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2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—江苏卷


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)解析版

数学Ⅰ
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1. 已知集合 A={ ?2,?1,3,4 }, B ? {?1,2,3} ,则 A ? B ? ▲ . 2. 已知复数 z ? (5 ? 2i) 2 (i 为虚数

单位),则 z 的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的 n 的值是 ▲ . 开始
n?0
n ? n ?1

2 n ? 20

N

Y 输出 n 结束 (第 3 题) 4. 从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 ▲ . 5. 已知函数 y ? cos x 与 y ? sin(2 x ? ? ) (0≤ ? ? ? ),它们的图象有一个横坐标为 是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的 60 株 树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于 100cm.
频率 组距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010

?
3

的交点,则 ? 的值

80

90 100 110 120 130 底部周长/cm

(第 6 题)

7. 在各项均为正数的等比数列 {a n } 中, a 2 ? 1, a8 ? a 6 ? 2a 4 ,则 a6 的值是 ▲ . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为 S1 , S 2 ,体积分别为 V1 ,V2 ,若它们的侧面积相等,且 则
V1 的值是 V2 S1 9 ? , S2 4



.

9. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 被圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 截得的弦长 为 ▲ . 10. 已知函数 f ( x) ? x2 ? mx ? 1 ,若对于任意 x ? [m, m ? 1] ,都有 f ( x) ? 0 成立,则实数 m 的取值范 围是 ▲ .

b (a,b 为常数)过点 P (2,?5) ,且该曲线在点 P 处的 x 切线与直线 7 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则 a ? b 的值是 ▲ .
11. 在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y ? ax 2 ? 12. 如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB ? 8 , AD ? 5 , CP ? 3PD , AP ? BP ? 2 ,则 AB ? AD 的 值是 ▲ . D P C

A

(第 12 题)

B
1 . 若函数 2

13. 已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x ?[0,3) 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ?
y ? f ( x) ? a 在区间 [ ?3,4] 上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是

▲ .

14. 若△ ABC 的内角满足 sin A ? 2 sin B ? 2 sin C ,则 cos C 的最小值是 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明 ....... 过程或演算步骤.
5 ? 15. (本小题满分 14 分)已知 ? ? ( , ? ) , sin ? ? . 5 2 ? 5? (1)求 sin( ? ? ) 的值; (2)求 cos( ? 2? ) 的值. 4 6 16. (本小题满分 14 分)

如图,在三棱锥 P ? ABC 中, D ,E,F 分别为棱 PC, AC, AB 的中点.已知 PA ? AC , PA ? 6 ,
BC ? 8 , DF ? 5 .

求证:(1) 直线 PA // 平面 DEF ; (2) 平面 BDE ? 平面 ABC .

P

D

A F

E B (第 16题)

C

17. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 右焦点, 顶点 B ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a 2 b2 的坐标为 (0, b) ,连结 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,连结 F1C .
如图, 在平面直角坐标系 xOy 中,F1 , F2 分别是椭圆

4 1 (1) 若点 C 的坐标为 ( , ) ,且 BF2 ? 2 ,求椭圆的方程; 3 3
(2) 若 F1C ? AB ,求椭圆离心率 e 的值. y B C

F1 O

F2 A

x

(第 17 题) 18. (本小题满分 16 分) 如图,为了保护河上古桥 OA ,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区. 规划要求:新 桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆. 且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m. 经测量,点 A 位于点 O 正北方向 60m 处,点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸), tan ?BCO ? (1) 求新桥 BC 的长; (2) 当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大? 北 B A 60 m M O 170 m C 东

4 . 3

(第 18 题) 19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? e ? x ,其中 e 是自然对数的底数. (1) 证明: f ( x) 是 R 上的偶函数; (2) 若关于 x 的不等式 mf ( x ) ≤ e ? x ? m ? 1 在 (0,??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围;
3 (3) 已知正数 a 满足:存在 x0 ? [1,??) ,使得 f ( x0 ) ? a(? x0 ? 3x0 ) 成立.

试比较 e a ?1 与 a e ?1 的大小,并证明你的结论.

20. (本小题满分 16 分) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n .若对任意正整数 n ,总存在正整数 m ,使得 S n ? a m ,则称 {a n } 是 “H 数列”. (1) 若数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? 2 n ( n ? N ? ),证明: {a n } 是“H 数列” ; (2) 设 {a n } 是等差数列,其首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 . 若 {a n } 是“H 数列” ,求 d 的值; (3) 证明:对任意的等差数列 {a n } ,总存在两个“H 数列” {bn } 和 {c n } ,使得 a n ? bn ? c n ( n ? N ? )成立.

数学Ⅱ(附加题)
21.[选修 4—1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,AB 是圆 O 的直径,C、D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点. 证明:∠OCB=∠D.

(第 21—A 题)

22.[选修 4—2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)
?2 ? ??1 2 ? ?1 1 ? 已知矩阵 A ? ? ,B ? ? ,向量 α ? ? ? ,x,y 为实数.若 Aα ? Bα ,求 x+y 的值. ? ? ? 1 x? ?2 ?1? ? y?

23.[选修 4—4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
? x ?1? ? ? 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程 ? ?y ? 2 ? ? ? 2 t, 2 (t为参数) ,直线 l 与抛物线 2 t; 2

y 2 ? 4 x 相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.

24.[选修 4—4:不等式证明选讲](本小题满分 10 分) 已知 x>0,y>0,证明: (1 ? x2 ? y)(1 ? x ? y 2 ) ≥ 9xy . 25. (本小题满分 10 分) 盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球,3 个黄球和 2 个绿球,这些球除颜色外完全相同. (1) 从盒中一次随机取出 2 个球,求取出的 2 个球颜色相同的概率 P; (2) 从盒中一次随机取出 4 个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 x1、x2、x3, 随机变量 X 表示 x1、x2、x3 中的最大数,求 X 的概率分布和数学期望 E(X). 26. (本小题满分 10 分)

sin x ( x ? 0) ,设 f n ( x) 是 f n?1 ( x) 的导数, n ? N* . x π π π (1) 求 2 f1 ( ) ? f 2 ( ) 的值; 2 2 2
已知函数 f ( x) ?
π π π 2 (2) 证明:对于任意 n ? N* ,等式 nf n ?1 ( ) ? f n ( ) ? 都成立. 4 4 4 2

参考答案 一、选择题 1. 【答案】 {?1,3} 解析:由题意得 A
B ? {?1,3}

【考点】交集、并集、补集 (B). 【答案】 {?1,3} 【解析】根据集合的交集运算,两个集合的交集就是所有既属于集合 A 又属于集合 B 的元素组成的 集合,从所给的两个集合的元素可知,公共的元素为-1 和 3,所以答案为 {?1,3} 【点评】本题重点考查的是集合的运算,容易出错的地方是审错题目,把交集运算看成并集运算。 属于基础题,难度系数较小。 2. 【答案】21 解析:由题意 z ? (5 ? 2i)2 =25+20i ? 4 ? 21 ? 20i ,其实部为 21. 【考点】复数的概念 (B). 【答案】21 【解析】根据复数的乘法运算公式, z ? (5 ? 2i) 2 ? 52 ? 2 ? 5 ? 2i ? (2i) 2 ? 21? 20i ,实部为 21, 虚部为-20。
2 【点评】本题重点考查的是复数的乘法运算公式,容易出错的地方是计算粗心,把 i ? ?1 算为 1。

属于基础题,难度系数较小。 3. 【答案】5 解析:本题实质上就是求不等式 2n ? 20 的最小整数解, 2n ? 20 整数解为 n ? 5 ,因此输出的 n ? 5 . 【考点】流程图 (A). 【答案】5
n 【解析】根据流程图的判断依据,本题 2 ? 20 是否成立,若不成立,则 n 从 1 开始每次判断完后循

环时, n 赋值为 n ? 1 ;若成立,则输出 n 的值。本题经过 4 次循环,得到 n ? 5,2 ? 2 ? 32 ? 20,
n 5

成立,则输出的 n 的值为 5 【点评】本题重点考查的是流程图的运算,容易出错的地方是判断循环几次时出错。属于基础题, 难度系数较小。 4. 【答案】

1 3

2 解析:从 1,2,3,6 这 4 个数中任取 2 个数共有 C4 ? 6 种取法,其中乘积为 6 的有 1, 6 和 2,3 两种取

法,因此所求概念为 P ? 【考点】古典概型 (B). 【答案】

2 1 ? . 6 3

1 3 1 。 3

【解析】将随机选取 2 个数的所有情况“不重不漏”的列举出来: (1,2) , (1,3) (1,6) , (2,3) , (2,6) , (3,6) ,共 6 种情况,满足题目乘积为 6 的要求的是(1,6)和(2,3) ,则概率为

【点评】本题主要考查的知识是概率,题目很平稳,考生只需用列举法将所有情况列举出来,再将 满足题目要求的情况选出来即可。本题属于容易题,但同时也易在列举时粗心、遗漏,需要引起考 生的注意。 5. 【答案】

? 6

解析:由题意 cos 所以

?
3

? sin(2 ?

?
3

? ? ) ,即 sin(

2? 1 ? ?) ? , 3 2

2? ? 2? 5? ? ? ? ? ? 2k? ? 或 ? ? ? 2k? ? (k ? Z) ,即 ? ? 2k? ? 或 ? ? 2k? ? (k ? Z) . 3 6 3 6 2 6

又 0 ? ? ? ? ,所以 ? ?

. 6 【考点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 (B),三角函数的概念(B). 已知三角函数值求角) 【答案】

?

(三角函数图象的交点与

? ? 的交点,所以将 分别代入两个函数,得到 3 3 1 ? 1 ? 2 ? cos ? ? sin( 2 ? ? ) , 通 过 正 弦 值 为 ? ? ? ? ? 2k? , (k ? Z ) 或 , 解 出 2 3 2 3 3 6 2 5? ? ? ? ?? ? ? 2k? , (k ? Z ) ,化简解得 ? ? ? ? 2k? , (k ? Z ) 或 ? ? ? 2k? , (k ? Z ) ,结合题 3 6 2 6 ? 目中 ? ? [0, ? ] 的条件,确定出 ? ? 。 6 1 ? 【点评】本题主要考查的是三角函数,由两个图象交点建立一个关于 ? 的方程 ? sin(2 ? ? ) , 2 3 2 ? 在解方程时,考生一般只想到第一种情况 ? ? ? ? ? 2k? , (k ? Z ) ,忽略了在一个周期内,正弦 3 6 1 ? 5 2 5? ? 2k? , (k ? Z ) 解出, 值为 的角有两个: 和 ? ,然而最终答案却由第二种情况 ? ? ? ? 2 6 6 3 6 1 ? 此处为考生的易错点和薄弱点,主要是由于对正弦值为 的角的惯性思维为 ,这个问题也是今年 2 6
【解析】根据题目中两个函数的图象有一个横坐标为 的热点问题,在模拟题中也经常出现,需要引起考生的重视。 6. 【答案】24 解析:由题意在抽测的 60 株树木中,底部周长小于 100cm 的株数为(0.015+0.025) ? 10 ? 60=24.

? 6

【考点】总体分布的估计 (A). (频率分布直方图) 【答案】24 【解析】从图中读出底部周长在 [80,90] 的频率为 0.015 ?10 ? 0.15 ,底部周长在 [90,100] 的频率为

0.025 ?10 ? 0.25 ,样本容量为 60 株, (0.15 ? 0.25) ? 60 ? 24 株是满足题意的。
【点评】本题考查统计部分的内容,重点考查频率分布直方图。频率分布直方图的纵轴表示
频率 组距



图中读出的数据 0.015 并非是频率,需要乘以组距 10 以后才为频率。频率分布直方图近三年的江苏 考卷中都未出现,今年也是作为高考热点出现了,希望引起重视。 7. 【答案】4 解析:设公比为 q ,因为 a2 ? 1 ,则由 a8 ? a6 ? 2a4 得 q6 ? q4 ? 2q2 , q4 ? q2 ? 2 ? 0 , 解得 q2 ? 2 或 q 2 ? ?1 (舍) ,所以 a6 ? a2 q4 ? 4 . 【考点】等比数列 (C). (等比数列的通项公式) 【答案】4 【 解 析 】 根 据 等 比 数 列 的 定 义 , a8 ? a2q6 , a6 ? a2 q 4 , a4 ? a2q 2 , 所 以 由 a8 ? a6 ? 2a2 得

a2 q 6 ? a2 q 4 ? 2a2 q 2 ,消去 a2 q 2 ,得到关于 q 2 的一元二次方程 (q 2 )2 ? q 2 ? 2 ? 0 ,解得 q 2 ? 2 ,
a6 ? a2q 4 ? 1? 22 ? 4
【点评】本题重点考查等比数列的通项公式,将题中数列的项用 a2 和 q 表示,建立方程解得 q ,考 查以 q 为一个整体的整体思想去解方程,对于第 7 题考查此题,显得太过简单了,但此题也有易错 点,考生易将等比看为等差。 8. 【答案】
2 2

3 2
h1 r2 ? , h2 r1

解析:设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为 r1 、 h1 , r2 、 h2 ,则 2? r1h 1 ? 2? r2 h 2 , 又
r 3 S1 ? r12 9 V ? r 2h r 2 h r 2 r r 3 ? 2 ? ,所以 1 ? ,则 1 ? 12 1 ? 12 ? 1 ? 12 ? 2 ? 1 ? . r2 2 S 2 ? r2 4 V2 ? r2 h2 r2 h2 r2 r1 r2 2

【考点】柱、锥、台、球的表面积与体积 (A).

3 【答案】 2
【解析】由题意,

S1 ?r12 r12 9 r 3 ? 2 ? 2 ? , 所 以 1 ? , 圆 柱 的 侧 面 积 S侧 ? 2?rh , r2 2 S2 ?r2 r2 4
h1 r2 2 V1 S1h1 9 2 3 ? ? , ? ? ? ? h2 r1 3 V2 S 2 h2 4 3 2

S侧1 ? 2?r1h1 ? S侧2 ? 2?r2h2 ,则

【点评】本题考查了圆柱的体积,主要根据侧面积相同,由底面积的比值找到高、体积的比值,难 度适中。 9. 【答案】
2 55 5

解析:圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 的圆心为 C (2, ?1) ,半径为 r ? 2 ,点 C 到直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的距离为
d? 2 ? 2 ? (?1) ? 3 1 ?2
2 2

?

3 5

,所求弦长为 l ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 4 ?

9 2 55 ? . 5 5

【考点】直线与圆、圆与圆的位置关系 (B). (直线与圆相交的弦长问题) 【点评】本题主要考查直线和圆相交求弦长,直线和圆的位置关系向来都是热点和重点问题,本题 考查的也是一个相对简单的问题,主要侧重计算。
? 2 ? 10. 【答案】 ? ? ? 2 ,0? ? ? ?

解析:画出二次函数的分析简图:

? f (m) ? 0, 由图象分析可得结论:开口向上的二次函数 f ( x) 在 ? m, n ? 上恒小于 0 的充要条件为 ? 开口 ? f (n) ? 0. ? f (m) ? 0, 向下的二次函数 f ( x) 在 ? m, n ? 上恒大于 0 的充要条件为 ? ? f (n) ? 0.

? 2 2 ? ?m? , ? ? f (m) ? 0, ? 2 2 ? m ? ? ? 2 ,0 ? . ?? ? ? ? 2 ? ? ? f (m ? 1) ? 0. ? 3 ? ? ? ? m ? 0. ? ? 2

(江苏苏州 何睦)

【考点】一元二次不等式 (C). 【变式】

(一元二次方程根的分布、二次函数的性质)

变式 1 已知函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1, 若对于任意 x ? ?m, m ? 1? ,都有 f ( x) ? 0 成立,则实数 m 的取 值范围是__________ . ??

? ?

2 ? ,0? (江苏苏州 何睦) 2 ?
2 ? ,0 ? 2 ?

变式 2 已知函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1, 若对于任意 x ? ?m, m ? 1? ,都有 f ( x) ? 0 成立,则实数 m 的取 值范围是__________ . ? ?

? ? ?

(江苏苏州 何睦)

变式 3 已知函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1, 若存在 x ? [m, m ? 1] ,使得 f ( x) ? 0 成立,则实数 m 的取值范围 是__________ . ? ?

? 3 2? ? ? 2 , 2 ? (江苏苏州 何睦) ? ?

变式 4 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 1 ,若存在实数 t ,当 x ? [1, m] 时, f ( x ? t ) ? x 恒成立,则实 数 m 的最大值是__________ . 4 (江苏苏州 陈海锋) 变式 5 若关于 x 的不等式 x ? mx ? m ? 1 ? 0 恒成立, 则实数 m ? ________. 2 (江苏苏州 陈海锋)
2

变式6 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ,若对任意的 x ?[t , t ? 2] ,不等式

f ( x ? t ) ? 2 f ( x) 恒成立,则实数 t 的取值范围是________.
【答案】 (?

? 2,??? (江苏苏州 陈海锋)

2 ,0) 2

【解析】二次函数开口向上,在区间 [m, m ? 1] 上始终满足 f ( x) ? 0 ,只需 ?

? f (m) ? 0 即可, ? f (m ? 1) ? 0

? 2 2 ? ?m? ? ? m ? m ? 1 ? 0 ? ? 2 2 ,则 m ? (? 2 ,0) ,解得 ? ? 2 2 ? ?(m ? 1) ? m(m ? 1) ? 1 ? 0 ?? 3 ? m ? 0 ? ? 2
2 2

【点评】本题主要考查二次函数含参数问题,将区间上恒成立转化为只需区间端点处成立,使得题 目解答过程和思路都简单很多,如果对于对称轴和区间进行讨论亦可做出但较繁琐,考生可以自己 尝试。 11. 【答案】 ?3

b b 过点 P(2, ?5) ,则 4a ? ? ?5 ①, x 2 b b 7 又 y? ? 2ax ? 2 ,所以 4a ? ? ? ②, x 4 2
解析:曲线 y ? ax2 ?
?a ? ?1, 由①、②解得 ? 所以 a ? b ? ?3 . ?b ? ?2.

【考点】导数的几何意义 (B). 【点评】本题主要考查导数的应用,求切线问题,题目很基础,点在曲线上,以及导函数在切点处 的取值等于切线的斜率,而直线平行提供切线斜率,建立关于 a , b 的方程组。 12. 【答案】22 解析:解法一: (基底法)考虑将条件中涉及的 AP, BP 向量用基底 AB, AD 表示,而后实施计算.

1 3 AB , BP ? BC ? CP ? AD ? AB . 4 4 2 2 1 3 1 3 则 AP ? BP ? 2 ? ( AD ? AB) ? ( AD ? AB) ? AD ? AD ? AB ? AB . 4 4 2 16 3 1 因为 AB ? 8, AD ? 5 ,则 2 ? 25 ? ? 64 ? AB ? AD ,故 AB ? AD ? 22 . (江苏苏州 何睦) 16 2 AP ? AD ? DP ? AD ?

解法二: (坐标法)不妨以 A 点为坐标原点, AB 所在直线作为 x 轴建立平面直角坐标系,可设
A(0,0), B(8,0), D(a.t ), P(a ? 2, t ), C (a ? 8, t ) ,则 AP ? (a ? 2, t ) , BP ? (a ? 6, t ) .

由 AP ? BP ? 2 ,得 a 2 ? t 2 ? 4a ? 14 ,由 AD ? 5 ,得 a 2 ? t 2 ? 25 ,则 4 a ? 11 , 所求 AB ? AD ? 8a ? 22 . 【答案】22 【解析】以 AB, AD 为基底,因为 CP ? 3PD, AP ? BP ? 2 , (江苏苏州 何睦) 【考点】平面向量的加法、减法及数乘运算 (B),平面向量的数量积 (C).

1 3 AB , BP ? BC ? CP ? AD ? AB 4 4 2 2 1 3 1 3 AB 则 AP ? BP ? 2 ? ( AD ? AB ) ? ( AD ? AB ) ? AD ? AD ? AB ? 4 4 2 16 3 1 ? 64 ? AB ? AD ,故 AB ? AD ? 22 因为 AB ? 8, AD ? 5 则 2 ? 25 ? 16 2 AP ? AD ? DP ? AD ?
【点评】本题主要考查向量,向量的基底表示,向量的运算,本题关键在于选取哪两个向量为基底, 根据题目中已知的两条边长,选为基底最为合适。向量一直都是高考的热点话题,本题的难度适中, 希望引起考生的注意。 13. 【答案】 ? 0, ? 解析:作出函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ?
1 1 1 , x ? [0,3) 的图象,可知 f (0) ? ,当 x ? 1 时, f ( x)极大 ? , 2 2 2

? ?

1? 2?

f (3) ?

7 , 方程 f ( x) ? a ? 0 在 x ? [?3, 4] 上有 10 个零点, 即函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? a 在 [ ?3, 4] 2
1 , x ? [0,3) 的图 2

上有 10 个交点,由于函数 f ( x) 的周期为 3,因此直线 y ? a 与函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 象有 4 个交点,则 a ? ? 0, ? .

? ?

1? 2?

y

y= -3 -2 -1 1 2 3 4

1 2

x

(江苏扬州 孟伟业) 【考点】函数与方程 (A),函数的基本性质 (B). (函数的零点,周期函数的性质,函数图象的交点问题) 【答案】 (0, ) 【解析】根据题目条件,零点问题即转化为数形结合,通过找 y ? f ( x) 与 y ? a 的图象交点去推出

1 2

1 的图像,再将 x 轴下方的图象对称到上方,利用周期为 3,将 2 1 图象平移至 [?3,10] ,发现若 f ( x) 图象要与 y ? a 有 10 个不同的交点,则 a ? (0, ) 2
2 零点,先画出[0,3]上 y ? x ? 2 x ?

【点评】本题主要考查函数零点问题,转为为数形结合,利用图象交点去解决问题,因为零点问题、 数形结合是重要的考点和难点,但是本题考查的不是特别深,所以题目难度适中,只要能画出图象 就可以解决问题。同时,这也是近年来高考的热点,同样需要注意。 14. 【答案】
6? 2 4

解析:由正弦定理得 a ? 2b ? 2c ,由余弦定理结合基本不等式有:
a ? 2b 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 a 2 ? b2 ? ( ) a ? b ? ab a ? b a 2 ? b2 ? c 2 2 2 2 2 ? 2 cos C ? ? ?4 ?4 2ab 2ab 2ab 2ab 4 3 1 2 a 2 b2 4 2 ? 2 ? 6 ? 2 ,当且仅当 a ? 6 b 时等号成立. (江苏苏州 何睦) ? 3 2ab 4 4

【考点】正弦定理、余弦定理及其应用 (B),基本不等式 (C). 变式 1 △ ABC 中, 角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c, 若 a2+b2=2c2, 则 cosC 的最小值为________.

1 (江苏无锡 张芙华) 2
变式 2 △ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,若

sin A sin B cos C ? sin C sin A cos B ? sin B sin C cos A ,若 ab 的最大值为_______. 2
c

3 (江苏无锡 张芙华) 2
b c 变式 3 在△ ABC 中, 设 AD 为 BC 边上的高, 且 AD ? BC, b, c 分别表示角 B, C 所对的边长, 则 ? c b

的取值范围是________. 2, 5

?

?

(江苏苏州 陈海锋)
2 2 2

变式 4 已知三角形 ?ABC 的三边长 a, b, c 成等差数列,且 a ? b ? c ? 84 ,则实数 b 的取值范 围是_________.

?2

6 ,2 7 (江苏南通 丁勇)

?

拓展 在△ ABC 中,已知 m, n ? ? 0,1? ,且 m sin A ? n sin B ? sin C ,求 cos C 的最小值. 解:由正弦定理得 ma ? nb ? c ,由余弦定理结合基本不等式有:

cos C ?

a2 ? b2 ? c2 (1 ? m2 )a2 ? (1 ? n2 )b2 ? 2mnab 1 a b ? ? [(1 ? m2 ) ? (1 ? n2 ) ] ? mn 2ab 2ab 2 b a

? (1 ? m2 )(1 ? n2 ) ? mn .(当且仅当 (1 ? m2 )a2 ? (1 ? n2 )b2 时等号成立).(江苏常州 封中华)
【答案】

6? 2 4

【解析】根据题目条件,由正弦定理将题目中正弦换为边, 得 a ? 2b ? 2c ,再由余弦定理, 用 a, b
2 2 去表示 c ,并结合基本不等式去解决,化简 a ? b 为 ab ,消去 ab 就得出答案。

cos C ?

a ?b ?c ? 2ab
2 2 2

a2 ? b2 ? (

a ? 2b 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 ) a ? b ? ab a ? b 2 2 2 2 ? 2 ?4 ?4 2ab 2ab 2ab 4

2 ?

3 21 2 a b 4 2 ? 2 ? 6? 2 2ab 4 4

【点评】本题主要考查正、余弦定理,以及不等式,最终最值是在 C ? 75? 这样一个较为特殊的角 处取的,题目做为填空题的压轴题,实在是简单了,没有过多的技巧与构造,只需要用正、余弦定 理和不等式即可很轻松做出答案。 15.解析:本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式,考查运算求解能 力. 满分 14 分.
5 2 5 ?π ? (1) 因为 α∈ ? , π ? ,sinα= ,所以 cosα= ? 1 ? sin 2 ? ? ? . 5 5 ?2 ?

2 ? 2 5? 2 5 10 π π ?π ? 故 sin ? ? ? ? =sin cosα+cos sinα= . ?? ? ? ? ?? ? ? ? 4 2 ? 5 ? 2 5 10 4 4 ? ?
(2) 由(1)知 sin2α=2sinαcosα= 2 ?
2

5 ? 2 5? 4 ?? ? ?? , ? ? ? 5 ? 5 ? 5

? 5? 3 cos2α=1-2sin α=1- 2 ? ? , ? 5 ? ? ?5 ? ?
2

? 5π 5π 3? 3 1 ? 4? 4?3 3 ? 5π ? 所以 cos ? ? 2? ? ? cos cos 2? ? sin sin 2? = ? ? . ? ??? ? 2 ? ?? 5 ? 2 ?? 6 6 5 10 ? 6 ? ? ? ? ?
【考点】同角三角函数的基本关系式 (B),两角和(差)的正弦、余弦及正切 (C),二倍角的正弦、 余弦及正切 (B),运算求解能力. 16.解析:本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能 力和推理论证能力. 满分 14 分. (1) 因为 D,E 分别为棱 PC,AC 的中点, 所以 DE∥PA. 又因为 PA ? 平面 DEF,DE?平面 DEF, 所以直线 PA∥平面 DEF. (2) 因为 D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点, PA=6,BC=8,

1 1 PA=3,EF= BC=4. 2 2 2 2 2 又因为 DF=5,故 DF =DE +EF ,
所以 DE∥PA,DE= 所以∠DEF=90° ,即 DE 丄 EF. 又 PA⊥AC,DE∥PA,所以 DE⊥AC. 因为 AC∩EF=E,AC?平面 ABC,EF?平面 ABC, 所以 DE⊥平面 ABC. 又 DE?平面 BDE,所以平面 BDE⊥平面 ABC. 【考点】直线与平面平行、垂直的判定及性质 (B),两平面平行、垂直的判定及性质 (B),空间想象 能力和推理论证能力. 17.解析:本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识,考查 运算求解能力. 满分 14 分. 设椭圆的焦距为 2c,则 F1 (?c,0) , F2 (c,0) . (1) 因为 B ? 0, b ? ,所以 BF2 ? b2 ? c2 ? a ,又 BF2 ? 2 ,故 a ? 2 .
16 1 ? 4 1? 因为点 C ? , ? 在椭圆上,所以 92 ? 92 ? 1 ,解得 b 2 ? 1 . a b ? 3 3?

x2 ? y2 ? 1 . 2 (2) 解法一(官方解答) : (垂直关系的最后表征)因为 B ? 0, b ? , F2 (c,0) 在直线 AB 上,
故所求椭圆的方程为 所以直线 AB 的方程为

x y ? ? 1. c b

? 2a 2 c ?x y x ? , ? ? 1, ? 1 ? ? x2 ? 0, a2 ? c2 ? ?c b 解方程组 ? 2 得? ? 2 2 2 b ? c ? a ? ? y2 ? b. ? ? x ? y ? 1, y1 ? , ? ? ? a 2 b2 a2 ? c2 ?

? 2 a 2 c b (c 2 ? a 2 ) ? , 2 所以点 A 的坐标为 ? 2 ?. 2 a ? c2 ? ?a ?c ? 2a 2 c b( a 2 ? c 2 ) ? , 2 又 AC 垂直于 x 轴,由椭圆的对称性,可得点 C 的坐标为 ? 2 ?. 2 a ? c2 ? ?a ?c

? 0 b ? a2 ? c2 ? 2 2 b a ? c ? 因为直线 F1C 的斜率为 ,直线 AB 的斜率为 ? ,且 F1C ? AB , 2 2 3 2a c 3a c ? c c ? ? ?c ? a2 ? c2

b ? a2 ? c2 ?

所以

b ? a2 ? c2 ? ? b ? ? ? ? ? ? ?1 ,又 b2 ? a 2 ? c 2 ,整理得 a2 ? 5c2 . 3a 2 c ? c3 ? c ?
5 1 ,因此 e ? . 5 5

故 e2 ?

解法二: (垂直关系的先行表征)设 C ( x0 , y0 ), A( x0 . ? y0 ), F1 (?c,0), F2 (c,0) , 由 F1C ? AB, 得
y0 x ?y b ? ? ?1 ,由 A 在 BF2 上,则 0 ? 0 ? 1 ; x0 ? c ?c c b

? ca 2 x ? , ? ?cx0 ? by0 ? ?c 2 , ? ? 0 b2 ? c2 联立 ? 解得: ? 2 ? ?bx0 ? cy0 ? bc. ? y ? 2bc . 0 ? b2 ? c2 ?

又 C ( x0 , y0 ) 在椭圆上,代入椭圆方程整理得 c2 a2 ? 4c4 ? (a2 ? 2c2 )2 ,即 a2 ? 5c2 , 所以椭圆的离心率为 e ?
5 . 5

【考点】中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质 (B),直线的平行关系与垂直关系 (B),直线 方程 (C),运算求解能力. (椭圆的标准方程、椭圆的离心率) 18.解析:本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识,考查建立数学 模型及运用数学知识解决实际问题的能力. 满分 16 分. 解法一(官方解法一) :(1) 如图,以 O 为坐标原点,OC 所在直线为 x 轴 y B A 60 M mO

170 m
(第 18 题)

C

x

建立平面直角坐标系 xOy. 由条件知 A ? 0,60? , C ?170,0 ? ,

4 直线 BC 的斜率 kBC ? ? tan ?BCO ? ? . 3
又因为 AB ? BC ,所以直线 AB 的斜率 k AB ? 设点 B 的坐标为 ? a, b ? ,则 kBC ? 解得 a ? 80, b ? 120 . 所以 BC ? (170 ? 80)2 ? (0 ? 120)2 ? 150 .

3 . 4

b?0 4 b ? 60 3 ? ? , k AB ? ? a ? 170 3 a?0 4

因此新桥 BC 的长为 150m. (2) 设保护区的边界圆 M 的半径为 r m, OM ? d m (0 ? d ? 60) .

4 由条件知,直线 BC 的方程为 y ? ? ( x ? 170) , 3 即 4 x ? 3 y ? 680 ? 0 .
由于圆 M 与直线 BC 相切,故点 M ? 0, d ? 到直线 BC 的距离是 r,即 r ? 因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,
? 680 ? 3d ? d ? 80, ? ?r ? d ? 80, ? 5 所以 ? 即? ?r ? (60 ? d ) ? 80, ? 680 ? 3d ? (60 ? d ) ? 80. ? 5 ?

3d ? 680 4 ?3
2 2

?

680 ? 3d . 5

解得 10 ? d ? 35 .

680 ? 3d 最大,即圆面积最大. 5 所以当 OM = 10 m 时,圆形保护区的面积最大.
故当 d ? 10 时, r ? 解法二(官方解法二) :(1) 如图,延长 OA,CB 于点 F. F y B A 60 M mO D

170 m
(第 18 题)

C

x

4 4 3 ,所以 sin ?FOC ? , cos ?FOC ? . 3 5 5 因为 OA = 60,OC = 170,
因为 tan ?FOC ? 所以 OF ? OC tan ?FOC ? 从而 AF ? OF ? OA ?

680 OC 850 , CF ? . ? 3 cos ?FOC 3

500 . 3

4 . 5 400 又因为 AB ? BC ,所以 BF ? AF cos ?AFB ? . 3 从而 BC ? CF ? BF ? 150 .
因为 OA ? OC ,所以 cos ?AFB ? sin ?FCO ? 因此新桥 BC 的长为 150 m. (2) 设保护区的边界圆 M 与 BC 的切点为 D,连接 MD, 则 MD ? BC ,且 MD 是圆 M 的半径,并设 MD ? r m, OM ? d m (0 ? d ? 60) .

因为 OA ? OC ,所以 sin ?CFO ? cos ?FCO . 故由(1)知 sin ?CFO ?
MD MD r 3 680 ? 3d ? ? ? ,所以 r ? . 680 MF OF ? OM 5 ?d 5 3

因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,
? 680 ? 3d ? d ? 80, ? r ? d ? 80 , ? ? 5 所以 ? 即? ?r ? (60 ? d ) ? 80, ? 680 ? 3d ? (60 ? d ) ? 80. ? 5 ?

解得 10 ? d ? 35 .

680 ? 3d 最大,即圆面积最大. 5 所以当 OM=10 m 时,圆形保护区的面积最大.
故当 d ? 10 时, r ? (1)的解法三:连结 AC ,由题意知 tan ?ACO ?

6 ,则由两角差的正切公式可得: 17

2 ,故 BC ? cos ?ACB ? AC ? 150 m. 3 所以新桥 BC 的长度为 150 m. (江苏苏州 何睦) tan ?ACB ? tan(?BCO ? ?ACO) ?
(2)的解法三:设 BC 与圆切于点 N ,连接 MN ,过点 A 作 AH / / BC 交 MN 于点 H . 设 OM ? a ,则 AM ? 60 ? a ,由古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m,
?r ? a ? 80 4 3 那么 ? ,解得 10 ? a ? 35 . 由 tan ?AMH ? tan ?OCN ? ,可得 MH ? (60 ? a) , 3 5 ?r ? (60 ? a) ? 80

3 3 由(1)的解法二可得 AB ? 100 ,所以 MN ? 100 ? (60 ? x) ? ? x ? 136 , 5 5 故 MN 即圆的半径的最大值为 130,当且仅当 a ? 10 时取得半径的最大值.
综上可知,当 OM ? 10 m 时,圆形保护区的面积最大. (江苏兴化 顾卫) 【考点】直线方程 (C),直线与圆、圆与圆的位置关系 (B),解三角形 (B),建立数学模型及运用数 学知识解决实际问题的能力. 19.解析:本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基本知识,考查综合运用数学思想 方法分析与解决问题的能力. 满分 16 分. (1) 因为对任意 x ? R ,都有 f ? ?x ? ? e? x ? e?? ? x? ? e? x ? ex ? f ? x ? , 所以 f ? x ? 是 R 上的偶函数. (2) 解法一(官方解答) :由条件知 m ex ? e? x ? 1 ? e? x ? 1在? 0, ??? 上恒成立. 令 t ? ex ( x ? 0) ,则 t ? 1 ,所以 m ? ?
t ?1 1 ?? 对于任意 t ? 1 成立. 1 t2 ? t ?1 t ?1? ?1 t ?1

?

?

因为 t ? 1 ?

1 ?1? 2 t ?1

? t ? 1? ?

1 1 1 ?? , ? 1 ? 3 ,所以 ? 1 3 ? t ? 1? t ?1? ?1 t ?1

当且仅当 t ? 2 ,即 x ? ln 2 时等号成立.
1? ? 因此实数 m 的取值范围是 ? ??, ? ? . 3? ?

解法二:考虑不等式两边同乘 e x ,则不等式转化为 m[(e x )2 ? 1] ? 1 ? (m ? 1)e x 在 (0, ??) 上恒成立.

令 e x ? t (t ? 1) ,则问题可简化为: mt 2 ? (1 ? m)t ? m ? 1 ? 0 在 t ? ?1, ?? ? 上恒成立. 构造函数 g (t ) ? mt 2 ? (1 ? m)t ? m ? 1 ,由图象易得当 m ? 0 时不符合题意.
?m ?1 ? 1, ?m ?1 ? 1, ? 1 ? 2m ? 当 m ? 0 时, ? 2m 或? 解得 m ? ? . m ? 1 3 ?g( ? ) ? 0. ? g (1) ? 0. ? ? 2m

1 综上可知,实数 m 的取值范围为 (??, ? ] . (江苏苏州 陈海锋) 3 1 1 (3) 令函数 g ? x ? ? e x ? x ? a ? ? x3 ? 3x ? ,则 g ? ? x ? ? e x ? x ? 3a ? x2 ? 1? . e e 1 当 x ? 1 时, e x ? x ? 0 , x 2 ? 1 ? 0 ,又 a ? 0 ,故 g ? ? x ? ? 0 , e
所以 g ? x ? 是 ?1, ?? ? 上的单调增函数, 因此 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上的最小值是 g ?1? ? e ? e?1 ? 2a .
3 由于存在 x0 ? ?1, ?? ? ,使 e x0 ? e? x0 ? a(? x0 ? 3x0 ) ? 0 成立,当且仅当最小值 g ?1? ? 0 ,

故 e ? e?1 ? 2a ? 0 ,即 a ?

e ? e?1 . 2
e ?1 ,令 h? ? x ? ? 0 ,得 x ? e ? 1 . x

令函数 h ? x ? ? x ? (e ? 1)ln x ? 1 ,则 h? ? x ? ? 1 ?

当 x ? ? 0,e ? 1? 时, h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 是 ? 0,e ? 1? 上的单调减函数. 当 x ? ? e ? 1, ?? ? 时, h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 是 ? e ? 1, ??? 上的单调增函数. 所以 h ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上的最小值时 h ? e ? 1? . 注意到 h ?1? ? h ? e ? ? 0 ,所以当 x ? ?1,e ? 1? ? ? 0,e ? 1? 时, h ? e ? 1? ? h ? x ? ? h ?1? ? 0 . 当 x ? ? e ? 1,e ? ? ? e ? 1, ?? ? 时, h ? x ? ? h ? e ? ? 0 ,所以 h ? x ? ? 0 对任意的 x ? ?1,e ? 成立.
? e ? e?1 ? ,e ? ? ?1,e ? 时, h ? a ? ? 0 ,即 a ? 1 ? ? e ? 1? ln a ,从而 ea ?1 ? a e ?1 ; ①当 a ? ? 2 ? ?

②当 a ? e 时, ea ?1 ? a e ?1 ; ③当 a ? ? e, ?? ? ? (e ? 1, ??) 时, h ? a ? ? h ? e ? ? 0 ,即 a ? 1 ? ? e ? 1? ln a ,故 ea ?1 ? a e ?1 .
? e ? e?1 ? ,e ? 时,ea ?1 ? a e ?1 ,当 a ? e 时,ea ?1 ? a e ?1 ,当 a ? ? e, ?? ? 时,ea ?1 ? ae ?1 . 综上所述,当 a ? ? 2 ? ?

(3)的民间思路: 难题分解 1:如何根据条件求出参数 a 的取值范围? 分解路径 1:直接求函数的最值. 解:令 g ( x0 ) ? f ( x0 ) ? a(? x03 ? 3x0 ) ,只要在 x0 ? [1, ??) 上, g ( x0 )min ? 0 即可.
g '( x0 ) ? (e x0 )2 ? 1 ? 3a( x0 2 ? 1) . 当 x0 ? 1 时, g '( x0 ) ? 0 ; . e x0

当 x0 ? 1 时, x0 2 ? 1 ? 0 , (ex0 )2 ? 1 ? 0 ,则 g '( x0 ) ? 0 . 故在区间 [1, ??) 上, g '( x0 ) ? 0 ,即函数 g ( x0 ) 为 [1, ??) 的增函数, 则 gmin ( x0 ) ? g (1) ? e ? e?1 ? 2a ? 0 ,解得 a ?

e ? e?1 .(江苏苏州 何睦) 2

分解路径 2:参数分离可以吗?
3 解:欲使条件满足,则 x0 ? ? ?1, 3 ,此时 ? x0 ? 3x0 ? 0 ,则 a ?

?

f ( x0 ) , 3 ? x0 ? 3 x0

构造函数 g ( x0 ) ?
g ?( x 0 ) ?

f ( x0 ) ,即求此函数在 x0 ? ? 3 ?1, 3 上的最小值. ? x0 ? 3 x0

?

3 2 (e x0 ? e? x0 )(? x0 ? 3x0 ) ? (e x0 ? e? xo )(?3x0 ? 3) . 3 2 (? x0 ? 3x0 )

x0 ? x0 x0 ? x0 3 2 因为 x0 ? ? ?1, 3 , e ? e ? 0, ? x0 ? 3x0 ? 0, e ? e ? 0, ?3x0 ? 3 ? 0 ,
3 2 则 (ex0 ? e? x0 )(? x0 ? 3x0 ) ? (e x0 ? e? x0 )(?3x0 ? 3) ? 0 .

?

e?e 则 g ?( x 0 ) ? 0 在 x0 ? ? ?1, 3 上恒成立,故 g ( x 0 )min ? g (1) ? 2 ,

?

?1

故a?

e ? e?1 (江苏苏州 何睦) 2
a ?1

难题分解 2:如何根据求得的参数 a 的取值范围比较 e a ?1 与 a e ?1 的大小? 分解路径 1: (取对数) e 与a
e ?1

均为正数,同取自然底数的对数,

即比较 (a ? 1) ln e 与 (e ? 1) ln a 的大小,即比较

ln e ln a 与 的大小. e ?1 a ?1

1 1 ? ? ln x ln x x 构造函数 h( x) ? , ( x ? 1) ,则 h?( x) ? ( x ? 1)2 x ?1

1 1? x ? ln x , m?( x) ? 2 ,从而 m( x) 在 (1, ??) 上单调递减, x x ln x 此时 m( x) ? m(1) ? 0 ,故 h?( x) ? 0 在 (1, ??) 上恒成立,则 h( x) ? 在 (1, ??) 上单调递减. x ?1
再设 m( x) ? 1 ? 当

e ? e?1 ? a ? e 时, a e ?1 ? ea ?1 ;当 a ? e 时, ea ?1 ? a e ?1 ; 2

当 a ? e 时, a e ?1 ? ea ?1 .(江苏苏州 何睦) 分解路径 2: (变同底,构造函数比大小) 要比较 e a ?1 与 a e ?1 的大小,由于 ae ?1 ? e( e ?1) ln a ,那么 故只要比较 a ? 1 与 (e ? 1) ln a 的大小.

ae?1 ? e[(e?1)ln a?(a?1)] , a ?1 e

e ?1 ?1 . x 当 x ? e ? 1 时, h '( x) ? 0 ;当 0 ? x ? e ? 1 时, h '( x) ? 0 .
令 h( x) ? (e ? 1)ln x ? ( x ? 1) ,那么 h '( x) ? 所以在区间 (0, e ? 1) 上, h( x) 为增函数;在区间 (e ? 1, ??) 上, h( x) 为减函数. 又 h(e) ? 0 , h(1) ? 0 ,则 h(e ? 1) ? 0 , h( 那么当

e ? e?1 ) ? 0; 2

e ? e?1 ? a ? e 时, h(a) ? 0 , eh ( a ) ? 1 , a e ?1 ? ea ?1 ; a ? e 2 e ? e?1 ? a ? e 时, a e ?1 ? ea ?1 ;当 a ? e 时, ea ?1 ? a e ?1 ; 2

当 a ? e 时, h(a) ? 0 , 0 ? eh ( a ) ? 1 , a e ?1 ? ea ?1 . 综上所述,当

当时, a e ?1 ? ea ?1 . (江苏苏州 王耀) 【考点】函数的基本性质 (B),利用导数研究函数的单调性与极值 (B),综合运用数学思想方法分析 与解决问题的能力. 20.解析:本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识,考查探究能力及推理论证能力 . 满 分 16 分. (1) 证明:由已知,当 n ? 1 时, an?1 ? Sn?1 ? Sn ? 2n?1 ? 2n ? 2n ,于是对任意的正整数 n,总存在 正整数 m ? n ? 1 ,使得 Sn ? 2n ? am ,所以 ?an ? 是“H 数列”. (2) 解法一(官方解答) :由已知,得 S2 ? 2a1 ? d ? 2 ? d ,因为 ?an ? 是“H 数列”,所以存在正整 数 m,使得 S2 ? am , 即 2 ? d ? 1 ? ? m ? 1? d ,于是 ? m ? 2? d ? 1 . 因为 d ? 0 ,所以 m ? 2 ? 0 ,故 m ? 1 ,从而 d ? ?1 . 当 d ? ?1 时, an ? 2 ? n , S n ?
n ?3 ? n? 2

是小于 2 的整数, n ? Ν* .
n ?3 ? n? 2

于是对任意的正整数 n,总存在正整数 m ? 2 ? S n ? 2 ? 所以 ?an ? 是“H 数列”,因此 d 的值为 ?1 .

,使得 Sn ? 2 ? m ? am ,

解法二:由 {an } 是首项为 1 的等差数列,则 am ? 1 ? (m ? 1)d , Sn ? n ? 又数列是“H 数列” ,不妨取 n ? 2 时,存在满足条件的正整数 m , 使得 1 ? (m ? 1)d ? 2 ? d ,即 (m ? 2)d ? 1 , (i)当 m ? 3 时,此时 d ? 0 ,不符合题意,应舍去; (ii)当 m ? 2 时,不存在满足条件的 d ; (iii)当 m ? 1 时, d ? ?1 . 此时数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? n , 下面我们一起来验证 {an } 为“H 数列”:
an ? 2 ? n ; Sn ?

n2 ? n d, 2

3n ? n2 4 ? 3n ? n2 ,此时 m ? ,容易验证 m 为正整数. (江苏苏州 何睦) 2 2 n2 ? n d; 2 n2 ? n ; d (*) 2

解法三:由题意设 am ? 1 ? (m ? 1)d ;又等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n ?

由题意知对任意正整数 n ,总存在正整数 m ,使得 Sn ? am , 1 ? (m ? 1)d ? n ? 那么 m 随着 n 的变化而变化,可设满足函数关系式 m ? f (n) .

1 又 d ? 0 ,那么要使(*)对任意自然数 n 恒成立,则 m ? f (n) ? n2 ? Bn ? C ; 2
d ? 1 d n2 ? Bd ? 1 ? 代入得: n2 d ? Bnd ? (1 ? d ? Cd ) ? n(1 ? ) ? d ,即有 ? ; 2 2 2 2 ? ?1 ? d ? Cd ? 0
又当 n ? 1 时, m ? n ? 1 ,即

1 3 ? B ? C ? 1 ,由此可以解得 B ? ? , C ? 2 , d ? ?1 . 2 2

此时 an ? 2 ? n . (江苏苏州 王耀) 解法四: ?n ? N , Sn ? am ,所以 Sn ?1 ? am? (n ? 2) ,由题意得 Sn ? Sn?1 ,所以 am ? am? ,即 m ? m? . 对于任意的 n ,存在 m, m? 使得 an ? am ? am? ,

即 1 ? (n ? 1)d ? 1 ? (m ? 1)d ? [1 ? (m? ? 1)d ] , 化简可得 n ? m ? m? ? 当 d ? ?1 时,此时

1 ? 1 .(*) d

1 不是整数,此时(*)式不满足; d 1 当 ?1 ? d ? 0 时,此时 ? ? 1 ,而 m ? m? ? 0 , d 1 所以 n ? m ? m? ? ? 1 ? 3 恒成立,不对 ?n ? N 恒成立,所以 d ? ?1 . (江苏兴化 顾卫) d
解法五:由 {a n } 是首项为 1 的等差数列,且数列 {a n } 是“H 数列” , 则 S2 ? 1 ? a2 ? a2 ,又 d ? 0 ,所以 S2 ? 1 ? a2 ? a1 ? 1 ,则 a2 ? 0 ,从而 d ? a2 ? a1 ? ?1, 此时 an ? 2 ? n , S n ? ?

1 2 3 n 2 ? 3n ? 4 n ? n ,由 Sn ? am 得, m ? 为正整数, 2 2 2

从而数列 {a n } 是“H 数列”.(江苏常州 封中华) (3) 解法一(官方解答) :设等差数列 ?an ? 的公差为 d , 则 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? na1 ? ? n ? 1?? d ? a1 ? (n ? Ν* ) . 令 bn ? na1 , cn ? ? n ? 1?? d ? a1 ? ,则 an ? bn ? cn (n ? Ν* ) . 下证 ?bn ? 是“H 数列”. 设 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,则 Tn ?
n ? n ? 1? 2 a1 ? n ? Ν* ? , n ? n ? 1? 2

于是对任意的正整数 n,总存在正整数 m ? 所以 ?bn ? 是“H 数列”. 同理可证 ?cn ? 也是“H 数列”.

,使得 Tn ? bm ,

所以, 对任意的等差数列 ?an ? , 总存在两个“H 数列” 解法二:由(2)的解答过程可知:等差数列 ?bn ? 中若 则 bn ? b1 ? (n ? 1)d1 ? 2b1 ? b1n . 同理等差数列 ?cn ? 中若

?bn ? 和 ?cn ? ,使得 an ? bn ? cn (n ? Ν* ) 成立.
, ?bn ? 是“ H 数列”

b1 ? ?1 时, d1

c1 ? 1 时, ?cn ? 是“ H 数列” , cn ? c1 ? (n ? 1)d2 ? c1n . d2

任意的等差数列 ?an ? ,则可表示为 an ? An ? B . 令 ?b1 ? c1 ? A , 2b1 ? B ,此时 b1 ?

B B , c1 ? A ? . 2 2

所以对任意的等差数列 ?an ? ,总存在两个等差“ H 数列” ?bn ? 和 ?cn ? , 使得 an ? bn ? cn (n ? N * ) 成立. 【考点】数列的概念 (A)、等差数列 (C),探究能力及推理论证能力. 21.解析:本小题主要考查圆的基本性质,考查推理论证能力.

本小题满分 10 分. 证明:因为 B, C 是圆 O 上的两点,所以 OB ? OC . 故 ?OCB ? ?B . 又因为 C , D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点, 故 ?B, ?D 为同弧所对的两个圆心角, 所以 ?B ? ?D . 因此 ?OCB ? ?D . 22.解析:本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识,考查运算求解能力. 本小题满分 10 分.
1? ?2 ? ?2 ? y ? ? ?1 2 ? ?2 ? ? ?2 ? 2 y ? ?1 解:由已知,得 A? ? ? , Bα ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?. x ? ? y ? ? 2 ? xy ? ?1 ? 2 ? 1? ? y ? ? 4 ? y ?

1 ? ? ?2 ? 2 y ? ? 2 ? y ? ??2 ? 2 y ? 2 ? y, ?x ? ? , 因为 Aα ? Bα ,所以 ? 2 ??? ? ,故 ?2 ? xy ? 4 ? y, 解得 ? ? 2 ? xy ? ? 4 ? y ? ? ? y ? 4. ?

7 . 2 23.解析:本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识,考查运算求解能力.
所以 x ? y ? 本小题满分 10 分.

? ?x ? 1 ? ? 解法一(官方解答) :将直线 l 的参数方程 ? ?y ? 2 ? ? ?
得 (2 ?
2 2 2 t ) ? 4(1 ? t ) . 解得 t1 ? 0, t2 ? ?8 2 . 2 2

2 t, 2 代入抛物线方程 y 2 ? 4 x , 2 t 2

所以 AB ? t1 ? t2 ? 8 2 . 解法二:将直线 l 的参数方程化为直角坐标方程为 x ? y ? 3 ,
? x ? y ? 3, ? x ? 1, ? x ? 9, 联立方程组 ? 2 解得 ? 或? 即交点 A, B 分别为 ?1, 2 ? 和 ? 9, ?6? , ? y ? 2 ? y ? ?7. ? y ? 4x

所以 AB ? (1 ? 9)2 ? (2 ? 6)2 ? 8 2.

(江苏镇江 陈桂明)

解法三:将直线 l 的参数方程化为直角坐标方程为 x ? y ? 3 ,
? x ? y ? 3, 联立方程组 ? 2 消去 y 有 x 2 ? 10 x ? 9 ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 10, x1 x2 ? 9 . ? y ? 4 x,

所以 AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 ? 1 ? 1 100 ? 36 ? 8 2. (江苏镇江 陈桂明) 24.解析:本小题主要考查算术-几何平均不等式,考查推理论证能力.本小题满分 10 分. 证明:因为 x ? 0, y ? 0 ,所以 1 ? x ? y2 ? 33 xy2 ? 0 , 故 (1 ? x ? y2 )(1 ? x2 ? y) ? 33 xy2 33 x2 y ? 9xy . 25. 解析:本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识,考查运算求解能力. 满分 10 分. 解:(1) 取出的 2 个颜色相同的球可能是 2 个红球、2 个黄球或 2 个绿球, 所以 P ?
2 2 C4 ? C32 ? C2 6 ? 3 ?1 5 ? ? . 2 C9 36 18

(2) 随机变量 X 的所有可能的取值为 2,3, 4 .

? X ? 4? 表示的随机事件是取到的 4 个球是 4 个红球,故 P( X ? 4) ?
3 1 3 1 C4 C5 ? C3 C6 13 ? ; 4 C9 63

4 C4 1 ; ? C94 126

? X ? 3? 表示的随机事件是取到的 4 个球是 3 个红球和 1 个其它颜色的球,或 3 个黄球和 1 个
其它颜色的球,故 P( X ? 3) ?

于是 P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? 1 ? 所以随机变量 X 的概率分布如下表:

13 1 11 ? ? . 63 126 14

X
P

2

3

4

11 14

13 63

1 126

11 13 1 20 ? 3? ? 4 ? ? . 14 63 126 9 26. 解析:本题主要考查简单的复合函数的导数,考查探究能力及应用数学归纳法的推理论证能力.
因此随机变量 X 的数学期望 E( X ) ? 2 ? (1) 解:由已知 f1 ( x) ? f0?( x) ? ( 故 f 2 ( x) ? f1? ( x) ? (

sin x cos x sin x )? ? ? 2 , x x x

cos x sin x 2cos x 2sin x ? sin x ?? , )? ? ? 2 ? ? ? ? ? x x x2 x3 ? x ?

? 4 ? 2 16 ?? ? ? ?? ? 所以 f1 ( ) ? ? 2 , f 2 ( ) ? ? ? 3 ,即 2 f1 ? ? + f 2 ? ? ? ?1 . 2 ?2? 2 ? 2 ? ? ?2?
xf0 ( x) ? sin x , (2) 证明一 (官方解法) : 由已知得: 等式两边分别对 x 求导:f0 ( x) ? xf0? ( x) ? cos x ,

即 f0 ( x) ? xf1 ( x) ? cos x ? sin( x ? ) ,类似可得: 2
2 f1 ( x) ? xf 2 ( x) ? ? sin x ? sin( x ? ? ) ,

?

3 f2 ( x) ? xf3 ( x) ? ? cos x ? sin( x ?

3? ), 2 n? ) 对所有的 n ? Ν? 都成立. 2 k? ). 2

4 f3 ( x) ? xf 4 ( x) ? sin x ? sin( x ? 2? ) .

下面用数学归纳法证明等式 nf n?1 ( x) ? xf n ( x) ? sin( x ? (ⅰ) 当 n ? 1 时,由上可知等式成立;

(ⅱ) 假设当 n ? k 时等式成立,即 kf k ?1 ( x) ? xf k ( x) ? sin( x ?

因为 ? kf k ?1 ( x) ? xf k ( x) ?? ? kf k??1 ( x) ? f k ( x) ? kf k?( x) ? (k ? 1) f k ( x) ? xf k ?1 ( x) ,

k? ?? k? k? (k ? 1)? ? ? ? , sin( x ? ) ? ? cos( x ? )( x ? )? ? sin ? x ? ? 2 ? 2 2 2 ? ? ? ?
(k ? 1)? ? ? 所以 (k ? 1) f k ( x) ? xf k ?1 ( x) ? sin ? x ? . 2 ? ? ?

因此当 n ? k ? 1 时,等式成立. 综合(ⅰ),(ⅱ)可知等式 nf n?1 ( x) ? xf n ( x) ? sin( x ?

n? ) 对所有的 n ? Ν? 都成立. 2

令x?

?

? ? ? ? n? ,可得 nfn?1 ( ) ? fn ( ) ? sin( x ? )(n ? Ν? ) . 4 4 4 4 2 4

2 ?? ? ? ?? ? ( n ? Ν? ) . 所以 nf n ?1 ? ? ? f n ? ? ? 2 ?4? 4 ?4?

解法二:令 g n ( x) ? nfn?1 ( x) ? xf n ( x), n ? N * 所以 g1 ( x) ? f0 ( x) ? xf1 ( x) ? cos x ,
? ( x) ? nf n??1 ( x) ? f n ( x) ? xf n?( x) ? (n ? 1) f n ( x) ? xf n ?1 ( x) ? gn ?1 ( x) 又 gn

?( x) ? ? sin x, g3 ( x) ? ? cos x, g4 ( x) ? ? sin x, 故 g2 ( x) ? g1

? 2 所以 gn? 4 ( x) ? gn ( x) ,即 g n ( ) ? ,命题得证. (江苏南通陆王华) 4 2


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