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北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》之三角形中的几何计算(二)


第五课时

三角形中的几何计算(二)

一、教学目标:1、会在各种应用问题中,抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确 定解三角形的方法;2、搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量 关系;3、理解各种应用问题中的有关名词、术语,如:坡度、俯角、仰角、方向角、方位 角等;4、通过解三角形的应用的学习,提高解决实际问题的能力。 二、教学重点:实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法 教学难点:实际问题向数学问题转化思路的确定 三、教学方法:启发引导式? 四、教学过程: (一) .复习回顾: 1.正弦定理:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

2.余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, ? cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc

b ? c ? a ? 2ca cos B, ? cos B ?
2 2 2

c2 ? a2 ? b2 2ca a2 ? b2 ? c2 2ab

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC , ? cosC ?

3.解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用,如果我们抽 去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳, 就暴露出解三角形问题的本质, 这就要提高 分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力下面, 我们将举例来说明 解斜三角形在实际中的一些应用 (二) 、探析范例: 例 1:某渔船在航行中不幸遇险,发出求救信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测出该渔 船在方位角为 45°、距离 A 为 10 海里的 C 处,并测得渔船正沿方位角为 105°的方向,以 9 海里/h的速度向某小岛 B 靠拢,我海军舰艇立即以 21 海里/h的速度前去营救,试问 舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间 分析:设舰艇从 A 处靠近渔船所用的时间为x h,则利用余弦定理建立方程来解决较 好,因为如图中的∠1,∠2 可以求出,而 AC 已知,BC、AB 均可用x表示,故可看成是一个 已知两边夹角求第三边问题

解: 设舰艇从 A 处靠近渔船所用的时间为xh, 则 AB=21x海里, BC=9x 海里, AC=10 海 里,∠ACB=∠1+∠2=45°+(180°-105°)=120°, 根据余弦定理,可得?

AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos120°得
(21x) =10 +(9x) -2×10×9xcos120°, 即 36x -9x ×10=0 解得x1=
2 2 2 2 2

2 5 ,x2=- (舍去) 3 12

∴AB=21x=14,BC=9x=6 ? 再由余弦定理可得? cos∠BAC=

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 142 ? 102 ? 6 2 ? ? 0.9286 , 2 ? AB ? AC 2 ? 14 ? 10
2 3

∴∠BAC=21°47′,45°+21°47′=66°47′?所以舰艇方位角为 66°47′, 小时即 40 分钟?答:舰艇应以 66°47′的方位角方向航行,靠近渔船则需要 40 分钟? 评述:解好本题需明确“方位角”这一概念,方位角是指由正北方向顺时针旋转到目标 方向线的水平角,其范围是(0°,360°)?在利用余弦定理建立方程求出x后,所求舰艇 方位角就转化为一个已知三边求角的问题,故仍然利余弦定理? 例 2:如图所示,已知半圆的直径 AB=2,点 C 在 AB 的延长线上,BC=1,点 P 为半圆上的一 个动点,以 DC 为边作等边△PCD,且点 D 与圆心 O 分别在 PC 的两侧,求四边形 OPDC 面积的 最大值 分析:要求四边形 OPDC 面积的最大值,这首先需要建立一个面积函数,问题是选谁作为 自变量,注意到动点 P 在半圆上运动与∠POB 大小变化之间的联系,自然引入∠POB=θ 作 为自变量建立函数关系四边形 OPDC 可以分成△OPC 与等边△PDC, S△OPC 可用

1 · OP· OC· sin 2

θ 表示,而等边△PDC 的面积关键在于边长求解,而边长 PC 可以在△POC 中利用余弦定理 表示,至于面积最值的获得,则通过三角函数知识解决? 解:设∠POB=θ ,四边形面积为y,则在△POC 中,由余弦定理得:?

PC2=OP2+OC2-2OP·OCcosθ =5-4cosθ ?
∴y=S△OPC+S△PCD=

1 3 ? 1 ? 2 sin ? + (5-4cosθ ) 2 4

=2sin(θ -

? 5 3 )+ 3 4

∴当θ -

? ? 5? 5 3 = 即θ = 时,ymax=2+ 6 3 2 4

评述:本题中余弦定理为表示△PCD 的面积,从而为表示四边形 OPDC 面积提供了可能, 可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据,一般地也是分析几何量之间关系的重要公式,要 认识到这两个定理的重要性 另外,在求三角函数最值时,涉及到两角和正弦公式 sin(α +β )=sinα cosβ +cos α sinβ 的构造及逆用,应要求学生予以重视? (三) .随堂练习: 1 .已知 A, B 两地的距离为 10km, B , C 两地的距离为 20km ,现测得

?ABC ? 120? , 则 A, C 两地的距离为 (
D. 10 7km



A. 10 km B. 10 3km

C. 10 5km

2 在△ABC 中,已知角 B=45°,D 是 BC 边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,求 AB ? 解:在△ADC 中, cosC=

AC 2 ? DC 2 ? AD2 7 2 ? 32 ? 5 2 11 ? ? , 2 ? AC ? DC 2?7?3 14

又 0<C<180°,∴sinC=

5 3 14

在△ABC 中,

AC AB ? sin B sin C

∴AB=

sin C 5 3 5 6 AC ? ? 2 ?7 ? . sin B 14 2

评述:此题在求解过程中,先用余弦定理求角,再用正弦定理求边,要求学生注意正、余弦 定理的综合运用 2、 如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD?CD, AD=10, AB=14, ?BDA=60?, ?BCD=135? 求 BC 的长。 解 : 在 △ ABD 中 , 设 BD=x 则

BA2 ? BD2 ? AD2 ? 2BD ? AD ? cos?BDA
即 14 ? x ? 10 ? 2 ? 10x ? cos60
2 2 2 ?

整 理 得 :

x 2 ? 10x ? 96 ? 0 解之: x1 ? 16 x2 ? ?6 (舍去)由余弦定理:
∴ BC ?

BC BD ? sin ?CDB sin ?BCD

16 ? sin 30 ? ? 8 2 sin 135 ?

(四) .小结:通过本节学习,要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时,掌 握由实际问题向数学问题的转化,并提高解三角形问题及实际应用题的能力 (五) 、课后作业:课本本节 2-1 B 组 2、3

补充题:在△ABC 中已知 a=2bcosC,求证:△ABC 为等腰三角形? 证法一:欲证△ABC 为等腰三角形可证明其中有两角相等,因而在已知条件中化去边元素, 使只剩含角的三角函数由正弦定理得 a= ∴2bcosC=

b sin A sin B

b sin A ,即 2cosC·sinB=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC sin B

∴sinBcosC-cosBsinC=0 即 sin(B-C)=0,?∴B-C=nπ (n∈Z)? ∵B、C 是三角形的内角,?∴B=C,即三角形为等腰三角形? 证法二:根据射影定理,有 a=bcosC+ccosB,又∵a=2bcosC ?∴2bcosC=bcosC+ccosB ?∴bcosC=ccosB,即

b cos B b sin B sin B cos B ? . 又∵ ? .∴ ? , 即 tanB=tanC c cos C c sin C sin C cos C

∵B、C 在△ABC 中,?∴B=C ?∴△ABC 为等腰三角形? 五、教后反思:


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