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深圳市2013年高三年级第一次调研考试理科数学参考答案与评分标准


2013 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的

解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 40 分. 1 C 2 C 3 C 4 D 5 A 6 B 7 B 8 D

二、填空题:本大题每小题 5 分,满分 30 分. 9. 80 ; 13. 0 ? a ? 10. 10 ; 11.

8 ; 27

12.

12 ; 13

4 ; 3

14. (2,5) ;

15. 1 .

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin( 高点和最低点. (1)求点 A 、 B 的坐标以及 OA? OB 的值;

πx π ? )( 0 ? x ? 5) ,点 A 、 B 分别是函数 y ? (x) f 图像上的最 6 3

? (2)设点 A 、 B 分别在角 ? 、 ? 的终边上,求 tan( ? 2? ) 的值.
解: (1)? 0 ? x ? 5 , ?

?

3

?

πx π 7π ? ? , 6 3 6

…………………………………1 分

1 πx π ? ? ? sin( ? ) ? 1 . ……………………………………………………………2 分 2 6 3 πx π π πx π ? ? ,即 x ? 1 时, sin( ? ) ? 1 , f (x) 取得最大值 2 ; 当 6 3 2 6 3 πx π 7π πx π 1 ? ? ? ) ? ? , f (x) 取得最小值 ?1 . 当 ,即 x ? 5 时, sin( 6 3 6 6 3 2
因此,点 A 、 B 的坐标分别是 A(1, 2) 、 B(5, ? 1) . ………………………………4 分

??? ??? ? ? ?OA ? OB ? 1? 5 ? 2 ? (?1) ? 3 .

……………………………………………………6 分

(2)? 点 A(1, 2) 、 B(5, ? 1) 分别在角 ? 、 ? 的终边上,

1 ? tan ? ? 2 , tan ? ? ? , 5

…………………………………………8 分

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1 2 ? (? ) 5 ?? 5 , ………………………………………………10 分 ? tan 2? ? 1 2 12 1 ? (? ) 5 5 2 ? (? ) 12 ? 29 . ………………………………………………12 分 ? tan(? ? 2? ) ? 5 1 ? 2 ? (? ) 2 12
【说明】 本小题主要考查了三角函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 的图象与性质,三角恒等变 换,以及平面向量的数量积等基础知识,考查了简单的数学运算能力. 17. (本小题满分 12 分) 一次考试中,五名同学的数学、物理成绩如下表所示:
学生 数学( x 分) 物理(

A1
89

A2
91

A3
93

A4
95

A5
97

y 分)

87

89

89

92

93

(1)请在图 4 的直角坐标系中作出这些数据的散点图,并求出这些数据的回归方程; (2)要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选 2 人参加一项活动,以 X 表示选中的同 学的物理成绩高于 90 分的人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E (X ) 的值. 解: (1)散点图如右图所示.…………1 分
y(物理成绩)

x=

89 ? 91 ? 93 ? 95 ? 97 = 93 , 5 87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93 = 90 , y= 5
5

94 92 90 88

? ? ?
89 91 93 95

?

? ( xi ? x ) 2 ? (?4) 2 ? (?2) 2 ? 0 2
i ?1

?

? 2 ? 4 ? 40,
2 2

O

97

x(数学成绩)

? (x
i ?1

5

图4
i

? x )( yi ? y ) ? (?4) ? (?3) ? (?2) ? (?1) ? 0 ? (?1) ? 2 ? 2 ? 4 ? 3 ? 30 ,
………………………5 分 ………………………6 分 ……………………………………7 分

b?

30 ? 0.75 , bx ? 69.75 , a ? y ? bx ? 20.25 . 40

? 故这些数据的回归方程是: y ? 0.75 x ? 20.25 .
(2)随机变量 X 的可能取值为 0 , 1 , 2 .

C2 1 C1C1 2 C2 1 P(X ? 0 ) = 2 ? ; P(X ? 1)= 2 2 2 ? ; P(X ? 2)= 2 ? . …………10 分 2 2 C4 6 C4 3 C4 6

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故 X 的分布列为:

X
p

0 1 6

1 2 3

2 1 6

……………11 分

1 2 1 ? E (X ) = 0 ? + 1? + 2 ? = 1 . …………………………………………………12 分 6 6 3
【说明】本题主要考察读图表、线性回归方程、概率、随机变量分布列以及数学期望等 基础知识,考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力. 18. (本小题满分 14 分)
? 如图 5 , ⊙O 的直径 AB ? 4 ,点 C 、 D 为 ⊙O 上两点,且 ?CAB=45 ,

F ? ∠ DAB ? 60 , 为 BC 的中点. 沿直径 AB 折起, 使两个半圆所在平面互相垂直 (如图 6 ) .
?

(1)求证: OF // 平面 ACD ; (2)求二面角 C - AD - B 的余弦值;

? (3)在 BD 上是否存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ?若存在,试指出点 G 的位置,并
求直线 AG 与平面 ACD 所成角的正弦值;若不存在,请说明理由. C
? F

?
B

C
?F

A

? O

?
?

A

O
D
图6

?

B

D
图5

(法一) :证明: (1)如右图,连接 CO ,

? ?CAB ? 45? ,? CO ? AB ,

?
?

C
?F

? 又? F 为 BC 的中点,? ?FOB ? 45 ,
? OF // AC . ? OF ? 平面 ACD , AC ? 平面 ACD , ? OF // 平面 ACD .……………………3 分 解: (2)过 O 作 OE ? AD 于 E ,连 CE . ? CO ? AB ,平面 ABC ⊥平面 ABD . ? CO ⊥平面 ABD . 又? AD ? 平面 ABD , ? CO ? AD , ? AD ? 平面 CEO , AD ? CE , 则∠ CEO 是二面角 C - AD - B 的平面角.

?

A E D

O

?

B

G

………………………………5 分

? ?OAD ? 60? , OA ? 2 , ?OE ? 3 .

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由 CO ⊥平面 ABD , OE ? 平面 ABD ,得 ?CEO 为直角三角形,

? CO ? 2 ,? CE ? 7 .
? cos ?CEO =
21 3 = . …………………………………………………………8 分 7 7

? (3)设在 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,

? OF // 平面 ACD , ? 平面 OFG // 平面 ACD ,
? OG // AD , ?BOG=?BAD=60? .

? ? 因此,在 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,且点 G 为 BD 的中点.……10 分
连 AG ,设 AG 与平面 ACD 所成角为 ? ,点 G 到平面 ACD 的距离为 h .

1 1 1 ? S ?ACD = ? AD ? CE = ? 2 ? 7 = 7 , S ?GAD ? S ?OAD = ? 2 ? 3 = 3 , 2 2 2
1 1 2 21 . ? 由 VG- ACD = VC - AGD ,得 ? 7 ? h = ? 3 ? 2 ,得 h ? 3 3 7
…………12 分

? 在 ?AOG 中, AO ? OG ? 2 , ?AOG ? 120 ,由余弦定理得 AG = 2 3 ,…13 分

? sin? ?

h 7 = . AG 7

…………………………………………………14 分

(法二) :证明: (1)如图,以 AB 所在的直线 为 y 轴,以 OC 所在的直线为 z 轴,以 O 为原点, 作 空 间 直 角 坐 标 系 O ? xyz , 则 A? 0,? 2 0 , , ?

z

?

C
?F

A

C ?0,0,2? .

O? G

B y

?

D

AC ? (0,0,2) ? (0,?2,0) ? (0,2,2) ,

x

? ? 点 F 为 BC 的中点,? 点 F 的坐标为 0, 2 , 2 , OF ? (0, 2, 2 ) .
??? ? 2 ???? ? OF ? AC ,即 OF //AC . 2
? OF ? 平面 ACD , AC ? 平面 ACD , …………………………………………………………3 分 ? OF // 平面 ACD .
解: (2)? ?DAB ? 60 ,? 点 D 的坐标 D 3, ?1,0 , AD ? ( 3,1,0) .
?

?

?

?

?

????

设二面角 C - AD - B 的大小为 ? , n1 ? ? x, y, z ? 为平面 ACD 的一个法向量.

??

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?? ???? ?? x, y, z ? ? ? 0, 2, 2 ? ? 0, ? n1 ? AC ? 0, ?2 y ? 2 z ? 0, ? ? ? 由 ? ?? ???? 有? 即? ? 3 x ? y ? 0. ? n1 ? AD ? 0, ? ?? x, y, z ? ? 3,1, 0 ? 0, ? ?

?

?

取 x ? 1 ,解得 y ? ? 3 , z ?

3.
……………………………………………5 分

?? ?n1 = 1,- 3, 3 . ?? ?

?

?

取平面 ADB 的一个法向量 n2 = ?0,0, ? , 1

………………………………………6 分

?? ?? ? 1? 0 ? (? 3) ? 0 ? 3 ?1 n1 ? n2 21 ? .………………………8 分 ? cos ? ? ?? ?? ? ? 7 | n1 | ? | n2 | 7 ?1

? (3)设在 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,

? OF // 平面 ACD , ? 平面 OFG // 平面 ACD ,则有 OG // AD . ?????? ???? ??? ? ??? ? 设 OG ? ? AD(? ? 0) ,? AD ? ( 3,1,0) ,? OG ?
????

?

3? ,? ,0 .

?

2 2 2 又? OG ? 2 ,? ( 3? ) ? ? ? 0 ? 2 ,解得 ? ? ?1 (舍去 ?1 ) .

???? ? OG ?

?

? 3 ,1,0 ,则 G 为 BD 的中点.

?

? ? 因此,在 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,且点 G 为 BD 的中点.……11 分
设直线 AG 与平面 ACD 所成角为 ? ,

???? ? AG ? ( 3,1,0) ? (0, ?2,0) ? ( 3,3,0) ,
根据(2)的计算 n1 ? 1,- 3 , 3 为平面 ACD 的一个法向量,

??

?

?

???? ?? AG ? n1 ? sin? ? cos(90? ? ? ) ? ???? ?? ? | AG | ? | n1 |

3 ?1 ? 3 ? (? 3) ? 0 ? 3 2 3? 7

?

7 . 7

因此,直线 AG 与平面 ACD 所成角的正弦值为

7 . ……………………………14 分 7

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,线面角、二面角及三角函数等基础知 识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能力.

19. (本小题满分 14 分)

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已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , a2 ? a(a ? 0) , an ? 2 ? p ?

an ?1 (其中 p 为非零常数, an

2

n ? N* ) .
(1)判断数列 { (2)求 an ; (3)当 a ? 1 时,令 bn ? 解: (1)由 an ? 2 令 cn ?

an ?1 } 是不是等比数列? an nan ? 2 , Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和,求 Sn . an
……………………………1 分

2 a a an ?1 ,得 n? 2 ? p ? n ?1 . ? p? an?1 an an

an ?1 ,则 c1 ? a , cn?1 ? pcn . an c , ? a ? 0 ,?c1 ? 0 , n ?1 ? p (非零常数) cn a ……………………………………………………3 分 ? 数列 { n ?1 } 是等比数列. an (2)? 数列 {cn } 是首项为 a ,公比为 p 的等比数列, a ……………………………4 分 ? cn ? c1 ? pn?1 ? a ? pn?1 ,即 n ?1 ? ap n ?1 . an a a a n?2 n ?3 0 当 n ? 2 时, an ? n ? n ?1 ?? ? 2 ? a1 ? (ap ) ? (ap ) ??? (ap ) ?1 an?1 an?2 a1

?a

n ?1

p

n 2 ?3 n ? 2 2


n2 ?3n? 2 2

………………………………………………6 分

? a1 满足上式, ? an ? an?1 p
(3)?

, n ? N* .

…………………………7 分

an? 2 an? 2 an?1 ? ? ? (ap n ) ? (ap n?1 ) ? a 2 p 2 n?1 , an an?1 an nan? 2 ? np 2 n?1 . pan
…………………………………………8 分

? 当 a ? 1 时, bn ?

? Sn ? 1? p1 ? 2 ? p3 ? ?? n ? p2n?1 , p2 Sn ? 1? p3 ? ?? (n ?1) ? p2n?1 ? n ? p2n?1

① ②

? 当 p2 ? 1 ,即 p ? ?1时,① ? ②得:
(1 ? p ) Sn ? p ? p ? ? ? p
2 1 3 2 n ?1

? np

2 n ?1

p(1 ? p 2 n ) ? ? np 2 n?1 , 2 1? p
…………………………11 分
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即 Sn ?

p(1 ? p 2 n ) np 2 n?1 ? , p ? ?1 . (1 ? p 2 )2 1 ? p 2

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而当 p ? 1 时, S n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?

n(n ? 1) , 2

…………………………12 分

当 p ? ?1 时, S n ? (?1) ? ( ?2) ? ? ? ( ? n) ? ?

n(n ? 1) .………………………13 分 2

? n(n ? 1) , p ? 1, ? ? 2 ? n(n ? 1) 综上所述,S n ? ?? , p ? ?1, 2 ? ? p(1 ? p 2 n ) np 2 n ?1 ? , p ? ?1. ? 2 2 1 ? p2 ? (1 ? p )

……………………………14 分

【说明】考查了等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位 求和等知识,考查了学生的运算能力,以及化归与转化、分类讨论的思想. 20. (本小题满分 14 分) 已知两点 F1 (?1,0) 及 F2 (1,0) , P 在以 F1 、F2 为焦点的椭圆 C 上, PF1 、F1 F2 、 点 且

PF2 构成等差数列.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)如图 7,动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,点 M , N 是直线 l 上 的两点,且 F1 M ? l , F2 N ? l . 求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值. y x2 y 2 l M ? ? 1. 解: (1)依题意,设椭圆 C 的方程为

a2

b2

F PF ? PF1 、 1F 2 、 2 构成等差数列,
? 2a ? PF1 ? PF 2 ? 2 F1F2 ? 4 , a ? 2 .
又? c ? 1 ,? b ? 3 .
2

N F1 O F2

x

x2 y 2 ? 1 . ……………………………………………………4 分 ? 椭圆 C 的方程为 ? 4 3
2 2 (2) 将 直 线 l 的 方 程 y ? kx ? m 代 入 椭 圆 C 的 方 程 3x ? 4 y ? 12 中 , 得

图7

(4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx? 4m 2 ? 12 ? 0 .
2 2

…………………………5 分
2 2

由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知, ? ? 64k m ? 4(4k ? 3)(4m ?12) ? 0 , 化简得: m ? 4k ? 3 .
2 2

…………………………7 分

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设 d1 ? F1M ?

?k ? m k 2 ?1

, d2 ? F2 M ?

k ?m k 2 ?1



(法一)当 k ? 0 时,设直线 l 的倾斜角为 ? , 则 d1 ? d2 ? MN ? tan ? ,

…………………………9 分 y l M H N O F2

? MN ?

d1 ? d 2 , k

F1

x

S?

2m 2m d 2 ? d22 8 1 d1 ? d2 , ………11 分 ? 2 ? (d1 ? d 2 ) ? 1 ? 2 1 2 k 2k k ?1 m ? 3 ?1 m ? m 4
1 1 4 ? 3? ? 3 ,S ? 2 3 . m 3 3
……………………………13 分 ………………………………14 分

? m2 ? 4k 2 ? 3 , 当 k ? 0 时, m ? 3 ,m ? ?

当 k ? 0 时,四边形 F1MNF2 是矩形, S ? 2 3 . 所以四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 2 3 . (法二)? d12 ? d2 2 ? (

?k ? m k 2 ?1
?

)2 ? (

k ?m k 2 ?1
?

)2 ?

2(m2 ? k 2 ) 2(5k 2 ? 3) , ? k 2 ?1 k 2 ?1

d1d 2 ?

?k ? m k 2 ?1

?

k ?m k 2 ?1

m2 ? k 2 k 2 ?1

3k 2 ? 3 ? 3. k 2 ?1

? MN ? F1 F2 2 ? (d1 ? d 2 ) 2 ? 4 ? (d12 ? d 2 2 ? 2d1d 2 ) ?
1 MN (d1 ? d 2 ) ? 2

2 k 2 ?1



四边形 F1MNF2 的面积 S ?

1 k 2 ?1

( d1 ? d 2 ) ,

…………11 分

S2 ?

1 16k 2 ? 12 2 2 (d1 ? d 2 ? 2d1d 2 ) ? 2 k 2 ?1 (k ? 1) 2
1 ? 2) 2 ? 12 . k ?1
2

? 16 ? 4(

………………………………………………13 分

当且仅当 k ? 0 时, S 2 ? 12, S ? 2 3 ,故 Smax ? 2 3 . 所以四边形 F1MNF2 的面积 S 的最大值为 2 3 . …………………………14 分

【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知 识,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查分类讨论、数形结 合、化归与转化思想.

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21. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? x ? 切. (1)若对 [1,??) 内的一切实数 x ,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 1 时,求最大的正整数 k ,使得对 [e,3] ( e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底 数)内的任意 k 个实数 x1 , x2 ,?, xk 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xk ?1 ) ? 16g ( xk ) 成立; (3)求证:

a (a ? 0) ,g ( x) ? 2 ln x ? bx , 且直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? g (x) 相 x

? 4i
i ?1

n

2

4i ? ln(2n ? 1) (n ? N * ) . ?1

解 : 1 ) 设 点 ( x0 , y0 ) 为 直 线 y ? 2 x ? 2 与 曲 线 y ? g (x) 的 切 点 , 则 有 ( (*) 2 ln x0 ? bx0 ? 2x0 ? 2 . 2 2 ? g ?( x) ? ? b ,? ? b ? 2 . (**) x x0 由(*)(**)两式,解得 b ? 0 , g ( x) ? 2 ln x . 、 ……………………………2 分 a 由 f ( x) ? g ( x) 整理,得 ? x ? 2 ln x , x ? x ? 1 ,? 要使不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,必须 a ? x 2 ? 2 x ln x 恒成立. 1 2 设 h( x) ? x ? 2 x ln x , h ?( x) ? 2 x ? 2(ln x ? x ? ) ? 2 x ? 2 ln x ? 2 , x 2 ? h ??( x ) ? 2 ? ,? 当 x ? 1 时, h??( x) ? 0 ,则 h ?(x) 是增函数, x

? h?( x) ? h?(1) ? 0 , h(x) 是增函数, h( x) ? h(1) ? 1, a ? 1 .…………………5 分
因此,实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 . (2)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ………………………………………6 分

1 , x

? f ?( x) ? 1 ? f (3) ? 8 . 3

1 ? 0 , ? f (x) 在 [e,3] 上是增函数, f (x) 在 [e,3] 上的最大值为 x2

要对 [e,3] 内的任意 k 个实数 x1 , x2 ,?, xk 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xk ?1 ) ? 16g ( xk ) 成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,

? 当 x1 ? x2 ? ? ? xk ?1 ? 3 时不等式左边取得最大值, xk ? e 时不等式右边取得最
小值.

? (k ? 1) ?

8 ? 16 ? 2 ,解得 k ? 13 . 3 因此, k 的最大值为 13 .

………………………………………10 分

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(3)证明(法一) :当 a ? 1 时,根据(1)的推导有, x ? (1,??) 时, f ( x) ? g ( x) ,

1 1 (x ? ) . ………………………………………………………11 分 2 x 2k ? 1 2k ? 1 1 2k ? 1 2k ? 1 ? ( ? ), 令x ? ,得 ln 2k ? 1 2k ? 1 2 2k ? 1 2k ? 1 4k 化简得 ln( 2k ? 1) ? ln( 2k ? 1) ? , ………………………………13 分 4k 2 ? 1
即 ln x ?

ln(2n ? 1) ? ?[ln(2i ? 1) ? ln(2i ? 1)] ? ?
i ?1 i ?1

n

n

4i . 4i ? 1
2

………………………14 分

(法二)数学归纳法:当 n ? 1 时,左边=

4 ,右边= ln 3 , 3 1 ? 2 ln x . x

根据(1)的推导有, x ? (1,??) 时, f ( x) ? g ( x) ,即 x ? 令 x ? 3 ,得 3 ?

1 4 ? 2 ln 3 ,即 ? ln 3 . 3 3
………………………………11 分

因此, n ? 1 时不等式成立. (另解:? e ?

5 5 4 625 4 4 ? 27 ,? 4 ? ln 27 ,即 ? ln 3 . ,? e ? ( ) ? ) 2 2 16 3 k 4i 假设当 n ? k 时不等式成立,即 ? 2 ? ln(2k ? 1) , i ?1 4i ? 1
k 4i 4i 4(k ? 1) 4(k ? 1) ?? 2 ? 4i 2 ? 1 i?1 4i ? 1 ? 4(k ? 1) 2 ? 1 ? ln(2k ? 1) ? 4(k ? 1) 2 ? 1 , i ?1 k ?1

则当 n ? k ? 1 时,

要证 n ? k ? 1 时命题成立,即证 ln(2k ? 1) ?

4(k ? 1) ? ln(2k ? 3) , 4(k ? 1) 2 ? 1

即证

4(k ? 1) 2k ? 3 . ? ln 2 2k ? 1 4(k ? 1) ? 1
1 2k ? 3 ? 2 ln x 中,令 x ? ,得 x 2k ? 1

在不等式 x ?

ln

2 k ? 3 1 2 k ? 3 2k ? 1 4(k ? 1) . ? ( ? )? 2k ? 1 2 2k ? 1 2k ? 3 4(k ? 1) 2 ? 1
………………………………………13 分

? n ? k ? 1 时命题也成立.
根据数学归纳法,可得不等式

? 4i
i ?1

n

2

4i ? ln(2n ? 1) 对一切 n ? N * 成立. …14 分 ?1

【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式 的求解与证明、数学归纳法等综合知识,考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的 能力及创新意识. 命题: 喻秋生、姚亮、宋晓勤
2013 年深圳市高三年级第一次调研考试(数学理科)答案及评分标准

审题:魏显峰

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