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排列组合及二项式定理试题和答案


排列组合、二项式定理
一、选择题: 1.5 人排一个 5 天的值日表,每天排一人值日,每人可以排多天或不排,但相邻两天不能 排同一人,值日表排法的总数为 A.120 B.324 C.720 D.1280

2.一次考试中,要求考生从试卷上的 9 个题目中选 6 个进行答题,要求至少包含前 5 个题 目中的 3 个,则考生答题的不同选法的种数是 A.40 B.74 C.84 D.200

3.以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有 A.18 个 B.15 个 C.12 个 D.9 个

4.从一架钢琴挑出的十个音键中,分别选择 3 个,4 个,5 个,…,10 个键同时按下,可 发出和弦,若有一个音键不同,则发出不同的和弦,则这样的不同的和弦种数是 A.512 B.968 C.1013 D.1024

5.如果 ( x ? x x )n 的展开式中所有奇数项的系数和等于 512,则展开式的中间项是
6 8 A. C10 x

B. C10 x

5

7

x

4 6 C. C8 x

D. C11 x

6

8

x

6.用 0,3,4,5,6 排成无重复字的五位数,要求偶数字相邻,奇数字也相邻,则这样的 五位数的个数是 A.36 B.32 C.24 D.20

1 n?1 2 n ?2 n?1 7.若 n 是奇数,则 7n ? Cn 7 ? Cn 7 ???? Cn 7 被 9 除的余数是

A.0

B.2

C.7

D.8

8.现有一个碱基 A,2 个碱基 C,3 个碱基 G,由这 6 个碱基组成的不同的碱基序列有 A.20 个 B.60 个 C.120 个 D.90 个

9.某班新年联欢会原定的 6 个节目已排成节目单,开演前又增加了 3 个新节目,如果将这 3 个节目插入原节目单中,那么不同的插法种数为 A.504 B.210 C.336 D.120

10.在 (1 ? x)3 ? (1 ? x)4 ???? (1 ? x)2005 的展开式中,x3 的系数等于
4 A. C2005 4 B. C2006 3 C. C2005 3 D. C2006

11.现有男女学生共 8 人,从男生中选 2 人,从女生中选 1 人,分别参加数理化三科竞赛, 共有 90 种不同方案,则男、女生人数可能是 A.2 男 6 女 B.3 男 5 女 C.5 男 3 女 D.6 男 2 女

5 12. 若 x∈R, n∈N+ , 定义 M x n =x(x+1)(x+2)…(x+n-1), 例如 M ? 5 =(-5)(-4)(-3)(-

2)(-1)=-120,则函数 f ( x) ? xM 19 x ?9 的奇偶性为 A.是偶函数而不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 B.是奇函数而不是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数

13.由等式 x4 ? a1x3 ? a2 x2 ? a3 x ? a4 ? ( x ? 1)4 ? b1 ( x ?1)3 ? b2 ( x ?1)2 ? b3 ( x ?1) ? b4 , 定 义映射 f : (a1 , a2 , a3 , a4 ) ? (b1, b2 , b3 , b4 ), 则 f(4,3,2,1)等于 A. (1,2,3,4) C. (-1,0,2,-2) B. (0,3,4,0) D. (0,-3,4,-1)

14.已知集合 A={1,2,3},B={4,5,6},从 A 到 B 的映射 f(x),B 中有且仅有 2 个元 素有原象,则这样的映射个数为 A.8 B.9 C.24 D.27

15.有五名学生站成一排照毕业纪念照,其中甲不排在乙的左边,又不与乙相邻,而不同的 站法有 A.24 种 B.36 种 C.60 种 D.66 种

16.等腰三角形的三边均为正数,它们周长不大于 10,这样不同形状的三角形的种数为 A.8 B.9 C.10 D.11

17.甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作,每天 1 人值 班,每人值班 2 天,如果甲同学不值周一的班,乙同学不值周六的班,则可以排出不同 的值班表有 A.36 种 B.42 种 C.50 种 D.72 种

10 2 10 18 .若 ( 2 ? x ) ? a0 ? a1 x ? a 则( a )2 ? (a )2 2 x ? ?? a 10 x , 0 ? a 2 ? ?? a 10 1 ?a 3 ? ??a 9

的值为 A.0 B.2 C.-1 D.1

答题卡 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

二、填空题: 19.某电子器件的电路中,在 A,B 之间有 C,D,E,F 四个焊点(如图) ,如果焊点脱落, 则可能导致电路不通.今发现 A,B 间电路不通,则焊点脱落的不同情况有 20.设 f(x)=x5-5x4+10x3-10x2+5x+1,则 f(x)的反函数 f 1(x)=


种. .

21.正整数 a1a2…an…a2n-2a2n-1 称为凹数,如果 a1>a2>…an,且 a2n-1>a2n-2>…>an,其中 ai (i=1,2,3,…)∈{0,1,2,…,9},请回答三位凹数 a1a2a3(a1≠a3)共有 (用数字作答) . 22. 如果 a1(x-1)4+a2(x-1)3+a3(x-1)2+a4(x-1)+a5=x4, 那么 a2-a3+a4 . 个

23.一栋 7 层的楼房备有电梯,在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯,则满足有且仅有一人要 上 7 楼,且甲不在 2 楼下电梯的所有可能情况种数有
6 2 24. 已知 (x+1) (ax-1) 的展开式中, x3 的系数是 56, 则实数 a 的值为

. .

三、解答题: 25. (本小题满分 12 分) 将 7 个相同的小球任意放入四个不同的盒子中, 每个盒子都不空, 共有多少种不同的方 法?

26. (本小题满分 12 分) 已知(
4

1 3 + x2)n 展开式中的倒数第三项的系数为 45,求: x

⑴含 x3 的项; ⑵系数最大的项.

27. (本小题满分 12 分)
1 2 3 n 求证: 1 ? 4Cn ? 7Cn ?10Cn ??? (3n ?1)Cn ? (3n ? 2) ? 2n?1.

第十一单元
题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 B 5 B

排列组合、二项式定理参考答案
6 D 7 C 8 B 9 A 10 B 11 B 12 A 13 D 14 D 15 B 16 C 17 B 18 D

一、选择题(每小题 5 分,共 90 分) :

提示 1.D 分五步:5×4×4×4×4=1280.
3 3 4 2 5 1 2.B 分三步: C5 C4 ? C5 C4 ? C5 C4 ? 74.

3.C

C64 ? 3 ? 12.

4.B 分 8 类:
3 4 5 10 0 1 2 10 0 1 2 C10 ? C10 ? C10 ??? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ??? C10 ? (C10 ? C10 ? C10 ) ? 210 ? (1?10 ? 45) ? 968.

5.B

5 5 5 7 2n?1 ? 512,? n ? 10, 中间项为 T6 ? C10 x ( x )5 ? C10 x x.

2 3 2 2 6.D 按首位数字的奇偶性分两类: A2 A33 ? ( A3 ? A2 ) A2 ? 20

7.C 原式=(7+1)n-1=(9-1)2-1=9k-2=9k’+7(k 和 k’均为正整数) .
1 2 3 8.B 分三步: C6 C5 C3 ? 60
9 A9 ? 504. 6 A6

9.A

3 A9 ? 504, 或

10.B 原式=

(1 ? x)3[1 ? (1 ? x)2003 ] ?(1 ? x)3 ? (1 ? x)2006 4 ? 即求(1 ? x)2006中x 4的系数为C2006 . 1 ? (1 ? x) x

2 1 3 11.B 设有男生 x 人,则 Cx C8 ? x A3 ? 90,即x( x ?1)(8 ? x) ? 30 ,检验知 B 正确.

12.A

f ( x) ? x( x ? 9)( x ? 8)?( x ? 9 ? 19 ?1) ? x2 ( x2 ?1)( x2 ? 4)?( x2 ? 81).

13.D 比较等式两边 x3 的系数,得 4=4+b1,则 b1=0,故排除 A,C;再比较等式两边的 常数项,有 1=1+b1+b2+b3+b4,∴b1+b2+b3+b4=0. 14.D
2 2 C3 3 ? 27.

3 2 15.B 先排甲、乙外的 3 人,有 A3 种排法,再插入甲、乙两人,有 A4 种方法,又甲排乙

的左边和甲排乙的右边各占

1 2

,故所求不同和站法有

1 3 2 A3 A4 ? 36(种). 2

16.C 共有(1,1,1) , (1,2,2) , (1,3,3) , (1,4,4) , (2,2,2) , (2,2,3) , (2, 3,3) , (2,4,4) , (3,3,3) (3,3,4)10 种. 17.B 每人值班 2 天的排法或减去甲值周一或乙值周六的排法,再加上甲值周一且乙值周
2 2 1 2 2 六的排法,共有 C6 C4 ? 2 A5 C4 ? A4 ? 42(种).

18.D 设 f(x)=( 2-x)10,则(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+…+a10)(a0

-a1+a2-…-a9+a10)=f(1)f(-1)=( 2+1)10( 2-1)10=1。 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分)
1 2 3 4 19.13 按焊点脱落个数为 1,2,3,4 分四类,有 C2 (C, F中选一) ? C4 ? C4 ? C4 ? 13.

20. 5 x ? 2 ? 1( x ? R) ? f ( x) ? ( x ?1)5 ? 2,? f ?1 ( x) ? 21.240
3 2C10 ? 240

5

x ? 2 ?1.

22.2 比较等式两边 x4 的系数,得 a1=1,令 x=1,得 a5=1,令 x=0,得 a1-a2+a3-a4+ a5=0,∴a2-a3+a4=2. 23.65 分二类:第一类,甲上 7 楼,有 52 种;第二类:甲不上 7 楼,有 4×2×5 种,52+ 4×2×5=65.
1 5 2 4 3 3 5 24 . - 1 或 6 ( x ? 1)6 (ax ?1)2 ? ( x6 ? C6 x ? C6 x ? C6 x ? C6 x ? 1)(a2 x2 ? 2ax ? 1).x3 3 4 5 项的系数为 C6 ?1 ? C6 (?2a) ? C5 ? a2 ? 56,即a2 ? 5a ? 6 ? 0,?a ? ?1或a ? 6.

三、解答题(共 36 分) 25 .解 法 1 :∵ 7 = 1 + 1 + 1 + 4 = 1 + 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + 2 + 2 ,∴ 分三类,共有 分法
1 2 1 C4 ? A4 ? C4 ? 20(种). 3 解法 2(隔板法) :将 7 个小球排成一排,插入 3 块隔板,故共有分法 C6 ? 20(种). n ?2 2 26.解:⑴由题设知 Cn ? 45,即Cn ? 45,?n ? 10.

r r Tr ?1 ? C10 ( x 4 )10?r ? ( x 3 )r ? C10 x 4 3 ? C10 x ? 210 x3 .

?

1

2

11r ?30 12

,令

11r ? 30 6 3 ? 3, 得r ? 6, 含x3的项为T7 ? C10 x 12
25

5 ⑵系数最大的项为中间项,即 T6 ? C10 x

55?30 12

? 252x 12 .

1 2 3 n 27.解:设 S ? 1 ? 4Cn , ? 7Cn ? 10Cn ??? (3n ? 1)Cn n n?1 1 则S ? (3n ?1)Cn ? (3n ? 2)Cn ??? 4Cn ?1.
0 1 2 n 两式相加,得 2S ? (3n ? 2)(Cn ? Cn ? Cn ??? Cn ) ? (3n ? 2) ? 2n ,?Sn ? (3n ? 2) ? 2n?1.


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