1.3 三角函数的诱导公式
第一课时
复习回顾 1.任意角α 的正弦、余弦、正切是怎样 定义的?
sin ? ? y
cos ? ? x
α 的终边
y
P(x,y)
O
y tan ? ? ( x ? 0) x
x
2. 2kπ +α (k∈Z)与α 的三角函数 之间的关系是什么?
公式一: sin(? ? 2k? ) ? sin ?
cos(? ? 2k? ) ? cos ?
( k ? Z) tan(? ? 2k? ) ? tan ?
3.你能求sin750°和sin930°的值吗?
4.利用公式一,可将任意角的三角函数 值,转化为00~3600范围内的三角函数 值.其中锐角的三角函数可以查表计算, 而对于900~3600范围内的三角函数值, 如何转化为锐角的三角函数值,是我们 需要研究和解决的问题.
知识探究(一):π+α的诱导公式
思考1:对于任意给定的一个角α ,角 π +α 的终边与角α 的终边有什么关系?
y α 的终边
o
x
π+α 的终边
思考2:设角α 的终边与单位圆交于点P (x,y),则角π +α 的终边与单位圆 的交点坐标如何?
y α 的终边 P(x,y) o
x Q(-x,-y) π+α 的终边
思考3:根据三角函数定义, sin(π+α) 、cos(π +α )、 tan(π +α )的值分别是什么?
y α 的终边
sin(π +α )=-y cos(π +α )=-x
y tan(π +α )= x x
Q(-x,-y) π+α 的终边
P(x,y)
o
思考4:对比sinα ,cosα ,tanα 的值, π +α 的三角函数与α 的三角函数有什 么关系?
sin( ? ? ? ) ? ? sin ?
公式二: cos(? ? ? ) ? ? cos ?
tan( ? ? ? ) ? tan ?
思考5:该公式有什么特点,如何记忆?
知识探究(二):-α ,π -α 的诱导公式:
思考1:对于任意给定的一个角α ,-α 的终边与α 的终边有什么关系?
y α 的终边
o
x
-α 的终边
思考2:设角α 的终边与单位圆交于点 P(x,y),则-α 的终边与单位圆的交 点坐标如何?
y α 的终边
P(x,y)
o
Q(x,-y)
-α 的终边
x
思考3:根据三角函数定义,-α 的三角 函数与α 的三角函数有什么关系?
α 的终边 y
P(x,y)
o
P(x,-y)
-α 的终边
x
sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?
公式三:
思考4:利用π -α =π +(-α ),结 合公式二、三,你能得到什么结论?
sin( ? ? ? ) ? sin ?
公式四: cos(? ? ? ) ? ? cos ?
tan( ? ? ? ) ? ? tan ?
思考5:如何根据三角函数定义推导公式 四?
α 的终边 y
π -α 的终边 P(-x,y)
x
P(x,y)
o
-α 的终边
思考6:公式三、四有什么特点,如何记 忆?
sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ? sin( ? ? ? ) ? sin ?
公式三:
公式四: cos(? ? ? ) ? ? cos ?
tan( ? ? ? ) ? ? tan ?
思考7:公式一~四都叫做诱导公式,他 们分别反映了2kπ +α (k∈Z),π + α ,-α ,π-α的三角函数与α的三角 函数之间的关系,你能概括一下这四组 公式的共同特点和规律吗? 2kπ +α (k∈Z),π +α ,π -α , -α 的三角函数值,等于α 的同名函数 值,前面加上一个把α 看成锐角时原函 数值的符号. 函数名不变,符号看象限!
理论迁移
例1 求下列各三角函数的值:
(1)cos225
?
11? (2)sin 3
(4)cos(-2040? )
16? (3)sin() 3
例2 已知cos(π +x)= 1 3 各式的值:
,求下列
(1)cos(2π-x);(2)cos(π-x).
例3 化简:
cos(180 ? ? ) ? sin(? ? 360 ) (1) sin(-? -180? ) ? cos(-180? -? ) ; ? ? cos190 ? sin (?210 ) (2 ) ? ? . cos(-350 ) ? tan585
? ?
小结作业 1.诱导公式都是恒等式,即在等式有意 义时恒成立. 2.以诱导公式一~四为基础,还可以 产生一些派生公式, 如sin(2π -α )=-sinα , sin(3π -α )=sinα 等.
3.利用诱导公式一~四,可以求任意 角的三角函数,其基本思路是:
任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数
锐角的三角 函数
0~2π 的角 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
作业: P27练习:1,2,3,4.