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新题库--第三章 第11节:2006年高考数学分类详解----数列


2006 年高考数学试题分类详解 数 列
一、选择题
1. (北京卷)设 f (n) ? 2 ? 24 ? 27 ? 210 ? ? ? 23n?10 (n ? N ) ,则 f ( n) 等于 (A)

2 n (8 ? 1) 7

(B)

2 n?1 (8 ? 1) 7

C)

2 n? 3 (8 ? 1) 7

(D)

2 n? 4 (8 ? 1) 7

解:依题意 f ( n) 为首项为 2,公比为 8 的前 n+4 项求和,根据等比数列的求和公式可得 D 2. (北京卷)如果-1,a,b,c,-9 成等比数列,那么 (A)b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9 解:由等比数列的性质可得 ac=(-1)×(-9)=9,b×b=9 且 b 与奇数项的符号相同,故 b=-3,选 B 3. (福建卷)在等差数列{a n }中,已知 a 1 =2,a 2 +a 3 =13,则 a 4 +a 5 +a 6 等于 A.40 B.42 C.43 D.45

解:在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, ∴ d=3,a5=14, a4 ? a5 ? a6 =3a5=42,选 B. 4. (广东卷)已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为 A.5 B.4 C. 3 D. 2 解: ?

?5a1 ? 20d ? 15 ? d ? 3 ,故选 C. ?5a1 ? 25d ? 30

5. (湖北卷)若互不相等的实数 a, b, c 成等差数列, c, a, b 成等比数列,且 a ? 3b ? c ? 10 ,则 a ? A.4 B.2 C.-2 D.-4

解:由互不相等的实数 a, b, c 成等差数列可设 a=b-d,c=b+d,由 a ? 3b ? c ? 10 可得 b=2,所 以 a=2-d,c=2+d,又 c, a, b 成等比数列可得 d=6,所以 a=-4,选 D 6. (湖北卷)在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则 a2a3a4a5a6a7a8a9= A. 81 B. 27 5 27 C.

3

D. 243

解:因为数列{an}是等比数列,且 a1=1,a10=3,所以 a2a3a4a5a6a7a8a9=(a2a9) 3a8) 4a7) (a (a (a5a6)=(a1a10)4=34=81,故选 A 7. (江西卷)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 OB a1 OA a 200 OC ,且 A、B、C 三点共线(该 = + 直线不过原点 O) ,则 S200= A.100 B. 101 解:依题意,a1+a200=1,故选 A C.200 D.201

??? ?

????

??? ?

2 8. (江西卷)在各项均不为零的等差数列 ?an ? 中,若 an?1 ? an ? an?1 ? 0(n ≥ 2) ,则 S2n?1 ? 4n ?

A. ?2

B. 0

C. 1

D. 2


2 2 解:设公差为 d,则 an+1=an+d,an-1=an-d,由 an?1 ? an ? an?1 ? 0(n ≥ 2) 可得 2an- an =0,解

得 an=2(零解舍去) ,故 S2n?1 ? 4n ? 2×(2n-1)-4n=-2,故选 A 9. (辽宁卷) 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1 也是等比数列,则 Sn 等于 ? (A) 2
n?1

?2

(B)

3n

(C) 2n

(D) 3n ? 1

解:因数列 ?an ? 为等比,则 an ? 2qn?1 ,因数列 ?an ?1 也是等比数列,则 ?

(an?1 ? 1)2 ? (an ? 1)(an?2 ? 1) ? an?12 ? 2an?1 ? an an?2 ? an ? an?2 ? an ? an?2 ? 2an?1 ? an (1 ? q 2 ? 2q) ? 0 ? q ? 1
即 an ? 2 ,所以 Sn ? 2n ,故选择答案 C。 10. (全国卷 I)设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 ,则 a11 ? a ? a ? 12 13 A. 120 B. 105 C. 90 D. 75

解: ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 ,则 a2

? 5,

a1a3 ? (5 ? d )(5 ? d ) ? 16 ,∴ d=3, a12 ? a2 ? 10d ? 35 , a11 ? a12 ? a13 ? 105 ,选 B.
11. (全国卷 I)设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 ? A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

解: Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 7a4 ? 35, ∴ a4 ? 5 ,选 D. S3 1 S6 12.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 = S6 3 S12 3 (A) 10 1 (B) 3 1 (C) 8 1 (D) 9

解:由等差数列的求和公式可得

S3 3a1 ? 3d 1 ? ? , 可得a1 ? 2d 且 d ? 0 S6 6a1 ? 15d 3

S6 6a ? 15d 27d 3 ? 1 ? ? ,故选 A S12 12a1 ? 66d 90d 10
13. (全国II)已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 7, a4 ? 15 ,则前10项的和 S10 = (A)100 解:d= (B)210 (C)380 (D)400

a4 ? a2 15 ? 7 ? ? 4 , a1 =3,所以 S10 =210,选 B 4?2 2
D.45

14.(陕西卷)已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前 9 项和 S9 等于 A.18 B.27 C.36

解:在等差数列{an}中,a2+a8=8,∴ a1 ? a9 ? 8 ,则该数列前 9 项和 S9=

9(a1 ? a9 ) =36,选 C 2


15. (天津卷)已知数列 {an } 、 {bn } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 、 b1 ,且 a1 ? b1 ? 5 , ,则数列 {cn } 的前 10 项和等于 a1 , b1 ? N * .设 cn ? abn ( n ? N * ) A.55 B.70 C.85 D.100

解: 数列 {an } 、 bn } 都是公差为 1 的等差数列, 其首项分别为 a1 、b1 , a1 ? b1 ? 5 ,a1 , b1 ? N * . 且 设 { ,则数列 {cn } 的前 10 项和等于 ab1 ? ab2 ? ? ? ab10 = ab1 ? ab1 ?1 ? ? ? ab1 ?9 , cn ? abn ( n ? N * )

ab1 ? a1 ? (b1 ?1) ? 4 ,∴ ab1 ? ab1 ?1 ??? ab1 ?9 = 4 ? 5 ? 6 ? ? ? 13 ? 85 ,选 C.
16. (天津卷)设 ?an ? 是等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 9 , a6 ? 9 ,则这个数列的前 6 项和等于 A.12 B.24 C.36 D.48

解: ?an ? 是等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 3a3 ? 9, a3 ? 3, a6 ? 9. ∴ d ? 2, a1 ? ?1 ,则这个数列的前 6 项和等于

6(a1 ? a6 ) ? 24 ,选 B. 2

17.(重庆卷)在等差数列{an}中,若 a4 ? a6 ? 12 ,SN 是数列{an}的前 n 项和,则 S 9 的值为 (A)48 (B)54 (C)60 (D)66 解 : 在 等 差 数 列 ?an ? 中 , 若 a4 ? a6 ? 12 , 则 a5 ? 6 , Sn 是 数 列 的 ?an ? 的 前 n 项 和 , 则

S9 =

9( a1 ? a9 ) ? 9a5 =54,选 B. 2

18.(重庆卷)在等比数列 ?an ? 中,若 an ? 0 且 a3a7 ? 64 , a5 的值为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8

解:a3a7=a52=64,又 an ? 0 ,所以 a5 的值为 8,故选 D

二、填空题
19. (广东卷)在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三 棱锥”形的展品,其中第 1 堆只有 1 层,就一个球;第 2,3, 4,? 堆最底 层(第一层)分别按图 4 所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的 小球自然垒放在下一层之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以 f (n) 表示第 n 堆的乒乓球总数,则 f (3) ? ________ ; f (n) ? _________ (答案用 n 表示). 解: f (3) ? 10, f (n) ?



20(湖南卷) 若数列 ?a n ? 满足: a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n .n ? 1 ,2,3….则 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 解:数列 ?a n ? 满足: a1 ? 1, an?1 ? 2an , n ? 1 ,2,3…,该数列为公比为 2 的等比数列, ∴ a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

n(n ? 1)( n ? 2) 6

.

2n ? 1 ? 2n ? 1 . 2 ?1


21. (江苏卷) 对正整数 n, 设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n , 则数列 { 的前 n 项和的公式是 .

an } n ?1

解:y? ? nxn?1 ? (n ? 1) xn , 曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线的斜率为 k=n2n-1-(n+1)2n, 切点为 (2, n) -2 , 所以切线方程为 y+2n=k(x-2),令 x=0 得 an=(n+1)2n,令 bn= 2+22+23+…+2n=2n+1-2 22. (山东卷)设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S4 =14,S10- S7 =30,则 S9= .

an ? a ? ? 2 n .数列 ? n ? 的前 n 项和为 n ?1 ?n ?1 ?

4(4 ? 1) d ? 14, 2 10(10 ? 1) 7(7 ? 1) 9(9 ? 1) [10 a1 ? d ] ? [7a1 ? d ] ? 30 ,联立解得 a1=2,d=1,所以 S9= 9 ? 2 ? ? 1 ? 54 2 2 2
解:设等差数列 ?an ? 的首项为 a1,公差为 d,由题意得 4a1 ? 23. (浙江卷)设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S 5 ? 10, S10 ? ?5 ,则公差为 作答) 。 解:设首项为 a1 ,公差为 d ,由题得 .(用数字

?5a1 ? 10d ? 10 ?a1 ? 2d ? 2 ?? ? 9d ? 4d ? ?1 ? 4 ? d ? ?1 ? ?10a1 ? 45d ? ?5 ?2a1 ? 9d ? ?1
24.(重庆卷)在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项 an=_________. 解:在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,∴ an?1 ? 3 ? 2(an ? 3)(n ? 1) ,即{ an ? 3 }是以

a1 ? 3 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列, an ? 3 ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,所以该数列的通项 an ? 2n?1 ? 3 .
25.(重庆卷)在数列 {an } 中,若 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? 。

解:由 an?1 ? an ? 2(n ? 1) 可得数列 {an } 为公差为 2 的等差数列,又 a1 ? 1 ,所以 an ? 2n-1

三、解答题
26. (安徽卷)数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ?

1 , Sn ? n 2 an ? n ? n ? 1? , n ? 1, 2, ??? 2

(Ⅰ)写出 Sn 与 Sn ?1 的递推关系式 ? n ? 2 ? ,并求 Sn 关于 n 的表达式; (Ⅱ)设 f n ? x ? ?

S n n ?1 x , bn ? f n/ ? p ?? p ? R ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 n 2 2 解:由 Sn ? n an ? n ? n ?1? ? n ? 2 ? 得: Sn ? n (Sn ? Sn?1 ) ? n ? n ?1? ,即

n ?1 n Sn ? Sn ?1 ? 1 ,对 n ? 2 成立。 n n ?1 n ?1 n n n ?1 3 2 n ?1 Sn ? Sn ?1 ? 1 , Sn ?1 ? Sn?2 ? 1 , Sn ? 2S1 ? n ? 1 , 由 …, S 2 ? S1 ? 1 相加得: n n ?1 n ?1 n?2 2 1 n 1 n2 又 S1 ? a1 ? ,所以 Sn ? ,当 n ? 1 时,也成立。 2 n ?1

(n2 ?1)Sn ? n2 Sn?1 ? n ? n ?1? ,所以



S n n ?1 n n ?1 x ? x ,得 bn ? fn/ ? p ? ? npn 。 n n ?1 2 3 而 Tn ? p ? 2 p ? 3 p ? ?? (n ?1) pn?1 ? npn , pTn ? p2 ? 2 p3 ? 3 p4 ? ?? (n ?1) pn ? npn?1 ,
(Ⅱ)由 f n ? x ? ?

p(1 ? p n ) ? np n?1 。 1? p S 4n ? 2 27. (安徽卷)在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 满足条件 2 n ? , n ? 1, 2,? , Sn n ?1 (1 ? P)Tn ? p ? p 2 ? p3 ? ? ? p n?1 ? p n ? np n?1 ?
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; 解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由

(Ⅱ)记 bn ? an pan ( p ? 0) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。

S2 n 4n ? 2 a ? a2 得: 1 ? ? 3 ,所以 a2 ? 2 , a1 Sn n ?1 an ? nd ? a1 ? 2n 2(a ? nd ? a ) 2(a ? n ? 1) 4n ? 2 S 2 n n n 1 2 即 d ? a2 ? a1 ? 1 ,又 = ,所以 an ? n 。 ? ? ? an ? a1 an ? 1 n ?1 Sn an ? a1 ?n 2 a (Ⅱ)由 bn ? an p n ,得 bn ? npn 。所以 Tn ? p ? 2 p2 ? 3 p3 ? ?? (n ?1) pn?1 ? npn , n ?1 当 p ? 1 时, Tn ? ; 当 p ? 1 时, pTn ? p2 ? 2 p3 ? 3 p4 ? ?? (n ?1) pn ? npn?1 , 2 ? n ?1 , p ?1 n ? 2 p(1 ? p ) ? 2 3 n ?1 n n ?1 n ?1 。 (1 ? P)Tn ? p ? p ? p ? ? ? p ? p ? np ? ? np ,即 Tn ? ? n 1? p ? p(1 ? p ) ? np n ?1 , p ? 1 ? 1? p ?
28. (北京卷)在数列 {an } 中,若 a1 , a2 是正整数,且 an ?| an?1 ? an?2 |, n ? 3, 4,5,? ,则称 {an } 为“绝对 差数列”. (Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项) ; (Ⅱ)若“绝对差数列” {an } 中, a20 ? 3, a21 ? 0 ,数列 {bn } 满足 bn ? an ? an?1 ? an?2 , n ? 1, 2,3,? , 分别判断当 n ?? 时, an 与 bn 的极限是否存在,如果存在,求出其极限值; (Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项. 解: (Ⅰ) a1 ? 3, a2 ? 1, a3 ? 2, a4 ? 1, a5 ? 1, a6 ? 0, a7 ? 1 , a8 ? 1, a9 ? 0, a10 ? 1. (答案不惟一) (Ⅱ)因为在绝对差数列 ?an ? 中 a20 ? 3 , a21 ? 0 .所以自第 20 项开始,该数列 是 a20 ? 3 , a21 ? 0 , a22 ? 3, a22 ? 3, a24 ? 0, a25 ? 3, a26 ? 3, a27 ? o, ?? ?. 即自第 20 项开始。每三个相邻的 项周期地取值 3,0,3. 所以当 n ?? 时, an 的极限不存在. 当 n ? 20 时, bn ? an ? an?1 ? an?2 ? 6 ,所 以 lim bn ? 6
n ??

(Ⅲ)根据定义,数列 ?an ? 必在有限项后出现零项.证明如下 假设 ?an ? 中没有零项,由于 an ? an ?1 ? an ? 2 ,所以对于任意的 n,都有 an ? 1 ,从而当 an?1 ? an?2 时,


an ? an?1 ? an?2 ? an?1 ?1(n ? 3) ;当 an?1 ? an?2 时, an ? an?2 ? an?1 ? an?2 ? 1(n ? 3) ,即 an 的值要么比

?a (a ? a2 n ), n ? 1, 2,3, ???, an ?1 至少小 1,要么比 an?2 至少小 1.令 Cn ? ? 2 n?1 2 n?1 ?a2 n (a2 n?1 ? a2 n ),
则 0 ? CA ? Cn?1 ?1(n ? 2,3, 4, ???). 由于 C1 是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项 C1 ? 0 ,这与

Cn ? 0 ( n ? 1, 2,3, ???, )矛盾. 从而 ?an ? 必有零项.
若第一次出现的零项为第 n 项, an?1 ? A( A ? 0) , 记 则自第 n 项开始, 每三个相邻的项周期地取值 0,

A,

?an ?3k ? 0, ? A , 即 ?an ?3k ?1 ? A, k ? 0,1, 2,3, ???, 所以绝对差数列 ?an ? 中有无穷多个为零的项. ?a ? n ?3k ? 2 ? A,

29. (北京卷)设等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)若 a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式. 解: (Ⅰ)由 S14=98 得 2a1+13d=14,又 a11=a1+10d=0,故解得 d=-2,a1=20. ∴{an}的通项公式是 an=22-2n,n=1,2,3…

? S14 ? 77, ?2a1 ? 13d ? 11, ?2a1 ? 13d ? 11, 11 ? ? ? (Ⅱ)由 ?a11 ? 0, 得 ?a1 ? 10d ? 0, 即 ?? 2a1 ? 20d ? 0, 由①+②得-7d<11。即 d>- 。 7 ?a ? 6 ?a ? 6 ?? 2a ? ?12 1 ? 1 ? 1 ?
由①+③得 13d≤-1, d≤-

1 11 1 ,于是- <d≤- ,又 d∈Z,故 d=-1,将④代入①②得 10<a1≤12. 13 7 13
?

又 a1∈Z,故 a1=11 或 a1=12.∴所有可能的数列{an}的通项公式是 an=12-n 和 an=13-n,n=1,2,3,… 30.(福建卷)已知数列{a n }满足 a 1 =1,a n?1 =2a n +1(n∈N ) (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足 4k1-14k2-1…4k-1=(an+1)km(n∈N*),证明:{bn}是等差数列; (Ⅲ)证明:

a n 1 a1 a2 n ? < ? ? ? ? n < (n∈N*). 2 3 a 2 a3 an?1 2

解: ? an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ), ? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1), ??an ?1 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的 (I) ? 等比数列。? an ? 1 ? 2n. 即 an ? 2 ?1(n ? N ).
2 *

(II)? 4 1 4 2 ...4 n

k ?1 k ?1

k ?1

? (an ? 1)kn . ? 4( k1 ?k2 ?...?kn )?n ? 2nkn . ?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn ,
②②-①,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn ,



2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.

即 (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0, nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0. ③-④,得 nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0,



即 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0, ?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ), ??bn ? 是等差数列。 证法二:同证法一,得 (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0 ,令 n ? 1, 得 b1 ? 2. 设 b2 ? 2 ? d (d ? R), 下面用数学 归纳法证明: bn ? 2 ? (n ? 1)d . (1)当 n ? 1, 2 时,等式成立。 (2)假设当 n ? k (k ? 2) 时, bk ? 2 ? (k ?1)d , 那么

bk ?1 ?
立。

k 2 k 2 bk ? ? [2 ? (k ? 1)d ] ? ? 2 ? [(k ? 1) ? 1]d . 这就是说,当 n ? k ? 1 时,等式也成 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1
*

根据(1)和(2) ,可知 bn ? 2 ? (n ? 1)d 对任何 n ? N 都成立。?bn?1 ? bn ? d ,??bn ? 是等差数列。 (III)?

ak 2k ? 1 2k ? 1 1 a a a n ? k ?1 ? ? , k ? 1, 2,..., n, ? 1 ? 2 ? ... ? n ? . ak ?1 2 ? 1 2(2k ? 1 ) 2 a2 a3 an?1 2 2

?

ak 2k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? k ?1 ? ? ? ? k ? ? . k , k ? 1, 2,..., n, k ?1 k ak ?1 2 ? 1 2 2(2 ? 1) 2 3.2 ? 2 ? 2 2 3 2
a a1 a2 n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ? ? ... ? n ? ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? , a2 a3 an?1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3

?

a n 1 a a n ? ? ? 1 ? 2 ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an?1 2
31. (福建卷)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N *). (I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公式;

(II)若数列 ?bn ? 满足 4b1 ?14b2 ?1...4bn ?1 ? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数列。 证: (I)? an?2 ? 3an?1 ? 2an , ? an ? 2 ? an ?1 ? 2(an ?1 ? an ),? a1 ? 1, a2 ? 3,?

an? 2 ? an?1 ? 2(n ? N * ). an?1 ? an

??an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
(II)由(I)得 an?1 ? an ? 2 (n ? N ), ?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1
n *

? 2n?1 ? 2n?2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ?1(n ? N * ).
(III)? 4 1 4 2 ...4 n
b ?1 b ?1 b ?1

? (an ?1)bn , ? 4(b1 ?b2 ?...?bn ) ? 2nbn , ?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn ,





2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.
即 (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0. ③



②-①,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , ④

nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0.

④-③,得 nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0, 即 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0, ?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ), ??bn ? 是等 差数列。
2 32. (广东卷)已知公比为 q(0 ? q ? 1) 的无穷等比数列 ?an ? 各项的和为 9,无穷等比数列 an 各项的和为

? ?

81 . 5
(I)求数列 ?an ? 的首项 a1 和公比 q ; (II)对给定的 k (k ? 1, 2,3,?, n) ,设 T ( k ) 是首项为 ak ,公差为 2ak ? 1 的等差数列,求 T ( 2) 的前 10 项之和; (III)设 bi 为数列 T ( k ) 的第 i 项, Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求 Sn ,并求正整数 m(m ? 1) ,使得 lim 不等于零.(注:无穷等比数列各项的和即当 n ?? 时该无穷等比数列前 n 项和的极限)

Sn 存在且 n ?? n m

? a1 ?a1 ? 3 ?1 ? q ? 9 ? ? ?? 解: (Ⅰ)依题意可知, ? 2 2 ? a 1 ? 81 ?q ? 3 ? ?1 ? q 2 5 ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? 3 ? ? ?

? 2? ? 3?

n?1

,所以数列 T

( 2)

的的首项为 t1 ? a2 ? 2 ,公差 d ? 2a2 ? 1 ? 3 ,

S10 ? 10 ? 2 ?

1 ? 10 ? 9 ? 3 ? 155 ,即数列 T ( 2) 的前 10 项之和为 155. 2
i ?1

? 2? (Ⅲ) bi = ai ? ?i ? 1??2ai ? 1? = ?2i ? 1?ai ? ?i ? 1? = 3?2i ? 1?? ? ? 3?
n

? ?i ? 1? ,
n

Sn 45 18n ? 27 ? 2 ? n?n ? 1? ? 2 ? n?n ? 1? , lim m = lim m ? Sn ? 45 ? ?18n ? 27?? ? ? ? ? ? m n?? n n ?? n 2 n 2n m ? 3? ?3?
当 m=2 时, lim

Sn Sn 1 =- ,当 m>2 时, lim m =0,所以 m=2 m n ?? n n ?? n 2
'

33. (湖北卷)已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;



(Ⅱ)设 bn ? 数 m;

m 1 , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N ? 都成立的最小正整 20 an an?1

解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, ∴f(x)

=3x2-2x.又因为点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n2-2n.
当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- (n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) =6n-5.当 n=1 时,a1=S1=3×12 3

?

?

-2=6×1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N ? )

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ?

1 1 1 3 3 ? ), = = ( a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

故 Tn=

?b = 2
i ?1 i

n

1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 ?(1 ? 7 ) ? ( 7 ? 13) ? ... ? ( 6n ? 5 ? 6n ? 1)? = 2 (1- 6n ? 1 ).因此,要使 ? ?

1 1 m 1 m (1- )< ( n ? N ? )成立的 m,必须且仅须满足 ≤ ,即 m≥10,所以满足要求的最小正 2 6n ? 1 20 2 20
整数 m 为 10. 34. (湖北卷)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y=3x-2 的图像上。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn ? 数 m。

m 3 ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的最小正整 20 a n a n ?1

解: (I)依题意得,

S
n

n

? 3n ? 2, 即 S n ? 3n2 ? 2n 。当 n≥2 时,

2 an ? Sn ? Sn?1 ? (3n2 ? 2n) ? ?3 ? n ? 1? ? 2(n ? 1) ? ? 6n ? 5 ;当 n=1 时, a1 ? S1 ? 3a1 ×12 -2×1-1-6×1-5, ? ?

所以 an ? 6n ? 5(n ? N ) 。 (II)由(I)得 bn ?

3 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, an an?1 (6n ? 5) ?6(n ? 1) ? 5? 2 ? 6n ? 5 6n ? 1 ?



n 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? b ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? 。因此,使得 ? ? = ?1 ? T n 1?1 2 ?? 7 ? ? 7 13 ? ? 6n ? 5 6 n ? 1 ? ? 2 ? 6 n ? 1 ?



1 m 1? 1 ? m ?1 ? ? ﹤ 20 ? n ? N ?? 成立的 m 必须满足 2 ≤ 20 ,即 m≥10,故满足要求的最小整数 m 为 10。 2 ? 6n ? 1 ?
35. (湖南卷)在 m(m≥2)个不同数的排列 P1P2…Pn 中,若 1≤i<j≤m 时 Pi>Pj(即前面某数大于后面 某 数 ) 则 称 Pi 与 P j 构 成 一 个 逆 序 . 一 个 排 列 的 全 部 逆 序 的 总 数 称 为 该 排 列 的 逆 序 数 . 记 排 列 , (n ? 1)n(n ? 1) ? 321的逆序数为 an,如排列 21 的逆序数 a1 ? 1 ,排列 321 的逆序数 a 3 ? 6 . (Ⅰ)求 a4、a5,并写出 an 的表达式; (Ⅱ)令 bn ?
an a ? n ?1 ,证明 2n ? b1 ? b2 ? ?bn ? 2n ? 3 ,n=1,2,…. a n ?1 an

解: (Ⅰ)由已知得 a 4 ? 10, a 5 ? 15 , a n ? n ? (n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 ? (Ⅱ)因为 bn ? 又∵ bn ? = 2n ? 3 ?

n(n ? 1) . 2

an a n n?2 n n?2 ? n ?1 ? ? ?2 ? ? 2, n ? 1,2, ? ,所以 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2n . a n ?1 an n?2 n n?2 n

n n?2 2 2 1 1 1 1 1 1 ? ? 2? ? , n ? 1,2, ?,∴ b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2n ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] n?2 n n n?2 1 3 2 4 n n?2 2 2 ? ? 2n ? 3 .综上, 2n ? b1 ? b2 ? ?bn ? 2n ? 3, n ? 1,2, ? . n ?1 n ? 2

36. (江苏卷)设数列 {a n } 、 {bn } 、 {c n } 满足: bn ? a n ? a n? 2 , c n ? a n ? 2a n?1 ? 3a n? 2 (n=1,2,3,…) ,证 明 {a n } 为等差数列的充分必要条件是 {c n } 为等差数列且 bn ? bn?1 (n=1,2,3,…) 证: 必要性, 设是{an}公差为 d1 的等差数列, bn+1–bn=(an+1–an+3) – (an–an+2) = (an+1–an) – (an+3–an+2) 则 = d1– d1=0,所以 bn ? bn+1 ( n=1,2,3,…)成立。又 cn+1–cn=(an+1–an)+2 (an+2–an+1)+3 (an+3–an+2) = d1+2 d1 +3d1 =6d1(常数) ( n=1,2,3,…),所以数列{cn}为等差数列。 充分性: 设数列{cn}是公差为 d2 的等差数列,且 bn ? bn+1 ( n=1,2,3,…)∵cn=an+2an+1+3an+2 ① ∴cn+2=an+2+2an+3+3an+4 ② ①-②得 cn–cn+2= n–an+2) (an+1–an+3)+3 (an+2–an+4)=bn+2bn+1+3bn+2 (a +2 ∵cn–cn+2=( cn–cn+1)+( cn+1–cn+2)= –2 d2 ∴bn+2bn+1+3bn+2=–2 d2 ③ 从而有 bn+1+2bn+2+3bn+3=–2 d2 ④ ④-③得 n+1–bn) (bn+2–bn+1)+3 (bn+3–bn+2)=0, ⑤ (b +2 ∵bn+1–bn≥0, bn+2–bn+1≥0 , bn+3–bn+2≥0,∴由⑤得 bn+1–bn=0 ( n=1,2,3,…), 由此不妨设 bn=d3 ( n=1,2,3,…) 则 an–an+2= d3(常数).由此 cn=an+2an+1+3an+2= cn=4an+2an+1–3d3 从而 cn+1=4an+1+2an+2–5d3 ,两式相减得 cn+1–cn=2( an+1–an) –2d3,因此 an ?1 ? an ? 是等差数列。 37. (江西卷)已知数列{an}满足:a1=

1 1 (cc ?1 ? cc ) ? d3 ? d 2 ? d3 (常数) ( n=1,2,3,…),所以数列{an} 2 2
3 3na n-1 ,且 an= (n ? 2,n ? N?) 2 2a n-1+n- 1

(1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n,不等式 a1?a2?……an?2?n! 解: (1)将条件变为:1-

1 n-1 n n 1 ) =(- ,因此{1- }为一个等比数列,其首项为 a n-1 an 3 an
1?

1-

1 1 n ? 3n 1 1 n = ,公比 ,从而 1- = n ,据此得 an= n (n?1) 3 3 -1 a1 3 an 3

10

n! ,为证 a1?a2?……an?2?n! ,只要证 n?N? 1 1 1 ( - ) 1- 2 )…( - n ) 1 ? ( 1 3 3 3 1 1 1 1 ( ? ( 1 时有 1- ) 1- 2 )…( - n ) , ? 2? 显然,左端每个因式都是正数,先证明,对每个 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 ( ? ( 1 n?N?,有 1- ) 1- 2 )…( - n ) ?1-( + 2 +…+ n ) , 3? 用数学归纳法证明 3 3 3 3 3 3
(2)据 1?得,a1?a2?…an= 3?式: n=1 时,3?式显然成立,

1 1 1 1 1 )…( - k ) 1 ?1-( + 2 +…+ k ) 2 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ( ? 1 ? ( 则当 n=k+1 时, 1- ) 1- 2 ) …( - k ) 1- k+1 )〔1- ? ( + 2 +…+ k ) ? 1- k+1 ) 〕 ( 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =1-( + 2 +…+ k )- k+1 + k+1 ( + 2 +…+ k )?1-( + 2 +…+ k + k+1 )即 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( ? ( 设 n=k 时,3?式成立,即 1- ) 1-
当 n=k+1 时,3?式也成立。故对一切 n?N?,3?式都成立。

1 3

1 1 n 〔 -( ) 1 〕 1 1 1 1 1 1 3 3 ( ? ( 1 利用 3?得, 1- ) 1- 2 )…( - n ) ?1-( + 2 +…+ n )=1- 1 3 3 3 3 3 3 1- 3 1 1 n 1 1 1 n 1 1 〕= + ( )? ,故 2?式成立,从而结论成立。 =1- 〔 -( ) 2 3 2 2 3 2
38. (江西卷)已知各项均为正数的数列 ?an ? ,满足: a1 ? 3 ,且 (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
2 2 (2) Sn ? a1 ? a2 ? ? ? 2 n , n ? 设 a T

2an?1 ? an ? an an ?1 , n ? N * . 2an ? an?1

1 1 1 求 并确定最小正整数 n , Sn ? Tn 使 ? 2 ? ? ? a 2 , Sn ? Tn , 2 a1 a2 an

为整数. 解: (1)条件可化为 an+1-

1 an+1

=(an- 2

1 1 ,因此{ an- }为一个等比数列,其公比为 2,首 ) an an
因 an?0,由 1?式解出

项为 a1- an= (2

8 2n+2 1 8 1 (n ? N?) …………1? = ,所以 an- = ? 2n-1= 3 a1 3 an 3
+ 22n+2+9) …………2?

1 3

n+1

( (2)由 1?式有 Sn+Tn= a1-

1 2 1 2 1 2 ) +(a2- ) ?+(an- ) 2n + + a1 a2 an

( =

64 23 2 24 2 25 2 2n+2 2 ) +( ) +( ) +…+( ) 2n = (4n-1)+2n(n ? N?) + 27 3 3 3 3

11

64 n 4n-1 ? 为使 Sn+Tn= (4 -1)+2n(n ? N ) 为整数,当且仅当 为整数.当 n=1,2 时,显然 Sn+ 27 27
n 1 2 n ( - Tn 不 为 整 数 , 当 n?3 时 , 4 -1 = 1+3) 1 = Cn ? 3+Cn ? 32+ (Cn+?+ n-3 Cn) ? 只 需 , 33 3 3
n

1 3Cn+3 2Cn2 n 3n-1 n 3n-1 = ? 为整数,因为 3n-1 与 3 互质,所以为 9 的整数倍.当 n=9 时, ? =13 9 2 9 2 27

为整数,故 n 的最小值为 9. 39. (辽宁卷)已知函数 f(x)= ax ? bx ? cx ? d ,其中 a,b,c 是以 d 为公差的等差数列, ,且 a>0,d>0.
3 2

1 3

设 x0为f ( x)的极小值点,在[1-

2b ,0 ]上, f ' ( x)在x1处取得最大植,在 x2处取得最小值,将点 a

(x0 , f ( x0 )),( x1 , f ' ( x1 )),( x2 , f ' ( x2 , f ( x2 ))依次记为A,B,C
(I)求 xo的值 (II)若⊿ABC 有一边平行于 x 轴,且面积为 2 ? 3 ,求 a,d 的值

解:(I) ? 2b ? a ? c ,? f ?( x) ? ax2 ? 2bx ? c ? ax2 ? (a ? c) x ? c ? ( x ? 1)(ax ? c) , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1或x ? ?

c c c c ,? a ? 0, d ? 0,? 0 ? a ? b ? c , ? ? 1, ? ? ?1 ,当 ? ? x ? ?1 a a a a

时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f(x)在 x=-1 处取得最小值即 xo ? ?1 。 (II) ? f ?( x) ? ax2 ? 2bx ? c(a ? 0) , ? f ?( x) 的图像的开口向上,对称轴方程为 x ? ?

b b ,由 ? 1 知 a a

| (1 ?
又由

2b b b 2b ) ? (? ) |?| 0 ? (? ) | ,? f ?( x) 在 [1 ? , 0] 上的最大值为 f ?(0) ? c ,即 x1 =0 , a a a a

b b 2b b b d2 b ? 1, 知 ? ? [1 ? , 0] ,? 当 x ? ? 时, f ?( x ) 取得最小值为 f ?(? ) ? ? , 即x2 ? ? , a a a a a a a

1 1 b d2 ? f ( x0 ) ? f (?1) ? ? a ,? A(?1, ? a), B(0, c)C (? , ? ) ,由三角形 ABC 有一条边平行于 x 轴知 3 3 a a
AC 平行于 x 轴,所以 ? a ? ?

1 3

d2 ,即a 2 =3d 2 ? (1) a

又由三角形 ABC 的面积为 2 ? 3 得

1 b a 2 d2 (?1 ? ) ? (c ? ) ? 2 ? 3 , 利 用 b=a+d,c=a+2d, 得 d ? ? 2 ? 3 ? (2) 2 a 3 3 a
. d ? 3 ,a ? 3 3

联 立 (1)(2) 可 得

2b 2b ) ? 0, f ?(0) ? c , c>0 知 f ( x) 在 [1 ? , 0] 上 又 a a b b 2b b , 0],? 当 x ? ? 时, f ?( x ) 取得最小值为 的最大值为 f ?(0) ? c ,即: x1 =0 。又由 ? 1, 知 ? ? [1 ? a a a a
2 ? 解法二:? f ?( x) ? ax ? 2bx ? c(a ? 0) , f ?(1 ?

12

1 b d2 b 1 b d2 ?(? ) ? ? , 即x2 ? ? ,? f ( x0 ) ? f (?1) ? ? a ,? A(?1, ? a), B(0, c)C (? , ? ) 。 f 3 a a a 3 a a
由三角形 ABC 有一条边平行于 x 轴知 AC 平行于 x 轴,所以 ? a ? ?

1 3

d2 ,即a 2 =3d 2 ? (1) a

又由三角

形 ABC 的面积为 2 ? 3 得

1 b a 2 d2 (?1 ? ) ? (c ? ) ? 2 ? 3 , b=a+d,c=a+2d,得 d ? ? 2 ? 3 ? (2) 利用 2 a 3 3 a

联立(1)(2)可得 d ? 3, a ? 3 3 40. (辽宁卷)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? pn2 ? 2a ? q( p, q ? R), n ? N (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)若 a1 与 a5 的等差中项为 18,bn 满足 an ? 2log 2 bn ,求数列的{bn}前 n 项和. 解:(Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? p ? 2 ? q ,当 n ? 2 时,

an ? Sn ? Sn?1 ? pn2 ? 2n ? q ? p(n ?1)2 ? 2(n ?1) ? q ? 2 pn ? p ? 2 .??an ? 是等差数列,
? p ? 2 ? q ? 2 p ? p ? 2 ,? q ? 0 。
解法二:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? p ? 2 ? q , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? pn2 ? 2n ? q ? p(n ?1)2 ? 2(n ?1) ? q ? 2 pm ? p ? 2 . 当 n ? 3 时, a1 ? an?1 ? 2 pn ? p ? 2 ? [2 p(n ?1) ? p ? 2] ? 2 p . a2 ? p ? 2 ? q ? 2 p ? 3 p ? 2 ? q . 又 a2 ? 2 p ? 2 ? p ? 2 ? 3 p ? 2 ,所以 3 p ? 2 ? q ? 3 p ? 2 ,得 q ? 0 . (Ⅱ) ? a1 ?

a1 ? a5 ,? a3 ? 18 .又 a3 ? 6 p ? p ? 2 ,? 6 p ? p ? 2 ? 18 ,? p ? 4 ,?an ? 8n ? 6 。 2

又 an ? 2log2 b n 得 bn ? 24n?3 .?b1 ? 2 ,

bn?1 24( n?1)?1 ? 4n?3 ? 24 ? 16 ,即 ?bn ? 是等比数列.所以数列 ?bn ? 的前 bn 2

n 项和 Tn ?

2(1 ? 16n ) 2 ? (16n ? 1) . 1 ? 16 15
4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1, 2,3,? ? ? 3 3 3
n 2n 3 , n ? 1, 2,3,? ?,证明: ? Ti ? ? 2 Sn i ?1

41. (全国卷 I)设数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ?

(Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ;

(Ⅱ)设 Tn ?

4 1 2 4 1 2 解: (Ⅰ)由 Sn=3an-3×2n+1+3, n=1,2,3,… , ① 得 a1=S1= 3a1-3×4+3 所以 a1=2. 再由①有
13

4 1 2 Sn-1=3an-1-3×2n+3, n=2,3, 4,…


4 1 将①和②相减得: an=Sn-Sn-1= 3(an-an-1)-3×(2n+1-2n),n=2,3, …

整理得: an+2n=4(an-1+2n 1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为 a1+2=4,公比为 4 的等比数列,即 : - an+2n=4×4n 1= 4n, n=1,2,3, …, 因而 an=4n-2n, n=1,2,3, …, 4 1 2 1 2 (Ⅱ)将 an=4n-2n 代入①得 Sn= 3×(4n-2n)-3×2n+1 + 3 = 3×(2n+1-1)(2n+1-2)= 3×(2n+1-1)(2n-1) 2n 3 2n 3 1 1 = × n+1 = ×( n - n+1 ),∴ Sn 2 (2 -1)(2n-1) 2 2 -1 2 -1

Tn=

? T = 2 ? ( 2 -1 - 2
3 1
i ?1 i

n

n

i

i+1

i?1

1 ) -1

3 1 1 3 = 2×( 1 - i+1 ) < 2。 2 -1 2 -1 42. (全国卷 I)已知 ?an ? 为等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ?

20 ,求 ?an ? 的通项式。 3

a3 2 2 20 1 解: 设等比数列{an}的公比为 q, 则 q≠0, a2= q = q , a4=a3q=2q,所以 q + 2q= 3 , 解得 q1=3 , q2= 3, 1 1 - 18 2 2 - - 当 q1= , a1=18.所以 an=18×( )n 1= n-1 = 2×33 n. 当 q=3 时, a1= , 所以 an= ×3n-1=2×3n 3. 3 3 9 9 3 43. (全国 II)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n=1,2,3,…. (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ) n}的通项公式. {a 2 解:(Ⅰ)当 n=1 时,x -a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1,于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解 1 1 1 1 得 a1= .当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2- ,于是(a2- )2-a2(a2- )-a2=0,解得 2 2 2 2 1 a1= . 6 (Ⅱ)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0, Sn2-2Sn+1-anSn=0.当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代入 上式得 Sn-1Sn-2Sn+1=0 ① 1 1 1 2 由(Ⅰ S1=a1=2,S2=a1+a2=2+6=3.由① )知 可得

3 n S3=4.由此猜想 Sn= ,n=1,2,3,….下面用数学归纳法证明这个结论. n+1 ①n=1 时已知结论成立. k+1 k 1 ② 假设 n=k 时结论成立,即 Sk= ,当 n=k+1 时,由① Sk+1= 得 ,即 Sk+1= , k+1 2-Sk k+2 故 n=k+1 时结论也成立. n 综上,由(i)、(ii)可知 Sn= 对所有正整数 n 都成立. n+1 于是当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= n 公式 an= ,n=1,2,3,…. n+1 44. (全国 II)设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , S4 ? 1, S8 ? 17, 求通项公式an ? ?
14

n-1 n 1 1 1 - n = ,又 n=1 时,a1=2=1×2,所以{an}的通项 n+1 n(n+1)

解:设 {an } 的公比为 q,由 S4 ? 1, S8 ? 17知q ? 1 ,所以得

a1 (q 4 ? 1) ? 1 …① q ?1

a1 (q8 ? 1 ) ? 17 ……② 由 q ?1

① 式得整理得 、②

q8 ? 1 ? 17 解得 q 4 ? 16 ,所以 q=2 或 q=-2。 q4 ? 1

将 q=2 代入① 式得 a1 ?

1 1 2n ?1 ( ?1) n ? 2 n ?1 ,所以 a ? ,将 q=-2 代入① 式得 a1 ? ? ,所以 an ? 。 15 5 15 5

45. (山东卷)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中=1,2,3,… (1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2)设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项; (3)记 bn=

1 1 2 ,求{bn}数列的前项和 Sn,并证明 Sn+ =1. ? an an ? 2 3Tn ? 1
,? an ? 1 ? 1,两边取对数得

2 解: (1)由已知 an?1 ? an ? 2an ,? an?1 ? 1 ? (an ? 1)2 ,? a1 ? 2

lg(1 ? an?1 ) ? 2lg(1 ? an ) ,即

lg(1 ? an?1 ) ? 2 ,?{lg(1 ? an )} 是公比为 2 的等比数列. lg(1 ? an )
n?1

(2)由(Ⅰ )知 lg(1 ? an ) ? 2 n?1 ?lg(1 ? a1) ? 2n?1 ? lg3 ? lg32 ,?1 ? an ? 32 (*)

n?1

?Tn ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )…(1+an ) ? 32 ? 32 ? 32 ?…? 32
0 1 2

n-1

? 31?2?2

2

?…+2n-1

=3

2n -1

,由(*)式得 an ? 32

n?1

?1。

2 (3)? an?1 ? a0 ? 2an ?an?1 ? an (an ? 2) ,?

1 1 2 1 1 1 1 , ? ( ? ) ,? ? ? an ? 2 an an ?1 an?1 2 an an ? 2

又 bn ?

1 1 1 1 ,? bn ? 2( ? ? ), an an ? 2 an an ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? …+ ? ) ? 2( ? ), a1 a2 a2 a3 an an ?1 a1 an ?1
n

? Sn ? b1 ? b2 ? …+bn ? 2(
n?1

? an ? 32 ? 1, a1 ? 2, an?1 ? 32 ? 1 ? Sn ? 1 ?
46. (山东卷)已知数列{ an }中, a1 ?

2 3 ?1
2n

,又 Tn ? 32

n

?1

,? Sn ?

2 ?1. 3Tn ? 1

1 、点(n、an ?1 ? an) 2 在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3…. 2

(Ⅰ bn ? an?1 ? an ? 3, 求证数列 bn ? )令 ? 是等比数列; (Ⅱ )求数列 ?an ? 的通项; (Ⅲ S n、Tn 分别为数列?a n ? ?bn ? 的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得数列 ? )设 、 列?若存在,试求出 ? .若不存在,则说明理由。
15

? Sn ? ?Tn ? ? 为等差数 ? n ?

解: (I)由已知得

a1 ?

1 3 3 1 3 , 2an ?1 ? an ? n, ? a2 ? , a2 ? a1 ?1 ? ? ? ? ? , 1 2 4 4 2 4

又 bn ? an?1 ? an ?1, bn?1 ? an?2 ? an?1 ?1,

b a ? a ?1 ? n ?1 ? n ?1 n ? bn an ? 2 ? an ?1 ? 1
的等比数列.

an ?1 ? (n ? 1) an ? n an ?1 ? an ? 1 ? 1 3 1 2 2 ? 2 ? . ?{bn } 是以 ? 为首项,以 为公比 4 2 an ?1 ? an ? 1 an ?1 ? an ? 1 2

3 1 n ?1 3 1 3 1 3 1 ? ( ) ? ? ? n , ? an ?1 ? an ? 1 ? ? ? n , ? a2 ? a1 ? 1 ? ? ? , 4 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 a3 ? a2 ? 1 ? ? ? 2 , ?????? ? an ? an ?1 ? 1 ? ? ? n ?1 , 将以上各式相加得: 2 2 2 2 3 1 1 1 ? an ? a1 ? (n ? 1) ? ? ( ? 2 ? ??? ? n ?1 ), 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 3 3 1 3 1 3 2 ? an ? a1 ? n ? 1 ? ? 2 ? ? (n ? 1) ? (1 ? n ?1 ) ? n ? n ? 2. ? an ? n ? n ? 2. 1 2 2 2 2 2 2 1? 2 S ? ?Tn } 是等差数列. (III)存在 ? ? 2 ,使数列 { n n 1 1 (1 ? n ) 1 1 1 2 ? n(n ? 1) ? 2n ? Sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an ? 3( 1 ? 2 ? ??? ? n ) ? (1 ? 2 ? ??? ? n) ? 2n ? 3 ? 2 1 2 2 2 2 1? 2
(II)由(I)知, bn ? ?

? 3(1 ?

1 n 2 ? 3n 3 n 2 ? 3n )? ?? n ? ? 3. 2n 2 2 2

3 1 ? (1 ? n ) 2 ? ? 3 (1 ? 1 ) ? ? 3 ? 3 . 数列 { S n ? ?Tn } 是等差数列的充要条件是 Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 4 1 n 2 2n 2 2n ?1 1? 2 Sn ? ?Tn ? An ? B, ( A 、 B 是常数 ) 即 Sn ? ?Tn ? An2 ? Bn, n
又 Sn ? ?Tn ? ?

? 3 n2 ? 3n 3 3 n2 ? 3n ? 1 ? ? 3 ? ? (? ? n?1 ) ? ? 3(1 ? )(1 ? n ) ,? 当且仅当1 ? ? 0 ,即 n 2 2 2 2 2 2 2 2

S n ? ?Tn } 为等差数列. n S ? ?Tn } 是等差数列.由(I)(II) 解法二:存在 ? ? 2 ,使数列 { n 、 n n(n ? 1) ? 2n ? 2Tn ? ?Tn n ? 3 ? ? 2 n(n ? 1) Sn ? ?Tn 2 ? 2n , ? ? Tn 知,an ? 2bn ? n ? 2 ? S n ? 2T ? ? 2 2 n n n

? ? 2 时,数列 {

16

3 1 ? (1 ? n ) 2 ? ? 3 (1 ? 1 ) ? ? 3 ? 3 , Sn ? ?Tn ? n ? 3 ? ? ? 2 (? 3 ? 3 ) 又 Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 4 1 n 2 n 2 2n ?1 2 2n 2 2n?1 1? 2 S ? ?Tn } 是等差数列. ? 当且仅当 ? ? 2 时,数列 { n n
47. (陕西卷) 已知正项数列{an}, 其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列, 求数列{an} 的通项 an . 解:∵ 10Sn=an2+5an+6, ① ∴ 1=a12+5a1+6, a1=2 或 a1=3.10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2), ② 10a 2 2 由① -② 10an=(an -an- 1 )+6(an -an - 1),即(an+an - 1)(an -an - 1-5)=0,∵ n+an - 1>0 ,∴ n-an - 1=5 得 a a (n≥2). 当 a1=3 时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15 不成等比数列∴ 1≠3; a 2 当 a1=2 时,a3=12, a15=72, 有 a3 =a1a15 , ∴ 1=2, ∴ n=5n-3. a a 48.(上海卷)已知有穷数列 { an } 共有 2 k 项(整数 k ≥2) ,首项 a1 =2.设该数列的前 n 项和为 S n ,且 ,2 ,其中常数 a >1. a n?1 = (a ? 1)S n +2( n =1,2,┅ k -1) (1)求证:数列 { an } 是等比数列;
2

(2)若 a =2 2 k ?1 ,数列 { bn } 满足 bn = 通项公式;

1 log 2 (a1 a 2 ? ? ? a n ) ( n =1,2,┅ k ) ,2 ,求数列 { bn } 的 n

(3)若(2)中的数列 { bn } 满足不等式| b1 - 值. 证:(1) 当 n=1 时,a2=2a,则

3 3 3 3 |+| b2 - |+┅ b2 k ?1 - |+| b2 k - |≤4,求 k 的 +| 2 2 2 2

a2 =a;2≤n≤2k-1 时, an+1=(a-1) Sn+2, an=(a-1) Sn-1+2, a1

an+1-an=(a-1) an, ∴

a n ?1 =a, ∴ 数列{an}是等比数列. an
n ?1

(2) 由(1) 得 an=2a bn= [n ?

, ∴ 1a2…an=2 a a

n

1? 2 ??? ( n ?1)

=2 a

n

n ( n ?1) 2

n?

=2

n ( n ?1) 2 k ?1

,

n(n ? 1) n ?1 ]? ? 1 (n=1,2,…,2k). 2k ? 1 2k ? 1 3 1 3 3 (3)设 bn≤ ,解得 n≤k+ ,又 n 是正整数,于是当 n≤k 时, bn< ;当 n≥k+1 时, bn> . 2 2 2 2 3 3 3 3 3 ∴ 原式=( -b1)+( -b2)+…+( -bk)+(bk+1- )+…+(b2k- )=(bk+1+…+b2k)-(b1+…+bk) 2 2 2 2 2 1 1 (k ? 2k ? 1)k (0 ? k ? 1)k k2 k2 2 2 =[ .当 ≤4,得 k2-8k+4≤0, 4-2 3 ≤k≤4+2 3 , ? k] ? [ ? k] = 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 1 n
又 k≥2,∴ k=2,3,4,5,6,7 时,原不等式成立. 当 49.(上海卷)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且对任意正整数 n , an ? Sn ? 4096 。 (1)求数列 {an } 的通项公式 (2)设数列 {log 2 an } 的前 n 项和为 Tn ,对数列 ?Tn ? ,从第几项起 Tn ? ?509 ?
17

解:(1) ∵ n+ Sn=4096, ∴ 1+ S1=4096, a1 =2048.当 n≥2 时, an= Sn-Sn-1=(4096-an)-(4096- a a an-1)= an-1-an ∴

an 1 1 - = ,an=2048( )n 1. 2 a n ?1 2
1 n-1 1 23? 4601 ) ]=12-n,∴ n= (-n2+23n).由 Tn<-509,解得 n> T ,而 n 是 2 2 2

(2) ∵ 2an=log2[2048( log

正整数,于是,n≥46.∴ 从第 46 项起 Tn<-509. 50. (四川卷)已知数列 {an } ,其中 a1 ? 1 , a2 ? 3 , 2an ? an?1 ? an?1 ( n ? 2 ) ,记数列 {an } 的前 n 项 和为 Sn ,数列 {ln Sn } 的前 n 项和为 U n 。 (Ⅰ )求 U n ; (Ⅱ)设 Fn ( x) ?
n eU n , ,计算 x 2 n ( x ? ? ) Tn ( x ? ? F( ? x (其中 Fk ?( x) 为 Fk ( x) 的导数) ) k) 2n(n !)2 k ?1

Tn ( x) 。 n? ? T n ?1 ( x) lim
解: (Ⅰ)由题意, ?an ? 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列前 n 项和 Sn ?

1 ? 1 ? 2? n ? 1 ? ? n ? n2 , 2

ln Sn ? ln n2 ? 2ln n , Un ? 2 ? ln1 ? ln 2 ??? ln n? ? 2ln ? n!? 。
(Ⅱ Fn ? x ? ? )

eU n 2n ? n !?
2

?x

2n

? n !? ? x 2n ? x 2n ? 2 2n 2n ? n !?
2

Fn' ? x ? ? x2n?1
? ? ? 2n ? lim 1 ? x ? n ?? 1 ? x 2 n ? 2 ? 1 ? T ? x? n ? lim n ?? lim ?1 n ?? T n ?? n ? 1 n ?1 ? x ? ? ? ? 1 ? ? 2n ? ? 1 ? ? lim ? x ? ? n ?? ? 1 ? ? x 2 ? 2n ? ? ?x ? ?

Tn ? x ? ? ? Fk ' ? x ? ?? x 2 k ?1
k ?1 k ?1

n

n

? x ?1 ? x 2 n ? ? ? 0 ? x ? 1? , 2 ? 1? x ? ?? n ? x ? 1? ? 2n ? x ?1 ? x ? ? x ? 1? ? 1 ? x2 ?

? 0 ? x ? 1? ? x ? 1? ? x ? 1?

51. (四川卷)数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ?1? n ? 1? 。 (Ⅰ )求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ )等差数列 ?bn ? 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b , a ? b , a ? b 成等比数列, 1 2 2 3 3 求 Tn

18

解: )由 an?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2Sn?1 ?1? n ? 2? ,两式相减得 an?1 ? an ? 2an , an?1 ? 3an ? n ? 2? (Ⅰ 又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴a2 ? 3a1 ,故 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 3 得等比数列,∴an ? 3n?1 。 (Ⅱ 设 ?bn ? 的公比为 d , T3 ? 15 得, ) 由 可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 , 可得 b2 ? 5 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 ,由题意可得 ? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9? ? ? 5 ? 3? ,解得 d1 ? 2, d2 ? 10 。∵ 等差数列
2

?bn ? 的各项为正,∴d ? 0 ,∴d ? 2 ,∴Tn ? 3n ?

n ? n ? 1? ? 2 ? n 2 ? 2n 2

52. (天津卷)已知数列 ?xn ? ?yn ? 满足 x1 ? x2 ? 1, y1 ? y 2 ? 2 , 并且 , 非零参数, n ? 2,3,4,?) . (1)若 x1 , x3 , x5 成等比数列,求参数 ? 的值; (2)当 ? ? 0 时,证明:

xn?1 x y y ? ? n , n?1 ? ? n ( ? 为 xn xn?1 y n y n?1

xn?1 xn ? n ? N * ;当 ? ? 1 时,证明: y n?1 y n

?

?

x ? yn x1 ? y1 x2 ? y 2 ? ? ??? n ? n? N* . x 2 ? y 2 x3 ? y 3 xn?1 ? y n?1 ? ? 1

?

?

解: (I)由已知 x1 ? x2 ? 1,且

x3 x x x x x ? ? 2 ? x3 ? ? , 4 ? ? 3 ? x4 ? ? 3 , 5 ? ? 4 ? x5 ? ? 6 , x2 x1 x3 x2 x4 x3

2 6 2 若 x1 、 x3 、 x5 成等比数列,则 x3 ? x1 x5 ,即 ? ? ? 。 而 ? ? 0 , 解得 ? ? ?1 。

( II ) 由 已 知

? ? 0, x1 ? x2 ? 1 及 y1 ? y2 ? 2 , 可 得 xn ? 0 ,yn ? 0 由 不 等 式 的 性 质 , 有 .

yn ?1 y y x x x y x ? ? n ? ? 2 n ?1 ? ... ? ? n ?1 2 ? ? n ?1 ,另一方面, n?1 ? ? n ? ? 2 n?1 ? ... ? ? n?1 2 ? ? n?1 yn yn?1 yn ?2 y1 xn xn ?1 xn ?2 x1
因此,

yn ?1 x x x ? ? n ?1 ? n ?1 (n ? N * ). 故 n?1 ? n (n ? N * ) 。 yn xn yn?1 yn xn?1 xn ? (n ? N * ), 则 yn ?1 yn

* ( III ) 当 ? ? 1 时 , 由 ( II ) 可 知 yn ? xn ? 1(n ? N ) 。 又 由 ( II )

yn?1 ? xn?1 yn ? xn y ? xn?1 xn?1 ? ? ? ? n?1 (n ? N * ). 因此 ,从而 n?1 xn?1 xn yn ? xn xn

19

x ?y x1 ? y1 x2 ? y2 ? ? ??? ? n n x2 ? y2 x3 ? y3 xn?1 ? yn?1

1 1? ( n ) 1 1 n?1 ? ? ? ? 1 ? ? ??? ? ( ) ? 1 ? ? ? ?1 1? ?

53. (浙江文)若 Sn 是公差不为 0 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 S1 , S2 , S4 成等比数列 (Ⅰ )求数列 S1 , S2 , S4 的公比; (Ⅱ S2 =4,求 ?an ? 的通项公式。 )

解: )设数列 ?an ? 的公差为 d ,由题意,得 S22 ? S1 ? S4 ,所以 (2a1 ? d )2 ? a1 (4a1 ? 6d ) ,因为 (Ⅰ

d ? 0 ,所以 d ? 2a1 ,故公比 q ?

S2 ?4 S1

(Ⅱ )因为 S2 ? 4, d ? 2a1 , S2 ? 2a1 ? 2a1 ? 4a1 , 所以 a1 ? 1, d ? 2 ,因此 a2 ? a1 ? (n ?1)d ? 2n ?1.

20


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