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2012年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案


2012 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知等差数列{ an }的前 3 项分别为 2、4、6,则数列 { an }的第 4 项为 A.7 B.8 C.10 D.12 2.如图是一个几何体的三视图,则该几何体为 A.球 B.圆柱 C.圆台

D.圆锥 3.函数 f ( x) ? ( x ? 1)(x ? 2) 的零点个数是 A.0 B.1 C.2 D.3
正视图 侧视图

俯视图 (第 2 题图)

4.已知集合 ? ? {?1,0,2} , ? ? {x,3} ,若 ? ? ? ? {2} ,则 x 的值为 A.3 B.2 C.0 D.-1

5.已知直线 l1 : y ? 2 x ? 1 , l 2 : y ? 2 x ? 5 ,则直线 l1 与 l 2 的位置关系是 A.重合 C.相交但不垂直 B.垂直 D.平行

6.下列坐标对应的点中,落在不等式 x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域内的是 A. (0,0) B. (2,4) C. (-1,4) D. (1,8) 7.某班有 50 名同学,将其编为 1、2、3、?、50 号,并按编号从小到大平均分 成 5 组.现用系统抽样方法,从该班抽取 5 名同学进行某项调查,若第 1 组抽取 的学生编号为 3,第 2 组抽取的学生编号为 13,则第 4 组抽取的学生编号为 A.14 B.23 C.33 D.43 8.如图,D 为等腰三角形 ABC 底边 AB 的中点,则下列 C 等式恒成立的是 A. CA ? CB ? 0 C. CA ? CD ? 0 9.将函数 y ? sin x 的图象向左平移 的图象对应的函数解析式为 ? A. y ? sin( x ? ) 3 2? ) C. y ? sin( x ? 3 B. CD ? AB ? 0 D. CD ? CB ? 0

? 个单位长度,得到 3

A

D (第 8 题图)

B

? B. y ? sin( x ? ) 3 2? ) D. y ? sin( x ? 3
1

10.如图,长方形的面积为 2,将 100 颗豆子随机地撒在长方形内,其中恰好有 60 颗豆子落在阴影部分内,则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积 为 2 4 A. B. 3 5 6 4 C. D. 5 3 (第 10 题图) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分. 11.比较大小: log2 5 ) log2 3 (填“>”或“<”. .

12.已知圆 ( x ? a) 2 ? y 2 ? 4 的圆心坐标为 (3,0) ,则实数 a ?

13.某程序框图如图所示,若输入的 a, b, c 值分别为 3,4,5,则输出的 y 值 为 .
开始 输入 a,b,c

1 3 14.已知角 ? 的终边与单位圆的交点坐标为( , ) , 2 2

则 cos? = . 15.如图,A,B 两点在河的两岸,为了测量 A、B 之间 的距离,测量者在 A 的同侧选定一点 C,测出 A、C 之间 的距离是 100 米,∠BAC=105?,∠ACB=45?,则 A、B 两点之间的距离为 米.
B

y?

a?b?c 3
输出 y 结束

河 (第 13 题图)
105?

A

45?

C

(第 15 题图)

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 16. (本小题满分 6 分) 已知函数 y ? f (x) ( x ? [?2,6] )的图象如图.根据图象写出: (1)函数 y ? f (x) 的最大值; (2)使 f ( x) ? 1 的 x 值.
2 1 -2 2

y

-1 O -1

5

6

x

(第 16 题图)
2

17. (本小题满分 8 分) 一批食品,每袋的标准重量是 50 g ,为了了解这批食品的实际重量情况, 从中随机抽取 10 袋食品, 称出各袋的重量 (单位:g ) 并得到其茎叶图 , (如图) . (1)求这 10 袋食品重量的众数,并估计这批食品实际重量的平均数; (2)若某袋食品的实际重量小于或等于 47 g ,则视为不合格产品,试估计这批 食品重量的合格率.
4 5 5 6 6 9 0 0 0 1 1 2

(第 17 题图)

18. (本小题满分 8 分) 如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,D1D⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是 正方形,且 AB=1,D1D= 2 . (1)求直线 D1B 与平面 ABCD 所成角的大小; (2)求证:AC⊥平面 BB1D1D.
D1 A1 C1

B1

D A

C B

(第 18 题图)

3

19. (本小题满分 8 分) 已知向量 a =( sin x ,1) =( cos x ,1) x ?R. ,b , ? (1)当 x ? 时,求向量 a + b 的坐标; 4 (2)若函数 f (x) ? |a + b|2 ? m 为奇函数,求实数 m 的值.

20. (本小题满分 10 分) 已知数列{ an }的前 n 项和为 S n ? 2 n ? a ( a 为常数, n ?N*). (1)求 a1 , a2 , a3 ; (2)若数列{ an }为等比数列,求常数 a 的值及 an ; (3)对于(2)中的 an ,记 f (n) ? ? ? a2n?1 ? 4? ? an?1 ? 3 ,若 f (n) ? 0 对任意的正 整数 n 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

4

2012 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
参考答案 一、选择题(每小题 4 分,满分 40 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 D 6 A 7 C
1 ; 2

8 B

9 A

10 C

二、填空题(每小题 4 分,满分 20 分) 11.>; 12. 3; 13.4; 14. 15. 100 2 .

三、解答题(满分 40 分) 16.解: (1)由图象可知,函数 y ? f (x) 的最大值为 2; (2)由图象可知,使 f ( x) ? 1 的 x 值为-1 或 5. 17.解: (1)这 10 袋食品重量的众数为 50( g ) , ???????3 分 ?????6 分 ??????2 分

因为这 10 袋食品重量的平均数为 45 ? 46 ? 46 ? 49 ? 50 ? 50 ? 50 ? 51 ? 51 ? 52 ? 49 ( g ) , 10 所以可以估计这批食品实际重量的平均数为 49( g ) ; ?????4 分

(2)因为这 10 袋食品中实际重量小于或等于 47 g 的有 3 袋,所以可以估计这
3 7 ,故可以估计这批食品重量的合格率为 . 8 分 10 10 18. (1)解:因为 D1D⊥面 ABCD,所以 BD 为直线 B D1 在平面 ABCD 内的射 影, 所以∠D1BD 为直线 D1B 与平面 ABCD 所成的角, ???????2 分

批食品重量的不合格率为

又因为 AB=1,所以 BD= 2 ,在 Rt△D1DB 中, tan?D1 BD ?

D1 D ? 1, BD

所以∠D1BD=45?,所以直线 D1B 与平面 ABCD 所成的角为 45?; 4分 (2)证明:因为 D1D⊥面 ABCD,AC 在平面 ABCD 内,所以 D1D⊥AC, 又底面 ABCD 为正方形,所以 AC⊥BD, ???????6 分 因为 BD 与 D1D 是平面 BB1D1D 内的两条相交直线, 所以 AC⊥平面 BB1D1D. ??????????8 分 ? 19.解: (1)因为 a =( sin x ,1) =( cos x ,1) x ? , ,b , 4 所以 a + b ? (sin x ? cos x,2) ? ( 2,2) ; (2)因为 a + b ? (sin x ? cos x,2) , ???????4 分

5

所以 f ( x) ? (sin x ? cos x) 2 ? 4 ? m ? sin 2x ? 5 ? m , 因为 f (x) 为奇函数,所以 f (? x) ? ? f ( x) , 即 sin(?2 x) ? 5 ? m ? ? sin 2 x ? 5 ? m ,解得 m ? ?5 .

?????6 分

?????8 分

注:由 f (x) 为奇函数,得 f (0) ? 0 ,解得 m ? ?5 同样给分. 20.解: (1) a1 ? S1 ? a ? 2 , 由 S 2 ? a1 ? a2 ,得 a2 ? 2 , 由 S3 ? a1 ? a2 ? a3 ,得 a3 ? 4 ; ????????1 分 ????????2 分 ???????3 分

(2)因为 a1 ? a ? 2 ,当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2 n?1 , 又{ an }为等比数列,所以 a1 ? 1 ,即 a ? 2 ? 1 ,得 a ? ?1 , 故 an ? 2 n?1 ; ????5 分

?????????????6 分 ??????7 分

(3)因为 an ? 2 n?1 ,所以 f (n) ? ? ? 2 2n ? 4? ? 2 n ? 3 ,

令 t ? 2 n ,则 t ? 2 , f (n) ? ? ? t 2 ? 4? ? t ? 3 ? ? (t ? 2) 2 ? 4? ? 3 , 设 g (t ) ? ? (t ? 2) 2 ? 4? ? 3 , 当 ? ? 0 时, f (n) ? ?3 ? 0 恒成立, ???????8 分

当 ? ? 0 时, g (t ) ? ? (t ? 2) 2 ? 4? ? 3 对应的点在开口向上的抛物线上,所以
f (n) ? 0 不可能恒成立,

?????9 分

当 ? ? 0 时 , g (t ) ? ? (t ? 2) 2 ? 4? ? 3 在 t ? 2 时 有 最 大 值 ? 4? ? 3 , 所 以 要 使
f ( n ) ? 0 对 任 意 的 正 整 数 n 恒 成 立 , 只 需 ? 4? ? 3 ? 0 , 即 ? ? ?
? 3 ? ? ? 0, 4
3 ,此时 4

综上实数 ? 的取值范围为 ?

3 ? ? ? 0. ??????????10 分 4 说明:解答题如有其它解法,酌情给分.

6


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