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新题库--第三章 第10节:数列的实际应用


数列的实际应用
1.夏季高山上的温度从山脚起,每升高 100m 降低 0.7℃,已知山顶处的温度是 14.8℃,山脚处的温度 为 26℃,问此山相对于山脚处的高度是多少? 解: ∵每升高 100m 温度降低 0.7℃,∴该处温度的变化是一个等差数列问题。 山脚温度为首项 a1=26, 山顶温度为末项 an=14.8,∴26+(n-1)(-0.7)=14.8.解得 n=17,此山的高度为(17-1)×100=1 600(m). 2.某人从 A 地到 B 地乘坐出租车,有两种方案;第一种方案:租用起步价 10 元,每千米价 1.2 元的汽 车。第二种方案:租用起步价是 8 元,每千米价为 1.4 元的汽车。按出租车管理条件,在起步价内,不同 型号车行驶的里程是相等的。则此人从 A 地到 B 地选择哪一种方案比较合适? 解:设起步价内行驶里程为 a 千米,A 地到 B 地的距离是 m 千米。当 m≤a 时,选起步价 8 元的出租 车比较合适。 当 m>a 时,设 m=a+x(x>0).乘坐起步价 10 元的出租车费用为 P(x)元,乘坐起步价为 8 元的费用为 Q(x)元。则 P(x)=10+1.2x, Q(x)=8+1.4x,令 P(x)=Q(x)得 10+1.2x=8+1.4x.解得 x=10(千米) 。此时两种出 租车任选。 当 x>10 时,P(x)-Q(x)=2-0.2x<0,故 P(x)<Q(x),此时选起步价为 10 元的出租车合适。 当 x<10 时,P(x)-Q(x)=2-0.2x>0,故 P(x)>Q(x).此时选起步价为 8 元的出租车合适。 3.铜片绕在盘上,空盘时盘心直径 80mm,满盘时直径 160mm。已知铜片的厚度是 0.1mm,那么满盘 时一盘铜片共有多长? 解:铜盘一共绕的圈数为 n=

80 =400(圈) 。每一圈近似一圆,且其半径组成一个以 0.1mm 为公差 0 .2

的等差数列,所以各圈长度形成一个首项为 80.1π,公差为 0.2π 的等差数列,其和为 S=80.1πn+

1 n(n-1)×0.2π=48 000π(mm)≈150(m). 2

4.在一直线上共插有 13 面小旗,相邻两面之距离为 10m,在第 1 面小旗处有一人要把小旗全部集中到 一面小旗的位置上,每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短,应集中到哪一面小旗的位置上?最短路程 是多少? 解:设将旗集中到第 x 面小旗处,则从第 1 面旗到第 x 面旗处,共走路程为 10(x-1),然后回到第 2 面处再到第 x 面处是 20(x-2),…,从第 x 面处到第(x+1)面处的路程为 20,从第 x 面处到第(x+2)面取旗再 到第 x 面处,路程为 20×2, …。总的路程: S=10(x-1)+20(x-2)+20(x-3)+…+20×2+20×1+20+20×2+…+20×(13-x)

( x ? 1)( x ? 2) (13 ? x)(14 ? x) +20× =10[(x-1)+(x-2)(x-1)+(13-x)· (14-x)] 2 2 29 2 315 =10(2x2-29x+183)=20(x)+ .∵x∈N*,故 x=7 时,S 有最小值 S=780(m). 4 4
=10(x-1)+20× 5.1997 年 11 月 8 日中央电视台在播放十分壮观的长江三峡工程大江截流的实况,截流从上午 9 时开始, 当时龙口水面宽 40m,求深若干米,每隔一段时间播音员报告龙口的水面宽和工程进展情况,现记录部分 公布的数据如下: 时间 龙口宽 工程进 度 数据列 9时 40m 10 时 39m 1m a1 11 时 … … … 12 时 34 5m a2+a3 … … 16 时

预计下午 4 时(16 时)合拢,现根据截止时间 12 时的部分数据, (1)学生甲将工程进度模拟成等差数列,a1=1, a2+a3=5; (2)学生乙将工程进度模拟成等差数列,a1=1, a2+a3=5; 试问:通过计算,学生甲与乙的结果分别说明了什么?(能否如期合拢,或能否提前合拢) (参考数
1

据 21 ≈4.6, 1.87≈61. 解: (1)设公差为 d, 由 a1=1, a2+a3=2a1+3d=5,d=1.S7=7a1+ 甲的模拟预测不能如期合拢. (2) 设公比为 q, a1=1, a2+a3=q+q2=5, q= 由 得

1 ×7×6×d=7+21=28<40,这说明按 2

1 ? 1.8 7 ? 1 ? 21 ? 75 ? 40 . ≈1.8 负值舍去)S7= ( . 这 1 ? 1.8 2

说明按乙的模拟预测可以提前合拢. 6.甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动.甲第 1 分钟走 2 m,以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙每分钟走 5 m. (Ⅰ)甲、乙开始运动后几分钟相遇? (Ⅱ) 如果甲、 乙到达对方起点后立即折返, 甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m, 乙继续每分钟走 5 m, 那么开始运动几分钟后第二次相遇? 解: (Ⅰ) n 分钟后第 1 次相遇, 设 依题意, 2n+ 有

n( n ? 1) +5n=70, 整理得 n2+13n-140=0. 解 2

得 n=7,n=-20(舍去) .第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟. (Ⅱ) n 分钟后第 2 次相遇, 设 依题意, 2n+ 有

n( n ? 1) +5n=3×70. 整理得 n2+13n-6×70=0. 解 2

得 n=15,n=-28(舍去) .第 2 次相遇是在开始运动后 15 分钟. 7.某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个) ,现在把 10 个这样的细菌进行培育, 经过 5 小时后,一共可得多少个这样的细菌? 解:依题意,这种细菌原有个数经过 20 分钟,40 分钟,60 分钟,…,分裂后的个数分别为 10, 10×2, 10×22,…。这是一个以 10 为首项,公比为 2 的等比数列。 由细菌分裂的含义, 经过 5 小时, 共可得到的细菌个数 an, 而不是 Sn.由 20+(m-1)×20=300 可知 m=15, 15 故经过 5 小时后这种细菌一共有 a16=10×2 (个) 。 8.已知某厂产值的月平均增长率为 p,求年平均增长率。 解:设第 1 年 1 月份产值为 1,则第一年的总产值是数列 1,(1+p), (1+p)2, …,(1+p)11 的各项和,即 S1=

(1 ? p)12 ? 1 . p
第 2 年总产值是数列(1+p)12, (1+p)13, …, (1+p)23 的各项和,即 S2=

(1 ? p)12 [(1 ? p)12 ? 1] .故可得年平 p

均增长率为

S 2 ? S1 =(1+p)12-1. S1

9.某林场原有木材量为 a,木材以每年 25%的增长率生长,而每年冬天要砍伐的木材量为 x,为了实现经 过 20 年达到木材存有量翻两番,求每年砍伐量 x 的最大值。 (注:lg2=0.3) 解:第 1 年末木材存有量 a· -x,第 2 年末存有量为(a· -x)· -x=a· )2-x(1+ ( 第 3 年末存有量为[a· )2-x(1+ (

5 4

5 4

5 4

5 4

5 ), 4

5 4

5 5 5 5 5 )] -x=a· )3-x[1+ +( )2],…,第 20 年末存有量 ( 4 4 4 4 4
2

5 5 5 5 5 )+( )2+…+( )19]=a· )20-4x· )20+4x. ( ( 4 4 4 4 4 5 5 5 ∴a· )20-4x· )20+4x=4a,先求( )20=y.lgy=20(lg5-lg4)=20(1-3lg2)≈20(1-3×0.3)=2. ( ( 4 4 4 8 ∴y≈100.∴100a-400x+4x=4a.∴x= a. 33
为 a· )20-x[1+( ( 10.据某城市 2002 年末所做的统计资料显示,到 2002 年末,该城市堆积的垃圾已达 50 万吨,侵占了大 量的土地,并且成为造成环境污染的因素之一.根据预测,从 2003 年起该城市还将以每年 3 万吨的速度 产生新的垃圾.垃圾的资源化和回收处理已经成为该市城市建设中的重要问题. (1)假设 1992 年底该城市堆积的垃圾为 10 万吨.从 1993 年到 2002 年这十年中,该城市每年产生 的新垃圾以 8%的年平均增长率增长,试求 1993 年该城市产生的新垃圾约有多少万吨?(精确到 0.01, 参考数据:1.0810≈2.159) . (2)如果从 2003 年起,该市每年处理上年堆积垃圾的 20%,现用 b1 表示 2003 年底该市堆积的垃圾 数量,b1 表示 2004 年底该市堆积的垃圾数量,……,bn 表示 2002+n 年底该城市堆积的垃圾数量. ①求 b1;②试归纳出 bn 的表达式(不用证明) ;③计算 lim bn,并说明其实际意义.
n??

5 4

解: (1)设 93 年该城市产生的新垃圾为 x 万吨.依题意:10+x+1.08x+1.082x+…+1.089x=50, ∴

1 ? 1.0810 0.08 · x=40. ∴x= ×40≈2.76 万吨.∴93 年该城市产生的新垃圾约为 2.76 万吨. 1.0810 ? 1 1 ? 1.08
(2)①b1=50×80%+3=43 万吨.

4 4 4 b1+3=50×( )2+3× +3, 5 5 5 4 4 3 4 2 4 4 4 4 4 b3= b2+3=50×( ) +3×( ) +3× +3…,∴可归纳出:bn=50×( )n+3×( )n-1+3×( )n-2+…+3× +3 5 5 5 5 5 5 5 5 4 1 ? ( )n 4 5 =50×( 4 )n+15[1-( 4 )n]=35×( 4 )n+15. =50×( )n+3× 4 5 5 5 5 1? 5 4 ③ lim = lim [35×( )n+15]=15.这说明,按题目设想的方式处理垃圾,该市垃圾总量将逐年减少,但 n?? n?? 5
②∵b1=50×80%+3=50× +3,b2= 不会少于 15 万吨. 5. 某地居民遭受 住房总面积为 am2, 其中需要拆除的旧房面积占了一半, 当地有关部门决定在每年以 10% 的增长率建设新住房,并且每年在建好新住房后,都要拆除固定数量的旧住房. (1)如果 10 年后该地住房总面积正好比目前翻一番,那么每年应拆除的旧住房总面积 x 是多少? (1.110≈2.6) (2)10 年后还未拆除的旧房总面积占当时住房总面积的百分比是多少?(保留到小数点后第 1 位) 解:设第 n 年后(年末)此地住房总面积数为 an,则 a1=1.1a-x, a2=(1.1a1-x)1.1-x=1.12a-1.1.x-x, a3=1.13a-1.12x-1.1x-x.…a10=1.110a-1.19x-1.18x-……-1.1x-x=1.110a-(1.19+1.18+…+1.1+1)x=2.6a-16x. 令 a10=2a,则 2.6a-16x=2a, x=

4 5

3 3 a.∴每年应拆除的旧房总面积为 a m2. 80 80

6.某市 2003 年共有 1 万辆燃油型公交车。有关部门计划于 2004 年投入 128 辆电力型公交车,随后电力 型公交车每年的投入比上一年增加 50%,试问: (1)该市在 2010 年应该投入多少辆电力型公交车? (2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 ? 解: (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列 { a n } , 其中 a1 ? 128, q ? 1.5, 则在 2010 年应该
3
1 3

投入的电力型公交车为 a7 ? a1 ? q 6 ? 128 ? 1.56 ? 1458 (辆) 。
S ( . (2)记 S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ,依据题意,得 10000n? S ? 1 。于是 S n ? 12811?155 ) ? 5000 (辆) 1.5n ? 657 ,则有 ,即 ?1. 3 32
n n

n ? 7.5,

因此 n ? 8 。∴到 2011 年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 1 。 3

7.某工厂去年的产值是 100 万元,计划今后 3 年内每年比上一年产值增长 10%,从今年起到第三年的总 产值是多少?第三年的产值是多少?(精确到万元) 解: 设去年的产值为 a1,则今年产值为 a2,各年产值依次为 a1,a2,a3,a4…, 由已知, 数列{an}为等比数列,

100(1.14 ? 1) -100≈364(万元) ,又 a4=a1, 1 .1 ? 1 q3=100×1.13≈133(万元) ,即第三年产值约为 133 万元. 8.使一原来不带电的导体小球与一带电量为 Q 的导体大球接触,分开后小球获得电量 q.今使小球与大 球反复接触,在每次分开后都给大球补充电荷,使其带恢复为 Q,求: (1)第 n 次接触后小球的带电量; (2)小球带电量的极限. 解: (1)小球与大球接触后,两球所带电量之比 k 决定于两者的形状,是一个恒量.设 q1,q2,q3,…qn
且 a1=100,公比 q=1+10%=1.1,∴这 3 年总产值为 S4-a1 和 Q1, 2, 3, Q Q …Qn 分别为第 1, 3, 2, …n 次接触后小球与大球的带电量. 则有 q1=q,Q1=Q-q,k=

q , Q?q

q ? q q q q q? 第 n 次接触后, n ? , n=Q-(qn-qn-1),∴qn=Q· Q =(Q+qn-1-qn)· .∴qn= · 1+q=q ?1 ? ? . q ? Q? Qn Q ? q Q?q Q?q Q ? ?
n ?1 2 ? q ? q ?2 ? ? q ? ? qQ q q ?q? ? 同理 q3= · 2+q=q ?1 ? ? ? ? ? ,…,qn=q ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = q ? ? ? ? ?Q? Q ? Q ?Q? ? ? Q ?Q? ? ? ? Q?q ? ? ? ?

? ? q ?n ? ?1 ? ? ? ? . ? ? ? ?Q? ? ? ?

qQ ? ? q ? ?1 ? ? ? (2) lim q n ? lim ?Q? n ?? n ?? Q ? q ? ? ? ?

n

? qQ ?? . ? Q?q ?

9.某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%,并且每年新 增汽车数量相同.为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆,那么每年新增汽车数量不应超 过多少辆? 解:2001 年末汽车保有量为 b1 万辆,以后各年末汽车保有量依次为 b2 万辆,b3 万辆,…,每年新增 汽车 x 万辆,则 b1=30,b2=b1×0.94+x. 对于 n>1,有 bn+1=bn×0.94+x=bn-1×0.942+(1+0.94)x,…… - ∴bn+1=b1×0.94n+x(1+0.94+…+0.94n 1) =b1×0.94n+

1 ? 0.94n x x x? ? (30 ? ) ? 0.94n . 0.06 0.06 0.06

当 30 ?

x x ≥0,即 x≤1.8 时,bn+1≤bn≤…≤b1=30.当 30 ? <0,即 x>1.8 时, 0.06 0.06
x x x x , 并且数列 n} {b 逐项增加, 可以任意靠近 . 因 ? (30 ? ) ? 0.94n ?1 ] ? 0.06 0.06 0.06 0.06

lim bn ? lim[
n ?? n ??

此,如果要求汽车保有量不超过 60 万辆,即 bn≤60(n=1,2,3,…)则

x ≤60,即 x≤3.6(万辆) .综 0.06
4

上,每年新增汽车不应超过 3.6 万辆. 10.从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年 度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少

1 .本年度当地旅游业收入估计为 400 万元,由于该项建设 5

对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加

1 . 4

(Ⅰ)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元.写出 an,bn 的表达式; (Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 解: (Ⅰ)第 1 年投入 800 万元,第 2 年投入 800×(1-

1 )万元……,第 n 年投入 5

800× (1-

1 n-1 4 4 1 - ) 万元,总投入 an=800+800(1 ? )+…+800(1 ? )n 1=4000[1-( )n] ; 5 5 5 5
1 )万元,……,第 n 年收入 4

同理,第 1 年收入 400 万元,第 2 年收入 400×(1+

400×(1+

5 1 n-1 1 1 - ) 万元,∴bn=400+400×(1+ )+…+400×(1+ )n 1=1600×[ ( )n-1] 4 4 4 4 5 n 4 ) -1]-4000×[1-( )n]>0,化简得, 4 5

(Ⅱ)∴bn-an>0,1600[ (

5× (

5 4 n 4 4 2 2 ) +2× ( )n-7>0,设 x=( )n,5x2-7x+2>0,∴x< ,x>1(舍) ,即( )n< , 4 5 5 5 5 5

n≥5 11.某市 2004 年底有住房面积 1200 万平方米,计划从 2005 年起,每年拆除 20 万平方米的旧住房. 假 定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的 5%. (1)分别求 2005 年底和 2006 年底的住房面积 ; (2)求 2024 年底的住房面积.(计算结果以万平方米为单位,且精确到 0.01) 解: (1)2005 年底的住房面积为: 1200(1 ? 5%) ? 20 ? 1240 , (万平方米)2006 年底的住房面积为: (万平方米) 1200(1 ? 5%) 2 ? 20(1 ? 5%) ? 20 ? 1282 。 (2)2024 年底的住房面积为: 1200(1 ? 5%) 20 ? 20(1 ? 5%)19 ? 20(1 ? 5%)18 ? ? ? 20(1 ? 5%) ? 20

1.05 20 ? 1 ? 2522.64 (万平方米) 0.05 12.假设某市 2004 年新建住房面积 400 万平方米,其中有 250 万平方米是中低价房.预计在今后的若干 年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年 增加 50 万平方米.那么到哪一年底: (1) 该市历年所建中低价层的累计面积 (以 2004 年为累计的第一年) 将首次不少于 4750 万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%? ? 1200(1 ? 5%) 20 ? 20 ?

5

解: (1)设中低价房面积形成数列 ?an ? ,由题意可知 ?an ? 是等差数列,其中 a1=250,d=50,则

S n ? 250 n ?

n(n ? 1) ? 50 ? 25n 2 ? 225 n, 令 25n 2 ? 225n ? 4750 , 2

即 n 2 ? 9n ? 190 ? 0, 而n是正整数? n ? 10. ∴到 2013 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次 , 不少于 4750 万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其中 b1=400,q=1.08, 则 bn=400· (1.08)n 1,由题意可知 an ? 0.85bn ,有 250+(n-1)50>400 · (1.08)n
- -1

· 0.85.由计算器解得满

足上述不等式的最小正整数 n=6,∴到 2009 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比 例首次大于 85%. 13. 某企业 2003 年的纯利润为 500 万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技 术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元,今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技 术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第 n 年(今年为第一年)的利润为 500(1+

1 )万元(n 为 2n

正整数). (Ⅰ)设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元,进行技术改造后的累 计纯利润为 Bn 万元(须扣除技术改造资金) ,求 An、Bn 的表达式; (Ⅱ)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术 改造的累计纯利润? 解: (Ⅰ)依题设,An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2;

1 1 1 500 )+(1+ 2 )+…+(1+ n )]-600=500n- n -100. 2 2 2 2 50 500 500 (Ⅱ)Bn -An=(500n- n -100) -(490n-10n2)=10n2+10n- n -100=10[n(n+1) - - 2n 2 2 50 10].∵函数 y=x(x+1) - x -10 在(0,+∞)上为增函数, 2 50 50 50 50 当 1≤n≤3 时,n(n+1) - n -10≤12- -10<0;当 n≥4 时,n(n+1) - n -10≥20- -10>0.∴ 8 16 2 2
Bn=500[(1+ 仅当 n≥4 时,Bn>An. 14.在一次人才招聘会上,有 A、B 两家公司分别开出它们的工资标准:A 公司允诺第一年月工资为 1500 元,以后每年月工资比上一年月工资增加 230 元;B 公司允诺第一年月工资为 2000 元,以后每年月工资 在上一年的月工资基础上递增 5%.设某人年初被 A、B 两家公司同时录取,试问: (1)若该人分别在 A 公司或 B 公司连续工作 n 年,则他在第 n 年的月工资收入分别是多少? (2)该人打算连续在一家公司工作 10 年,仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不计其他因素) , 该人应该选择哪家公司,为什么? (3)在 A 公司工作比在 B 公司工作的月工资收入最多可以多多少元?(精确到 1 元)并说明理由. 解: (1)此人在 A、B 公司第 n 年的月工资数分别为: - an=1500+230×(n-1) (n∈N*) ; bn=2000(1+5%)n 1。 (n∈N*) (2)若该人在 A 公司连续工作 10 年,则他的工资收入总量为 12(a1+a2+…+a10)=304200(元) , 若该人在 B 公司连续工作 10 年,则他的工资收入总量为 12(b1+b2+…+b10)≈301869(元)因为在 A 公 司收入的总量高些,因此该人应该选择 A 公司. - (3)问题等价于求 Cn=an-bn=1270+230n-2000×1.05n 1(n∈N*)的最大值. - - - 当 n≥2 时, n-Cn-1=230-100×1.05n 2, Cn-Cn-1>0, 230-100×1.05n 2>0 时, C 当 即 1.05n 2<2.3, 得 n<19.1,∴当 2≤n≤19 时,Cn-1<Cn;于是当 n≥20 时,Cn≤Cn-1.∴C19=a19-b19≈827(元) ,即在 A 公 司工作比在 B 公司工作的月工资收入最多可以多 827 元.
6

15.陈老师购买安居工程集资房 92 米 ,单价为 1 000 元/米 2,一次性国家财政补贴 28 800 元,学校补 贴 14 400,余款由个人负担,房地产开发公司对教师实行分期付款,每期为一年,等额付款,签订购房合 同后一年付款一次,再经过一年又付款一次,等等,共付 10 次,10 年后付清。如果按年利率 7.5%,每 年按复利计算,那么每年应付款多少元/(计算结果精确到百元) 。 解:设每年应付款 x 元,那么到最后一次付款时(即购房十年后) ,第 1 年付款及所生利息之和为 9 8 x×1.075 元,第 2 年付款及所生利息之和为 x×1.075 元,…,第 9 年付款及其所生利息之和为 x×1.075 元,第 10 年付款为 x 元,而所购房余款的现价及其利息之和为[1 000×92-(28 800+14 400)]×1.07510 =28 800×1.07510 元。∴x=(1+1.075+1.0752+…+1.0759)=28 800×1.07510. 1.075 ? 1 ∴x=28 800×1.07510× =28 800×2.065×0.070≈4 200 元。 1.07510 ? 1 16.某汽车销售公司为促销采取了较为灵活的付款方式,对购买 10 万元一辆的轿车在一年内将款全部付 清的前提下,可以选择以下两种分期付款的方案购车: 方案一:分 3 次付清,购买后 4 个月第 1 次付款,再过 4 个月第 2 次付款,再过 4 个月第 3 次付款. 方案二:分 12 将付清,购买后 1 个月第 1 次付款,再过 1 个月第 2 次付款,…购买后 12 个月第 12 次付款. 规定分期付款中每期付款额相同;月利率为 0.8%,每月利息按复利计算,即指上月利息要计入下月 本金, (1)试比较以上两种方案的哪一种方案付款总额较少? (2)若汽车销售公司将收回的售车款进行再投资,可获月增长 2%的收益,为此对一次性付款给予降 价 p%的优惠,为保证一次性付款经一年后的本金低于方案一和方案二中较少一种的付款总额,且售车款 再投资一年后的本金要高于车价款一年后的本金,试确定 p 的取值范围. (计算结果保留三位有效数据, 参考数据:1.0883≈1.024, 1.0084≈1.033, 1.0087≈1.092, 1.00812≈1.1,1.0211≈1.243, 1.0212≈1.268) 解: (1)对于方案一,设每次付款额为 x1 万元,那么一年后,第一次付款的本金为 1.0088x1 万元, 第 二 次 付 款 的 本 金 为 1.0084x1 万 元 , 第 3 次 付 款 的 本 金 为 x1 万 元 , 则 1.0088x1+1.0084x1+x1=10(1+0.8%)12.解得 x1≈3.63(万元) .付款总额为 3×3.63=10.89(万元) . 11 对于方案二,设每次付款为 x2 万元,那么一年后,第一次付款的本金为 1.008 x2 万元,第 2 次付款 的本金为 1.00810x2 万元,…,第 12 次付款的本金为 x2 万元.则 1.00811x2+1.00810x2+…+1.008x2+x2 =10×1.00812.解得 x2≈0.88(万元) .付款总额为 12×0.88=10.56(万元) .显然第二种方案,付款总额较 少. (2)如果降低 p%的售车款为 10(1-p%),那么一年后产生的本金为 10(1-p%)×1.00812,而转入再投资 所产生的本金为 10(1-p%)(1+2%)12,则依题意 有?
12 ? ?10(1 ? p%) ? 1.008 ? 10.56,



?10 ? 1.00812 ? 10(1 ? p%)(1 ? 2%)12 , ?

解得 4<p<13.2.

17.某公司全年的纯利润为 b 元,其中一部分作为奖金发给 n 位职工.奖金分配方案如下:首先将职工按 工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小.由 1 至 n 排序,第 1 位职工得奖金

b 元,然后再将余额除以 n a

发给第 2 位职工,按此方法将奖金逐一发给每位职工.并将最后剩余部分作为公司发展基金. (Ⅰ)设 ak(1≤k≤n)为第 k 位职工所得奖金额,试求 a2、a3,并用 k、n 和 b 表示 ak; (不必证明) (Ⅱ)证明 ak>ak+1(k=1,2,…,n-1) ,并解释此不等式关于分配原则的实际意义; (Ⅲ)发展基金与 n 和 b 有关,记为 Pn(b) .对常数 b,当 n 变化时,求 lim Pn(b) .
n??

解: (Ⅰ)第 1 位职工的奖金 a1=

b 1 1 ,第 2 位职工的奖金 a2= (1- )b, n n n
7

第 3 位职工的奖金 a3=

1 1 1 1 - (1- )2b,……第 k 位职工的奖金 ak= (1- )k 1b. n n n n

(Ⅱ)ak-ak+1=

1 - 1 (1- )k 1b>0,此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则. 2 n n 1 )b,f2(b) n

(Ⅲ)设 fk(b)表示奖金发给第 k 位职工后所剩余款,则 f1(b)=(1-

=(1-

1 2 1 1 b ) b,…,fk(b)=(1- )kb,得 Pn(b)=fn(b)=(1- )nb,则 lim Pn (b) ? . n ?? n n n e

18. 某农民存钱供女儿上大学, 从女儿上初中起, 每年省下一笔固定数额的钱存入村办企业, 按年利率 x% 计息,一直存到女儿上完大学.这样到了第 7 年至第 10 年(大学期间) ,他就可以从村办企业每年取出一 笔 3000 元的存款,作为女儿当年上大学的费用) . (1)若该农民到第 10 年正好将存款本息取用完毕,试将他每年省下的固定数额钱 y(元)表示为 x 的函数; (2)当 x=10 时,计算 y 值. 解:该农民 10 年存款的本利和为:y+y(1+x%)+y(1+x%)2+…+y(1+x%)9=

(1 ? x%)10 ? 1 · y.村办企业 x%

(1 ? x%) 4 ? 1 4 年付款的本利和为:3000(1+x%) +3000(1+x%) +3000(1+x%)+3000=3000· . x%
3 2



(1 ? x%)10 ? 1 (1 ? x%) 4 ? 1 (1 ? x%) 4 ? 1 · y=3000· ,得 y=3000· 为所求.把 x=10 代入 y 关于 x x% x% (1 ? x%)10 ? 1

的函数解析式,得 y=3000×

1.14 ? 1 1.44 ? 1 0.44 =3000 =3000× ≈825(元) . 10 2.6 ? 1 1 .6 1.1 ? 1

19.某市 2000 年底人口 20 万,人均住房面积为 10 平方米,计划在今后四年内,每年新建住房面积平均 为上一年住房总面积的 10%,由于道路扩建,每年需拆除旧房 x 万平方米,如果该市将每年人口平均增长 率控制在 1%, 那么要实现经过四年使人均住房面积提高到 12 平方米的目标, 则每年至多可拆除旧房多少 4 4 平方米?(以万平米为单位,可留两位小数,已知:1.1 =1.4641, 1.04 =1.0406) 解:设每年至多可拆除旧房 x 万平方米,则 2001 年底住房总面积为 200×(1+10%)-x, 2002 年底住房总面积为 200×(1+10%)2-x(x+10%)2-x(1+10%)-x, 2003 年底住房总面积为 200×(1+10%)3-x(x+10%)2-x(1+10%)-x,

? 1.14 ? 1 ? ? ? 2004 年底住房总面积为 200×(1+10%)4-x(x+10%)3- x(1+10%)2-x(1+10%)-x,=200(1+10%)4-x· ? 0.1 ? . ? ?
依题意有:200×(1+10%)4-x

200 ? 1.4641 ? 240 ? 1.0406 1.14 ? 1 =12×20(1+1%)4,∴x= ≈9.28.故每年 0.1 4.641

至多可拆除旧房 9.28 万平方米. 20.在一次人才招聘会上,有 A、B 两家公司分别开出它们的工资标准:A 公司允诺第一年月工资为 1 500 元,以后每年月工资比上一年月工资增加 230 元;B 公司允诺第一年月工资为 2 000 元,以后每年月工资
8

在上一年的月工资基础上递增 5%,设某人年初被 A、B 两家公司同时录取,试问: (1)若该人分别在 A 或 B 公司连续工作 n 年,则他在第 n 年的月工资收入分别是多少? (2)该人打算连续在一家公司工作 10 年,仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不计其他因素) , 该人应该选择哪家公司,为什么? (3)在 A 公司工作比 B 公司工作的月工资收入最多可以多多少元(精确到 1 元)?并说明理由。 解: 此人在 A、 公司第 n 年月工资数分为 an=1 500+230×(n-1)(n∈N),bn=2 000(1+5%)n-1(n∈N). (1) B (2)若该人在 A 公司连续工作 10 年,则他的工资收入总量为 12(a1+a2+…+a10)=304 200(元) ,若 该人在 B 公司连续工作 10 年,则他的工资收入总量为 12(b1+b2+…+b10)≈301 869(元) 。因为 A 公司收 入的总量高些,因此该人应该选择 A 公司。 (3) 问题等价于求 cn=an-bn=1 270+230n-2 000×1.05n-1 的最大值。 n≥2 时, n-cn-1=230-100×1.05n-2. 若 c n-2 n-2 当 cn-cn-1>0,即 230-100×1.05 >0 时,1.05 <2.3 得 n<19.1.∴当 2≤n≤19 时,cn-1<cn,于是当 n≥20 时, cn≤cn-1。∴c19=a19-b19=827(元) 。即在 A 公司工作比在 B 公司工作的月工资收入最多可以多 827 元。 21.西部大开发中,某公司投资兴办甲、乙两个企业,2000 甲企业获利润 320 万元, 乙企业获利润 720 万元。若以后甲企业的每年利润以上一年利润的 1.5 倍速度递增,乙企业则每年利润为上年利润的 期两企业年利润之和为 1600 万元。 (1)从 2000 年年初起,哪一个两企业年利润之和最小?最小值是多少? (2)从 2000 年年初起,经过几年可达到预期目标?(精确到年) 解: (1)设从 2000 年年初起,第 n 年获利润为 yn 万元,则由条件得 yn=320(

2 ,预 3

3 n?1 2 n?1 3 n-1 2 3 2 ) +720( )n-1≥2 320( ) ? 720( ) =2×480=960,当且仅当 320( )n-1=720( )n-1,即 2 3 2 3 2 3

(

3 2 n-1 9 · ) = ,n=2 时,取“=”,∴第二年,即 2001 年获利润最小,仅只有 960 万元。 2 3 4 3 2 3 2 3 (2)依题意,320( )n-1+720( )n-1≥1600,化简,得 4( )n-1+9( )n-1≥20,设( )n-1=t,则上式化为 2 3 2 3 2

4t2-20t+9≥0.解得 t≥

9 3 2 9 1 3 9 ,或 t≤ (舍) 。∴( )n-1≥ ,∴n≥ log 2 +1=2+ log 3 ( ) =4.∴经过 5 年即可达到 2 2 2 2 2 2 3 2

预期利润目标。 22.家长为学生准备将来上大学的费用,从学生出生那年起,每年 8 月把一定金额存入银行,若学生 18 岁高中毕业考入大学,则需从入学的那年起,每年 8 月取出 a 元支付学费,为使四年学费不多不少,且年 利率 r 保持不变,问其父母每年应存入多少元钱? 解:设每年应存 x 元,直到开始取出前储存金额为 x(1+r)+x(1+r)2+…+x(1+r)18= 从开始取出直到取完需三年,假设把上述金额全部存入银行,则经三年本利应为

x (1+r)[(1+r)18-1]. r

x (1+r)[(1+r)18-1];① r x 如每次取出 a 元,把四次取出的钱全部在银行另立户头,有 a+a(1+r)+a(1+r)2+a(1+r)3= [(1+r)4-1], r
a[(1 ? 4) 4 ? 1] . (1 ? r ) 22 ? (1 ? r ) 4

②∵①=②,∴x=

23.某房地产公司售房有两套方案:一种是分期付款的方案,当年要求买房户首付 3 万元,然后从第二起 连续十年,每年付款 8000 元;另一种方案是一次付款,优惠价 9 万元.若一买房户有现金 9 万元可用于 购房,也可用于方面的投资,若储蓄率和其他投资均为 5%,该买房户应选择哪个方案?(1.0510=1.628) 解:采用分期付款银行获得本利和为
9

S11=3(1.05)10+0.8(1.059+1.058+…+1.05+1)=19×1.0510-16≈14.932(万元) ;

? ? 采用一次付款银行获得的本利之和为 S11 =9×1.0510≈14.562(万元) ,因为 S11> S11 ,所以对买房户来
说,当储蓄利率其他投资相同时应采用一次性付款方式. 24.某城市 1990 年人口为 500 万,人均住房面积为 6 米 2,如果该城市每年人口平均增长率为 0.01,每 年平均新增住房面积数为 30 万米 2,求 2000 年底该市人均住房的面积。 (精确到 0.01 米 2,1.015=1.05) 解:由题意知,1990 年该市住房面积数为 6×500=3 000(万米 2) 。设 1990 年,1991 年,…,2000 年各年住房面积数为 a1, a2,…, a11,则{an}是等差数列,其中 a1=3 000,公差 d=30,∴2000 年该市住房 面积数 a11=3 000+(11-1)×30=3 300(万米 2) 。 又设 1990 年, 1991 年, 2000 年该市的人口数为 b1, b2, …, b11, …, 则{bn}是等比数列, 其中 b1=500, 10 5 5 公比 q=1.01.所以 2000 年该市人口数为: 11=500×1.01 =500×1.01 ×1.01 ≈500×1.05×1.05=551.25 万) b ( 。 因此 2000 年底该市人均住房面积数为 3 300÷551.25≈5.99(米 2) 。 25.某林场有荒山 3 250 亩,每年春季在荒山上植树造林,第一年植树 100 亩,计算每年比上一年多植树 50 亩(假设全部成活) 。 (1)问需要几年,可将此山全部绿化; (2)已知新种树苗每亩的木材量是 2 立方米,树木每年自然增长率为 10%,设荒山全部绿化后的年底 的木材总量为 S。求 S 约为多少万立方米?(精确到 0.1) 解: (1)每年植树的亩数构成一个以 a1=100, d=50 的等差数列,其和即为荒山的总亩数。设需要 n 年可将此山全部绿化,则 Sn=a1n+

n(n ? 1) n (n-1)d=100n+ ×50=3 250.解此方程,得 n=10(年) 。 2 2

(2)第一年种植的树在第 10 年后的木材量为 2a1(1+0.1)10,第二年种植的树在第 10 年后的木材量为 2a2(1+0.1)9,…,第 10 年种植的树在年底的木材量为 2a10(1+0.1).则 10 年后的木材量依次构成数列{bn}, 则其和为 T=b1+b2+…+b10=200×1.110+300×1.19+…+1 100×1.1=9 976(立方米) 。约为 1.0 万立方米。 26.用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块……依次 类推,每一届都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完,问共用了多少块砖?

1 1 Sn+1.易得 a1=2, an-an-1= an, an=2an-1.∴ 即 2 2 2(1 ? 210 ) 每层砖块数构成首项为 2,公比为 2 的等比数列,则 S10= =2 046(块) 。 1? 2
解: 设从上层到底层砖块数分别为 a1, a2, …, an, an= 则 27.某养鱼汤,据统计测量,第一年鱼的产量增长率为 200%,以后每年的增长率为前一年的一半。 (1)饲养 5 年后,鱼产量预计是原来的多少倍? (2)如因死亡等原因,每年约损失预计产量的 10%,那么,经过几年后,鱼的总产量开始下降?

q q )=a(1+q)(1+ ), 2 2 q q q q q q q a3=a2(1+ 2 )=a(1+q)(1+ )(1+ 2 ),…,a5=a(1+q)(1+ )(1+ 2 )(1+ 3 )(1+ 4 ).将 q=2 代入 a5,得 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 405 a5=a(1+2)(1+1)(1+ )(1+ 2 )(1+ 3 )= a≈12.7a. 2 2 2 32 q 9 (2)由(1)可知 an=an-1(1+ n ?1 ),而鱼每年都损失预计产量的 10%,即实际产量只有原来的 。 2 10 q 9 ? a (1 ? n ?1 ) ? ? a n ?1 , ?a n ? a n ?1 , ? n ?1 q 9 ? 10 2 ∴an=an-1(1+ n ?1 )· .设第 n 年鱼的总产量开始减少,则 ? 即? a n ? a n ?1 , ? q 9 2 10 ? a n ? a n (1 ? n ) ? , ? 10 2 ?
解: (1)设鱼原来的产量为 a, q=200%=2, a1=a(1+q),a2=a1(1+

10

1 ? 1 ? 2 n?2 ? 9 , 1 2 1 ? ? n ? .∴18≤2n≤36. 解得 n=5.∴经过 5 年后,鱼的总产量开始减少。 ∴? ∴ 18 ? 1 ? 1 . 36 2 n ?1 ?2 9 ? 28. 某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量 6%,并且每年新 增汽车数量相同,为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆,那么每年新增汽车数量不应 超过多少辆? 解:设 2001 年汽车保有量为 b1 万辆,以后各年末汽车保有量依次为 b2 万辆,b3 万辆,…每年新增 汽车 x 万辆,则 b1=30, b2=b1×0.94+x. 对于 n>1,有 bn+1=bn×0.94+x=bn-1=×0.942+ (1+0.94)x,…,
∴bn+1=b1×0.94n+x(1+0.94+…+0.94n-1)=b1×0.94n+

1 ? 0.94 n x ? x ? x= + ? 30 ? ? ×0.94. 0.06 0.06 ? 0.06 ?

当 30-

x ≥0,即 x≤1.8 时,bn+1≤bn≤…≤b1=30. 0.06 x <0,即 x≤1.8 时, lim bn= lim n?? n?? 0.06
? x x ? x ? n ?1 ? ,并且数列{bn}逐项增 ? 0.06 ? ? 30 ? 0.06 ? ? 0.94 ? = ? ? ? ? 0.06

当 30-

加,可以任意靠近

x x .因此,如果要求汽车保有量不超过 60 万辆,即 bn≤30(n=1,2,3…).则 ≤60, 0.06 0.06

即 x≤3.6(万辆) . 综上,每年新增汽车不应超过 3.6 万辆. 29. 某企业 2003 年的纯利润为 500 万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降,若不进行 技术改造:预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元.今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行

1 ? ? 技术改造,预测在末扣除技术改造资金的情况下,第 n 年(今年为第一年)的利润为 500 ?1 ? n ? 万元(n 2 ? ?
为正数) . (1)设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元,进行技术改造后的累 计纯利润为 Bn 万元(需扣除技术改造资金) ,求 An、Bn 的表达式; (2)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改 造的累计纯利润? 解: (1)依题设,An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2;

?? 500 1? ? 1 ? 1 ?? ? Bn=500 ??1 ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ? ?1 ? n ?? -600=500n- n -100。 2? ? 2 2 ? 2 ?? ? ??
500 500 50 ? ? ? ? (2)Bn-An= ? 500n ? n ? 100 ? -(490n-10n2)=10n2+10n- n -100=10 ?n(n ? 1) ? n ? 10? .∵函数 2 2 2 ? ? ? ? 50 50 50 -10 在(0,+∞)上为增函数.∴当 1≤n≤3 时,n(n+1)- n -10≤12- -10<0;当 n≥4 时, n 2 2 8 50 50 n(n+1)- n -10≥20-10>0.∴仅当 n≥4 时,Bn>An.∴至少经过 4 年,该企业进持技术改造后的累计纯利 2 16 润超过不进行技术改造的累计纯利润.
y=x(x+1)-

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