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21.2.3《因式分解法》参考教案


21.2.3 因式分解法
教参内容: 1、对于某些一元二次方程,虽然用配方法或公式法可以解,但是用因式分解法 解起来更简便。因式分解法解一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 时,如果方程左边可 以分解因式,可将方程先分解为两个一次因式,分别令每个因式等于 0,得到两 个一元一次方程,解这两个方程,得到一元二次方程的两个根。这种化二次方程 为一次方程的降次方法,

不同于配方法的开平方,而是依据两个实数的积等于 0 的冲要条件, 即这两个实数中必有等于 0 的。 教科书中所用的因式分解方法包括: 提公因式法和公式法,这与前面所学过的因式分解法是一致的。 2、教科书在例题 3 后面的“归纳”栏目中,对于配方法、公式法和因式分解法进 行了综合归纳,指出了各种方法的特点,提出了“降次”是各种方法共同的基本思 路。教学中,应及时归纳总结,加强相关内容之间的联系,引导学生不断扩充 和完善对知识体系的认识。

教学设计 1、知识与技能:1、了解因式分解法的概念,会用因式分解法解某些 教 学 目 标 简单的数字系数的一元二次方程;2、能根据具体的一元二次方程的 特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性。 2、过程与方法:1、通过新方法的学习,培养学生分析问题、解决问 题的能力。2、通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想。 3、情感态度与价值观:体会解决问题方法的多样性,体验数学逻辑 推理的严密性。 教学重点 能灵活地应用因式分解法解一元二次方程。 教学难点 理解“或”、“且”的含义。 本节课主要采用了引导发现法, 由浅入深, 由特殊到一般地提出问题, 引导学生自主探索、动手实践、合作交流。这种教学理念反映了时代 教学方法 精神, 有利于提高学生的数学素养, 能有效地激发学生的思维积极性, 学生在学习过程中调动各种感官,进行观察、比较、归纳、进而改进 学生的学习方法。
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教学活动设计 活动 1:问题引入

师生活动

设计说明

问题: 根据物理学规律,如果把一个物体 教师展示问题,学生 实 际 问 题 引 从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛,那么经 进行独立思考. 过 x s 物体离地面的高度(单位:m)为
10x ? 4.9 x 2 .

入, 容易吸引 学生注意力.

你能根据上述规律求出物体经过多少秒落 回地面吗(精确到 0.01 s)? 列一元二次 教师重点关注学生 方 程 解 实 际 能否有效思考并列 问 题 是 本 章 出方程. 师:尝试用配方法与公式法解一元二次方 程. 难点, 每节课 都有所渗透 可有效分散 难点. 思考:除配方法或公式法以外,能否找到 更简单的方法解方程? 教师提出思考问题, 小 组 讨 论 共 学生小组讨论并发 同 发 现 因 式 生:可以提公因式,将方程 10x ? 4.9 x 2 ? 0 左边因式分解,得 x?10 ? 4.9 x ? ? 0 .① 于是可得: x ? 0或10 - 4.9x ? 0 .② 得: x1 ? 0,x 2 ?
100 ? 2.04 . 49

设物体经过 x s 落回地面, 这时它离地面的 距离为 0,即 10x ? 4.9 x 2 ? 0 .

言 . 教师引导学生关 分解法. 注等式左边可进行 因式分解,从而运用 因式分解法解决该 一元二次方程.

师:由①到②的理由是什么?

生:如果 A· B=0,那么 A=0 或 B=0.即:如 果两个因式的积为零,则至少有一个因式 为零,反之,如果两个因式有一个等于零,
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教师提问,学生独立 不断追问, 让

它们的积也就等于零。

发表见解.

学生明白因

教师重点关注学生 式 分 解 法 解 师:“或”与“且”的区别: “或”有下列三层含义 ①A=0 且 B≠0 ②A≠0 且 B=0 ③A=0 且 B=0 是否理解①到②的 一 元 二 次 方 理由. 程的理论依 据. “或”与“且” 教师引导学生却别 的 区 别 是 本 “或”与“且”的区别. 思考:以上解方程①的方法是如何使二次 方程降为一次的? 生:通过因式分解,使原方程转化为每个 一次因式都等于 0,得到两个一次方程. 节课的难点, 因此有必要 让学生充分 认识到两者 教师提出问题,学生 的区别. 发表见解. 活动 2:反思提升 1、 什么样的一元二次方程可以用因式分解 法来解? 2、用因式分解法解一元二次方程,其关键 教 师 通 过 问 题 串 的 是什么? 形式,引导学生归纳 采 取 问 题 串 理解降次是 解一元二次 方程的本质.

3、 用因式分解法解一元二次方程的理论依 总 结 出 因 式 分 解 法 的形式, 让学 据是什么? 解一元二次方程的 生 容 易 总 结

4、用因式分解法解一元二方程,必须要先 适 用 情 况 与 一 般 过 归 纳 出 解 一 化成一般形式吗? 程. 元二次方程 的适用情况 教师提示: 1、用分解因式法的条件是:方程左边易于 分解,而右边等于零; 2、关键是熟练掌握因式分解的知识; 3、理论依旧是“如果两个因式的积等于零, 教 师 重 点 关 注 学 生 那么至少有一个因式等于零。”
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和一般过程.

能否进行有效的归 及 时 总 结 因

4、是,首先要将等式右边转化为 0. 总结: 因式分解法:当一元二次方程的一边是 0, 而另一边易于分解成两个一次因式的乘积 时,我们就可以用分解因式的方法求解。

纳与总结.

式分解法解 一元二次方 程的步骤有 助于学生对 知识内容的

这种用分解因式解一元二次方程的方法称 师生共同完成总结, 掌握与落实. 为因式分解法。 给出因式分解法的 概念. 活动 3:例题讲解 例题 3 解下列方程:

?1?、x?x ? 2? ? x ? 2 ? 0;
1 3 ?2?、 5x2 ? 2 x ? ? x2 ? 2 x ? . 4 4

教师给出问题并板 书演示(1) ,学生独 例题 3 重点 立完成(2) ,教师巡 落 实 因 式 分 视并纠正学生存在 解 法 解 一 元 的错误与不足. 二次方程的 过程. 教师适时强调因式 法解一元二次方程 教 师 适 时 强 的一般步骤与解题 调 重 点 可 有 关键. 效落实重点 知识内容.

教师强调: (1)用因式分解法的条件是: 方程左边易于分解而右边等于零;即一元 二次方程可以转化为 A· B=0 的形式。 (2) 因式分解法解一元二次方程的本质就是降 次转化为解两个一元一次方程。 ( 3)理论 依据是“如果两个因式的积等于零,那么至 少有一个因式等于零。” 简记歌诀:右化零,左分解,两因式,各 求解。

解: (1)因式分解,得

?x ? 2??x ? 1? ? 0.
于是得

?x ? 2? ? 0或?x ? 1? ? 0.
x1 ? 2, x 2 ? ?1.
(2)学生完成.
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板书明确书 写格式.

练习:P14/练习题 1

活动 5:归纳总结 配方法要先配方,再降次;通过配方法可 以推出求根公式,公式法直接利用求根公 学生独立完成练习, 式;因式分解法要先使方程一边为两个一 教师巡视,及时纠正 通过练习, 了 次因式相乘, 另一边为 0, 再分别使各一次 学生错误,对于错误 解 学 生 掌 握 因式等于 0.配方法、公式法适用于所有一 率较高的问题,可集 情况, 并进行 元二次方程,因式分解法用于某些一元二 中展示并纠错. 次方程.总之,解一元二次方程的基本思路 是:将二次方程化为一次方程,即降次. 师生共同总结. 归纳总结可 使学生对一 元二次方程 的解法有全 面的认识, 为 灵活选择方 法做好铺垫. 板书设计 21.2.3 因式分解法 因式分解法 例题讲解 有针对性的 讲解.

因式分解法的步骤

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