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高中数学总复习 概率与统计2


§11.2,离散型随机变量的期望与方差

【一线名师精讲】
基础知识要点
1、期望: ①若离散型随机变量 ? 的概率分布列为 ζ P x1 P1 x2 P2 ·· · ·· · xn pn ·· · ·· ·

当 a=0 时, E ?b ? ? b 3、D ? 表示随机变量 ? 对 E ? 的平均偏离程 度,D ? 越大表明平均偏离程度越大,说明 ? 取值 越分散,反之 D ? 越小, ? 取值越集中,在 E ? 附 近统计中常用 D ? 来描述 ? 的分散程度。注意 D ?a ? ? b ? ? a 2 D ? ,但 D ?a ? ? b ? ??
aD ? ? b , 且 D ?a ? ? b ? ? aD ?

则称 E ? ? x 1 p 2 ? x 2 p 2 ? ... ? x n . p n ? ... 为 ? 数学期望,简称期望。 ②离散型随机变量的期望反映了离散型随机 变量值的平均水平。 ③数学期望的性质。 E(c)=C, E ?a ? ? b ? ? aE ? ? b (a,b,c 为常数) 2、方差 ① 若 离 散 型 随 机 变 量 ? 所 有 可能 的 取 值 是



基本题型指要
◆题型一:离散型随机变量的期望 【例 1】 (2003 山东淄博高三联考)一名学生 在军训中练习射击,他命中目标的概率是 击 6 次。 (1)求在第 3 次命中目标的概率; (2)求射击中命中目标数 ? 的期望; 解析: (1)第 1 次,2 次射击都未击中目标, 第 3 次 中 目 标 , 则 所 求 概 率 为
1 3

,共射

x 1 , x 2 ,..., x n ,.... 且 这 些 值 的 概 率 分 别 为
p 1 , p 2 , p 3 , . . p n, ,则称 .
2 D ? ? ?x1 ? E ? ? p1 ?

1 ?? 1? 1 4 ? p ? ?1 ? ??1 ? ? ? ? 3 ?? 3? 3 27 ?

?x 2

? E?

?2

p 2 ? ... ? ? x n ? E ?

?2 . p n

? ...

为 ? 的方差。

(2) 命中目标数 ? 适合二项分布 ? ~B ? 6 , ? 侧所
? 3?

?

1?

②随机变量 ? 的方差反映了 ? 取值的稳定性。 ③方差的性质: (Ⅰ)设 a,b 为常数,则 D ?a ? ? b ? ? a 2 D ?
2 (Ⅱ) D ? ? E ? 2 ? ? E ? ?

求期望 E ? = 6 ?

1 3

?2

点评:E ? =2 反映了射击 6 次中命中两次的常 规状态 【例 2】从一批含有 13 只正品。2 只次品的产 品中,不放回地抽取 3 次,每次抽取一只,设抽得 次品为 ? ,则 E ?5? ? 1? ? __________ _ 分析:从含有 2 只次品的 15 只产品中抽取 3 只, ? 的可能取值为 0,1,2,3,分别计算 ? 取 这几个值的概率, 就可写出 ? 的分布列, 计算期望。 解析: p ?? ? 0 ? ?
p ?? ? 1 ? ?

3、 ? ~0-1 分布, E ? =P, ? ? p ?1 ? p ? , 若 则 D 若 ? ~B(n, p)则 E ? =np,D ? =np(1-p) 考点注意: 1、期望是算术平均值概念的推广,是概率意 义下的平均,E ? 是一个实数,由 ? 的分布列唯一 确定,即作为随机变量 ? 是可变的,而 E ? 是不变 的,它描述 ? 取值平均状态。 2、 E ? a ? ? b ? ? aE ? ? b 说明随机机变量
? 期望的线性函数对应如下几种特殊形式。

c 13
3 c 15
1

3

?
2

22 35
? 12 35

C 2 . c 13
3 c 15

p ?? ? 2 ? ?

c 2 . c 13
3 c 15

2

1

?

1 35

当 b=0 时, E ?a ? ? ? aE ? 当 a=1 时, E ?? ? b ? ? E ? ? b

∴E ? ? 0 ?

22 35

?1?

12 35

?2?

1 35

?

14 35

E ?5? ? 1 ? ? 5 E ? ? 1 ? 3 点评:应用公式 E a ? ? b ? aE ? ? b ◆题型二:离散型随机变量的方差 【例 3】已知随机变量 ? 的分布列为: ζ P -1
a
2

故选 45.7,即 A 3 【点评】本题考查概率与数学期望,考查学生识表 的能力,图表语言与其数学语言的相互转换。 例 5,甲、乙两名射手各打了 10 发子弹,每发子弹 击中环数如下: 甲:10,6,7,10,8,9,9,10,5,10, 1-2a 乙:8,7,9,10,9,8,7,9,8,9, 试问哪一名射手的射击技术较好?分析:要比较他 们的技术,首先要看他们平均每发子弹击中的环 数,再比较它们与平均环数的偏离的程度。 解析:
2

1
1 2

2
3a 4
2

5

4

试求 ? 的方差 D ? 和标准差 ?? 解析:由分布列性质得:
a
2

?

1 2

?

3a 4

2

4

? ?1 ? 2 a ? ? 1
2

? a ?1?

2 2

,检验

a

,

3a 4

4

, ?1 ? 2 a ?

E?

A

?

1 10

?10 ? 6 ? 7 ? 10 ? 8 ? 9 ? 9 ? 10 ? 5 ? 10 ? ? 8 . 4 ?8 ? 7 ? 9 ? 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 8 ? 9 ? ? 8 . 4
2 2 2

? ?0 ,1? 得 a ? 1 ?

2 2

? 于是 D ? ? ? ? 2 ? ? ?
2 2

2 ? 1 ? . 2 ? 4 ?
2

2

E?

B

?

1 10

D?

A

? 4 ?10 ? 8 . 4 ? ? 2 ?9 ? 8 . 4 ? ? ?8 ? 8 . 4 ? ?

? ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ?? ? . ? ?1 ? ? . .? 1 ? ? .? 1 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4 ? 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2

?7 ? 8 . 4 ?2 ? ?6 ? 8 . 4 ?2 ? ?5 ? 8 . 4 ?2
D?
2 2

? 30 . 4

? 2 ? ?? ?1? ? ?4 ? ? 2 ? ? ?

?

2 ?

?

21 8

?2 2

B

? ?10 ? 8 . 4 ? ? 4 ?9 ? 8 . 4 ? ? 3 ?8 ? 8 . 4 ? ?
2

2 ?7 ? 8 . 4 ? ? 6 . 44
2

?? ?

D? ?

21 8

? 2 2 ?

42 ? 32 4

2
D?
A

? D?

B

说明甲的着弹点比乙分散, 即甲的技术

【点评】解答此例的常见错误忽视检验 a 值。 三、期望和方差在实际问题中的应用。 例 4, (2001 上海文)利用下列盈利表中的数据进 行决策,应选择的的方案是 自然 状况

没有乙稳定,因此乙的技术比甲好。 【点评】在实际问题中仅靠其平均值还不能完善地 说明随机变量的分布特征,还必须研究其偏离平均 值的离散程度即方差。 【误区警示】 例 6.已知随机变量 ? 服从二项分布 B(n,P) ,且 E ? =3,D ? =1.2,求 B(2;n,P) 。

A1

A2

A3

A4

s1

0.25

50

70

-20

98

【错解】由 ?

? np ? 3 ? np
2

? p ? 0 .4 ? ? ? 1 .2 ? n ? 7 .5

则 b(2;n,P)=b(2;7.5,0.4)

s2
s3
答案:A3

0.30

65

26

52

85
? C 7 . 5 ? 0 . 4 ? ?1 ? 0 . 4 ? ? 0 . 8424
2 2 2

0.45

26

16

78

-10

【错因】D ? =npq=np(1-p) 【正解】由 ?
? np ? 3 ? np (1 ? p ) ? 1 . 2 ? p ? 0 .6 ? ? ? n ? 5

分析:计算 A1 , A 2 , A3 , A 4 的数学期望,并比较大小, 较大者优解析: E ? 1
0 . 45 ? 26 ? 43 . 7
? 0 . 25 ? 50 ? 0 . 3 ? 65 ? ? 0 . 25 ? 70 ? 0 . 3 ?

∴b(2;n,p)=b(2;5,0.6)=?=1.44 【阅卷老师评题】 例 7, (2004,全国卷湖北) 某突发事件,在不采取任何预防措施的情况下发生 的概率为 0.3 一旦发生,将造成 400 万元的损失,

, E? 2

26 ? 6 . 45 ? 16 ? 32 . 5 E ? 3 ? 0 . 25 ? ? ? 20 ?
? 0 . 3 ? 52 ? 0 . 45 ? 78 ? 45 . 7
E ? 4 ? 0 . 25 ? 98 ? 0 . 3 ? 82 ? 0 . 45 ? ?? 10 ? ? 44 . 6

现有甲,乙两种相互独立的预防措施可供采用,单 独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为 45 万元, 30 万元, 采用相应预防措施后此突发事件不发生的 概率分别为 0.9 和 0.85,若预防方案允许甲、乙两 种预防措施单独采用,联合采用或不采用,请确定 预防方案使总费用最少, (总费用=采取预防措施的 费用+发生突发事件损失的期望值) 。 本题考查概率的知识和数学期望等概念及应用概 率解决实际问题的能力。 解:①不采取任何措施时,总费用即损失的期望值 为 400×0.3=120(万元) ;②若单独采用措施甲, 则预防措施费用为 45 万元,发生突发事件的概率 为 1-0.9=0.1,损失期望值为 400×0.1=40(万元) 总费用为 45+40=85(万元) 。 ③若单独采用措施乙,则预防措施费用为 30 万元, 发生突发事件的概率为 1-0.85=0.15,损失期望值 为 400×0.15=60(万元) ,总费用为 30+60=90(万 元) 。 ④若联合采用甲、乙两种预防措施,则预防措施费 用为 45+30=75(万元) ,发生突发事件的概率为 (1-0.9) (1-0.85)=0.015,损失期望值为 400× 0.015=6 万元,总费用为 75+6=81(万元) 。 综合①、②、③、④应联合采用甲、乙两种预防措 施,可使总费用最少。 【点评】本题重点考查了数学的中分类讨论思想, 本题关键是正确理解“总费用=采取预防措施的费 用+发生突发事件损失的期望值”这一规定抓住其 中数学期望的计算方法来破题。 例 8(2004,全国卷Ⅰ) 一接待中心有 A、B、C、D 四部热线电话,已知某 一时刻电话 A、B 占线的概率均为 0.5,电话 C、D 占线的概率均为 0.4,各部电话是否占线相互之间 没有影响,设该时刻有 ? 部电话占线,求随机变量
? 的概率分布和期望。

P( ? =4)= 0 . 5 2 ? 0 . 4 2 ? 0 . 04 于是 ? 的概率分布列为:
?

0

1

2

3

4

P

0.09

0.3

0.37

0.2

0.04

∴ E ? =40 × 0.09+1 × 0.3+2 × 0.37+3 × 0.2+4 × 0.04=1.8 【点评】本题考查知识面广,互斥事件,相互独立 事件,独立重复试验,离散型随机变量的分布列, 数学期望等注重对数学能力考查兼顾试题基础性, 综合性,实现综合素养。 【好题优化训练】 1、如果 ? 是一个离散型随机变量,则下列命题中 的假命题是( ) A、 ? 取每一个可能值的概率是非负实数; B、 ? 取所有可能值的概率之和为 1; C、 ? 取某两可能值的概率等于分别取其中每个值 的概率之和 D、 ? 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围 内各个值的概率之和 答案:D 2、下面说法中正确的是 的平均值 B、离散型随机变量 ? 的方差 D ? 反映了 ? 取值平 均水平 C、离散型随机变量 ? 的期望 E ? 反映了 ? 取值的 平均水平 D、离散型随机变量 ? 的方差 D ? 反映了 ? 取值的 概率的平均值 答案:C 3、已知随机变量 ? 服从二项分布 ? ~B(6, 则 P( ? =2)=( ) C、
13 243 1 3





A、离散型随机变量 ? 的期望及映了 ? 取值的概率

) ,

解析:P( ? =0)= 0 . 5 ? 0 . 6 ? 0 . 09
2 2
1 1 P( ? =1)= C 2 . 0 . 5 2 . 0 . 6 2 ? C 2 . 0 . 5 2 ? 0 . 4 ? 0 . 6 ? 0 . 3

A、

3 16

B、

4 243

D、

80 243

答案:D 4、设一随机试验的结果只有 A 和 A ,且 P(A)=P, 令随机变量 ? 等于 ? 是( ) A、P P(1-P) B、2P(1-P) C、-P(1-P) D、
?1 ?0
A 出现 A 不出现

2 1 1 P( ? =2)= C 2 . 0 . 5 2 ? 0 . 6 2 ? C 2 .C 2 . 0 . 5 2 ? 0 . 4 ?

0 .6 ? C 2 .0 .5 0 .4

2

2

2

? 0 . 37

则 ? 的方差 D ?

1 1 2 P( ? =3)= C 22 .C 2 . 0 . 5 2 . 0 . 4 ? 0 . 6 ? C 2 .C 2 . 0 . 5 2 ?

0 .4

2

? 0 .2

答案:D 5、已知 ? ~B(n,P) ? =7,D ? =6, P=( E 则 A、
1 7

选B ) 4、有 10 件产品,其中 3 件次品,从中任取 2 件, 若 ? 表示取到次品的个数,则 E ? =( A、
3 5

B、

1 6

C、

1 5

D、

1 4



答案:A 技能培训: 1、设掷 1 颗骰子的点数为 ? ,则( A、E ? =3.5,D ? = 3 . 5 2 B、E ? =3.5,D ? =
35 12

B、

8 15

C、

14 15

D、1
C3
2



解析: 设抽一件次品的概率为 p 1 , p 2 ? 则 ∴E ? =
21 45 ?1 ? 1 15 ?2? 3 5

2 C 10

?

1 15

选A

5、一盒中有 9 个正品和 3 个废品,生次取 1 个产 品,取出后不再放回,在取得正品前已取出废品数 为 ? ,则 E ? = 解析:由条伯知 ? =0,1,2,3, P( ? =0)= 5
1 6

C、E ? =3.5,D ? =3.5 D、E ? =3.5,D ? =
35 16



解析: ? 的分布列为:
?

C9

1

0
1 6

1
1 6

2
1 6

3
1 6

4
1 6

6 P( ? =2)=
1 6

1 C 12
2

?
1

3 4
?

,P( ? =1)=
9 220

C 3 .C 9
2 2 C 12

1

1

?

9 44

C 3 .C 9
3 3 C 12

P

∴ E ? =1 ×
1 6

1 6

+2 ×

1 6

+3 ×

1 6

+4 ×

1 6

+5 ×

1 6

+6 ×

P( ? =3)= ∴E ? =0×
3 4

C 3 .C 9
4 4 .C 12

3

1

?

1 220

=3.5

? 1?

9 44

?2?

9 220

? 3?

1 220

? 0 .3

2 2 2 D ? = ? ?1 ? . 35 ? ? ?2 ? 3 . 5 ? ? ?3 ? 3 . 5 ? ?

6、 乙两人独立解一道题, 甲、 甲解出的概率为 0.6, 甲或乙解出的概率为 0.92。 (1)求该题被乙解出的概率; (2)求解出该题人数 ? 的期望和方差; 解析: (1)设甲单独,乙单独解出该题的文件分别 为 A、B。 则 0.92=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A).P(B) =0.6+P(B)-0.6p(B)
? P ?B ? ? 0 .8

?4 ? 3 . 5 ? 2 ? ?5 ? 3 . 5 ? 2 ? ?6 ? 3 . 5 ?2 ?
∴选 B

1 6

?

35 12

2、高随机变量 ? 满足 E ? =-1,D ? =3,则 E

?3 ??

2

?2

?? =(
B、9

) C、30
? 2 ? E 3?

A、6 解析:E

D、36
2

?3 ??

2

??

?

?6

?

2 =3E ? 2 ? 6 ? 3 ?D ? ? ? E ? ? ? ? 6

(2)P( ? =0)=0.08,P( ? =1)=0.44, P( ? =2)=0.48,E ? =1.4,D ? =0.4 7、在 n 把不同钥匙中仅有一把能打开门锁,随机 抽取来试开求能打开此门的试开次数的期望与方 差。 解析: 试开次数 ? =K 就是直至第 K 次取到的钥匙才 D、
1 3

=6

选A

3、若袋中有 6 个红球,4 个白球,从中任取 1 球, 记住颜色后放回连续摸取 4 次, ? 为取得红球的 设 次数,则 ? 的期望 E ? =( A、
3 4


19 7

B、

12 5

C、

能打开门锁,所以 P( ? =K)=
1 n

1 n

,故 E ?

解析:∵是有放回地摸球, ∴每次摸球(试验) ,摸得红球(成功)的概率均 为
3 5

=

?1 ? 2 ? 3 ? ...
2

? n? ?

n ?1 2

?

?n ? 1 ? 2
4

, 连续摸 4 次,? 为取得红球 (成功) 的次数,
3 5

?

n ?1 12

则 ? ~B(4,

) ,∴E ? =np=4×

3 5

8、设每台机床在 1 分钟内需要管理的概率为 0.1 这些机床是否需要工人去管理是彼此独立的,若一

个工人负责 4 台机床,求 1 分钟内需要管理的机床 台数 ? 的平均台数。 解析: ? ~B(4,0.1) ,即: P( ? =K)= C 4k . 0 . 1 k . 0 . 9 4 ? k ?k ? 0 ,1, 2 , 3, 4 ? 它的分布列为:
?

保险,参加者需交保险费 100 元,若一年内,万元 以上财产被盗保险公司赔偿 a 元 (a>100) 问 a 如何确定,可使保险公司期望获益? 解析:设 ? 表示保险公司在参加保险者身上的收 益, ? 取二个值 ? =100 和 ? =100-a 且 P ? =100) 则 ( =0.99,P( ? =100-a)=0.01 保险公司的期望获益 E ? >0 ∵E ? =0.99×100+0.01×(100-a) =100-0.01a>0 ∴100<a<10000 故 a 在 100~1000 之间保险公司可期望获益。

0 0.6561
4

1 0.2916

3 0.0486

4 0.0001

P

∴E ? = ? kR i ? 0 . 4
k ?0

答:1 分钟需管理的平均台数为 0.4 台。 【思维拓展】 据统计,一年中,一个家庭万元以上财产被盗的概 率为 0.01, 保险公司开办一年期万元以上家庭财产

§11.3 抽样方法,总体特征的估计

(1)总体分布:随着试验次数的不断增加,试验 结果的频率值在相应概率值附近摆动,当试验次数 【一线名师精讲】 基础知识串讲: 1、抽样方法: (1)简单随机抽样:设一个总体的个数为 N,如果 通过逐过抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽 取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样 为简单随机抽样,常用的方法有抽签法和随机数表 法。 (2)分层抽样,当已知总体是由差异明显的几部 分组成时,常将总体分成几部分,然后按照各部分 所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样,其中 所分成的各部分叫做层。 (3)系统抽样,将总体分成均衡的几个部分,然 后按照预先定出的规则, 从每一部分抽取 1 个个体, 得到所需要的样本。 2、总体分布的估计 无限增大时,频率值就变成相应的概率了,此时, 随着样本容量无限增大其频率分布也就会排除抽 样误差,精确地反映总体取的概率分布规律,通常 称为总体分布。 (2)累积频率分布:由频率分布表可算得,样本 数据小于某值的频率等于前面 K 组频率之和(K=1, 2,?,n) ,这种样本数据小于某一数值的频率, 叫做累积频率。 几点注意 1、三种抽样方法的比较 简单随机抽样是最简单,最基本的抽样方法,其它 两种抽样方法是寻立在它的基础上,三种抽样方法 的共同点是,它们都是等概率抽样,体现了抽样的 公平性,三种各有其特点和适用范围。 2、用样本频率分布估计总体分布 由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频

率分布去估计总体分布,一般地,样本容量越大, 估计越精确。 (1)当总体中个体取不同数值很小时,其频率分 表由所取的样本的不同数值及相应频率表示,几何 表示就是相应的条形图。 (2)当总体中个体取不同教值很小时,用频率分 布直方图来表示相应样本的频率分布。 3、正态分布的性质: ①曲线在 x 轴上方,且关于直线 x=u 对称。 ②曲线在 x=u 时处于最高点,由这一点向左、右两 边延伸时,曲线逐渐降低。 ③曲线的对称轴位置由 u 确定; 曲线的形壮由 ? 确 定, ? 越大,曲线越“矮胖” ,反之,曲线越“高 瘦” 。 基本题型指要: 一、抽样方法: 例 1(2002 南昌高三统考题) 要守成下列两项调查:①从某社区 125 户高收入家 庭,280 户中等收入家庭,95 户低收入家庭中选出 100 户家庭调查社会购买力的某项指标;②从某中 学高一年级的 12 名体育特长生中选出 3 人调查学 习负担情况,应采用的抽样方法( A、①用简单随机抽样法; ②用系统抽样法 B、①用分层抽样,②用简单随机抽样法 C、①用系统抽样,②用分层抽样 D、①用分层抽样,②用分层抽样 【解】根据调查的对象和意图宜用分层抽样完成 ①,用简单随机抽样完成②,故选 B。 【点评】选用合情合理的抽样方法,能保证调查结 果的真实性,从而有利于制定新政策。 例 2,某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年 人 81 人,为了调查他们的身体壮况的某项指标, 需人他们中抽取一个容量为 36 的样本,短途抽样 本的方法是( C、分层抽样; 层抽样 【解】 相对身体壮况来说, 当总体中的个体较少时, 用简单随机抽样,当总体中的个体数较多时,用系 统抽样;当总体由差异明显的几部分组成时,用分 层抽样。 二、直方图,条形图应用 例 3, (2003,合肥高三统考题) ) D、先人老年人中排除 1 人后分 A、简单随机抽样;B、系统抽样 )

某市高三数学抽样考试中, 90 分以上 对 (含 90 分) 的成绩进行统计,其频率分布图如下:

若 130~140 分数段的人数为 90 人,则 90~100 分 数段的人数为 。 【解】由于 90 分以上的考试分数是样本总体,则 图中 5 个分数段的频率之和等于 1, 130~140 分 设 数段的频率为 P,则 0.45+0.25+0.15+ 0.1+P=1 ? P=0.05, 设该样本总体共有 n 个学生的 分数,90~100 分数段的人数为 x,由频率概念得
? ? n ? 1800 ? 0 . 05 ? n ? 90 ? ? ? ? 0 . 45 ? n ? x ? x ? 810 ?

故 90~100 分数段的人数为 810, 例 4,一个容量为 100 的样本,数据的分组和各组 的一些相关信息如下: 分 组 频 数 频 率 累积频率

[12,15] 6 [15,18] [18,21] [21,24] 21 [24,27] [27,30] 16 [30,33] 合 计 100 0.10 100 1.00 0.69 0.08 0.30

[33,36] (1)完成上表中每一个的两个空格;

(2)画出频率分布直方图和累积频率分布图; (3)根据累积频率分布图估计总体中小于 22 的样 本数据大约占多大的百分比? 思路: 频数, 频率, 累积频率三者之间有如下关系:

频率=

频数 样本容量

;某数值对应的累积频率=小于

该数值的所有区间内对应的频率的和。 在本例中,可以看到每一行的频数=100×频率,该 行累积频率=该行和该行前面的所有行(如果有的 话)的频率的总和=前一行的累积频率+该行的频 率,依照此原则可以补全表格。 画出累积频率分布图后,根据样本的累积频率分布

图近似总体的累积分布折线图可以估计小于 22 的 样本数据的果累积频率: 寻找累积频率分布图上横轴坐标为 22 的点的对应 的纵轴值就是我们要寻找的近似值。 【解】补全后的表格如下: 分 组 频 6 8 16 21 18 16 10 5 100 数 频 率 累积频率 0.06 0.14 0.30 0.51 0.69 0.85 0.95 1.00

正态分布 N(60, 4 ) (1)若只有 70 分钟,问应走哪条路? (2)若只有 65 分钟,总参又应走哪条路? 【分析】最佳路线是在允许的时间内有较大概率及 时赶到的路线。 【解】设 ? 为行车时间 (1) 走第一条路线, 及时赶到的概率为 P (0< ? ≤ 70)= ? ?
? 70 ? 50 ? ? 70 ? 60 ? ? ?? ? ? =4(2)=0.9772 10 4 ? ? ? ?

2

[12,15) [15,18) [18,21) [21,24) [24,27) [27,30) [30,33) [33,36) 合 计

0.06 0.08 0.16 0.21 0.18 0.16 0.10 0.05 1.00



第二条线路赶到的概率为: P(0< ? ≤65)= ? ?
? ? ?1 . 5 ? ? 0 . 9332
? 65 ? 50 ? ? ? 10 ?

走第二条路线及时赶到的概率为 P (0< ? ≤65) ≈ 4?
? 65 ? 60 ? ? ? ? ?1 . 25 ? ? 0 . 8944 4 ? ?

频率分布直方图和累积频率分布图:

因此应走第一条线路 【点评】正态分布转化为标准正态分布,便于查表 求值,转化公式:P x1 =? ?
? ? ? x2

? x2 ? u ? ? x1 ? u ? ? ?? ? ? 0 ? ? ? 0 ?

【阅卷老师评题】 例 6、 (2004 年天津) 某工厂生产 A、B、C 三种不同型号产品,产品数量 之比依次为 2:3:5 现用分层抽样方法抽出一个容 量为 n 的样本,样本中 A 种型号产品有 16 件,则 此样本容量 n= 。 在这个累积频率分布面图上,横坐标为 22,落在 21~24 的区间内, 折线图在这段区间上的线段所在 直 0.3= 线
0 . 51 ? 0 . 3 24 ? 21

答案:80 本题主要考查统计基本概念着重分层抽样的思想 方法,由工厂生产 A、B、C 三种不同型号产品,数 量之比为 2:3:5,样本容量为 n,其中 A 型号有







Y



? x ? 21 ? ?

0 . 07 ? x ? 21 ?

16 件,因此

2 2?3?5

?

16 n

? n ? 80

当 x=22 时,y=1.54-0.17=0.37 因此总体中小于 22 的数据大约占 37%。 【点评】本题考查频率数,频率、累积频率三者这 间的关子的应用体现了根据累积频率分布图来估 计总体信息的思想方法。 三、正态分布应用: 例 5、某城市从南乘公交车前往北站有两条路线, 第一条路线穿过市区,路线较短,但交能拥挤,所 需时间服从正态分布 N(50, 10 2 ) ;第二条线路沿 环城公路走路程较大,但交通畅通,所需时间服从

例 7、 (2004 年,全国福建卷) 一个总体中有 100 个个体, 随机编号为 0, 2, 1, ?, 99, 依编号顺序平均分成 10 个小组, 组号依次为 1, 2,3,?,10 现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本, 规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m, 那么在第 K 组中抽取的号码个位数学与 m+k 的个位 数 字 同 , 若 m=6 , 则 第 7 组 中 抽 取 的 号 码 为 答案:63 。

本题主要老本统计的基础知识,考查考生的思维能 力和创新意识,应用所学知识解决突际问题能力, 依题意, 每组 10 个号码, 1 组号码为 0, 2, 第 1, ?,9, 第 7 组的号码为 60,61,62,?,69 若第一组随机 抽取的号码为 6 则在第 7 组中抽取的号码的个位数 字与 6+7 的个位数字相同,即个位数字是 3,所以 在第 7 组中抽取的号码是 63。 【点评】准确理解题意,化陌生的总理情景为熟悉 的数学模型是解决本题的关键。 【好题优化训练】 基础巩固 1、设随机变量 ? ~N(υ ,σ =P( ? >C) ,则 C=( A、0 答案:D 2、容量为 100 的样本数据,按从小到大的顺序分 为 8 组,如下表: 组 号 频 数 第 3 组的频数和频率分别是( A、14 和 0.14 C、
1 14
2

运用了 答案:系统 技能培训

抽样方法。

1、要从已编号(1-50)的 50 枚最新研制的某型号 导弹中随机抽取 5 枚来进行发射试验,用每部分选 取的号码间隔一样的系统抽样方法的确定所选取 的 5 枚导弹的编号可能是( A、5,10,15,20,25; C、1,2,3,4,5; 答案:B 解析: 被系统抽样方法抽取到的导弹编号应该是 K, ) B、3,13,33,43; C、2,4,8,16,22;

)用 P( ? ≤C)

K+d,k+3d,k+4d,其中 d=

50 5

? 10

,K 是从 1~d 中

) D、υ

用简单随机抽样方法得到的数,只有 B 符合。 2、 (1)某小区有 800 个家庭,其中高收入家庭 200 户,中等收入家庭 480 户,低收入家庭 120 户,为 了了解有关家用轿车购买力的某个指标,要从中抽 取一侦察为 100 户的样本; (2)从 10 名同学中抽取 3 个参加座谈会,Ⅰ、简 单随机抽样;Ⅱ、系统抽样;Ⅲ分层抽样,问题和 方法配对的是( A、 (1)Ⅰ ) C、 (1)Ⅱ(2)Ⅲ 答案: (B) 解析: (1)800 户家庭中由于收入高低差异不同, 对于要调查的指标影响也不同,应该采用分层抽样 的方法; (2)总体中斩个体数少,采用简单随机抽 样方便于工作。 3、已知样本; 10,8,6,13,8,12,11,7,8,9,10,11,12, 12, 寻么频率为 0.2 的范围是( A、5.5~7.5 C、9.5~11.5 答案: (D) 解析:只要列出频率分布表,依次对照就可以找到 答案: ,每 分 组 频 2 6 4 8 20 数 频 率 B、7.5~9.5 D、11.5~13.5 ) ) B、 (1)Ⅲ(2)Ⅰ D、 (1)Ⅲ(2)Ⅱ

B、σ

C、-υ

1

2

3

4

5

6

7

8

10

13

14

14

15

13

12

9

B、0.14 和 14 D、
1 3

和 0.14



1 14

答案:A 3、对于样本频率分布直方图与总体密度曲线的关 系,下列说法正确的是( ) A、频率分布直方图与总体密度曲线无关 B、频率分布直方图就是总体密度曲线 C、样本容量很大的频率分布直方图就是总体密度 曲线 D、如果样本容量无限增大,分组的组距无限减小, 那么频率分布直方图就会无限接近于总体密度曲 线。 答案:D 4、在已分组的数据中,每组的频数指 组的频率指 数据总数的比值。 5、在一次有奖明信片的 100000 个有机会中奖的号 码(编号 00000~99999)中,邮政部门按照随机抽 取的方式确定后两位是 23 的作为中奖号码,这是 。

5.5~7.5 7.5~9.5 9.5~11.5 11.5~13.5 合 计

0.1 0.3 0.4 0.2 1.0

答案:落入该组的数据个数;落入该组数据个数与

从表可知频率为 0.2 的范围是 11.5~13.5,选 D

4、关于频率直方图的下列有关说法正确的是 ( ) A、直方图的高表示取某数的频率 B、直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的 频率 C、直方图的高表示取组上的个体在样本中出现的 频率与组距的比值 D、直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现 的频率与组距的比值 答案:D 解析:注意频率直方图和条形图的区别,在直方图 中纵轴 (矫形的高) 表示频率与组成部分距的比值, 其相应组距上的频率等于该组距上的矩形的面积, 所以选 D。 5、对 50 个求职者调查录用情况如下:12 人录用在 工厂;8 人录用在商店,2 人录用在市政公司;3 人 录用在银行;25 人没有被录用,寻么,工厂和银行 录用求职者的概率是 答案:0.3 解析:工厂和银行录用求职者可以看作容量为 50 的 样本中的一个组,频率为
12 ? 3 50 ? 0 .3

解析: (1)P( ? <89)=P( =φ (
89 ? 90 0 .5

? ? 90
0 .5

?

89 ? 90 0 .5



)=φ (-2)=1-φ (2)

=1-0.9772=0.0228 (2)由 d 满足:0.99≤P( ? >80) 又 P( ? >80)=P( =1-P(
? ?d
0 .5

? ?d
0 .5

?

80 ? d 0 .5

≤)



80 ? d 0 .5



=1-φ (

80 ? d 0 .5


80 ? d 0 .5

即:0.99≤1-φ ( ≤0.01 ∴
80 ? d 0 .5

)? φ (

80 ? d 0 .5



≤-2.327 ? d≤81.1635

故 d 至少为 81.1635.

.

6、通过查标准正态分布表,计算服从正态分布 N (0,1)的总体落在区间(0.02,2.23)内的概率 是 是 ,落在区是(-1.85,0.04)内的要率 。

答案:0.4791,0.4838 7、某单位有技工 18 人,技术员 12 人,工程师 6 人,从这些人中抽取一个容量为 n 的样本;如果采 用系统抽样和分层抽样方法抽取,都不用剔除个 体;如果容量增加一个,则在采用系统抽样时,需 要在总体中剔除 1 个个体,求样本容量 n。 解析: 总体个数为 18+12+16=36 由题设, 整除 36, n 且 n+1 整除 35。 ∴n=4 或 6,又因为也可采用分层抽取三种人员之 比为 18:12:6=3:2:1,∴6 整除 n,故 n=6. 8、将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内, 调节器设定在 d c,液体的温度 ? ~N(d,0.5 ) (1)若 d=90,求 ? <89 的概率; (2)若要求保持液体温度至少为 80℃的概率不低 于 0.99, d 至少是多少? 问 (其中: 若η ~N (0.1) 查表得φ (2)=P(η <2==0.9772,φ (-2.327) =P(η <-2.327=0.001)。
o 2


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