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2.3.2离散型随机变量的方差(一使用)


一、复习回顾
1、离散型随机变量的数学期望

· · · · · · p1 p2 · · · pn · · · pi EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xi pi ? ? ? xn pn
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平 2、数学期望的性质

X P

x1

/>x2

xi

xn

E (aX ? b) ? aEX ? b
3、求期望的步骤 :

(1)列出相应的分布列

(2)利用公式

4、如果随机变量X服从两点分布为
X 1 0

P

p

1- p



EX ? p

5、如果随机变量X服从二项分布,即 X~ B(n,p),则

EX ? np

探究:甲、乙两名射手在同一条件下进行射 击,分布列如下: 射 手 甲
击中环数ξ1 概率P 5 0.03 6 7 8 9 10 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10

射 5 6 7 8 9 击中环数ξ1 手 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33 概率P 乙 问题1:如果你是教练,你会派谁参加比赛呢? 用击中环数的平均数,比较两名射手的射击水平 Eξ1=8 由上知

Eξ2=8
Eξ1= Eξ2,

思考:除平均中靶环数外,还有其他刻画两 名同学各自射击特点的指标吗? p
0.3 0.2 0.1

p
0.4 0.3 0.2 0.1

4

5

6

7 (甲)

8

9

10

X1

4

5

6

7 8 (乙)

9 10

X2

思考:怎样定量刻画随机变量的稳定性? 样本方差:
? ? ? 1 ? 2 2 2 2? s ? ?(x1 ? x ) ? (x2 ? x ) ? ? ? (xn ? x ) ? n? ?
? ? 1 1 1 2 2 s ? (x1 ? x ) ? ? (x2 ? x ) ? ? ? ? (xn ? x ) ? n n n 2 ? 2

随机变量X的方差:

类似

pn DX= (x1-EX) 2· p1 +(x2-EX) 2· p2 +…+ (xn -EX) 2·

称 ?X ?

DX 为随机变量X的标准差。

思考:离散型随机变量的期望、方 差与样本的期望、方差的区别和联 系是什么?

样本
均 公 式 值 意 义 方 差 或 标 准 差
1 x = ? xi n i= 1
n

离散型随机变量
EX =

?x
i =1

n

i

pi

随着不同样本值 的变化而变化

是一个常数
DX ? ? (x i ? EX )2 ?p i
i ?1 n

? 公 2 1 n 2 s ? (x ? x ) ? i 式 n i ?1

意 随着不同样本值的 义 变化而变化,刻画
样本数据集中于样 本平均值程度

是一个常数,反映随 变量取值偏离均值的 平均程度,DX, ?X 越小,偏离程度越小.

例:甲、乙两名射手在同一条件下进行射击,分布列如下: 5 6 7 8 9 10 射手甲 击中环数ξ1 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10 概率P

射手乙

击中环数ξ1 概率P

5 6 7 8 9 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33

比较两名射手的射击水平 Eξ1=8 Eξ2=8
2 ( i ? 8 ) P(?1 ? i ) ? 1.50 Dξ1= ? 10 i?5 9

Dξ2=

2 ( i ? 8 ) P(? 2 ? i ) ? 0.82 ? i?5

由上知 Eξ1= Eξ2, Dξ1 >Dξ2 乙的射击成绩稳定性较好

EX 1 ? 8, EX 2 ? 8

DX 1 ? 1.50, DX 2 ? 0.82

问题2:如果其他对手的射击成绩都在9环 左右,应派哪一名选手参赛? 问题3:如果其他对手的射击成绩都在7环 左右,应派哪一名选手参赛?

例1、随机抛掷一枚质地均匀的骰子, 求向上一面的点数X的均值、方差和标 准差。

例2:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能 获得如下信息:
甲单位不同职位月工 资X1/元 获得相应职位的概 率P1 乙单位不同职位月工 资X2/元 获得相应职位的概 率P2 1200 0.4 1000 0.4 1400 0.3 1400 0.3 1600 1800 0.2 0.1

1800 2200 0.2 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?

解:EX1 ? 1400, EX 2 ? 1400

DX1 ? 40000, DX 2 ? 160000

在两个单位工资的数学期望相等的情况 下,如果认为自己能力很强,应选择工 资方差大的单位,即乙单位;如果认为 自己能力不强,就应选择工资方差小的 单位,即甲单位。

二、几个常用公式:

若X服从两点分布,则 DX ? p(1 ? p)

若X ~ B( n, p),则DX ? np(1 ? p)

D(aX ? b) ? a DX
2

例3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中率为 p=0.6 (1)求一次投篮时命中率次数X的期望与 方差; (2)求重复5次投篮时,命中次数Y的期望 与方差。

相关练习:

1 1、已知? ? 3? ? ,且D? ? 13, 则D? ? 117 8

2、 已 知X~B( n, p ),EX ? 8, DX ? 1.6, 则n ?10 ,p? 0.8

3、有一批数量很大的商品,其中次品占 1%,现从中任意地连续取出200件商品, 设其次品数为X,求EX和DX。 2,1.98

课堂练习:

4、 D(aX ? EX ? DX ) 等于( )
2

A 无法求 C a DX
2

B

0
2

D 2aDX ? (EX )

5、已知随机变量X的分布列为:
X P 1 0.1 2 3 0.4 4 0.2 5 0.1

0.2

另一随机变量Y=2X-3,求EY,Dy

三、课堂小结
一般地,若离散型随机变量X的概率分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

期望

EX = x1p1 + x 2 p2 + ??? + x n pn
方差
DX ? ? x1 ? EX ?
2

? p1 ? ? x2 ? EX ?
2

2

? p2

    ? ? ? ? xn ? EX ?

? pn

期望
意义 期望反映了X 取值的平均 水平。
(1) E (aX ? b) ? aEX ? b

方差
方差反映了X取 值的稳定与波动, 集中与离散程度
(1) D(aX ? b) ? a 2 DX

计 算 公 式

(2)若X服从两点 分布,则 EX=p (3)若X~B(n,p)

(2)若X服从两点分布, 则 DX=p(1-p) (3)若X~B(n,p)

则EX= np

则 DX= np(1-p)

1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义 2、记住几个常见公式

D(aX ? b) ? a DX
2

若X服从两点分布,则 DX ? p(1 ? p)

若X ~ B( n, p),则DX ? np(1 ? p)

例3、随机变量

? 的分布列为
0 b 1 c

?
P

-1 a

1 其中,a,b,c成等差,若 E? ? , 则 3 。 D?的值为

5 9

4.(08全国二18) 购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交 纳保费a元,若投保人在购买保险的一年度内出 险,则可以获得10 000元的赔偿金.假定在一年 度内有10 000人购买了这种保险,且各投保人是 否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少 4 10 支付赔偿金10 000元的概率为1-0.999 . (Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率p; (Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外 的成本为50 000元,为保证盈利的期望不小于0, 求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元)

练习 1.根据统计,一年中一个家庭万元以上 的财产被盗的概率为0.05,保险公司开 办一年期万元以上家庭财产保险,参加者 需交保险费100元,若在一年以内,万 元以上财产被盗,保险公司赔偿a元 (a>100),问a如何确定,可使保险 公司期望获利?

练习1、若X是离散型随机变量,则E(XEX)的值是 。 A.EX B.2EX C.0 D.(EX)
2

2、已知X的概率分布为
X P -1 1/2 0 1/3 1 1/6

且Y= aX+3,EY=7/3, 则a=

.

4、随机变量X~B(100,0.2),那么 D(4X+3)= .
5、设X是一个离散型随机变量 ,其概 率分布为

X
P

-1
1/2

0
1-2q

1
q
2

求: (1) q的值;(2)EX,DX。

在一次购物抽奖活动中,假设某10张券 中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品; 有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖 品;其余6张没有奖。某顾客从此10张券 中任抽2张,求: (1) 该顾客中奖的概率; (2) 该顾客获得的奖品总价值? (元)的概 率分布列和期望E?、方差。

三、基础训练
1、已知随机变量X的分布列 X P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1

求DX和σX。 解: EX ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.2 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.1 ? 2

DX ? (0 ? 2) ? 0.1 ? (1 ? 2) ? 0.2 ? ( 2 ? 2) ? 0.4
2 2 2

? ( 3 ? 2) ? 0.2 ? (4 ? 2) ? 0.1 ? 1.2
2 2

?X ? DX ? 1.2 ? 1.095

5: (07安徽.20)(本小题13分) 在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一 个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了2只苍蝇(此时笼 内有8只蝇子:只果蝇和 6 2只苍蝇),只好把笼子打开一 个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞 ? ? 出,再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.⑴写 ? ? ? ? ? 出ξ的分布列; (不要求写计算过程)⑵求数学期望Eξ; ⑶求概率P(ξ ? Eξ)

析:审清题意是解决该题的关键. 1.抓住蝇子一个个有顺序地飞出,易联想到把8 只蝇子看作8个元素有序排列.

●●☆●●●☆●,由于ξ=0“表示☆ ●●●●●☆●”,最后一只必为 果蝇,所以有ξ=1“表示 ● ☆ ●●●☆●●”
P (ξ=0 )=

AA 7 ? 8 28 A8
AAA 6 ? 28 A
1 2 1 6 8 8 6 6

1 2

7 7



同理有P (ξ=1 )=

ξ=2“表示 ● ● ☆ ●●☆●●”有P (ξ=2)=
2 1 5 A6 A2 A5 5 ? 8 A 28 8

ξ=3“表示 ● ● ● ☆ ●☆●●”有P (ξ=3)=
3 1 4 A A A 4 6 2 4 ? 8 A 28 8

ξ=4“表示 ● ● ●●☆● ☆ ●”有P (ξ=4)=
3 28

ξ=5“表示 ● ● ●●● ☆ ☆ ●”有P (ξ=5)=

2 28 1 ξ=6“表示 ● ● ●●●● ☆ ☆”有P (ξ=6)= 28

? 的分布列

?

0
7 28

1
6 28

2
5 28

3
4 28

4
3 28

5
2 28

6
1 28

p

7 6 5 4 3 2 1 ⑵E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? 28 28 28 28 28 28 28 ?2
⑶p(? ? E? ) ? p(? ? 2) ? p(? ? 2) ? p(? ? 3) ? p(? ? 4) ? p(? ? 5) ? p(? ? 6) 15 ? 28

3、每人交保险费1000元,出险概率为 3%,若保险公司的赔偿金为a(a> 1000)元,为使保险公司收益的期望值 不低于a的百分之七,则保险公司应将最 大赔偿金定为多少元?
?
P 1000 0.97 1000-a 0.03

E ? = 1000-0.03a≥0.07a 得a≤10000

故最大定为10000元。


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