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2012高考数学复习专题-----关于求圆锥曲线方程的方法(基础知识)


2012 高考 高考数学复习专题-----关于求圆锥曲线方程的方法 关于求圆锥曲线方程的方法 (基础知识) 基础知识)

高考要求 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查学生识图、画图、数形结合、等 价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求同学们 熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题 等综合在一起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法
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重难点归纳 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置 定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在 哪个坐标轴上时,可设方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0) 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小
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典型题例示范讲解 典型题例示范讲解







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C'

18m

C

20m 分 , 例 1 某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部 A' 14m A 绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中 A、A′ 是 双 曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B、 B ′ 是下底直径的两个端点,已知 AA′=14 m,CC′=18 22m B m,BB′=22 m,塔高 20 m 建立坐标系并写出该双曲线 B' 方程 命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识,考查应 用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力 知识依托 待定系数法求曲线方程;点在曲线上,点的坐标适合方程;积分法求体积 错解分析 建立恰当的坐标系是解决本题的关键 技巧与方法 本题是待定系数法求曲线方程 y 解 如图, 建立直角坐标系 xOy,使 AA′在 x 轴上, AA′ 的 C' C 中点为坐标原点 O,CC′与 BB′平行于 x 轴
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设双曲线方程为

x2 y2 1 ? 2 =1(a>0,b>0),则 a= AA′=7 2 2 a b

A'

o

A

x

又设 B(11,y1),C(9,x2)因为点 B、C 在双曲线上,所以有

112 y1 92 y ? 2 = 1, 2 ? 22 = 1 72 b 7 b
由题意,知 y2-y1=20,由以上三式得 故双曲线方程为
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2

2

B'

B

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y1=-12,y2=8,b=7 2

x2 y2 =1 ? 49 98

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y A

1 y= x 2 o 1 B x

例 2 过点(1,0)的直线 l 与中心在原点,焦点在 x 轴上且离心率为 A、B 两点,直线 y=

2 的椭圆 C 相交于 2

1 x 过线段 AB 的中点,同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对 2 称,试求直线 l 与椭圆 C 的方程 命题意图 本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法,设计新颖,基 础性强 知识依托 待定系数法求曲线方程,如何处理直线与圆锥曲线问题,对称问题 错解分析 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称 问题是解决好本题的关键 技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题,解法一,将 A、B 两点坐标代入圆 锥曲线方程,两式相减得关于直线 AB 斜率的等式 解法二,用韦达定理
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解法一







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由 e=

c 2 a 2 ? b2 1 = ,得 = ,从而 a2=2b2,c=b 2 a 2 a2
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设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上 则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2, 两 式 相 减
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(x12



x22)+2(y12



y22)=0,

y1 ? y 2 x + x2 =? 1 . x1 ? x 2 2( y1 + y 2 ) x0 x 1 1 ,又(x0,y0)在直线 y= x 上,y0= x0,于是- 0 =- 2 y0 2 2 2 y0

设 AB 中点为(x0,y0),则 kAB=-
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1,kAB=-1,设 l 的方程为 y=-x+1 右焦点(b,0)关于 l 的对称点设为(x′,y′),
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? y′ ? x′ ? b = 1 ? x′ = 1 ? 则? 解得? ? y′ = 1 ? b ? y ′ = ? x′ + b + 1 ?2 2 ?
由点(1,1-b)在椭圆上,得 1+2(1-b)2=2b2,b2= ∴所求椭圆 C 的方程为

9 2 9 ,a = 16 8

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8 x 2 16 2 + y =1,l 的方程为 y=-x+1 9 9
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解法二







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由 e=

c 2 a 2 ? b2 1 = ,得 = ,从而 a2=2b2,c=b a 2 2 a2

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设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x-1), 将 l 的方程代入 C 的方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0,则 x1+x2= -1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=-

4k 2 ,y1+y2=k(x1 1 + 2k 2

2k 1 + 2k 2

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直线 l -1
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w x @ 1 .c m c k 2 6 o t

y=

x + x 2 y1 + y 2 1 ?k 1 2k 2 x 过 AB 的中点( 1 , ),则 = ? ,解得 k=0,或 k= 2 2 2 1 + 2k 2 2 1 + 2 k 2

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若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身,不能在椭圆 C 上,所以 k=0 舍去,从而 k=-1,直线 l 的方程为 y=-(x-1),即 y=-x+1,以下同解法一
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例 3 如图,已知△P1OP2 的面积为

27 ,P 为线段 4

P1

P 1P 2 的 一 个 三 心率为

等分点,求以直线 OP1、OP2 为渐近线且过点 P 的离
P
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13 的 2

双曲线方程 o 命题意图 本题考查待定系数法求双曲线的方 程以及综合运 P2 用所学知识分析问题、解决问题的能力 知识依托 定比分点坐标公式;三角形的面积公式;以及点在曲线上,点的坐标适合 方程 错解分析 利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键,正确地表示出 △P1OP2 的面积是学生感到困难的 y P1 技巧与方法 利用点 P 在曲线上和△P1OP2 的面积建 立关 于参数 a、b 的两个方程,从而求出 a、b 的值 ∠P 图的 解 以 O 为原点, 1OP2 的角平分线为 x 轴建立如 直角坐标系 P
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设双曲线方程为

x2 y2 ? =1(a>0,b>0) a 2 b2

o
P2

x

由 e2=

c2 b 13 2 b 3 = 1 + ( )2 = ( ) ,得 = 2 a 2 a 2 a

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∴两渐近线 OP1、OP2 方程分别为 y= 设点 P1(x1,

3 3 x 和 y=- x 2 2

PP 3 3 x1),P2(x2,- x2)(x1>0,x2>0),则由点 P 分 P1 P2 所成的比λ= 1 =2,得 P 点坐 2 2 PP2

标为(

x1 + 2 x 2 x1 ? 2 x 2 ( x + 2x )2 ( x ? 2 x )2 x2 4 y2 , ),又点 P 在双曲线 2 ? 2 =1 上, 所以 1 2 2 ? 1 2 2 =1, 3 2 a 9a 9a 9a


即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2

9 2 13 9 2 13 2 x1 = x1 , | OP |= x 2 + x 2 = x2 4 2 4 2 3 2× 2 tan P1Ox 2 = 12 sin P1OP2 = = 1 + tan 2 P1Ox 1 + 9 13 4 1 1 13 12 27 ∴ S ?P1OP2 = | OP1 | ? | OP2 | ? sin P1OP2 = ? x1 x 2 ? = , 2 2 4 13 4 又 | OP1 |= x1 +
2

9 2 由①、②得 a2=4,b2=9
即 x1x2= 故双曲线方程为



x2 y2 ? =1 4 9

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例 4 双曲线

x2 y2 ? =1(b ∈ N) 的 两 个 焦 点 F1 、 F2 , P 为 双 曲 线 上 一 点 , |OP| < 4 b2
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5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则 b2=_________ 解析 设 F1(-c,0) 2(c,0)、P(x,y),则 、F 2 2 2 |PF1| +|PF2| =2(|PO| +|F1O|2)<2(52+c2), 即|PF1|2+|PF2|2<50+2c2, 又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|, 依双曲线定义,有|PF1|-|PF2|=4, 依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2
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17 , 3 17 5 又∵c2=4+b2< ,∴b2< ,∴b2=1 3 3 答案 1
∴16+8c2<50+2c2,∴c2<
源 源 源

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