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第82课互斥事件及对立事件的概率


高考直通车·2014 届高考数学一轮复习备课手册

第 82 课 互斥事件及其发生的概率
一、教学目标 1.理解互斥事件与对立事件的概念,能判断两个事件是否是互斥事件、对立事件; 2.了解两个互斥事件概率的加法公式,了解对立事件概率之和为 1 的结论,并会用相关公式进行简单的 概率计算; 3.能用分类讨论的思想方法将较复杂的事件分拆成一系列互斥事件的和,进而会用互斥事件的概率加法 公式计算一些事件的概率; 二、基础知识回顾与梳理 1、从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,那么下列事件中: ①至少有 1 个黑球与都是黑球;②至少有 1 个黑球与至少有 1 个红球; ③恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球;④至少有 1 个黑球与都是红球。 是互斥事件的有_____________;是对立事件的有_____________. 【教学建议】本题主要是帮助学生理解互斥事件和对立事件的概念. 可以利用互斥事件和对立事件的定义判断,举例子,比如①中取出 2 黑球, “至少有 1 黑球”与“都是黑球” 都发生了,所以不互斥也不对立;也可以用集合的思想来理解互斥事件和对立事件的定义,互斥的不同时 发生理解为交集为空集,对立的不同时发生并且必有一发生理解为交集为空集,并集为全集。 2、抛掷一均匀正方体玩具(各面分别标有数 1,2,3,4,5,6) ,事件 A 表示“朝上一面的数是奇数” , 事件 B 表示“朝上一面的数不超过 3” ,求 P( A ? B) . 【教学建议】本题主要是考察 A? B 的含义以及互斥事件加法公式的适用条件。由于事件 A, B 不互为互斥 事件,所以特别要注意 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 不可以使用。本题该从事件 A? B 的含义入手,注意+等 价于并集, A ? B ? {1,2,3,5} ,故 P( A ? B) ?

4 2 ? . 6 3

3、先后抛掷硬币三次,则至少有一次正面朝上的概率是_________. 【教学建议】 “至少出现一次正面向上”所包含的基本事件较多,可以考虑利用其对立事件“全是反面向 上”来求解. 三、诊断练习 1、教学处理:课前由学生自主完成 3 道小题,并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅 部分同学的解答,了解学生的思路及主要错误。将知识问题化,通过问题驱动,使教学言而有物,帮助学 生内化知识,初步形成能力。点评时要简洁,要点击要害. 2、诊断练习点评 题 1:同时掷两颗骰子,其点数和不等于 8 的概率是____________. 答案:

31 . 36

【分析与点评】利用古典概型、对立事件概率和为 1 解题, “和不等于 8”的对立事件是“和是 8”“和是 , 8”有 (2,6)(6,2), (3,5)(5,3)(4,4) 5 种基本事件,故概率为

5 5 31 ,再利用对立事件计算公式得 1 ? . ? 36 36 36

题 2.从甲、乙、丙、丁四个人中选出 2 个作代表,则甲、乙两人中至少有一个被选中的概率为________. 答案:

5 6

【分析与点评】方法和上题一样, “甲、乙两人中至少有一人被选中”的基本事件比较多,故要先正确表 示出其对立事件,也就是事件“甲、乙都没被选中” 。其只包含“选中丙丁”1 个基本事件,故1 ?

1 5 ? . 6 6

题 3.甲、乙两个人下棋,甲胜的概率为 0.4,甲不输的概率为 0.9,则甲、乙两人下和棋的概率为_______. 答案:0.5 【分析与点评】理解互斥事件的定义,并会用公式 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 来计算,本题中“甲不输”由 “甲胜”和“甲乙和棋”两个互斥事件构成,故和棋的概率为 0.9-0.4=0.5. 题 4.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同。 现从中随即取出 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是______________.答案: 【分析与点评】这题可用古典概型、互斥事件求概率的方法,利用公式进行求解。
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3 . 10

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古典概型公式求解: 5 个球中任取 2 球有 10 种取法, 从 取出数字和是 3 或 6 的有 3 种取法, 故概率为 互斥事件公式求解: “数字和为 3 或 6”=“数字和为 3”+“数字和为 6” ,故概率 P ?

3 . 10

1 2 3 ? ? . 10 10 10

3、要点归纳 (1)强化互斥事件和对立事件的定义,强调只有先判断出是互斥事件或者对立事件,才能用加法公式; (2)计算一些复杂的概率问题时,要学会用对立事件概率公式来求解,来简化问题; (3)要重视列举在计算概率中起到的作用。 四、范例导析 例 1、一盒中装有各色球共 12 只,其中 5 个红球、4 个黑球、2 个白球、1 个绿球。现从中随机取出 1 球, 求: (1)取出 1 球是红球或黑球的概率; (2)取出的 1 球是红球或黑球或白球的概率. 【教学处理】可让学生板演,教师点评. 【引导分析与精讲建议】可按互斥事件和对立事件求概率的方法,利用公式进行求解. 解法一: (1)从 12 只球中任取 1 球得红球有 5 种取法,得黑球有 4 种取法,得红球或黑球共有 5+4=9 种 不同取法,任取 1 球,有 12 种取法.故任取 1 球得红球或黑球的概率为 P ? 1

9 3 ? . 12 4

(2)从 12 只球中任取 1 球得红球有 5 种取法,得黑球有 4 种取法,得白球有 2 种取法,从而得

5 ? 4 ? 2 11 ? . 12 12 解法二: (利用互斥事件求概率)记事件 A1 ={任取 1 球为红球} A2 ={任取 1 球为黑球} A3 ={任取 1 , , 5 4 2 1 球为白球} A4 ={任取 1 球为绿球} , ,则 P( A1 ) ? , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? , P( A4 ) ? . 12 12 12 12 根据题意知,事件 A1 , A2 , A3 , A4 彼此互斥,由互斥事件概率加法公式,得 5 4 3 (1)取出 1 球为红球或黑球的概率为 P( A1 ? A2 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? ; 12 12 4
红球或黑球或白球的概率为 P2 ? (2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为

P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ?

5 4 2 11 ? ? ? . 12 12 12 12

解法三: (利用对立事件求概率的方法) (1)由解法二知,取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 白球或绿球,即 A1 ? A2 的对立事 件为 A3 ? A4 ,所以取得 1 红球或黑球的概率为 P( A1 ? A2 ) ? 1 ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? 1 ?

2 1 3 ? ? . 12 12 4 1 11 (2) A1 ? A2 ? A3 的对立事件为 A4 ,所以 P( A1 ? A2 ? A3 ) ? 1 ? P( A4 ) ? 1 ? ? . 12 12

【说明】 (1)解决此类问题,首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件, 再决定使用哪一公式,不要由于乱套公式而导致出错. (2)要注意分类讨论和等价转化数学思想的运用. 数学 y 例 2、某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工 5 4 3 2 1 xx 随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 5 1 3 1 0 1 一次购物量 1至4件 5至8件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上

x

顾客数(人)

x

30 1.5

25 2

y
2.5

10 3

4 英 语 3 2 1

1 2 1 0

0 1 b 0

7 0 6 1

5 9 0 1

1 3 a 3

结算时间(分钟/人) 1

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;
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(Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.(将频率视为概率) ... 教学处理:要求学生认真读题,并结合表格对题意进行理解。 引导分析与精讲建议:本题考查概率统计的基础知识,考查运算能力、分析问题能力. 第 一 问 、 根 据 统 计 表 和 100 位 顾 客 中 的 一 次 购 物 量 超 过 8 件 的 顾 客 占 55 % , 知

25 ? y ? 10 ? 100 ? 55%, x ? y ? 35, 从而解得 x, y ,再用样本估计总体,得出顾客一次购物的结算时间的
平均值的估计值。 第二问、通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概 ... 率. 【点评】:对互斥事件熟练运用,能够理解正难则反的道理。 例 3、袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现有放回地随机摸取 3 次,每次摸取一个球。 (1)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果; (2)若摸到红球时得 2 分,摸到黑球时得 1 分,求 3 次摸球所得总分为奇数的概率. 【教学处理】学生回答,教师板书解题过程. 【引导分析与精讲建议】本题是有放回问题,建议学生列出基本事件. (1)一共有 8 种不同的结果,列举如下:红红红,红红黑,红黑红,红黑黑,黑红红,黑红黑,黑黑红, 黑黑黑. (2)记“3 次摸球所得总分为 5”为事件 A ,事件 A 包含的基本事件为:红红黑,红黑红,黑红红,故

P( A) ?

3 . 8 1 . 8

记"3 次摸球所得总分为 1”为事件 B ,事件 B 包含的基本事件为:黑黑黑,所以 P( B) ? 所以 3 次摸球所得总分为奇数的概率= P( A) ? P( B) ? 【点评】注意区分放回不放回.

1 3 1 ? ? . 8 8 2

五、解题反思 1、在求某些稍复杂的事件的概率时,通常有两种方法:一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件 的概率的和,二是先去求此事件的对立事件的概率。特别是计算“至少有一个发生”的概率问题时,常用 方法二. 2、对立事件计算公式 P( A) ? 1 ? P( A) ,此公式给出了概率计算中采用“正难则反”的逆向思维解决有关 问题的一个依据,自觉用它来解题,有利于提高思维的灵活性. 3、概率的加法公式仅适用于互斥事件,即当事件 A, B 互斥时,可以使用 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ,否则 公式不能使用. 4、在取球问题中,看清题意,注意是“依次”还是“一次性取” ,是“放回”还是“不放回” .

第 82 讲

互斥事件及其发生的概率

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