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高三函数压轴题


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函数解答题解析
掌握函数解答题的各类典型题型解题思路与转化技巧; 掌握含参讨论的各类方法; 二次函数含参、含绝对值的各类题型解题方法; 分类讨论思想及书写规范;

课 堂 教 学 过 程

20. (15 分) (2015?浙江模拟)已知函数 f(x)=x +4|x﹣a|(x∈R) . (Ⅰ)存在实数 x1、x2∈[﹣1,1],使得 f(x1)=f(x2)成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)对任意的 x1、x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤k 成立,求实数 k 的最小值. 【考点】 : 绝对值不等式的解法. 【专题】 : 不等式的解法及应用. 【分析】 : (Ⅰ)化简函数的解析式,由题意可得函数 f(x)在[﹣1,1]上不单调,利用二次函数的性 质求得 a 的范围. (Ⅱ)分类讨论求得函数 f(x)在[﹣1,1]上的最大值 M(a) 和最小值为 m(a) ,求得 M(a)﹣m (a) ,结合题意可得 k≥M(a)﹣m(a) ,从而得到 k 的范围. 【解析】 : 解: (Ⅰ)函数 f(x)=x +4|x﹣a|=
2

2

,由题意可得函数 f(x)在[﹣1,

1]上不单调, 当 a≥1 时,函数 f(x)在[﹣1,1]上单调递减,不满足条件. 当 a≤时,函数 f(x)在[﹣1,1]上单调递增,不满足条件. ∴﹣1<a<1,此时,函数 f(x)在[﹣1,a]上单调递减,在(a,1]上单调递增, (Ⅱ)∵对任意的 x1、x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤k 成立, 设函数 f(x)在[﹣1,1]上的最大值为 M(a) ,最小值为 m(a) , 当 a≥1 时,函数 f(x)在[﹣1,1]上单调递减,M(a)=f(﹣1)=4a+5,m(a)=f(1)=4a﹣3. 当 a≤时,函数 f(x)在[﹣1,1]上单调递增,M(a)=f(1)=5﹣4a,m(a)=f(﹣1)=﹣4a﹣3. ∴﹣1<a<1,函数 f(x)在[﹣1,a]上单调递减,在(a,1]上单调递增,m(a)=f(a)=a ,M(a) =max{f(1) ,f(﹣1)}={5﹣4a,5+4a}. 即当 0<a<1 时,M(a)=5+4a,当﹣1<a<0 时,M(a)=5﹣4a.
2

综上可得,M(a)﹣m(a)=

,由对任意的 x1、x2∈[﹣1,1],|f(x1)﹣

f(x2)|≤k 恒成立, 可得 k≥M(a)﹣m(a) , 故当 a≥1 或 a≤﹣1 时,k≥8; 2 2 2 当 0≤a<1 时,k≥﹣a +4a+5=9﹣(a﹣2) ,由 9﹣(a﹣2) ∈[5,8) ,可得 k≥8; 2 2 2 当﹣1<a≤0 时,k≥﹣a ﹣4a+5=9﹣(a+2) ,由 9﹣(a+2) ∈[5,8) ,可得 k≥8. 综合可得,k≥8. 【点评】 : 本题主要考查绝对值不等式的解法,二次函数的性质,函数的恒成立问题,分段函数的性 质应用,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于难题.

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x2 ?1, g ( x) ? a x ?1 ( 1)若关于 x 的方程 f ( x) ? g ( x) 只有一个实数解,求实数 a 的取值范围; (2)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,当 x ? [?2, 2] 时,不等式 h( x) ? a 2 恒成立,求实数 a 的取值范围

22、 (14 分)
2 (1) x ? 1 ? a x ? 1

即 x ?1 ? 0或 x ? 1 ? a ????2 分

? 当 a ? 0 时,只有一实数解???4 分 ? x 2 ? ax ? a ? 1,1 ? x ? 2 ? (2) h( x) ? x 2 ? 1 ? a x ? 1 ? ?? x 2 ? ax ? a ? 1, ?1 ? x ? 1 ???6 分 ? x 2 ? ax ? a ? 1, ?2 ? x ? ?1 ? a ①当 ? ? 2 即 a ? ?4 时, h(?1)max ? 0 2 3 a ② ? ? ? 2, 即 ? 4 ? a ? ?3 时, h(1)max ? 0 2 2
③当 1 ? ?

h(2) ? a ? 3, h(?2) ? 3a ? 3 a 3 ? 即 ? 3 ? a ? ?2 时 ? h(2) max ? a ? 3 2 2

22. (本题满分 14 分) 给定函数 f ( x ) 和常数 a , b , 若 f (2 x) ? af ( x) ? b 恒成立, 则称 ( a, b) 为函数 f ( x ) 的一个“好数对” ;若 f (2 x) ? af ( x) ? b 恒成立,则称 ( a, b) 为函数 f ( x ) 的一个“类好数对” .已知函 数 f ( x ) 的定义域为 [1, ??) . (Ⅰ)若 (1,1) 是函数 f ( x ) 的一个“好数对” ,且 f (1) ? 3 ,求 f (16) ; (Ⅱ)若 (2, 0) 是函数 f ( x ) 的一个“好数对” ,且当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? 2 x ? x 2 ,求证: 函数 y ? f ( x) ? x 在区间 (1, ??) 上无零点; (Ⅲ) 若 (2, ?2) 是函数 f ( x ) 的一个 “类好数对” ,f (1) ? 3 , 且函数 f ( x ) 单调递增, 比较 f ( x ) 与 的大小,并说明理由. (22)解: (Ⅰ)由题意, f (2 x) ? f ( x) ? 1 ,且 f (1) ? 3 ,则 f (2n ) ? f (2n?1 ) ? 1
n 则数列 f (2 ) 成等差数列,公差为 d ? 1 ,首项 f (1) ? 3 ,于是 f (16) ? 7 ????4 分

x ?2 2

?

?

(Ⅱ)当 2 ? x ? 2
n

n ?1

时, 1 ?

x ? 2 ,则由题意得 2n

x x f ( x) ? 2 f ( ) ? 22 f ( 2 )= 2 2

=2n f (

x 2x x ) ? 2n n ? ( n ) 2 ? 2n?1 x ? x 2 n 2 2 2
n

由 f ( x) ? x ? 0 得, 2n?1 x ? x2 ? x ,解得 x ? 0 或 x ? 2 即当 2 ? x ? 2
n n ?1

均不符合条件

时,函数 y ? f ( x) ? x 在区间 (1, ??) 上无零点;

注意到 (1, ??) ? (1, 2]

(2, 22 ]

(2n , 2n?1 ]

故函数 y ? f ( x) ? x 在区间 (1, ??) 上无零点; ????9 分 (Ⅲ)由题意 f (2 x) ? 2 f ( x) ? 2 ,则 f (2n ) ? 2 f (2n?1 ) ? 2 ,即 f (2n ) ? 2 ? 2[ f (2n?1 ) ? 2] 于是 f (2 ) ? 2 ? 2[ f (2
n n?1

) ? 2] ? 22[ f (2n?2 ) ? 2] ?

? 2n[ f (20 ) ? 2] ? 2n

即 f (2 ) ? 2 ? 2
n n

而对任意 x ? 1 ,必存在 n ? N ,使得 2
n ?1 n

?

n ?1

? x ? 2n ,由 f ( x) 单调递增,得

f (2 ) ? f ( x) ? f (2 ) ,则 f ( x) ? f (2n ?1 ) ? 2n ?1 ? 2 ?

2n x ?2? ?2 2 2

故 f ( x) ?

x ? 2 ????14 分 2

21. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? a x ?1 , a 为常数. (1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 在 [0, 2] 上的最小值和最大值; (2)若函数 f ( x ) 在 [0, ??) 上单调递增,求实数 a 的取值范围. 【知识点】函数的单调性与最值 B3 【答案解析】 (1)当 x ? [1, 2] 时, [ f ( x)]max ? 6,[ f ( x)]min ? 1 x ? [0,1] 最大值为 6 ,最小值为 1。 (2)

[?2, 0]
2 2 ? ? ? x ? 2 x ? 2, x ? 1, ?( x ? 1) ? 3, x ? 1, ?? (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ? ? 2 2 ? ? ? x ? 2 x ? 2, x ? 1, ?( x ? 1) ? 1, x ? 1, 2

所以当 x ? [1, 2]

时, [ f ( x)]max ? 6,[ f ( x)]min ? 1 当 x ? [0,1] 时, [ f ( x)]max ? 2,[ f ( x)]min ? 1 所以 f ( x ) 在 [0, 2] 上的最大值为 6 ,最小值为 1。 (2)因为 f ( x) ? ?

? x 2 ? ax ? a, x ? 1, ? 2 ? ? x ? ax ? a, x ? 1,

? a 2 a2 ( x ? ) ? ? a, x ? 1, ? ? 2 4 而 f ( x ) 在 [0, ??) 上单调递增 ?? 2 ?( x ? a ) 2 ? a ? a, x ? 1, ? ? 2 4
a ? 1 即 a ? ?2 2 a 当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) 亦必单调递增,得 ? 0 即 a ? 0 2
所以当 x ? 1 时, f ( x ) 必单调递增,得 ? 且 1 ? a ? a ? 1 ? a ? a 恒成立
1 1

故所求实数 a 的取值范围为 [?2, 0] 。

20. (本题满分 14 分)已知函数 f(x)=

1 ? kx ? b ,其中 k,b 为实数且 k≠0. | x?2|

(I)当 k>0 时,根据定义证明 f(x)在(-∞,-2)单调递增;

(II)求集合 Mk={b|函数 f(x)有三个不同的零点}.

20. (本题 14 分) (I)证明:当 x ? (??, ?2) 时, f ( x ) ? ?

1 +kx ? b .……1 分 x?2

任取 x1 , x2 ? (??, ?2) ,设 x2 ? x1 .……………………………………………2 分

? ? ? ? 1 1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? ? x ? 2 ? kx 1 ? b ? ??? ? ? x ? 2 ? kx 2 ? b ? ? ? 1 ? ? 2 ?

? ? 1 ? ( x1 ? x2 ) ? ? k ? . ……………………………………………4 分 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 1 由所设得 x1 ? x2 ? 0 , ? 0 ,又 k ? 0 , ( x1 ? 2)(x 2 ? 2) ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .……………………………………5 分 ∴ f ( x) 在 (??,?2) 单调递增.……………………………………………………6 分 1 (II)解法一:函数 f ( x) 有三个不同零点,即方程 +kx+b ? 0 有三个不同的实根. x?2
方程化为: ?
2

? x ? ?2 ? x ? ?2 与? 2 .…7 分 2 ?kx ? (b ? 2k ) x ? (2b ? 1) ? 0 ?kx ? (b ? 2k ) x ? (2b ? 1) ? 0
2

记 u( x) ? kx ? (b ? 2k ) x ? (2b ? 1) , v( x) ? kx ? (b ? 2k ) x ? (2b ?1) . ⑴ 当 k ? 0 时, u( x), v( x) 开口均向上. 由 v(?2) ? ?1 ? 0 知 v( x) 在 (??,?2) 有唯一零点.…………………………………8 分 为满足 f ( x) 有三个零点, u ( x) 在 (?2,??) 应有两个不同零点.

? ? u (?2) ? 0 ? 2 ∴?(b ? 2k ) ? 4k (2b ? 1) ? 0 ? b ? 2k ? 2 k .…………………………………10 分 ? b ? 2k ? ? ?2 ? 2k ? ⑵ 当 k ? 0 时, u( x), v( x) 开口均向下. 由 u(?2) ? 1 ? 0 知 u ( x) 在 (?2,??) 有唯一零点.为满足 f ( x) 有三个零点, v( x) 在 (??,?2) 应有两个不同零点.………………………………………………11 分 ? ? v(?2) ? 0 ? 2 ∴?(b ? 2k ) ? 4k (2b ? 1) ? 0 ? b ? 2k ? 2 ? k .……………………………13 分 ? b ? 2k ? ? ?2 ? 2k ?
综合⑴ ⑵ 可得 M k ? b | b ? 2k ? 2 | k | .……………………………………14 分

?

?

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ( x ? 1) | x ? a | . (1)若 a ? ?1 ,解方程 f ( x) ? 1 ; (2)若函数 f ( x) 在 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (3)若 a ? 1 且不等式 f ( x) ? 2 x ? 3 对一切实数 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围 20. (本题满分 16 分) 解: (1)当 a ? ?1 时,有 f ( x) ? ?

?2 x 2 ? 1 , x ? ?1 , x ? ?1 ? 1

???2 分

当 x ? ?1 时, 2 x 2 ? 1 ? 1 ,解得: x ? 1 或 x ? ?1 当 x ? ?1 时, f ( x) ? 1 恒成立 ∴方程的解集为: {x | x ? ?1 或 x ? 1} (2) f ( x) ? ? ???4 分 ???5 分

?2 x 2 ? (a ? 1) x ? a , x ? a ,x ? a ? (a ? 1) x ? a
a ?1 ? ? ?a ? ?a ?1 ? 0
,解得: a ?

???7 分

若 f ( x) 在 R 上单调递增,则有 ? 4

1 3

???10 分

?2 x 2 ? (a ? 3) x ? a ? 3 , x ? a (3)设 g ( x) ? f ( x) ? (2 x ? 3) ,则 g ( x) ? ? x?a ? (a ? 1) x ? a ? 3
即不等式 g ( x) ? 0 对一切实数 x ? R 恒成立 ∵a ?1 ∴当 x ? a 时, g ( x) 单调递减,其值域为: (a ? 2a ? 3 , ? ?)
2

???11 分

∵ a ? 2a ? 3 ? (a ? 1) ? 2 ? 2 ,∴ g ( x) ? 0 恒成立
2 2

???13 分

当 x ? a 时,∵ a ? 1 ,∴ a ? ∴ g ( x) min ? g (

a?3 , 4

a?3 (a ? 3) 2 ) ? a ?3? ? 0 ,得 ? 3 ? a ? 5 4 8
???15 分 ???16 分

∵ a ? 1 ,∴ ? 3 ? a ? 1 综上: ? 3 ? a ? 1

22、已知函数 f ( x) ? x2 ? 1, g ( x) ? a | x ? 1| . (Ⅰ)若当 x ? R 时,不等式 f ( x) ≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求函数 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值. 22、解: (1)不等式 f ( x) ≥ g ( x) 对 x ? R 恒成立,即 ( x2 ? 1) ≥ a | x ? 1| (*)对 x ? R 恒成立, ①当 x ? 1 时, (*)显然成立,此时 a ? R ; ②当 x ? 1 时, (*)可变形为 a ?

x2 ? 1 x 2 ? 1 ? x ? 1, ( x ? 1), ,令 ? ( x) ? ?? | x ? 1| | x ? 1| ??( x ? 1), ( x ? 1).

因为当 x ? 1 时, ? ( x) ? 2 ,当 x ? 1 时, ? ( x) ? ?2 ,所以 ? ( x) ? ?2 ,故此时 a ≤ ?2 . 综合①②,得所求实数 a 的取值范围是 a ≤ ?2 .

? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ≥1), ? (2)因为 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) ?| x2 ? 1| ?a | x ? 1| = ?? x 2 ? ax ? a ? 1, (?1≤ x ? 1), ?10 分 ? x2 ? ax ? a ? 1, ( x ? ?1). ?
①当

a ? 1, 即a ? 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增, 2 a 2

且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 ,经比较,此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 . ②当 0 ≤ ≤1, 即0 ≤ a ≤ 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2, ?1] , [? ,1] 上递减,

a 2 a a2 a ? a ?1, 在 [?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , h( ? ) ? 2 4 2
经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 .

③当 ?1≤ ? 0,即- 2 ≤ a ? 0 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2, ?1] , [? ,1] 上递减,

a a 2 2 a a2 a ? a ?1, 在 [?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , h( ? ) ? 2 4 2
经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 .

④当 ? ≤

3 a a a ? ?1, 即- 3 ≤ a ? ?2 时,结合图形可知 h( x) 在 [?2, ] , [1, ? ] 上递减, 2 2 2 2 a a 在 [ ,1] , [? ,2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3 ? 0 , h(2) ? a ? 3≥ 0 , 2 2
经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 . 当

a 3 ? ? , 即a ? ?3 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增, 2 2

故此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 h(1) ? 0 .

综上所述,当 a ≥ 0 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 ; 当 ?3 ≤ a ? 0 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 ; 当 a ? ?3 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 0.

20.(本题 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? ( x ? 1) | x ? a |
2

(Ⅰ)若 a ? ?1 ,解方程 f ( x) ? 1 ; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若 a ? 1 ,且不等式 f ( x) ? 2 x ? 3 对一切实数 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值集合。 20.(本题 14 分)本题主要考查二次函数、二次方程及函数的单调性、恒成立问题知识点,同时考查 运算求解能力。 解: (Ⅰ)当 a ? ?1 时, , 故有

?2 x2 ? 1, x ? ?1 , …………… 2 分 f ( x) ? ? x ? ?1 ? 1, 当 x ? ?1 时,由 f ( x) ? 1 ,有 2 x 2 ? 1 ? 1 ,解得 x ? 1 或 x ? ?1 …………… 3 分 当 x ? ?1 时, f ( x) ? 1 恒成立 ……………4 分 ∴ 方程的解集为 {x | x ? ?1或x ? 1} ……………5 分 2 f ( x) ? x ? ( x ?1) | x ? 1|
? 2 x2 ? (a ? 1) x ? a, x ? a (Ⅱ) f ( x) ? ? , x?a ?(a ? 1) x ? a, 若 f ( x ) 在 R 上单调递增,则有 ? a ?1 ?a 1 ? , 解得, a ? ? 4 3 ? ? a ?1 ? 0 1 ∴ 当 a ? 时, f ( x ) 在 R 上单调递增 3 (Ⅲ)设 g ( x) ? f ( x) ? (2 x ? 3)
则 g ( x) ? ? …………… 7 分

…………… 9 分

…………… 10 分

?2 x2 ? (a ? 3) x ? a ? 3, x ? a

x?a ? (a ? 1) x ? a ? 3, 不等式 f ( x) ? 2 x ? 3 对一切实数 x ? R 恒成立,等价于不等式 g ( x) ? 0 对一切实数 x ? R 恒成立. a ? 1 ,? 当 x ? (??, a) 时, g ( x) 单调递减,其值域为 (a2 ? 2a ? 3, ??) , 2 2 由于 a ? 2a ? 3 ? (a ?1) ? 2 ? 2 ,所以 g ( x) ? 0 成立. ……………12 分 a?3 a?3 当 x ? [a, ??) 时,由 a ? 1 ,知 a ? , g ( x) 在 x ? 处取最小值, 4 4

……………11 分

课堂练习

课后作业 本节课教学计划完成情况: 照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ _____________________________ ________________________________ ________________________________

课 后 评 价

学生的接受程度: 完全能接受□ 部分能接受□ 不能接受□ 学生的课堂表现:很积极□ 比较积极□ 一般□ 不积极□

学生上次作业完成情况:数量____% 完成质量____分

存在问题 ______________________________

评 价

教务主任 审批

学管审批


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