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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修2-1)课时作业 第3章 1.2 圆锥曲线与方程


1.2

椭圆的简单性质

课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中 a, b 以及 c,e 的几何意义,a、b、c、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆 的简单问题.

椭圆的简单几何性质 焦点的 位置

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

图形

标准 方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 对称轴是________,对称中心是________ 短轴长=____,长轴长=____

一、选择题 1.椭圆 25x2+9y2=225 的长轴长、短轴长、离心率依次是( 4 A.5,3, 5 3 C.5,3, 5 x y A. + =1 36 16 x2 y2 C. + =1 6 4
2 2

)

4 B.10,6, 5 3 D.10,6, 5 ) x y B. + =1 16 36 y2 x2 D. + =1 6 4 )
2 2

2.焦点在 x 轴上,长、短半轴长之和为 10,焦距为 4 5,则椭圆的方程为(

x2 y2 1 3.若焦点在 x 轴上的椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m 等于( 2 m 2 A. 3 3 B. 2 8 C. 3 2 D. 3

4.如图所示,A、B、C 分别
-1-

x2 y2 为椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的顶点与焦点,若∠ABC=90° ,则该椭圆的离心率为( a b -1+ 5 A. 2 C. 2-1 B.1- D. 2 2 2 2

)

x2 y2 5.若直线 mx+ny=4 与圆 O:x2+y2=4 没有交点,则过点 P(m,n)的直线与椭圆 + 9 4 =1 的交点个数为( A.至多一个 C .1 ) B.2 D.0

→ → 6.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点.满足MF1· MF2=0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心 率的取值范围是( A.(0,1) C.?0, ) 1? B.? ?0,2? D.? 题 答 二、填空题 7.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 程为______________. x2 y2 8. 直线 x+2y-2=0 经过椭圆 2 + 2=1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点, 则该椭圆的离 a b 心率等于_____________________________________________. x2 y2 9.若直线 mx+ny=4 和圆 O:x2+y2=4 没有公共点,则过点(m,n)的直线与椭圆 + 5 4 =1 的交点个数为________. 三、解答题 10. 5 ,且过点 P(-5,4),则椭圆的方 5 号 案 1 2 2 ? ? 2 ,1? 3 4 5 6

?

2? 2?

x2 y2 如图,已知 P 是椭圆 2 + 2=1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点,F 是椭圆的右焦点,O a b

-2-

a2 是椭圆中心,B 是椭圆的上顶点,H 是直线 x=- (c 是椭圆的半焦距)与 x 轴的交点,若 c PF⊥OF,HB∥OP,试求椭圆的离心率 e.

x2 y2 11.已知 F1、F2 是椭圆 2 + 2=1 (a>b>0)的左、右焦点,A 是椭圆上位于第一象限内的一 a b 2 → → 点,若AF2· F1F2=0,椭圆的离心率等于 ,△AOF2 的面积为 2 2,求椭圆的方程. 2

能力提升 12.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( 4 A. 5 3 B. 5 2 C. 5 1 D. 3

)

13.已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F1(- 3,0), 1? 且右顶点为 D(2,0).设点 A 的坐标是? ?1,2?. (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程.

-3-

1.椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围,在求解一些存在性和判 断性问题中有着重要的应用. 2.椭圆既是一个轴对称图形,又是一个中心对称图形.椭圆的对称性在解决直线与椭圆 的位置关系以及一些有关面积的计算问题时,往往能起到化繁为简的作用. 3.椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量,通过解方程或不等式可以求得离心率 的值或范围.

1. 2
知识梳理 焦点的 位置

椭圆的简单性质
焦点在 y 轴上

焦点在 x 轴上

-4-

图形

标准 方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 作业设计

x2 y2 + =1 a2 b2

y2 x2 + =1 a2 b2

-a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a (± a,0),(0,± b) (± b,0),(0,± a) 短轴长=2b,长轴长=2a (± c,0) (0,± c) 2c=2 a2-b2 对称轴是坐标轴,对称中心是原点 c e= ,0<e<1 a

x2 y2 1.B [先将椭圆方程化为标准形式: + =1, 9 25 其中 b=3,a=5,c=4.] 2.A 3.B 4.A [由(a+c)2=a2+2b2+c2, ∵b2=a2-c2,∴c2+ac-a2=0, -1+ 5 c ∵e= ,∴e2+e-1=0,∴e= .] a 2 4 5.B [∵ >2,∴ m2+n2<2. m2+n2 x2 y2 x2 y2 ∴点 P(m,n)在椭圆 + =1 的内部,∴过点 P(m,n)的直线与椭圆 + =1 有两个交 9 4 9 4 点.] → → 6.C [∵MF1· MF2=0,∴M 点轨迹方程为 x2+y2=c2,其中 F1F2 为直径, 由题意知椭圆上的点在圆 x2+y2=c2 外部, 设点 P 为椭圆上任意一点,则|OP|>c 恒成立, 由椭圆性质知|OP|≥b,其中 b 为椭圆短半轴长, ∴b>c,∴c2<b2=a2-c2,∴a2>2c2, c?2 1 c 2 ∴? ?a? <2,∴e=a< 2 . 2 又∵0<e<1,∴0<e< .] 2 x2 y2 7. + =1 45 36 x2 y2 解析 设椭圆的方程为 2 + 2=1 (a>b>0), a b 25 16 将点(-5,4)代入得 2 + 2 =1, a b 2 a2-b2 1 c 5 2 c 又离心率 e= = ,即 e = 2= 2 = , a 5 a a 5 x2 y2 解之得 a2=45,b2=36,故椭圆的方程为 + =1. 45 36 2 5 8. 5

-5-

解析 由题意知椭圆的焦点在 x 轴上, 又直线 x+2y-2=0 与 x 轴、 y 轴的交点分别为(2,0)、 c 2 5 (0,1),它们分别是椭圆的焦点与顶点,所以 b=1,c=2,从而 a= 5,e= = . a 5 9.2 解析 由题意可知,圆心 O 到直线 mx+ny=4 的距离大于半径,即得 m2+n2<4,所以点 M(m,n)在圆 O 内,而圆 O 是以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆,故点(m,n) 在椭圆内,因此过点(m,n)的直线与椭圆必有 2 个交点. a2 - ,0?,F(c,0),B(0,b). 10.解 依题意知 H? ? c ? 设 P(xP,yP),且 xP=c,代入到椭圆的方程, b2 b2 c, ?. 得 yP= .∴P? ? a? a b2 b-0 a ∵HB∥OP,∴kHB=kOP,即 = . a2 c 0+ c 2 ∴ab=c . a2-c2 - c b ∴e= = ,∴e2= 2 =e 2-1. a c c ∴e4+e2-1=0.∵0<e<1,∴e= 5-1 . 2

→ → 11.解 ∵AF2· F1F2=0,∴AF2⊥F1F2, c 2 因为椭圆的离心率 e= = , a 2

1 则 b2= a2,设 A(x,y)(x>0,y>0),由 AF2⊥F1F2 知 x=c, 2 ∴A(c,y),代入椭圆方程得 c2 y2 b2 2+ 2=1,∴y= , a b a ∵△AOF2 的面积为 2 2, 1 ∴S△AOF2= x×y=2 2, 2 1 b2 c 2 即 c· =2 2,∵ = ,∴b2=8, 2 a a 2 ∴a2=2b2=16, x2 y2 故椭圆的方程为 + =1. 16 8 12.B [由题意知 2b=a+c,又 b2=a2-c2, ∴4(a2-c2)=a2+c2+2ac. ∴3a2-2ac-5c2=0.∴5c2+2ac-3a2=0. 3 ∴5e2+2e-3=0.∴e= 或 e=-1(舍去).] 5 13.解 (1)∵a=2,c= 3,∴b= a2-c2=1. x2 ∴椭圆的标准方程为 +y2=1. 4 (2)设 P(x0,y0),M(x,y),由中点坐标公式,

-6-

x= , ? ? 2 得? 1 y+ 2 ? ?y= 2 ,
0

x0+1

x =2x-1, ? ? 0 ∴? 1 y0=2y- . ? 2 ?

?2x-1?2 ? 1 2 x2 0 又∵ +y2 +?2y-2? 0=1,∴ ? =1 4 4 即为中点 M 的轨迹方程.

-7-


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