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黑龙江大庆市2012-2013学年高二数学上学期期中考试


大庆铁人中学 2012-2013 学年度上学期高二期中考试 数学试题
考试时间:120 分钟 总分:150 分 2012.11

一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共计 60 分,在每题给出的四个选项中,只有 一个是正确的) 1、某单位共有老、中、青职工 430 人,其中青年职工 160 人,中年职工人数是老 年职工人数的 2 倍。为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在 抽取的样本中有青年职工 32 人,则该样本中的老年职工人数为( ) A.9 B.18 C.27 D.36 2、命题“ ?x0 ? R ,使 log 2 x0 ? 0 成立”的否定为 ( ) A. ?x0 ? R ,使 log 2 x0 ? 0 成立 B. ?x0 ? R ,使 log 2 x0 ? 0 成立

C. ?x ? R ,均有 log 2 x ? 0 成立 D. ?x ? R ,均有 log 2 x ? 0 成立 3、 m ? 1 ”是“直线( m +2)x+3 m y+1=0 与直线 “
2
开始

( m -2)x+( m +2)y-3=0 相互垂直”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

)

k ? 0, S ? 0
S ? 100 ? 是


B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要

S ? S ?2

S

输出 k 结束

4、某程序框图如图 1 所示,该程序运行后输出的 k 的值 是( ) A. 4 C. 6 B. 5 D. 7

k ? k ?1

图1

5、在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下: 9.4 、 8.4 、 9.4 、 9.9 、 9.6 、 9.4 、 9.7 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数 据的平均值和方差分别为 ( ) A . 9.4 , 0.484 B. 9.4 , 0.016 C. 9.5 , 0.04 D. 9.5 , 0.016 1 1 6、有下述说法:① a ? b ? 0 是 a2 ? b2 的充要条件;② a ? b ? 0 是 ? 的充要条件; a b ③ a ? b ? 0 是 a3 ? b3 的充要条件. 则其中正确的说法有( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

7、若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点,那么 k 的取值范 围是( )

用心

爱心

专心

-1-

A. ? 1, (

15 ) 3 15 ,1 ) 3

B. 1, (

15 ) 3 15 ,?1 ) 3

C. ? (

D. ? (

8、阅读程序框图 2,若输出的 S 的值等于 16,那么在程序 框图中的判断框内应填写的条件是( A.i ? 4 C.i ? 5


)

B.i ? 5 D.i ? 6


0 8 52 1 3 4 6 9、茎叶图 4 5 2 3 8 6 中,甲组数据的中位数是 19 6167 3 3 9 8 9 4 4 0 5 1

31 ? 36 C.36 ? 33.5 2 10、 计算机执行下面的程序段后,输出的结果是(

(

)

A.31

B.

D.37 )

a=1 b=3 a=a+b b=a-b PRINT a,b

A. 1,3

B. 4,1

C. 0,0

D. 6,0

11、用秦九韶算法计算多项式 f ( x) ? 3x 6 ? 5 x 5 ? 6 x 4 ? 79 x 3 ? 8 x 2 ? 35 x ? 12, x ? ?4 时, v 3 的值为( 12、从双曲线 ) A . ? 845 B. 220 C. ? 57 D. 34

x2 y 2 2 2 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左焦点 F 引圆 x ? y ? a 的切线,切点为 T , 2 a b

延长 FT 交双曲线右支于 P 点,若 M 为线段 FP 的中点, O 为坐标原点,则
MO ? MT 与 b ? a 的大小关系为(

)

A. MO ? MT ? b ? a C. MO ? MT ? b ? a
用心

B. MO ? MT ? b ? a D.不确定
爱心 专心 -2-

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上。 ) 13、2703 与 1113 的最大公约数是 14、 1010001011(2)= (化成 7 进制的)

15、已知 F 是抛物线 y 2 ? x 的焦点, A 、 B 是该抛物线上的两点, AF + BF =3, 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 16、有下列四个命题: ①命题“若 xy ? 1 ,则 x , y 互为倒数”的逆命题; ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题; ③命题“若 m ? 1 ,则 x 2 ? 2 x ? m ? 0 有实根”的逆否命题; ④命题“若 A ? B ? B ,则 A ? B ”的逆否命题. 其中是真命题的是 三、解答题 17(本题满分 10 分) 在抛物线 y 2 ? 4 x 上求一点 P,使得点 P 到直线 y ? x ? 3 的距离最短。 (填上你认为正确的命题的序号). .

18(本题满分 12 分) 我校决定从参加高二年级期中考试的全体学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成
50 60 100 绩(100 分制,均为整数)分成六段 ?40, ? , ?50, ? ,?, ?90, ? 后得到如下部

分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:
80 (1)求分数在 ?70, ? 内的频率,并补全这个频率分布直方图; 80 (2)用分层抽样的方法在分数段为 ?60, ? 的学生中抽取一个容量为 6 的样本,问

?60, ? 、 ?70, ? 分数段各应该取多少人; 70 80
(3)统计方法中,同一组数据常用该组区间中点值作为代表,据此估计本次考试 的平均分。

用心

爱心

专心

-3-

19(本题满分 12 分)
y2 已知双曲线 x ? ? 1 ,过 P(1,1) 能否作一条直线 l ,与双曲线交于 A, B 两点, 2
2

且点 P 是线段 AB 中点?若能,求出 l 的方程;若不能,请说明理由.

20(本题满分 12 分)
x2 y 2 2 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 离心率 e ? , 为坐标原点,A(a,0), B(0, b) , O 2 a b

点 O 到直线 AB 的距离为

6 3

(1)求椭圆 C 的方程 (2)过 M(0,2)作倾斜角为锐角的直线 l 交椭圆 C 于不同的两点 P,Q,若 2 MP = MQ ,求直线 l 的方程。 3

21(本题满分 12 分)
2 已 知 命 题 p : ?x0 ? ?? 1,1? , 满 足 x0 ? x0 ? a ? 1 ? 0 , 命 题 q : ?t ? ?0,1? , 方 程

x2 ?

y2 ? 1 都表示焦点在 y 轴上的椭圆.若命题 p ? q 为真命题, ?t ? a ??t ? a ? 2? ? 1
用心 爱心 专心 -4-

p ? q 为假命题,求实数 a 的取值范围

22(本题满分 12 分) 已 知 椭 圆 C1 :
x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 , x 轴被抛物线 2 2 a b

C2 : y? 2 ? 截得的线段长等于 C1 的长半轴长. x b

(1)求 C1 , C2 的方程; (2) C2 与 y 轴的交点为 M , 设 过坐标原点 O 的直线 l : y ? kx 与 C2 相交于 A, B 两点, 直线 MA, MB 分别与 C1 相交于 D, E .
???? ???? ? ①证明: MD ? ME 为定值;

②记 ?MDE 的面积为 S ,试把 S 表示成 k 的函数,并求 S 的最大值.

用心

爱心

专心

-5-

大庆铁人中学 2012-2013 学年度上学期高二期中考试
答案
2012.11

题号 得分
一、

选择题

填空题

17

18

解答题 19 20

21

22

总分

选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共计 60 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 A 5 D 6 A 7 D 8 B 9 C 10 B 11 C 12 B

二、 13

填空题: (本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分)

159
5 4



14

1620 ①②



15



16



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分)

解:该命题可转化为求一条平行于 y=x+3 的直线 y=x+b 与抛物线 y 2 ? 4 x 相切,求 出切点,此时点 P 到直线 y=x+3 的距离最短 (画图更直观)
?y ? x ? b 联立方程 ? 2 ? y ? 4x

得 x 2 ? (2b ? 4) x ? b 2 ? 0 令 Δ =0 ,即 (2b ? 4) 2 ? 4b 2 ? 0 ,?b=1 故,x=1 ,y=2 P 为(1,2)

18 (本题满分 12 分)

80 (1)分数在 ?70, ? 内的频率为:1-(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005) ? 10=0.3

用心

爱心

专心

-6-

(2)由题意得, ?60, ? 分数段的人数为:0.15 ? 60=9 人 70

?70, ? 分数段的人数为:0.3 ? 60=18 人 80
那么在 ?60, ? 、 ?70, ? 分数段各应该取 2 人、4 人。 70 80 (3)平均分为: x =45 ? 0.1+55 ? 0.15+65 ? 0.15+75 ? 0.3+85 ? 0.25+95 ? 0.05=71 19 (本题满分 12 分) 解:设 l 与双曲线交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? 2 ? x1 ? ? 则? ?x 2 ? ? 2 ?

y12 ?1 ( y ? y2 )( y1 ? y2 ) 2 ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 1 ?0 2 2 y2 ?1 2
( y1 ? y2 ) y1 ? y2 ? ?0 2 x1 ? x2

? 4?

即 ( x1 ? x2 ) ?

? 6?

又 P(1,1) ,? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 2 ? k AB ? 2 ,?l 方程为: y ? 2 x ? 1 ? 8?

? y ? 2x ?1 ? 2 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0, ? ? 16 ? 4 ? 2 ? 3 ? 0 , ?10? ? 2 2x ? y2 ? 2 ?
故直线 l 与双曲线没有交点,即直线 l 不存在 20(本题满分 12 分) 解:1.依题意可知直线 AB 的方程为

x y ? ? 1 即 bx ? ay ? ab ? 0 a b

?点 O 到直线 AB 的距离为

ab 6 6 1 ? ,则 ○ 3 3 a2 ? b2

由离心率 e ?

c 2 2 2 ,则 ? ○ 2 a 2

用心

爱心

专心

-7-

1 2 联立○○得: a 2 ? 2 , b 2 ? 1 ?所求椭圆方程为:

x2 ? y2 ? 1 2

2.设点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ) 过 M 的直线为 y ? kx ? 2

? y ? kx ? 2 ? 2 2 由题意联立方程 ? x 2 消去 y 得: (1 ? 2k ) x ? 8kx ? 6 ? 0 2 ? 2 ? y ?1 ?

? x1 ? x2 ? ?

8k 6 3 4 ○, x1 ? x2 ? ○ 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 2 2 因为 MP = MQ ,所以 ( x1 , y1 ? 2) ? ( x2 , y 2 ? 2) 3 3 5 8k ? x1 ? ? ? 3 1 ? 2k 2 3 4 即 x 2 ? x1 带入○○中,可得 ? 2 3 6 2 ? x12 ? 1 ? 2k 2 ?2

4 16 2 k 2 5 14 ? ? 解得 k ? 2 2 2 14 1 ? 2k 25(1 ? 2k )

?所求直线方程为 y ?

5 14 x?2 14

即 5 14 x ? 14 y ? 28 ? 0 21 (本题满分 12 分) 解:因为 ?x0 ? [?1,1] ,满足 x0 ? x0 ? a ? 1 ? 0 ,所以只须 ( x0 ? x0 ? a ? 1) max ? 0
2 2

即 3 ? a ? 0 ,所以命题 p : a ? 3 因为 ?t ? (0,1) ,方程 x ?
2

y2 ? 1 都表示焦点在 y 轴上的椭圆,所以 ?t ? a ??t ? a ? 2? ? 1

?t ? a ??t ? a ? 2? ? 1 ? 1 即 ?t ? a ??t ? a ? 2? ? 0 对 ?t ? (0,1) 恒成立,
只须 a ? 2 ? 0 或 a ? 1成立即可,得到 a ? ?2 或 a ? 1 若 p 真 q 假,得 ?

?

a?3

?? 2 ? a ? 1 ? a?3

,即 ? 2 ? a ? 1

若 p 假 q 真,得 ?

?a ? ?2或a ? 1

,即 a ? 3

综上所述, a ? (?2,1) ? ?3,?? ?

用心

爱心

专心

-8-

22 (本题满分 12 分) 解: (1)由已知

c 3 2 2 2 ? , a ? b ? c ,? a ? 2b a 2
2



? 2?

在 y ? x ? b 中,令 y ? 0 ,得 x ? ? b ,? 2 b ? a ② 由①②得, a ? 2, b ? 1 ? C1 :

x2 ? y 2 ? 1, C2 : y ? x 2 ? 1 4

? 4?

(2)由 ?

? y ? kx 2 得 x ? kx ? 1 ? 0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , x1 ? x ? k , x 2 ? ?1 ? 6? 则 2 1 x y ? x2 ?1 ?

? x1 x2 ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1)
而 M (0, ?1),? MA ? MB ? ( x1 , y1 ? 1) ? ( x1 , y2 ? 1)

???? ????

? x1 x2 ? y1 y2 ? y1 ? y2 ? 1 ? x1 x2 ? k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ?1 ? k 2 ? k 2 ? 1 ? 0

???? ???? ? ? MA ? MB ? MD ? ME,? MD ? ME ? 0 ?8?
(3)设 A( x1 , kx1 ), B( x2 , kx2 ), ? A 在 y ? x ? 1 上,? kx1 ? x1 ? 1
2

2

即 kx1 ? 1 ? x1 , ? k AM ?
2

kx1 ? 1 ? x1 , ? 直 线 AM 方 程 为 : y ? x1 x ? 1, 代 入 x1

8 x1 4 x12 ? 1 8 x2 4 x2 2 ? 1 x2 1 2 2 , ) ? y ? 1,得 ( ? x1 ) x ? 2 x1 x ? 0 ,? D( 2 , 2 ) ,同理 E ( 2 4 x1 ? 1 4 x1 ? 1 4 x2 ? 1 4 x2 2 ? 1 4 4

?10?
? S ?MDE
2 2 1 1 8 x1 1 ? x1 8 x2 1 ? x2 ? S ? MD ? ME ? ? ? 2 2 4 x12 ? 1 4 x2 2 ? 1

32 k 2 ? 4 , (k ? R) 由(2)知, x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?1 ,? S ? 4k 2 ? 25
令 k ? 4 ? t , t ? 2 ,? S ?
2

32t 32 ? , (t ? 2) 2 4t ? 9 4t ? 9 t

9 25 , , 在 t ?[2, ??) 时, u 为增函数,? umin ? t 2 64 当 t ? 2 ,即 k ? 0 时, Smax ? 25
又 u ? 4t ?

?12?

用心

爱心

专心

-9-

用心

爱心

专心

- 10 -


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