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第一正玄定理和余弦定理


1.1.1

正弦定理

1.1 正弦定理

1. 复习三角形中的边角关系
(一)任意三角形中的边角关系

1、角的关系 2、边的关系 3、边角关系

A ? B ? C ? 180
大角对大边

?

a?b ?c,

a?b? c

(二)面积公式:
1 1 1 s= ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2

(三)直角三角形中的边角关系 (角C为直角)

1、角的关系 2、边的关系 3、边角关系

A ? B ? 90
2 2

?

a ?b ?c

2

2. 正弦定理
在直角三角形ABC中的边角关系有:

a b ? sin A ? ,sin B ? , 对于一般的三角 c c
a b ? 形是否也有这个 ? ?c sin A 关系? sin B

B c a b C

又? sin C ? 1

a b c A = = sin A sinB sinC

(1) 若三角形是锐角三角形, 如图
c

A

过点A作AD⊥BC于D, 此时有
B D

b

C

sin B ?

b c ? , 所以AD=csinB=bsinC, 即 sin B sin C
同理可得

AD , sin C c

?

AD b

a c a b c ? , 即: ? ? sin A sin C sin A sin B sin C

(2) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角
过点A作AD⊥BC,交BC延长线于D,
A

此时也有

sin B ?

AD c
B

c
b 图2 C D

AD ? sin C sin ( ? ? C ) ? 且 b

可得

a b c ? ? sin A sin B sin C

(3) 外接圆法

正弦定理 在一个三角形中,各 边和它所对角的正弦的比相等.
a

sinA



=? = sinB sinC

b

c

如图:

?C ? ?C
c

1

B a c A O C

sinC sinC 同理: sin B
即:
a
?

?

c
1

? 2R a , 2R b
?

b
C1

b

?

?

sin A
c
?

2R ( ) 2R R为外接圆半径

sin A sinB

sinC

在锐角三角形中 B

两边同取与j的数量积, 得 j ? AC ? CB ? j ? AB j ? AC ? j ? CB ? j ? AB (根据向量的数量积的 定义)
j ? AC ? cos90? ? j ? CB ? cos(90? ? C ) ? j ? AB ? cos(90? ? A)

jc
A

a
b

(

)

? C 证明:过点A作向量 j垂直 ???? 于 AC,

? 90 j与AC的夹角为? ? ? ? ? ? ? ? ? ,

?C j与CB的夹角为? ?90 ? ? ? ? ? ? ? ?,
? ? 90 ?A j与AB的夹角为? ? ???????? .

即a ? sinC ? c ? sin A a c ? ? sin A sinC

由向量加法的三角形法则
AC ? CB ? AB

同理, 过C点作 j垂直于CB,可得 c b ? ,? 在锐角三角形中 sinC sinB a b c 也有 ? ? sin A sin B sin C

在钝角三角形中

设?A ? 900 过点A作与AC垂直的单位向量 j , 则 j与AB的夹角为
A ? 90?
90? ? C

B

j与CB的夹角为

j
A C

具体证明过程 马上完成!

正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的 比相等,且等于该三角形 外接圆直径。 即 a b c   ? ? ? 2R 要牢记 sin A sin B sin C

哟!

注:

边和它所对角的正弦比相等

每个等式可视为一个方程:知三求一

正弦定理

a b c   ? ? ? 2R sin A sin B sin C

正弦定理的常见变形:

a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C
a b c a?b?c ? ? = ? 2R sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C
a b c sin A ? , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R

sin A : sin B : sin C ? a : b : c
A>B ? a>b

3. 正弦定理的应用

一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们 的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形 的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

a b c 正弦定理: ? ? ? 2R sin A sinB sinC
正弦定理可以解决怎样的三角形问题? ① 已知任意两角和一边,求其它他角和边

② 已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角,进而可求其它的边和角

已知任意两角和一边,求其它两边和一 角 例1 在 ?ABC 中,已知 c ? 10, A ? 45?, C ? 30?,解三角形。

变式训练:
(1) 在△ABC中,已知b= 3
a b ? 解: ∵ sin A sin B

,A= 45? ,B=60 ? ,求a。

b ? sin A 3 ? sin 45? = = 2 ∴ a? sin B sin 60?

(2) 在△ABC中,已知c= 3 ,A= 75? ,B=60 ? ,求b。 解: ∵ C ? 1800 ? ( A ? B) = 180? ? (75? ? 60?) ? 45? b c 3 ? sin 60? 3 2 c ? sin B ? ∴b? 又∵ ? ? sin B sin C sin C 2 sin 45?

已知两边与其中一边的对角,求其它 边和角.
例2 在?ABC 中,已知 B ? 45? ,求A
a b 解:由 sin A ? sin B

a ? 4, b ? 4 2,




在 ?ABC 中 a?b
A 为锐角

?  A ? 30?

a sin B 1 ? 得 sin A ? b 2

例 3 已知 a=16, b= 16 3 , A=30° 解三角形 解:由正弦定理
a b ? sin A sin B
?

b sin A 16 3 sin 30 3 ? ? 得 sin B ? a 16 2 16

C

3 16
B

16 B

所以B=60°或B=120° A

300

当B=60°时 C=90° c ? 32
a sin C ? 16 当B=120°时 C=30° c ? sin A

变式:在下列条件下,判断三角形 解的个数。 (1) b=20,A=60°,a=20√3 (2) b=20,A=60°,a=10√3 (3) b=20,A=60°,a=15.
C b 60° B

A

已知边a,b和角A,求其他边和角. A为锐角
C a A


b a B A b

C a B1 A b

C a B

b


B2

a<bsinA 无解

a=bsinA 一解
C b

bsinA<a<b 两解
C a A B b

a≥b 一解
a

A为直角或钝角



a>b 一解

a≤b 无解

练 习

(1)在△ABC中,B=1350,a=2,b=
大边对大角,故本题无解。

3 , 求A

(2)在△ABC中,A=450,a=2,b=

2 , 求B

2 2 1 o 解: = ,sinB= , B=30 sin 45o sinB 2
(3)在△ABC中,b= 2 ,a=2,B=450,求A

2 2 o 解: = ,sinA=1, A=90 sin A sin45o
(4)在△ABC中,b= 2 ,a= 3 ,B=450,求A 3 2 3 o o 解: = ,sinA= , A =6 0 或 120 sin A sin45o 2

归纳:
1. 已知两角及一边解三角形一定只有 一解。

2. 已知两边及一边的对角解三角形,可 能无解、一 解或两解。

已知两边a、b和一边对角A 的斜三角形的解:
(按角A分类)

A的范围
A为钝角或 直角

a,b关系
a>b a≤b a≥b a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b

解的情况
一解 无解 一解 无解 一解

A为锐角

两解

知识小节:

a b c 正弦定理: ? ? ? 2R sin A sinB sinC
(1)正弦定理可以解决三角形中的问题: ① 已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角,进而可求其他的边和角 ② 已知两角和一边,求其他角和边

(2) 三角形面积公式: 1 1 1 S ?ABC ? bc sin A ? ca sin B ? ab sin C 2 2 2 (3) 正弦定理的变形:

a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C
a?b?c ? 2R sin A ? sin B ? sin C

a b c sin A ? , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R

sin A : sin B : sin C ? a : b : c

思考: 如果已知一个三角形的两条边及其 夹角,根据三角形全等的定理,该三角 形大小形状完全确定,那么如何解出这 个三角形呢?

2.余弦定理
? ? ? 设 CB ? a, CA ? b , AB ? c 由向量减法的三角形法则得
思考: 在△ABC中,已知CB=a,CA=b,CB 与CA 的夹角为∠C, 求边c. (1)向量法

?2 c ? c ? c ? ( a ? b) ? ( a ? b)
?2 ? ? a ? b ? 2 a b cosC

c ? a ?b

? a?a ? b ? b ? 2 a ? b ?2 ?
2 2



? a ? b ? 2ab cosC 2 2 2 ? c ? a ? b ? 2abcosC

思考: 若△ABC为任意三角形,已知角C, BC=a,CA=b,求AB 边 c.

? ? ? 设 CB ? a, CA ? b , AB ? c
c ? a ?b ?2 c ? c ? c ? ( a ? b) ? ( a ? b) ? a?a ?? b ? b ? 2a ? b 2 ?2 ?? ? a ? b ? 2 a b cosC

由向量减法的三角形法则得



? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

? c ? a ? b ? 2abcosC 2 2 2 a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

思考: 若△ABC为任意三角形,已知角C, BC=a,CA=b,求AB 边 c.

? ? ? 设 CB ? a, CA ? b , AB ? c
c ? a ? b ?2 c ? c ? c ? ( a ? b) ? ( a ? b) ? a?a ?? b ? b ? 2a ? b ? 2 ?2 ? ? a ? b ? 2 a b cosC

由向量减法的三角形法则得



? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

余弦定理

? c ? a ? b ? 2abcosC 2 2 2 a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方 的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍。

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

C b a B

c ? a ? b ? 2ab cosC
2 2 2

A

c

(2)解析法
证明:以CB所在的直线为x y 轴,过C点垂直于CB的直线 为y轴,建立如图所示的坐标 系,则A、B、C三点的坐标 分别为: C (0, 0) B(a, 0) A(b cos C, b sin C )

x

AB ? (b cosC ? a) ? (b sin C ? 0)
2 2

2

? b 2 cos2 C ? 2ab cosC ? a 2 ? b 2 sin 2 C

? a ? b ? 2ab cosC
2 2

? c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cosC
2 2 2

推论:

b ?c ?a cos A ? 2bc
2 2

2

a ?c ?b cos B ? 2ac
2 2

2

a ?b ?c cosC ? 2ab
2 2

2

3.余弦定理的应用 (1)已知两边和它们的夹角,求第三边和其 他两个角;

1. 已知△ABC中,a=8,b=7,B=600,

求c及S△ABC

解: ?b ? c ? a ? 2ac cos B 2 2 2 0 ?7 ? c ? 8 ? 2 ? 8 ? c ? cos60
2 2 2

整理得:c2-8c+15=0 解得:c1=3, 1 ? S ?ABC ? ac1 sinB ? 6 3 2 1 或S ?ABC ? ac2 sinB ? 10 3 2

c2=5

3.锐角三角形中,边a、b是方程 x ? 2 3 x ? 2 ? 0 的两根,角 A、B满足2sin (A ? B) ? 3 ? 0, 求角 C 的度数,边 c 的长度及?ABC的面积 3 解: ? 2sin (A ? B) ? 3 ? 0, ?sin (A ? B) ? 2
2

? ?ABC为锐角三角形
o

? A ? B ? 120

?C ? 60
2

o

?边a、b是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0的两根

? a ? b ? 2 3,ab ? 2

?c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

? (a ? b) ? 3ab
2

? 12 ? 6 ? 6
?c ? 6
? S ?ABC 1 1 3 3 ? ab sinC ? ? 2 ? ? 2 2 2 2

(2)已知三边,求三个角。

在△ABC中,已知a= 6 ,b=2, c= 3 ? 1 ,解三角形 解:由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 2 ? ( 3 ? 1) ? ( 6 ) b ? c ? a cos A ? ? ?1 2bc 2 2 ? 2 ? ( 3 ? 1)

例题1

? A ? 60?
2 2 2 ( 6 ) ? ( 3 ? 1 ) ? 2 2 a ? c ? b cos B ? ? ? 2ac 2 2 ? 6 ? ( 3 ? 1) 2 2 2

? B ? 45?
C ? 180? ? A ? B ? 180? ? 60? ? 45? ? 75?

5. 在

?ABC

中,已知
0

b= 4

3 , c= 2 3 ,
3 , b= 2

A= 120 ,求 a. 6. 在 ?ABC 中,已知

a ? 2 21

a= 2

2,

c= 6 ? 2 ,求 A、B、C 的值。

A ? 60 , B ? 45 , C ? 75
0 0

0

(3)判断三角形的形状 例3、在△ABC中, a ?b ?c 那么A是(A)
2 2 2



A. 钝角 C. 锐角

B. 直角 D. 不能确定

提炼:设a是最长的边,则 △ABC是钝角三角形 ? a △ABC是锐角三角形 △ABC是直角三角形
2

?b ?c
2

2

? a ?b ?c
2 2

2

? a ?b ?c
2 2

2

练习:
7. 在△ABC中,已知a=7,b=10,c=6, 判定△ABC的形状 分析: △ABC的形状是由大边b所对的大角 B决定的。
2? 2 ? ? ? B?(90 ,180 )?b a c
2

变式:若已知三边的比是7:10:6,怎么求解

8.一钝角三角形的边长为连续自然数,则这 三边长为( B) A. 1,2,3 C. 3,4,5 B. 2,3,4 D. 4,5,6

分析: 要看哪一组符合要求,只需检验 哪一个选项中的最大角是钝角,即该角 的余弦值小于0。

13 9.在△ABC中,已知a=7,b=8,cosC= 14 求最大角的余弦值
分析:求最大角的余弦值,最主要的是判断 哪个角是最大角。由大边对大角,已知两边 可求出第三边,找到最大角。
2 ? 2 ? 2abcosC ? 解: c a b ? 72 ?82 ? 2?7?8?13 ?9 14 ?c ?3
2

,

则有:b是最大边,那么B 是最大角 2? 2? 2 2? 2? 2 cos B ? a c b ? 3 7 8 ?? 1 2ac 2?3?7 7

4.小结:
(1)余弦定理:

(2)推论:

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cosC
2 2 2
2 2 2

b ?c ?a cos A ? 2bc a 2 ? b2 ? c 2 cos C ? 2ab c2 ? a 2 ? b2 cos B ? 2ca

(3)余弦定理可以解决的有关三角形 的问题:
1) 已知两边及其夹角,求第三边和其他 两个角。

2) 已知三边求三个角。
3) 判断三角形的形状。


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