1.3 三角函数的诱导公式
第一课时
复习回顾 1.任意角α 的正弦、余弦、正切是怎样 定义的？
sin ? ? y
cos ? ? x
α 的终边
y
P(x，y)
O
y tan ? ? ( x ? 0) x
x
2. 2kπ ＋α （k∈Z）与α 的三角函数 之间的关系是什么？
公式一： sin(? ? 2k? ) ? sin ?
cos(? ? 2k? ) ? cos ?
（ k ? Z) tan(? ? 2k? ) ? tan ?
3.你能求sin750°和sin930°的值吗？
4.利用公式一，可将任意角的三角函数 值，转化为00～3600范围内的三角函数 值.其中锐角的三角函数可以查表计算， 而对于900～3600范围内的三角函数值， 如何转化为锐角的三角函数值，是我们 需要研究和解决的问题.
知识探究（一）：π＋α的诱导公式
思考1：对于任意给定的一个角α ，角 π ＋α 的终边与角α 的终边有什么关系？
y α 的终边
o
x
π+α 的终边
思考2：设角α 的终边与单位圆交于点P （x，y），则角π ＋α 的终边与单位圆 的交点坐标如何？
y α 的终边 P(x，y) o
x Q(-x，-y) π+α 的终边
思考3：根据三角函数定义， sin（π＋α） 、cos（π ＋α ）、 tan（π ＋α ）的值分别是什么？
y α 的终边
sin(π ＋α )=-y cos(π ＋α )=-x
y tan(π ＋α )= x x
Q(-x，-y) π+α 的终边
P(x，y)
o
思考4：对比sinα ，cosα ，tanα 的值， π ＋α 的三角函数与α 的三角函数有什 么关系？
sin( ? ? ? ) ? ? sin ?
公式二： cos(? ? ? ) ? ? cos ?
tan( ? ? ? ) ? tan ?
思考5：该公式有什么特点，如何记忆？
知识探究（二）：-α ，π -α 的诱导公式：
思考1：对于任意给定的一个角α ，－α 的终边与α 的终边有什么关系？
y α 的终边
o
x
-α 的终边
思考2：设角α 的终边与单位圆交于点 P（x，y），则－α 的终边与单位圆的交 点坐标如何？
y α 的终边
P(x,y)
o
Q(x,-y)
-α 的终边
x
思考3：根据三角函数定义，－α 的三角 函数与α 的三角函数有什么关系？
α 的终边 y
P(x,y)
o
P(x,-y)
-α 的终边
x
sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?
公式三：
思考4：利用π －α ＝π ＋(－α )，结 合公式二、三，你能得到什么结论？
sin( ? ? ? ) ? sin ?
公式四： cos(? ? ? ) ? ? cos ?
tan( ? ? ? ) ? ? tan ?
思考5：如何根据三角函数定义推导公式 四？
α 的终边 y
π -α 的终边 P(-x,y)
x
P(x,y)
o
-α 的终边
思考6：公式三、四有什么特点，如何记 忆？
sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ? sin( ? ? ? ) ? sin ?
公式三：
公式四： cos(? ? ? ) ? ? cos ?
tan( ? ? ? ) ? ? tan ?
思考7：公式一～四都叫做诱导公式，他 们分别反映了2kπ ＋α （k∈Z），π ＋ α ，－α ，π－α的三角函数与α的三角 函数之间的关系，你能概括一下这四组 公式的共同特点和规律吗？ 2kπ ＋α （k∈Z），π ＋α ，π －α ， －α 的三角函数值，等于α 的同名函数 值，前面加上一个把α 看成锐角时原函 数值的符号. 函数名不变，符号看象限！
理论迁移
例1 求下列各三角函数的值：
(1)cos225
?
11? (2)sin 3
(4)cos(-2040? )
16? (3)sin() 3
例2 已知cos(π ＋x)＝ 1 3 各式的值：
，求下列
（1）cos(2π－x)；（2）cos(π－x).
例3 化简：
cos(180 ? ? ) ? sin(? ? 360 ) （1） sin(-? -180? ) ? cos(-180? -? ) ； ? ? cos190 ? sin (?210 ) （2 ） ? ? . cos(-350 ) ? tan585
? ?
小结作业 1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意 义时恒成立. 2.以诱导公式一～四为基础，还可以 产生一些派生公式， 如sin（2π －α ）=－sinα ， sin（3π －α ）=sinα 等.
3.利用诱导公式一～四，可以求任意 角的三角函数，其基本思路是：
任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数
锐角的三角 函数
0～2π 的角 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
作业： P27练习：1，2，3，4.