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高一数学试题(定稿)


武昌区 2012-2013 学年度第二学期期末调研考试

高一数学
本试卷共 5 页,共 21 题.满分 150 分.考试用时 120 分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效. 3. 填空题和解答题的作答: 用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 答 在试题卷、草稿纸上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是满足题目要求的. 1.已知集合 A ? {x 2 ? x ? 4} , B ? {x 3x ? 8 ? 7 ? 2x} ,则 A ? (?R B )= A. [2,3) B. [2,3] C. [3,4) D. [2,4) 2.若关于 x 的方程 mx2 ? (1 ? m) x ? m ? 0 没有实数根,则实数 m 的取值范围是 A. (??,?1) B. ( ,?? )

1 3

C. ( ?1, )

1 3

D. (?? ,?1) ? ( ,?? )

1 3

3.数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 5 , a n ?1 ? a n ? 的值为 A.7 B.8 C.7 或 8

5 (n ? N ? ) ,则使得 S n 最大的 n 7

D.8 或 9

?| lg x |, x ? 0, 4.已知函数 f ( x) ? ? 则函数 y ? f ?x ? ? 3 的零点的个数为 ?? x( x ? 4), x ? 0,
A.1 B.2 C.3 5.对于非零向量 a,b,给出以下结论: ①若 a//b,则 a 在 b 方向上的投影为|a|; ②若 a⊥b,则 a· b=(a· b)2; ③若 a· c=b· c,则 a=b; ④若|a|=|b|,且 a,b 同向,则 a ? b. 其中正确结论的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 D.4

? x ? y ? 2 ? 0, ? 6.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0, 则目标函数 z ? 2 x ? y 的取值范围是 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, ?
A. [ ?13,5] B. [?13,7] C. [0,7] D. [5,7] 7.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,则下列命题正确的是 A.若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ?

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B.若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n C.若 n ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? ? D.若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? 8.下图是函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( x ? R) 在区间 [

? 7?
6 , 6

] 上的图像,为了得到这个函

数的图像,只需把函数 g ( x) ? sin x ( x ? R) 的图像上所有的点 A.向右平移

? 个单位,再把所得各点的横 6
y 1

? B.向右平移 个单位,再把所得各点的横 3 1 坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 ? C.向左平移 个单位,再把所得各点的横 6
坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

O ?

6
-1

2? 3

7? 6
x

? D.向左平移 个单位,再把所得各点的横 3 1 坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 9.x 为实数, [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则函数 f ( x) ? x ? [ x] 在 R 上为
A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D. 周期函数

10. 某工厂产生的废气经过过滤后排放, 过滤过程中废气的污染物数量 P mg / L 与时间 t h 间的关系为 P ? P0 e ? kt .如果在前 5 个小时消除了 10 % 的污染物,则 10 小时后还剩的 污染物为 A.80 % P0 B.81 % P0 C.82 % P0 D.83 % P0

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上,书写不清,模凌两可均不得分. 11.计算: sin

25 26 27 ? ? cos ? ? tan( ? ? ) =____________. 6 3 4


B, C 满足 PA ? PB ? PC ? 0 , B ? A C m A ? P 12. 已知平面上不重合的四点 P ,A , 且A

那么实数 m 的值为____________. 13.已知函数 f ( x ) 为奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? log2 x ,则满足不等式 f ( x) ? 0 的 x 的 取值范围是____________. 14.若一个几何体的三视图如下图,则此几何体的体积为____________.

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P

C M A

B

15.如图,在三棱锥 P ? ABC 中,设 M 是底面 ABC 内一点,定义 f ( M ) ? (m, n, p) ,其 中 m 、n 、 p 分别是点 M 到面 PAB 、 面 PBC 、 面 PAC 的距离. 已知 PA 、PB 、PC 两两垂直,且 PA ? 2 , PB ? 2 , PC ? 3 .若 f ( M ) ? ( , x, y ) ,则使 成立的正实数 a 的最小值为________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (Ⅰ )求 ? 的值;

9 4

1 a ? ? 8恒 x y

1 x?R ) 3 sin ?x cos ?x ? cos 2 ?x ? ( ? ? 0 , 的最小正周期为 ? . 2

(Ⅱ )求函数 f ( x) 在区间 [0,

?
2

] 上的取值范围.

17. (本小题满分 12 分) 数 列 {an } 是 递 增 的 等 差 数 列 , a1 ? f ( x ? 1) , a2 ? 3 , a3 ? f ( x ? 1) , 其 中

f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 2 . (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式 an ; a } 的前 n 项和 Tn . (Ⅱ )求数列 { n 2n

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18. (本小题满分 12 分)

1 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 已知 cos A ? ? ,cosC ? 2 sin B . 3 (Ⅰ )求 sin C 的值;
(Ⅱ )若 a ?

2 ,求 ?ABC 的面积.

19. (本小题满分 12 分) 某公司生产某种产品的固定成本为 150 万元, 而每生产 x 千件 产品每年需另增加的可变 ..

?1 2 x ? 10x(0 ? x ? 80, x ? N ? ), ? ?3 成本为 C ( x) (单位:万元) ,且 C ( x) ? ? 每件产 ? ?51x ? 10000? 1450 ( x ? 80, x ? N ). ? x ?
品的售价为 500 元,且假定该公司生产的产品能全部售出. (Ⅰ )写出年利润 L( x) 关于年产量 x (千件)的函数解析式; (Ⅱ )年产量为多少千件时,该公司所获利润最大?最大利润是多少?

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20. (本小题满分 13 分) 如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面是边长为 2 的正方形,高为 4. (Ⅰ )求证:平面 BDD 1 B1 ? 平面 B1 AC ; (Ⅱ )求直线 AB1 与平面 BDD1 B1 所成的角的正弦值.

D1 A1 B1

C1

D A B

C

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ?x ? 的定义域为 R ,并且满足以下条件:① 对任意 x ? R ,有 f ?x ? ? 0 ;② 对任意 x , y ? R ,有 f ?xy? ? ? f ?x?? ;③ f ( ) ? 1 .
y

1 3

(Ⅰ )求 f ?0? 的值; (Ⅱ )求证: f ?x ? 在 R 上是单调增函数;
2 (Ⅲ )若 a ? b ? c ? 0 ,且 b ? ac ,求证: f ?a ? ? f ?c ? ? 2 f ?b? .

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