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两角和(差)正弦、余弦公式教学的再思考


学园 I   X U E Y U A N   2 0 1 3年 第 2 3期  两 角和 ( 差 )正 弦 、余弦公式教学 的再思考  邵文 月   江苏省 海 门中等 专业学校  【 摘 要】 本文试利用复数 的指数形 ,即欧拉公式,将两角和 ( 差 )的正弦、余弦公式有一个系统的证明方法,使学生  能 明确 而 有效地 掌握 两角和 ( 差 )的 正弦 、余 弦公 式 , 同时为广 大 数学教 育 工作 者提供 一个 新 型 的教 学方法 。   【 关键词 】两角和 ( 差) 公式   欧拉公式  证 明   【 中图分类号 】 G 7 1 2   一 【 文献标识码 】 A   【 文章编号 】 1 6 7 4 —4 8 1 0( 2 0 1 3) 2 3 -0 1 8 1 -0 1   证 明 :左边 =P   [ 8  a 邯) -e i ( a + p ) ]   右 边 =  2   名数学教师 的成功之处莫过 于将一个知识点通过简  捷 、有效 、正确的方法传授给学生 ,使学生能很好地掌握 ,   并 加 以熟 练应 用 。而两 角和 ( 差 )的正 弦 、余 弦公式 的教学  研 究早 在 1 7 0 0年前 的毕 氏就创 立 了几 何模 型 。现 代有 人利  e   i a _e i a )   2   +  )+ 一 1   e - i . 2   ) 吉 2   用 圆幂定理或 向量积进行研究都取得了很好的效果 。 本文向   大家介绍利用 复数 的指数形 式 ,即欧拉公式来证明两角和  ( 差 )的正弦 、余弦公式 ,供大家参考 。   一 ( e - i P  e i P )   = =  [ e 一   ‘ “   +e   ‘ 一   ) — —  ‘   一   ) — — e   (   ] +   [ e   一  (  邯 ) 一   ( 一   邯  + (   一   ) 一 (   邮) ]   :   复数 的 指数 形式— — 欧 拉公 式  4   =   『 2 g 一   (   ) -2 P   (   邯) ]   『 e - i (   ) 一P   (   ) ]   2   对于虚数的研究由来已久。早在 1 5 4 5年意大利数学家  卡当首先研究 , 给出 “ 虚数 ”这一名称 的是法国数学家笛卡  尔, 而德 国数学家高斯则第一次引入复数的概念 , 将一个复  ? 数用 口 +6 f的代数形式表示 ,后来又有人将复数表示为  ( c o s O +i s i n O )的三角形式。瑞士数学家欧拉创造性地给出   了c o s O +i s i n O =e 徊 的指数 形 式 , 即欧拉 公式 。 利用 欧 拉公 式  表示 复 数则 有 y( c o s O +i s i n O )=T e   。   二 三角 函数 用 欧拉公 式 表示  . . 等式成立。   对于两角差的正弦公式证明可用同样的方法 , 具体证明  过程 略 。   2 . 两 角和余 弦公 式 的证 明  例 :C O S( 6 c +  ) ̄C O S a   C O  - -s i n a   s i n l f   证明:左边=   1[ P 一   (   右边 =   1( e - i a +e i a )1 2   例 1 ,s i n 0 =三 ( e - i O -e  o   2   +8   ( a + 1 f ) ]  

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