 M 的 4 2

???? ???? ? ?

??? 2 ?

松江区 2012 学年度第一学期高三期末考试 数学(理科)试卷参考答案
2013.1 1. 4 3. 1 2. 2 4. 20

3

3

5. 5 7. y
2

6.

1 2

? 4x

8. 2 10.

9. 2 3 11.③ 13. [16,36] 15.D 16. C

1 2 7 12. 25
14. ③④ 18.D ????????? 3 分

17.C

19.解:由题意知 f ( x) ? a ? b ? 2cos2 x ? 3sin 2x

? ?

cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2x 2 ? cos 2x ? 3 sin 2x ? 1 ?? ? ????????????? 6 分 ? 2sin ? 2x ? ? ? 1 6? ? 2? ?? ∴最小正周期 T ? ????????8 分 2 ? ? 当 2x ? ? ? 2k? ,即 x ? ? ? k? , ? k ? Z ? 时, f ( x)max ? 2 ? 1 ? 3 ??????10 分 6 2 6 ? 3? ? 2k? ,即 x ? 2? ? k? , ? k ? Z ? 时, f ? x ?min ? ?2 ? 1 ? ?1????12 分 当 2x ? ? 6 2 3 2 2 2 20.解: (1)设 z ? a ? bi(a, b ? R) ,则 z ? a ? b , ( z ? z)i ? 2ai ????2 分 ? 2?
由 a ? b ? 2ai ? 5 ? 2i
2 2

得?

?a 2 ? b2 ? 5

? 2a ? 2 ?a ?1 ? a ?1 解得 ? 或 ? ???????????? 5 分 ?b ? 2 ?b ? ?2 ∴ z ? 1 ? 2i 或 z ? 1 ? 2i ???????????? 7 分 (2)当 z ? 1 ? 2i 时,

???????????4 分

w ? zi ? m ? (1 ? 2i)i ? m ? ?2 ? i ? m ? (m ? 2) 2 ? 1 ? 1 ???????? 10 分 当 z ? 1 ? 2i 时,

w ? zi ? m ? (1 ? 2i )i ? m ? 2 ? i ? m ? (m ? 2) 2 ? 1 ? 1 ?????????13 分
∴ w ?1 21.解: (1)由题意:当 0 ? x ? 4 时, v ? x ? ? 2 ; ???????????14 分 ??????????2 分

当 4 ? x ? 20 时,设 v?x ? ? ax ? b ,显然 v?x ? ? ax ? b 在 [4, 20] 是减函数,

1 ? ?a ? ? 8 ?20a ? b ? 0 ? 由已知得 ? ,解得 ? ? 4a ? b ? 2 ?b ? 5 ? ? 2 ?2, 0 ? x ? 4, x ? N * ? 故函数 v?x ? = ? 1 5 4 ? x ? 20, x ? N * ?? x ? , 2 ? 8

??????????4 分

??????????6 分

4

4

?2 x, 0 ? x ? 4, x ? N * ? (2)依题意并由(1)可得 f ?x ? ? ? 1 2 5 ???8 分 ? x ? x, 4 ? x ? 20, x ? N *. ? 2 ? 8 当 0 ? x ? 4 时, f ?x ? 为增函数,故 fmax ? x ? ? f (4) ? 4 ? 2 ? 8 ; ????10 分
1 2 5 1 2 1 100 2 当 4 ? x ? 20 时, f ? x ? ? ? x ? x ? ? ( x ? 20 x) ? ? ( x ? 10) ? , 8 2 8 8 8 ??????????12 分 fmax ? x ? ? f (10) ? 12.5 .
所以,当 0 ? x ? 20 时, f ?x ? 的最大值为 12.5 . 当养殖密度为 10 尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值约为 12.5 千克/立方米. ??????????14 分 22.解: (1)∵ ?an ? 是递增的等差数列,设公差为 d (d ? 0) ????????1 分
2 ? a1 、 a2 、 a4 成等比数列,∴a2 =a1 ? a4
2

????????2 分

???????????3 分 ( 1? d ) ? ? ?1 d 3 及 d ? 0 得 d ? 1 1 ( ) ∴ an ? n(n ? N*) ???????????4 分 c c c * (2)∵ an?1 ? n ? 1, 1 ? 2 ? ? ? n ? n ? 1 对 n ? N 都成立 2 n 2 2 2 c1 当 n ? 1 时, ? 2 得 c1 ? 4 ???????????5 分 2 c c c c c c 当 n ? 2 时,由 1 ? 2 ? ? ? n ? n ? 1 ①,及 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ② 2 n 2 2 2 2 2 2 2n ?1 c ①-②得 n ? 1 ,得 cn ? 2n ????7 分 2n 由
2

∴ cn ? ?

? 4 (n ? 1) n ?2 (n ? 2)
2 3 2012

?????8 分

∴ c1 ? c2 ? ? ? c2012 ? 4 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
*

? 4?
*

22 (1 ? 22011 ) ? 22013 ????10 分 1? 2
???11 分

(3)对于给定的 n ? N ,若存在 k , t ? n, k , t ? N ,使得 bn ? bk ? bt ∵ bn ?

n ?1 n ?1 k ?1 t ?1 ? ? ,只需 , ???????12 分 n n k t 1 1 1 1 1 1 1 即 1 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ,即 ? ? ? n k t n k t kt n(k ? 1) 即 kt ? nt ? nk ? n , t ? 取 k ? n ? 1 ,则 t ? n(n ? 2) ???????14 分 k ?n n ?1 n?2 n 2 ? 2n ? 1 ∴对数列 {bn } 中的任意一项 bn ? ,都存在 bn ?1 ? 和 bn2 ? 2 n ? n n ?1 n 2 ? 2n 使得 bn ? bn?1 ? bn2 ?2n ?????????16 分
23.解: (1)∵ c ? a2 ? b2 , c1 ?

a 2 ? b2
2 2 2

?????????1 分
2

由 c ? 2c1 ,得 a2 ? b2 ? 2 a2 ? b2 ,即 a ? b ? 4(a ? b ) 可得

b2 3 ? a2 5

?????????3 分

∴ C 的渐近线方程为 y ? ?

15 x 5
5

?????????4 分

5

(2)设 P( x0 , y0 ) , Q( x0 , ? y0 ) ,又 A(?2, 0) 、 B(2, 0) , ∴直线 PA 的方程为 y ?

y0 ( x ? 2) ????① x0 ? 2 ? y0 直线 QB 的方程为 y ? ( x ? 2) ????② x0 ? 2

????????6 分

4 ? ? x0 ? x ? 由①②得 ? ?y ? 2y ? 0 x ?
∵ P( x0 , y0 ) 在双曲线

????????????8 分

x2 y 2 ? ?1上 4 2 x2 y 2 ? ?1 4 2
????????????10 分

42 4 y 2 2 2 ∴ x ? x ?1 4 2



(3)证明:点 F 的坐标为 F (? 2,0) ,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 设 N1 、 N 2 的坐标分别为 N1 ( x1 , y1 ) 、 N2 ( x2 , y2 ) ???????????11 分 则由 ?

? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 ? x ? y ?1 ?

得 x2 ? k 2 ( x ? 2)2 ? 1 ,

即 (1 ? k 2 ) x2 ? 2 2k 2 x ? (2k 2 ?1) ? 0 , 当 k ? ?1 时, ∵ ? ? 8k 4 ? 4(1 ? k 2 )(2k 2 ? 1) ? 8k 4 ? 8k 4 ? 4k 2 ? 4 ? 4k 2 ? 4 ? 0 ∴ x1 ? x2 ?

2k 2 ? 1 2 2k 2 , x1 ? x2 ? ? ?????????13 分 1? k 2 1? k 2 ???? ???? ? ? FN1 ? FN2 ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x2 ? 2, y2 ) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2

? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? k ( x1 ? 2)k ( x2 ? 2) ? (1 ? k 2 )[ x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 2]
2k 2 ? 1 2 2k 2 1? k 2 ? 2? ? 2) ? 1? k 2 1? k 2 1? k 2 1 1 ? ? 2 2 4 由 k ? [?2 , 2 4 ] 知 k ? [0, ], 2 1? k 2 ? [1,3 ? 2 2] ?????????????16 分 ∴ 1? k 2 2 2 ∵ 双 曲 线 C : x ? y ? 1 的 伴 随 曲 线 是 圆 C1 : x2 ? y 2 ? 1 , 圆 C1 上 任 意 一 点 S 到 F 的 距 离 ? (1 ? k 2 )(?

SF ?[ 2 ? 1,1 ? 2] , ??? 2 ? ∴ SF ?[3 ? 2 2,3 ? 2 2]


?????????????17 分

[ 1, ? 3

2 2] ?
1 ? 4

?3 [
1 ? 4

2 2,3 ?

2 2]

∴对任意的 k ? [?2 , 2 ] ,在伴随曲线 C1 上总存在点 S , 使得 FN1 ? FN 2 ? FS ????????????18 分

???? ???? ? ?

??? 2 ?

6

6


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