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高三数学文


高三数学测试卷
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(分值:150 分 时间:150 分钟 ) 一、选择题:本大题共 1 0 小题,每小题 5 分,共 5 0 分. 在每小题列出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A={1,2,3} , B ? A= {3}, B ? A={1,2,3,4,5},则集合 B 的子集 的 个数为 A. 6 B. 7

C. 8 D. 9

2. 命题“ ?x ? R, x 2 ? x ? 2 ? 0 ”的否定是 A ?x ? R, x 2 ? x ? 2 ? 0 C ?x ? R, x 2 ? x ? 2 ? 0 B ?x ? R, x 2 ? x ? 2 ? 0 D ?x ? R, x 2 ? x ? 2 ? 0

3. 已知 a,β表示两个不同的平面,l 为 a 内的一条直线,则“ a / / β是“l//β”的
A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件

C. 充要条件 4. 函数 f(x) =2x-sinx 的零点个数为 A. 1
2

B. 2

C. 3

D. 4
(0 ,+∞)恒成立,则实数 x 的取值范围

5. 不 等 式 x ? 2 x ? 是 A. ( -2, 0) C. ( -4,2)

a 16b ? 对任意 a ,b∈ b a

B. ( -∞, -2) U (0,+∞) D. ( -∞,-4) U (2, +∞ )

6. 如右图所示,程序框图输出的所有实数对 (x,y) 所对应的点都在函数 A. y =x + 1 的图象上 B. y=2x 的图象上 C. y=2 的图象上 D. y=2x-1 的图象上
x

7 在区间[0, ? ] 上随机取一个数 x,则事件
“ sinx

? cosx”发生的概率为

A

1 4

B.

1 2

C

3 4

D, 1

8. 定义:函数 f ( x ) 的定义域为 D , 如果对于任意的 x1∈D ,存在唯一的 x2∈D ,使得

f ( x1 ) f ( x2 ) ? c

( 其中 c 为常数)成立,则称函数 f ( x ) 在 D 上的几何均值为 c 则 下列

函数在其定义域上的“ 几何均值” 可以为 2 的是
A.

y

= x
x

2

+

1

B.

y

= sinx + 3

C. y=e (e 为自然对数的底)

D . y= |lnx|

2 9. 已知拋物线 x = 4 p y ( p > 0 )与双曲线

x2 y2 点A ? ? 1(a ? b ? 0) 有相同的焦点 F , a2 b2

是两曲线的一个交点,且 A F 丄 y 轴,则双曲线的离心率为 A,

5 ?1 2

B.

2 ?1

C.

3 ?1

D.

2 ?1 2

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 10.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z =ax+by (a>0, b>0)的最大值 ? x ? 0, y ? 0 ?
为 8, 点 P 为曲线 y ? ?

1 ( x ? 0) 上动点,则点 P 到点(a,b)的最小距离为 3x 2
C.

A.

7 13 13

B. O

7 13 26

D. 1

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 3 5 分.请将答案填在答题卡对应题号 的位置上.答错位置$书写不清,模棱两可均不得分.

3 ,θ 为第二象限角,则 tan2θ =______ 5 a?i 12.设 复 数 z ? 其中 a 为实数,若 z 的实部为 2,则 z 的虚部为_____. 1? i
11.若 sin ? ? 13.已知正方形 ABCD 的边长为 1,则| 2 AB ? BD |=_______. 14. 某行业从 2013 年开始实施绩效工资改革,为了解该行业职工工资收入情况,调查 了 lOOO 名该行业的职工,并由所得数据画出了如图所示的频率分布直方图,由图可知中 位数为: _____现要从这 1000 人中再用分层抽样的方法抽出 1OO 人作进一步调查,则月收 入在[3500,4000)(元)内应抽出 ______人.

15.某三棱锥 P-ABC 的正视图为如图所示边长为 2 的正三角形,俯视图为等腰直角三角 形,则三棱锥的表面积是______.
16挪威数学家阿贝尔,曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图),利用它们的面积关

系发现了一个重要的恒等式一阿贝尔公式: a1b1+a2b2+a3b3+?+anbn=a1(b1-b2)+L2(b2-b3)+L3(b3-b4)+?+Ln-1(bn-1-bn)+Lnbn

则其中:(I)L3=

;(Ⅱ)Ln=



2 2 17.若直线 x=my-1 与圆 C:x +y + mx + ny + p = O 交于 A, B 两点,且 A,B 两点关于

直线 y = x 对称,则实数 P 的取值范围为_______. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 18 (本小题满分12分)已知向量 m =( 3 sin2x+2,cosx), n =(1,2cosx),设函数f(x)=

m ·n.
(I)求f(x)的最小正周期与单调递增区间; (Ⅱ)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 A= 3 ,b=f( 积为

5? ),Δ ABC 的面 6

3 ,求 a 的值 2

19.( 本小题满分 12 分)如图,在四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, 已 知平面 AA1C1C 丄平面 ABCD,且 AB=BC= CA= 3 , AD = CD =1

(I)求证:BD 丄AA ;
1

(II)若四边形 ACC 1 A 1 是菱形,且 ?A1 AC =60 , 四 柱 求 棱
0

ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的体积.

[来源:Z&xx&k.Com]

20.( 本小题满分13分)数列{an}是公比为

1 的等比数列,且1-a2是a1与1+a3的等比中项,前 2
[来

n项和为Sn; 数列{bn}是等差数列, 1=8, b 其前n项和Tn满足Tn=n ? · n+1( ? 为常数, ? ≠1). b 且
源:学|科|网Z|X|X|K]

(I)求数列{an}的通项公式及 ? 的值; (Ⅱ)比较

1 1 1 1 1 + + +?+ 与了 Sn的大小. T1 T2 T3 Tn 2

21.( 本小题满分1 4 分)在矩形ABCD中,|AB|=2 3 ,|AD|=2,E、F、G、 H分别为矩形四条边的中点,以HF、GE所在直线分别为x,y轴建立直角 坐标系(如图所示).若R、R′分别在线段0F、CF上,且

| OR | | CR' | 1 = = . | OF | | OF | n

(Ⅰ)求证:直线ER与GR′的交点P在椭圆 ? :

x2 + y 2 =1上; 3

(Ⅱ)若M、N 为椭圆 ? 上的两点,且直线GM与直线GN的斜率之积为 过定点

2 ,求证:直线MN 3

3 22. ( 本小题满分14 分)已知函 f ( x ) = ax 数

+ x

2

- ax

( a ? R 且a a ? 0 ).

-1) (I) 若函数 f(x)在{-∞, 和( A 的值;

1 1 ,+∞)上是增函数?在( ? 1, )上 是减函数,求 3 3

(II)讨 论 函 数 g ( x) ?

f ( x) 3 ? ln x 的单调递减区间; x a
f ?(x) ,x? [?1, b] (b>

(III)如果存在 a ? (??,?1) ,使函数h(x)=f(x)+ 1),在x = -1处取得最小值,试求b的最大值.

-

联考数学试题(文史类)(B 卷) 参考答案
一、选择题:CDAAC DCCBA 二、填空题:11. ?

[来源:学&科&网]

24 ; 7

12. ?1 ; , 25;

13. 10 15. 3 ? 6 ;

14. 3400

16.(Ⅰ) a1 ? a2 ? a3

(Ⅱ) a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ;

17. p ? ?

3 2

(注:填空题中有两个空的,第一个空 2 分,第二个空 3 分) 18. 解:(Ⅰ) f ( x ) ? m? n ?
? ?

3 sin 2 x ? 2 ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3
?????????3 分

? 2sin(2 x ? ) ? 3 6
∴ f ( x ) 的最小正周期 T ? 由 2k? ?

?

?
2

? 2x ?

?
6

2? ?? 2

????? ??? 4 分

? 2 k? ?
? ?

?

2

, k ? Z 得 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

,k ?Z

∴ f ( x ) 的单调递增区间为 ? k? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

(k ? Z )

????????6 分

(Ⅱ) b ? f (

5? 11? ?? ? ? ) ? 2sin ? 3 ? 2sin ? 2? ? ? ? 3 ? ?2sin ? 3 ? 2 ??8 分 6 6 6? 6 ?
???????10 分

1 3 S?ABC ? bc sin A ? ? c ?1 2 2

在 ?ABC 中,由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 1 ? 4 ? 2 ? 1? 2 ?

1 ?3 2

?a ? 3

???????? 12 分

19.解:(Ⅰ)在四边形 ABCD 中,因为 BA ? BC , DA ? DC ,所以 BD ? AC ???2 分 又平面 AA1C1C ? 平面 ABCD ,且平面 AA1C1C ? 平面 ABCD ? AC

BD ? 平面 ABCD ,所以 BD ? 平面 AA1C1C
又因为 AA1 ? 平面 AA1C1C ,所以 BD ? AA1 . (Ⅱ)过点 A1 作 A1 E ? AC 于点 E ,

??????4 分 ???? ????6 分

D1 A1 C1

∵平面 AA1 C 1 C ? 平面 ABCD ∴ A1 E ? 平面 ABCD ,
[来源:Z§xx§k.Com]

E

B1

即 A1 E 为四棱柱的一条高

??8 分

D A
?

C

又∵四边形 ACC1 A1 是菱形,且 ?A1 AC ? 60 , ∴ 四棱柱 ABCD ? A1 B1 C 1 D1 的高为 h ? A1 E ? 3 sin 60? ? 又 ∵ 四 棱 柱
ABCD ? A1 B1 C 1 D1

第 19 题图

B

3 2
的 底

????9 分 面 面 积

S ABCD ?

1 1 1 3 AC BD ? 3?( ? ) ? 3 , 2 2 2 2

[来源:学,科,网]

???????10 分 ∴ 四棱柱 ABCD ? A1 B1 C 1 D1 的体积为 V ? 3 ? 20、解:(Ⅰ)由题意 (1 ? a 2 ) 2 ? a1 (a 3 ? 1) ,即 (1 ? 解得 a1 ?
1 1 ,∴ a n ? ( ) n 2 2

3 3 3 ? 2 2

???????12 分

1 1 a1 ) 2 ? a1 ( a1 ? 1) 2 4

???????2 分

?T1 ? ?b2 ?8 ? ? (8 ? d ) 又? ,即 ? ?16 ? d ? 2? (8 ? 2d ) ?T2 ? 2?b3

???????4 分

1 ? ?? ? 解得 ? 2 ?d ? 8 ?

?? ? 1 1 或? (舍)∴ ? ? d ?0 2 ?

???????6 分

1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 S n ? 1 ? ( ) n 2
1 1 1 1 ① S n ? ? ( ) n ?1 ? 2 2 2 4 1 1 1 1 1 又 Tn ? 4 n 2 ? 4 n , ? ? ( ? ) Tn 4n(n ? 1) 4 n n ? 1

???????7 分 ???????9 分 ???????11 分 ②?12 分





1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? )? T1 T2 Tn 4 2 2 3 n n ?1 4 n ?1 4
1 1 1 1 ? ??? ? Sn T1 T2 Tn 2

由①②可知

???????13 分

21、解:(Ⅰ)∵ 分

OR OF

?

CR? CF

?

1 3 n ?1 , 0) , R?( 3, ) ,∴ R( n n n

????1

又 G (0,1)

则直线 GR? 的方程为 y ? ?

1 x ?1 3n



????2 分

又 E (0, ?1) 由

则直线 ER 的方程为 y ? ①②

n x ?1 3
得 ???



????3 分

P(

2 3n n 2 ? 1 , ) n2 ? 1 n2 ? 1

?4 分

(

2 3n 2 ) 2 2 2 2 n 2 ? 1 ? ( n ? 1) 2 ? 4n ? (n ? 1) ? 1 ??5 分 3 n2 ? 1 (n 2 ? 1) 2
x2 ? y 2 ? 1 上??6 分 3

∴直线 ER 与 GR? 的交点 P 在椭圆 ? :

(Ⅱ)① 当直线 MN 的斜率不存在时,设 MN : x ? t (? 3 ? t ? 3) 则 M (t , 1 ?

t2 t2 ), N (t , ? 1 ? ) 3 3

∴ k GM ? k GN ?

1 ,不合题意 ????8 分 3
M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

② 当直线 MN 的斜率存在时,设 MN : y ? kx ? b

? y ? kx ? b ? 联立方程 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?3



(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kbx ? 3b2 ? 3 ? 0
则 ? ? 12(3k ? b ? 1) ? 0 ,
2 2

x1 ? x 2 ?

? 6kb 3b 2 ?3 ,x1 ? x 2 ? ??10 分 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
y1 ? 1 y 2 ? 1 k 2 x1 x 2 ? k ?b ? 1?? x1 ? x 2 ? ? ?b ? 1? 2 ? ? ? x1 x2 x1 x 2 3
2

又 k GM ? k GN ?

2 2 即 (3k ? 2) x1 x2 ? 3k (b ? 1)( x1 ? x2 ) ? 3(b ? 1) ? 0

将 x1 ? x 2 ?

? 6kb 3b 2 ?3 代入上式得 b ? ?3 ,x1 ? x 2 ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

????13 分

∴直 线过定点 T (0, ?3) 22.解:(Ⅰ) f '( x) ? 3ax ? 2 x ? a
2

????14 分 ???????1



1? ? ?1 ? ? 函数 f ( x ) 在 ?? ?,?1? 和 ? ,?? ? 上是增函数,在 ? ? 1, ? 上是减函数, 3? ? ?3 ?

? f '(?1) ? 0 ?3a ? 2 ? a ? 0 1 ? ? ∴ ?1, 为 f ( x) 的两个极值点,∴ ? 即?a 2 1 3 ? f '( 3 ) ? 0 ? 3 ? 3 ? a ? 0 ? ?
解得: a ? 1 (Ⅱ) g ( x) ? ax ? x ? a ?
2

???????3 分

???????4 分

3 ln x , g ( x) 的定义域为 ? 0, ?? ? , a 1 3 2a 2 ( x ? )( x ? ) 3 2a 2 x 2 ? ax ? 3 a 2a ???????5 分 g '( x) ? 2ax ? 1 ? ? ? ax ax ax 1 1 当 a ? 0 时,由 g '( x) ? 0 解得 x ? (0, ) , g ( x ) 的单调减区间为 (0, ) ????7 分 a a 3 3 , ??) , g ( x) 的单调减区间为 (? , ??) ??9 分 当 a ? 0 时,由 g '( x) ? 0 解得 x ? (? 2a 2a
(Ⅲ) h( x) ? ax ? (3a ? 1) x ? (2 ? a) x ? a ,据题意知 h( x) ? h(?1) 在区间 ? ?1,b? 上恒成
3 2

立,即 ( x ? 1) ? ax ? (2a ? 1) x ? (1 ? 3a ) ? ? 0 ① ? ?
2

???????10 分

当 x ? ?1 时,不等式①成立; 当 ?1 ? x ? b 时,不等式①可化为 ax ? (2a ? 1) x ? (1 ? 3a) ? 0 ②
2 2

??????11 分

令 ? ( x) ? ax ? (2a ? 1) x ? (1 ? 3a) , 由于二次函数 ? ( x) 的图象是开口向下的抛物线, 故它 在闭区间上的最小值必在端点处取得,又 ? (?1) ? ?4a ? 0 ,所以不等式②恒成立的充要条 件是 ? (b) ? 0 ,即 ab ? (2a ? 1)b ? (1 ? 3a) ? 0
2

???????12 分

b 2 ? 2b ? 3 1 ? ? ,因为这个关于 a 的不等式在区间 ? ??, ?1? 上有解,所以 即 b ?1 a

b 2 ? 2b ? 3 1 ?1 ? 17 ?1 ? 17 ? (? )max ? 1 ? ?b? b ?1 a 2 2
又 b ? ?1 ,故 ?1 ? b ?

???????13 分

?1 ? 17 ?1 ? 17 ,? bmax ? 2 2

???????14 分

注:解答题中,若有不同解法,只要思路清晰,解法正确,请酌情给分。


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?BSC ? 30? , 则棱锥 S-ABC 的体积为高三 1 学期期末考试数学试卷(文) (第 2 页( 共 4 页) ) A.19 B. 3 C. 2 3 D. 3 3 二、填空题:本...
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