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数列通项公式的求法(有答案)


数列通项公式的求法
一、 近 6 年全国卷(2009——2014)求数列通项公式的试题概览
年份 2009 卷 1 试题特点或已知条件 类型或方法

1 n ?1 a1 ? 1, an?1 ? (1 ? )an ? n n 2

an?1 ? p(n) ? an ? q(n) 转化,累加


2009 卷 2

a1 ? 1, S n?1 ? 4an ? 2

an?1 ? p ? an ? r ? q n , S n 与 an 的关
系,构造等差数列

2010 卷 1

a1 ? 1, a n?1 ?

5 1 ? 2 an

an?1 ? p ? an ? q ,转化,构造等比
数列

2010 新课标 2011 新课标

a1 ? 2, an?1 ? an ? 3 ? 22n?1

an?1 ? an ? p ? q n 累加法

?an ?

是 等 比 数 列 , 定义法, an ? a1q n?1

2 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2 a6

2012 全国卷

xn?1 ?

4 xn ? 3 xn ? 2

an?1 ? p ? an ? q ,转化,构造等比
数列

2013 课标 1

Sn ?

2 1 an ? 3 3

S n 与 an 的 关 系 , 定 义 法 ,

an ? a1q n?1
2013 课标 2

?an ?是等差数列, a1 ? 25 ,
a1 , a11 , a13 成等比数列

定义法, an ? a1 ? (n ? 1)d

2013 大纲卷

?an ?是等差数列, S3 ? a22 ,
S1 , S 2 , S 4 成等比数列

定义法, an ? a1 ? (n ? 1)d

2014 课标 1

?an ?是等差数列, a

2

, a4 是 定义法 an ? a1 ? (n ? 1)d

方程 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 的根 2014 课标 2

a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 1

an?1 ? p ? an ? q ,构造等比数列

二、 数列通项公式的求法
(一)数列的通项公式: 如果数列 ?an ? 的第 n 项 an 和项数 n 之间的函数关系可以 用一个公式 an ? f (n) 来表示,这个公式叫做数列的通项公式。 (二) 数列通项公式的求法 数列的通项公式是数列的核心之一。在很多情况下,各种数列综合问题的 求解,首先是对数列通项公式的求解,数列通项公式的求解问题往往是解决数 列综合问题的突破口和关键。求数列通项公式的方法和类型通常归结为一下几 种: 1. 观察法 通过观察数列各项与项的序号的关系, 找出各项共同的规律特征,

归纳出通项公式的方法。 2.定义法 已知数列为等差数列或等比数列时,由已知条件求出首项和公差

或公比代入等差数列或等比数列的通项公式求得。 (1)等差数列: an ? a1 ? (n ? 1)d ,或 an ? am ? (n ? m)d (2)等比数列: an ? a1q n?1 ,或 an ? am q m 例 1 (2013 新课标全国卷)已知等差数列的公差不为 0,a1 ? 25 ,且 a1 ,a11 ,

a13 成等比数列,求数列 ?an ? 的通项公式。
2 解: 设 ?an ? 的公差为 d ?d ? 0? , 由 a1 , a11 , a13 成等比数列得 a11 ? a1a13 ,

? (a1 ? 10d ) 2 ? a1 (a1 ? 12d ) ,? d (2a1 ? 25d ) ? 0 ,? d ? 0, a1 ? 25
? d ? ?2 ,

an ? ?2n ? 27, (n ? N ? )
例 2 (2014 全国卷)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 10 ,a2 为整数, 且 S n ? S 4 ,求 ?an ? 的通项公式。 解: 由 a1 ? 10 , a2 为整数,知等差数列 ?an ? 的公差 d 为整数。又因为 S n ? S 4 ,

?10 ? 3d ? 0 10 5 所 以 , a 4 ? 0 且 a5 ? 0 . ? ? ,解得 ? ?d ?? . 3 2 ?10 ? 4d ? 0
? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 10 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 13 , ? an ? ?3n ? 13, n ? N ? .

? d ? ?3

练习 1 : (1 )设 ?an ? 是公比大于 1 的等比数列, S n 为 ?an ? 的前 n 项和。已知

S3 ? 7 ,且 a1 ? 3 ,3a 2 ,a3 ? 4 成等差数列,求数列 ?an ? 的通项公式。
?a ? a2 ? a3 ? 7 2 解: 由已知得 ? 1 ,? a 2 ? 2 . 设 ?an ? 的公比为 q ,则 a1 ? , q ?a1 ? 3 ? a3 ? 4 ? 6a 2
a3 ? 2q , 代 入 a1 ? a2 ? a3 ? 7 , 得
1 2 ? 2 ? 2q ? 7 , ? q ? 2 或 q ? ( 舍 去 ) , 2 q

? an ? 2n?1 , n ? N ? .
(2)(2013.湖北高考)已知 S n 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和,S 4 ,S 2 ,S 3 成 等差数列,且 a2 ? a3 ? a4 ? ?18,求 ?an ? 的通项公式。 解:因为 S 4 , S 2 , S 3 成等差数列,所以 2S 2 ? S 4 ? S 3

? 2(a1 ? a2 ) ? 2(a1 ? a2 ? a3 ) ? a4 ,? 2a3 ? a4 ? 0 ,? a4 ? ?2a3 ,? q ? ?2
又? a2 ? a3 ? a4 ? ?18 ,? a1q ? a1q 2 ? a1q 3 ? ?18 ,? a1 ? 3

? an ? a1q n?1 ? 3 ? (?2) n?1 ,? an ? 3 ? (?2) n?1 , n ? N ?
3.公式法 若已知数列的前 n 项和 S n 与 an 的关系, 求数列 ?an ? 的通项公式可用

?S , (n ? 1) 公式 an ? ? 1 求解。 ?S n ? S n?1 , (n ? 2)
例 3 (2013.全国卷)若数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 项公式为 an ? 解:当 n ? 1 时, a1 ?
? S n ?1 ?

2 1 a n ? ,则数列 ?an ? 的通 3 3


2 1 2 1 a1 ? n , a1 ? 1 ;当 n ? 2 时,? S n ? a n ? . 3 3 3 3

a 2 1 2 2 a n ?1 ? ,两式相减,得 a n ? a n ? a n ?1 ,? an ? ?2an?1 ,? n ? ?2 3 3 3 3 a n ?1

所以 ?an ? 为等比数列,公比 q ? ?2 ,首项 a1 ? 1 ,? an ? a1q n?1 ? (?2) n?1 . 例4 已知 S n 为正项数列 ?an ? 的前 n 项和,且满足 S n ? 数列 ?an ? 的通项公式。
1 2 1 a1 ? a1 ,即 a12 ? a1 ,又 a1 ? 0 ,? a1 ? 1 2 2 1 2 1 1 2 1 a n ?1 .两式相减得: 当 n ? 2 时,因为 S n ? a n ? a n ,所以 S n ?1 ? a n ?1 ? 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 an ? an ? an ? an a n ?1 ,整理得: an ? an ?1 ? ?1 ? an ? an?1 ? 0 2 2 2 2 1 2 1 a n ? a n , n ? N ? ,求 2 2

解:当 n ? 1 时, a1 ?

? (an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? (an ? an?1 ) ? 0 , (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 1) ? 0
又? an ? 0 ,? an ? an?1 ? 1,??an ? 为等差数列, d ? 1 ,又 a1 ? 1 , an ? n 练习 2: (1)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 3n ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解:当 n ? 1 时, a1 ? 1 .当 n ? 2 时,因为 S n ? 3n ? 2 ,所以 S n?1 ? 3n?1 ? 2 .两式相减

?1, (n ? 1) 得: an ? 3n ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 ,又 a1 ? 1 不适合上式,? a n ? ? . n ?1 ?2 ? 3 , (n ? 2)
(2 ) (2013。江西高考)正项数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足:
2 Sn ? (n 2 ? n ? 1)S n ? (n 2 ? n) ? 0 .求数列 ?an ? 的通项公式。 2 解:因为 S n ? (n 2 ? n ? 1)S n ? (n 2 ? n) ? 0 ,所以 S n ? (n 2 ? n) (S n ? 1) ? 0

?

?

? S n ? 0 ,? S n ? n 2 ? n ,可求得 an ? 2n, n ? N ?
4.其他方法

对于由递推公式确定的数列,通常可以对递推式进行变形、转化(构造)为等 差数列或等比数列的问题得以解决。 (1)累加法:求形如 an ? an?1 ? f (n) (其中 f (n) 可求和)的数列的通项。可用累 加法,即令 n ? 2,3,4??, n ,得到 n ? 1 个等式累加求得通项。 例5 (2010 全国新课标)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 3 ? 22n?1 , n ? N ? 求 数列 ?an ? 的通项公式。 解:因为 an?1 ? an ? 3 ? 22n?1 , n ? N ? ,分别令 n ? 1,2,3,4??, n ? 1. 代入上式,得
n ? 1 个等式累加,即:

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ?? ? (an ? an?1 ) ? 3 ? 21 ? 3 ? 23 ? 3 ? 25 ? ?? ? 3 ? 22n?3
? a n ? a1 ? 3(2 ? 2 ? 2 ? ?? ? 2
3 5 2 n ?3

2(1 ? 4 n?1 ) ) ? 3? ? 2 2 n?1 ? 2 ,又? a1 ? 2 1? 4

? an ? 2 2n?1
练习 3: (1 )数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2n ,则数列 ?an ? 的通项公式为

an ?
解: an ? n 2 ? n ? 1 (2 )数列 ?an ? 满足 a1 ?



1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,则数列 ?an ? 的通项公式为 2 n ?n

an ?
a n ?1 ? a n ? 解:


1 3 1 1 1 1 1 ? an ? ? ? ? ? , 累加得 a n ? a1 ? 1 ? , n 2 n n ? n n(n ? 1) n n ? 1
2

(2)累乘法:对于形如

a n ?1 ? f (n) 的数列的通项求解,可用累乘法,即令 an

n ? 1,2,3,4??, n ? 1. 得到 n ? 1 个等式累乘求得通项。

例6

已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

2 n a n ,求数列 ?an ? 的通项公式。 , a n ?1 ? 3 n ?1

解:由已知得: 等式累乘之,即

a n ?1 n ,分别令 n ? 1,2,3,4??, n ? 1 ,代入上式得 n ? 1 个 ? an n ?1

a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 ? ? ? ?? ? n ? ? ? ? ?? ? , a1 a2 a3 an?1 2 3 4 n ? an 1 2 2 ? ,又 a1 ? ,? a n ? , n ? N ? 3 3n a1 n

练习 4. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? n(an?1 ? an ), n ? N ? ,则数列 ?an ? 的通项 公式为 an ? 解: 由已知得 .

a n ?1 n ? 1 ,累乘可得 an ? n . ? an n

(3)构造法:求形如 an?1 ? pan ? q ( p 、 q 为常数)或形如 an?1 ? pan ? f (n) 的 数列通项,可以构造新数列,使得新数列是等差数列或是等比数列,从而求得 通项。

an?1 ? 3an ? 1 , 例 7 (2014 新课标 2) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , 证明数列 ?an ? ?
是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式。 解:由 an?1 ? 3an ? 1 得 a n ?1 ?

? ?

1? 2?

1 3 1 1 1 3 ? 3a n ? ,即 a n ?1 ? ? 3(a n ? ) ,又 a1 ? ? , 2 2 2 2 2 2
3 2

所以数列 ?an ? ? 是首项为 ,公比为 3 的等比数列

? ?

1? 2?

1 ? a n ? (3 n ? 1) , n ? N ? 2
练习 5. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2an ? 2 n?1 ,求数列 ?an ? 的通项公式。
2 解:当 n ? 1 时, a1 ? 2a1 ? 2 ,? a1 ? 4 ;当 n ? 2 时,? S n ? 2an ? 2 n?1 ,

? S n?1 ? 2an?1 ? 2n ,两式相减得: an ? 2an ? 2an?1 ? 2 n , ? an ? 2an?1 ? 2 n ,两边同除以 2 n ,得:
a n a n ?1 a ?a ? ? n ?1 ? 1.(n ? 2) ,又 1 ? 2 ,? ? n 是 n 1 n ? 2 2 2 ?2 ? an ? 2 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 1 , 2n

以 2 为首项、以 1 为公差的等差数列。?

? an ? (n ? 1) ? 2 n

(三)

求数列通项公式 课后练习

1.(2013 课标 1) 已知等差数列 ?an ? 的前 3 项和 S n ,且 S 3 ? 0 ,S5 ? ?5 .求 ?an ? 的通项公式。
2 2. (2013 全国大纲卷)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ,且 S3 ? a2 , S1 , S 2 ,

S 4 成等比数列,求 ?an ? 的通项公式。
3.(2013 天津)已知首项为 3 的等比数列 ?an ? 不是递减数列,其前 n 项和为 S n ,
2

S 3 ? a3 , S 5 ? a5 , S 4 ? a4 成等差数列,求 ?an ? 的通项公式。
4. (2014 山东)已知等差数列 ?an ? 的公差为 2,前 n 项和为 S n ,且 S1 , S 2 , S 4 成等比数列,求 ?an ? 的通项公式。 5. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ,且 S n ? 6. 已知数列 ?an ? 满足 公式。 7. (2013 湖南) 设 S n 为数列 ?an ? 的前 S 3 ? a3 n 项和, 已知 a1 ? 0 , 2an ? a1 ? S1 ? S n ,
3 (a n ? 1) ,求 ?an ? 的通项公式。 2

1 2 3 n 3 2n ? ? ? ?? ? ? (3 ? 1), n ? N ? .求 ?an ? 的通项 a1 a2 a3 an 8

n ? N ? ,求 ?an ? 的通项公式。
8. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n , 且 a1 ? 2 ,S n ? an?1 ? n ? 2 ,n ? N , 求 ?an ? 的
?

通项公式。 9.(2009 全国卷 2)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ,且 a1 ? 1 , S n?1 ? 4an ? 2 , (1)证明 ?an?1 ? 2an ?是等比数列。 (2)求 ?an ? 的通项公式。
1 n ?1 10.(2009 全国卷 1)在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a n ?1 ? (1 ? )a n ? n . n 2

(1)设 bn ?

an ,求数列 ?bn ? 的通项公式。 n

(2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 。

(四)课后练习答案 1. an ? 2 ? n 6. a n ?
n 3
2 n ?1

2. an ? 3 ,或 an ? 2n ? 1

7. an ? 2 n?1

3. a n ?

3 1 ? ( ? ) n ?1 2 2

8. an ? 2 n?1 ? 1

4. an ? 2n ? 1

9. an ? (3n ? 1) ? 2n?2

5. an ? 3n

10.(1) bn ? 2 ?

1 2 n ?1 n?2 ?4 2 n ?1

(2) S n ? n(n ? 1) ?


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