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高中数学选修4-4第一讲2


二 极坐标系

在解决本节开头问题时我们用 在信息中 , " 心的西偏北45 0 方向, 距离 680 10 m 处" 描 述了巨响位置实际上 , 这是以信息中心为 . 基点, 以正西方向为参照用与信息中心的 , 距 离和 正 西方向所成的角来刻画 巨响位 置 .这 是日常生活中常用的刻 画位置的方 法 , 体现了极坐标思想 .

>
1 极坐标系的概念
思考 图1 ? 9 是某 校园 的平面示意图假设某同 . 学在教学楼处 请回答下 , 列问题 :
办公楼 E

实验楼 D

图书馆 C

450 50m

60 0
60m

?1? 他向东偏北60 0 方向走
位置惟一确定吗 ?

A

B

教学楼

体育馆

120m后到达什么位置? 该

图1 ? 9

?2? 如果有人打听体育馆和 办公楼的位置 ,
他应如何描述?

以A为基点, 射线 AB 为参照方向 利用与 A , 的距离、与AB 所成的角就可以刻画平面 , 上点的位置.有时比直角坐标更方便, 如在 台风预报、地震预报、 测量、航空、航海 中就主要采用这种方法 .

思考 类比建立直角坐标系的 过程, 怎样 建立用距离与角度确定 平面上点的位置 的坐标系?

如图1 ? 10 , 在平面内取一定 M?? ,? ? ? 点 O,叫做 极点 ;自极 点 O 引 ? 一条射线 Ox,叫做 极轴; 再选 ? x 定一个长度单位一个角 度单 O 图1 ? 10 位?通常取弧度?及其方向(通 常取逆时针方向) , 这 样就建立了一个 极坐标系 . 设点M是平面内一点 极点O与点 M 的距离 | OM | , 叫做点M 的 极径, 记为? ;以极轴Ox 为始边 , 射线 OM为终边的角xOM叫做点M的极角 , 记为? .有序 数对? ? ,? ?叫做点M的极坐标 , 记作M ? ? , ? ?. 一般地, 不作特殊说明时认为? ? 0,?可取任意实数 , .

5? 6 11? 12

2? 3? 3 4

7? 12

? 2

5? 12

? 3

B

? 4

?
6

? 12

?
13? 12 7? 6

A

5 x
23? 12 11? 6

图1 ? 11

11? 12

5? 6

2? 3? 3 4

7? 12

? 2

5? 12

? 3

? 4 ?
6

E D

? 12
23? 12 11? 7? 6 4

?
13? 12 7? 6

x

图1 ? 12

F
5? 4
4? 3 17? 12 19? 12 5? 3

5? 4

4? 3

C
17? 12 3? 2 19? 12 5? 3

7? 4

3? 2

例1 如图 ? 11, 在极坐标系中写出点A, B, C的极坐 1 , 5? ? ? ? ? ? 3? ? ? 标, 并标出点D? 2, ?, E ? 4, ?, F ? 3.5, ?所在位置 . 3 ? ? 6? ? 4 ? ?

? 解 由图1 ? 11, 可得点A, B, C ,的极坐标分别为1,0 ?, ? ? ? ? 4? ? 1 ? 4, ?, ? 5, ?.点D, E, F的位置如图 ? 12所示. ? 2? ? 3 ?

例 2 在图 ? 9中, 用点A, B, C , D, E分别表示 1 教学楼, 体育馆,图书馆,实验楼, 办公楼的位 置.建立适当的极坐标系写出各点的极坐标 , .
解 以点A为极点, AB所在射 线为极轴(单位长度为 m), 建 1 立极坐标系(图1 ? 13) .
点 A , B , C , D , E 的极坐标分
E
450 50m

D
120m

C

60 3m
60 0
60m

?? ? 别为 ?0,0 ? , ?60,0 ? , ? 120, ? , 3? ? ? ? ? 3? ? ? ? 60 3 , ? , ? 50, ?. 2? ? 4 ? ?

A?O?

B

x

图1 ? 13

建立极坐标系后给定? 和? , 就可以在平面 , 内惟一确定点 ; 反过 来, 给予定平面内任 M 意一点, 也可以找到它的极坐标?? ,? ?.
? ?? ? ? ? 思考 在极坐标系中, ? 4, ? , ? 4, ? 2? ? , ? 6? ? 6 ? ? ? ?? ? ? ? 4, ? 4? ?, ? 4, ? 2? ?表示的点有什么关 ? 6 ?? 6 ? 系? 你能从中体会极坐标与 直角坐标在刻 画点的位置时的区别吗 ?

由终边相同的角的定义 可知, 上述极坐标表示 ? ? ? 同一个点实际上, ? 4, ? 2k? ??k ? Z ?都表示这 . ? 6 ? 个点. 一般地, 极坐标? ? , ? ?与? ? , ? ? 2k? ??k ? Z ?表示 ? 同一个点特别地, 极点O的坐标为 0,? ??? ? R ?. . 和直角坐标不同 平面内一个点的极坐标 , 有无 数种表示. 如果规定? ? 0,0 ? ? ? 2? , 那么除极点外 平面 , 内的点可用惟一的极坐 ?? ,? ?表示;同时, 极 标 坐标?? ,? ?表示的点也是惟一确定 . 的

1 极坐标和直角坐标的互 化

思考 平面内的一点既可以用 直 角 坐 标 表示 , 也可以用极坐 标表示.那么, 这两种坐标之间 有什么关系呢?

把直角坐标系的原点作 为极点, x 轴的正半轴 作为极轴, 并在两种坐标系中取相 同的长度单 位 .设 M 是平面内任意一点, 它的直角坐标是 ? x, y ? , 极坐标是 ?? ,? ?.从图1 ? 14可以得出它 们之间的关系式: y x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ① M

由 ①又可得到下面关系式 : y 2 2 2 ? ? x ? y , tan ? ? ? x ? 0 ?. x 这就是极坐标与直角坐 标的 互化公式.

?

y
N

?
O

x

x

图1 ? 14

? 2? ? 例 3 将点M的极坐标? 5, ? 化成直角坐标. ? 3 ? 2? 5 2? 5 3 解 x ? 5 cos ? ? , y ? 5 sin ? . 3 2 3 2
? 5 5 3? ? ?. 所以 , 点M的直角坐标为 ? , ? 2 2 ? ? ?

例3 将点M的直角坐标 ? 3 ,?1 化成极坐标.
把直角坐标 转化为极坐 标时, 通常有 不同的表示 法(极角相差 3?的整数倍). 一般只要取 ? ? ?0,2? ?就 可以了 .

?

?

解 ??

?? 3 ? ? ?? 1?
2

2

? 3 ? 1 ? 2,

?1 1 3 tan? ? ? ? . 3 ? 3 3
7? 因为点 M在第三象限 , 故? ? . 6

? 7? ? 因此, 点M的极坐标为 2, ? . ? ? 6 ?


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