当前位置:首页 >> 数学 >>

3.1.3空间向量的数量积运算1


3.1.3空间向量的 数量积运算

一、两个向量的夹角

两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角,即取值范 围是(0°,90°],而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是[0°,180°]

二、两个向量的数量积

注:①两个向量的数量积是数量,而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积

等于零.
A

a
A1

类比平面向量 , 你能说 出 a ? b 的几何意义吗?
B1

a乘以b在a上的投影
B

b

如 图 A1 B1 是 b 在 a 方 向上的射影向量.

三、空间两个向量的数量积的性质

1空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相 同的性质.
2性质(2)是用来判断两个向量是否垂直,性质(5)是 用来求两个向量的夹角. 3性质(3)是实数与向量之间转化的依据.

四、空间向量数量积的运算律
与平面向量一样,空间向量的数量积满足如下运算律:

向量数量积的运算适合乘法结合律吗? 即(a?b)c一定等于a(b· c)吗?

数量积不满足结合律即 ( 注意: a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

另外 a ? b ? a ? c ? b ? c 及a?b ? 0? a ? 0或b ? 0

思考
1.下列命题成立吗? ①若 a ? b ? a ? c ,则b ? c

②若 a ? b ? k ,则 a ? b ③ (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

k

? ? ?

2 ,a?b ? ? 2 , 2. 已知 a ? 2 2 , b ? 2 135 则 a 与b 的夹角大小为_____.

3

不一定为锐角

不一定为钝角

例1 已知空间向量a,b满足|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是 150°,计算:(1)(a+2b)· (2n-b);(2)|4a一2b|.

例2 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
P O α A l

已知:如图,PO,PA分别是平面α的 垂线,斜线,AO是PA在平面α内的射 影, l ? ? , 且l ? OA, 求证 : l ? PA.

已知:如图,PO,PA分别是平面α的 垂线,斜线,AO是PA在平面α内的射 影, l ? ? , 且l ? OA, 求证 : l ? PA.

证明:如图,在直线 l上取向量a, 同时取向量PO, OA.
α

P O A l a

因为l ? OA, 所以a ? OA ? 0. 因为PO ? ? , 且l ? ? , 所以l ? PO,
因此a ? PO ? 0 又因为a ? PA ? a ? ( PO ? OA) ? a ? PO ? a ? OA ? 0 所以l ? PA.

三垂线定理:在平面内的一条直线, 如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
反过来,在平面内的一条直线 ,如果和这个平面 的一条斜线垂直 , 那么它也和这条斜线的射影垂直 . 成立吗? PA 分别是平面 ? 的垂线、 已知:如图, PO 、 斜线, AO 是 PA 在平面 ? 内的射影, l ? ? ,且 l ? PA , 求证: l ? OA ?P

分析:同样可用向量, 证明思路几乎一样,只 不过其中的加法运算 用减法运算来分析.

?

O?

?A

l

a

变式1
设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足

AB ? AC ? 0, AB ? AD ? 0, AC ? AD ? 0
则△BCD是
A.钝角三角形

(C )
B.直角三角形

C.锐角三角形 D.不确定

例3 如图,已知线段 AB 在平面 ? 内,线段 AC ? ? ,线段 BD ? AB ,线段 DD? ? ? ,?DBD? ? 30? ,如 果 AB ? a , AC ? BD ? b ,求 C 、D 之间的距离。 解:由 AC ? ? ,可知 AC ? AB .
C D b b a D'

由?DBD? ? 30? 知 ? CA , BD ?? 120?.
| CD |2 ? CD CD ? (CA ? AB ? BD )2 ?| CA |2 ? | AB |2 ? | BD |2 ?2CA ? AB ? 2CA ? BD ? 2 AB ? BD ? b 2 ? a 2 ? b 2 ? 2b 2 cos120? ? a 2 ? b2

?

A

B

? CD ? a2 ? b2

练习:已知平行六面体ABCD ? A' B 'C ' D '中,AB ? 4 AD ? 3,AA' ? 5,?BAD ? 900 , ?BAA' ? ?DAA' ? 600
‘ 求对角线AC 的长

D'

C'

解: AC ? ? AB ? AD ? AA?
? | AC ? |2 ? ( AB ? AD ? AA?)2

A'

B'

D

?| AB |2 ? | AD |2 ? | AA? |2
C

? 2( AB AD ? AB AA? ? AD AA? )

A

B

? 42 ? 32 ? 52 ? 2(0 ? 10 ? 7.5) ? 85
?| AC ? |? 85

例4 已知空间四边形OABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA, OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN. 证明:

练习4 如图,在正三棱柱 ABC ? A 中,若 AB ? 2BB1 , 1B 1C1 B C B AB 则 所成的角的大小为( ) 1 1与

A.

60

0

B.

90

0

C. 105

0

D.
A1

75

0

C1 B1

A B

C

6.如图,在空间四边形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 3 , BD ? 2 3 ,CD ? 3 ,?ABD ? 30 ,?ABC ? 60 ,求 AB 与 CD 的夹角的余弦值
王新敞
奎屯 新疆

解:∵ CD ? BD ? BC , ∴ AB ? CD ? AB ? BD ? AB ? BC ?| AB | ? | BD | ? cos ? AB, BD ?

? | AB | ? | BC | ? cos ? AB, BC ?

? 2 ? 2 3 ? cos150 ? 2 ? 3 ? cos120 ? ?6 ? 3 ? ?3
∴ cos ? AB, CD ??
?3 1, ? ?? 2 | AB | ? | CD | 2 ? 3 AB ? CD

1 ∴ AB 与 CD 的夹角的余弦值为 . 2

说明:由图形知向量的夹角时易出错,如 ? AB, BD ?? 150 易错写成 ? AB, BD ?? 30 ,注意推敲!

小 结:
通过学习, 我们可以利用向量数量积解决立体几何中 的以下问题:

1、证明两直线垂直;
2、求两点之间的距离或线段长度;

3、求两直线所成角.


相关文章:
3.1.3 空间向量的数量积运算教案。
高二年级 数学 学科 课题 §3.1.3 空间向量的数量积运算第 1 课时 授课类型 新授课 授课时间 2012 年 12 月 24 日 教学目标 知识与技能:① 掌握空间向量的...
选修2-1 3.1.3空间向量的数量积运算
选修2-1 3.1.3空间向量的数量积运算_数学_高中教育_教育专区。选修 2-1 3.1.3 空间向量的数量积运算一、选择题 ??? ? 1、平面式 O,A.B 三点不共线,...
§3.1.3 空间向量的数量积运算
空​间​向​量​的​数​量​积​运​算高二数学导学案---选修 2-1 §3.1.3 空间向量的数量积运算 【学习目标】 编制人: 使用日期:___ ...
3.1.3空间向量数量积运算
高二年级数学选修 2-1 《3.1.3 空间向量的数量积》导学案 班级 学习目标 课时:第 1 课时 时间 2.空间向量数量积运算律: (1)___ (2)___ (3)___ 思...
3.1.3 空间向量的数量积运算
3.1.3 空间向量的数量积运算_数学_高中教育_教育专区。3.1.3 空间向量的数量积运算 1. 下列式子中正确的是( A.|a|· a=a2 ) B.(a· b)2=a2· b2 ...
3.1.3 空间向量的数量积运算
3.1.3 空间向量的数量积运算 1.如图,空间四边形的各边和对角线长均相等,E 是 BC 的中点,那么( →·→ <AE →·→ A.AE BC CD →·→=AE →·→ B...
3.1.3空间向量的数量积运算
1 课时 教学目标 知识与技能 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法; 2.掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律; 3.掌握两个向量数量积的主要用途,会...
3.1.3 空间向量的数量积运算
芜湖市田家炳实验中学导学案 第 1 课时 累计 1 课时 3.1.3 空间向量的数量积运算高二年级 数学备课组 一、学习目标 ㈠知识与技能:⒈掌握空间向量夹角的概念及...
3.1.3空间向量的数量积运算
3.1.3空间向量的数量积运算_数学_高中教育_教育专区。3.1.3 空间向量的数量积...学案导学 一、引入新课 1.平面向量的数量积定义: 已知两个非零向量 a 与 b...
3-1-3空间向量的数量积运算
3-1-3空间向量的数量积运算_高二数学_数学_高中教育_教育专区。3.1.3 空间向量的数量积运算双基达标 ?限时 20 分钟? ( ). 1. 对于向量 a、 b、 c 和...
更多相关标签:
空间向量的数量积运算 | 3.1空间向量及其运算 | 向量数量积的运算律 | 向量数量积的坐标运算 | 平面向量数量积的运算 | 空间向量数量积 | 空间向量的数量积 | 空间向量的数量积ppt |