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上海市十三校2015届高三第二次(3月)联考数学理试题


上海市十三校2015届高三第二次(3月)联考 数学理试题
一、填空题(本大题满分56 分)本大题共有14 题,每个空格填对4 分,否则一律得零分. 1、幂函数 2、函数1 在区间 的定义域为__________. 上是减函数,则m= __________.

3、在 ABC中,BC = 8、 AC =5,且三角形面积S =12,则cos 2C = _

_________. 4、 设i为虚数单位, 若关于x的方程 有一实根为n, 则m =_______. 且此椭圆的焦距为4,则实数a = __________.

5、若椭圆的方程为

6、若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120?、半径为3 的扇形,则这个圆锥的表面积是__________. 7、若关于x的方程 上有解,则实数a的取值范围为__________.

8、 《孙子算经》卷下第二十六题:今有物,不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩 二,问物几何?___________.(只需写出一个答案即可) 9、在极坐标系中,某直线的极坐标方程为 __________. 10、设口袋中有黑球、白球共7 个,从中任取两个球,令取到白球的个数为 ,且 的数学期望 ,则极点O 到这条直线的距离为

,则口袋中白球的个数为__________.

11、 如右图所示, 一个确定的凸五边形 ABCDE , 令



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则x 、y 、z 的大小顺序为__________.
·1 ·

12、设函数 f ( x)的定义域为D, 知 f ( x)的值域为 13、若多项式

,它的对应法则为 f : x→sin x,现已

,则这样的函数共有__________个.

14、在平面直角坐标系中有两点 射线

,以原点为圆心,r > 0为半径作一个圆,与

交于点M ,与x轴正半轴交于N ,则当r变化时, |AM |+| BN |的最小值为

__________. 二、选择题(本大题满分20 分)本大题共有4 题,每题有且仅有一个正确答案,选对得5 分,否则 一律得零分. 15、若非空集合 A中的元素具有命题 命题 是命题 的__________条件. 的性质,集合B中的元素具有命题 的性质,若 A

B,则

A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 16、用反证法证明命题:“已知a、b ,如果ab可被 5 整除,那么a、b 中至少有一个能被 5 整

除”时,假设的内容应为__________. A. a 、b 都能被5 整除 B. a 、b 都不能被5 整除 C. a 、b 不都能被5 整除 D. a 不能被5 整除 17、实数x、 y 满足 ,则x - y的最大值为__________.

18、直线m ⊥平面 ,垂足是O ,正四面体ABCD 的棱长为4,点C 在平面 上运动,点B 在 直线m 上运动,则点O 到直线AD 的距离的取值范围是__________.

三、解答题(本大题满分74 分)本大题共5 题,解答下列各题须写出必要的步骤. 19、 (本题满分12 分) 本题共有2 个小题,第1 小题满分6 分,第2 小题满分6 分. 已知正四棱柱 ,底面边长为 ,点P、Q、R分别在棱
·2 ·

上,Q

是BB1 中点,且PQ / /AB , (1)求证: (2)若 ; ,求四面体C1PQR 的体积.

20、 (本题满分14 分) 本题共有2 个小题,第1 小题满分6 分,第2 小题满分8 分. 已知数列 (1)比较 (2)若数列 满足 的大小; 的前n项和 是递增数列. ,数列 , ,设数列 的前n 项和是 .

求d 的取值范围使得

21、 (本题满分14 分) 本题共有3 个小题,第1 小题满分5 分,第2 小题满分6 分,第3 小题满分 3 分. 某种波的传播是由曲线 来实现的,我们把函数解析式 称为“波”, 把振幅都是A 的波称为“ A 类波”, 把两个解析式相加称为波的叠 加. (1)已知“1 类波”中的两个波 的值; (2)在“ A 类波“中有一个是 ,从 A类波中再找出两个不同的波 ,并说明理由. ,使 叠加后仍是“1类波”,求

得这三个不同的波叠加之后是平波,即叠加后 (3)在

个“ A类波”的情况下对(2)进行推广,使得(2)是推广后命题的一个特

例. 只需写出推广的结论,而不需证明. 22、 (本题满分16 分) 本题共有3 个小题,第1 小题满分4 分,第2 小题满分6 分,第3 小题满分 6 分. 设函数 .

(1)若a=0,当

时恒有

,求b 的取值范围;
·3 ·

(2)若

且b =-1,试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点,使得函数

的图

像永远不经过这两点; (3)若 ,函数 在区间[3, 4]上至少有一个零点,求 的最小值.

23、 (本题满分18 分) 本题共有3 个小题,第1 小题满分4 分,第2 小题满分6 分,第3 小题满分 8 分. 设有二元关系 ,已知曲线 上,求正方形 ABCD的面积; 与 y 轴的交点是G ,直线MG与曲

(1)若a =2时,正方形 ABCD的四个顶点均在曲线 (2)设曲线 线 与x轴的交点是M 、N ,抛物线

交于点P,直线NG 与曲线 与x轴的交点是 在 的所

交于Q,求证:直线PQ过定点,并求出该定点的坐标. ,可知动点 在某确定的曲线 上运动,曲 ,

(3)设曲线 线 集合

与上述曲线

时共有四个交点:

有非空子集设为 身)得到255 个数

,将

中的所有元素相加(若i Y 中只有一个元素,则其是其自 是与变数

,求所有的正整数n 的值,使得 均无关的常数.

a及变数

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