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2014高三数学文科模考五


2014 高三数学文科模考五 第Ⅰ卷 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.选出符合题目要求的一项填在机读卡上. 1.设

A ? B ? ?x x ? A且x ? B?

1,2,3,4,5?, B ? ?3,5,7,9?,则 A ? B 等于( ,若 A ? ?<

br />


1,2,3,4,5,7,9,? (A) ?

1,2,4? (C) ? 1,2,4,7,9? (D) ?3,5? (B) ?

2 ? (1 ? 3i ) 2 1 ? i 2.在复平面内,复数 对应的点位于(



(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 3.在等差数列

?a n ?中,若 a3 ? a 4 ? a5 ? a6 ? a7

? 450 ,则 a 2 ? a8 的值为(



(A) 45 (B) 90 (C) 180 (D)300

? ? ?? 1 1 ? , ? ? ? 4.在区间 ? 2 2 ? 上随机取一个 x , sin x 的值介于 2 与 2 之间的概率为(
1 (A) 3 2
(B) ?



1 (C) 2

2 (D) 3


5.设函数 f ( x) ? 2 x ? ln x ? 6 的零点为 m ,则 m 的所在区间为( (A) ?0,1? (B) ?1,2 ? (C) ?2,3? (D) (3,4) )

6.函数 y ? cos 2 x 的图像可由 y ? sin 2 x 的图像(

?
(A) 向右平移 2 个单位长度

?
(B) 向左平移 2 个单位长度

?
(C) 向右平移 4 个单位长度

?
(D) 向左平移 4 个单位长度 )

? ? ? ? ? ? ? ? ? ( a a c b a ? b 7.设 , , 均为单位向量,且 ,则 ? c ) ? (b ? c ) 的最小值为(
(A) ? 1 (B) 1 ? 2 (C)

2 ?2

(D) ? 2

8.已知双曲线的两个焦点为 F1 (? 10 ,0) , F2 ( 10 ,0) , M 是此双曲线上一点, 若 MF1 ? MF2 ? 0 ,

MF1 ? MF2 ? 2

,则该双曲线的方程是(



x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? y2 ? 1 x2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 9 7 3 (A) 9 (B) (C) 3 (D) 7

第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分) 填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9.某程序的框图如图所示,则执行该程序,输出的结果 a ? _______.

10.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是边长为 2 的正三角形, 则这个几何体的侧面积为________. 11.某班 50 名学生在一次百米测试中, 成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试结果 绘制成频率分布直方图(如图) ,若成绩介于 14 秒与 16 秒之间认为是良好,则该班在这次 测试中成绩良好的人数为_______.
0.36 0.34 频率 组距

0.18

0.06

0

13

14

15

16

17

18



12.若实数 x, y 满足

?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? ? x? y?0 ? x? y?2?0 ?

,则 z ? 2

x?2 y

的最大值为_______,最小值为______.

13.已知两条直线 m , n ,两个平面 ? , ? ,给出下面四个命题: ① m ∥ n , m ? ? ? n ? ? ;② ? ∥ ? , m ? ? , n ? ? ? m ∥ n ; ③ m ∥ n , m ∥ ? ? n ∥ ? ;④ ? ∥ ? , m ∥ n , m ? ? ? n ? ? . 其中正确命题的序号是____________. 14. A 点从原点出发,每步走一个单位,方向为向上或向右,则走三步时,所有可能终点的

横坐标的 和为_________;走 n 步时,所有可能终点的横坐标的和为_________. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

? 3 a ? (sin x, ) ? 2 , b ? (cos x,?1) 15. (本小题 13 分)已知向量

? ? 2 a (1)当 ∥ b 时,求 2 cos x ? sin 2 x 的值;
? ? ? ? ? ? ?? ,0? (2)求 f ( x) ? (a ? b ) ? b 在 ? 2 ? 上的值域.

16. (本小题 12 分)袋中有大小、形状相同的红、黑球各两个,现依次不放回地随机取 3 次, 每次取一个球. (1)试问:一共有多少种不同的结果,请列出所有可能的结果; (2)若摸到红球时得 2 分,摸到黑球时得 1 分,求 3 次摸球所得总分为 5 的概率.

17. (本小题 13 分)如图,在四棱锥 P - ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形,侧棱 PD⊥底面 ABCD ,

P

E F

PD ? DC , E 是 PC 的中点,作 EF ⊥ PB 交 PB 于点 F .
(1)证明: PA ∥平面 EDB ; (2)证明: PB ⊥平面 EFD .
D A B C

f ( x) ?
18. (本小题 14 分)已知函数

1 3 x ? ax 2 ? 10 x( x ? R) 3 .

(1)若 a ? 3 ,点 P 为曲线 y ? f ( x) 上的一个动点,求以点 P 为切点的切线斜率取最小值时 的切线方程; (2)若函数 y ? f ( x) 在 (0,??) 上为单调增函数,试求 a 的取值范围.

x2 y2 4 ? 2 ?1 e? 2 (a ? b ? 0) 的一个顶点为 A (0,3) ,离心率 5 b 19. (本小题 14 分)椭圆 a
(1)求椭圆方程; (2) 若直线 ?:y ? kx ? 3 与椭圆交于不同的两点 M , N , 且满足 MP ? PN , AP ? MN ? 0 , 求直线 ? 的方程.

20. (本小题 14 分) 已知数列 且有

?a n ?为等差数列,a3 ? 5 ,a7

?b ? ? 13 , S 数列 n 的前 n 项和为 n ,

S n ? 2bn ? 1

(1)求

?a n ?、 ?bn ?的通项公式;

(2)若

c n ? a n bn , ?c n ?的前 n 项和为 Tn ,求 Tn ; Tn 与 a n S n 的大小,并说明理由.

(3)试比较

参考答案 选择题 1.B 2.A 填空题

3.C

4.A

5 .C

6.D

7.B

8.A

9.127

10. 2?

11.27

1 12.64 ; 8

13.①④

n(n ? 1) 2 14.6 ;

注:两空的题目,第一个空 2 分,第二个空 3 分 解答题 15.解: (1)∵ a ∥ b ,

?

?

3 cos x ? sin x ? 0 ∴2 , tan x ? ?


3 2,

?3 分

2 cos 2 x ? sin 2 x ?


2 cos 2 x ? 2 sin x cos x 2 ? 2 tan x 20 ? ? sin 2 x ? cos 2 x 1 ? tan 2 x 13 .

?6 分

? ? 1 a ? b ? (sin x ? cos x, ) 2 , (2)∵

? ? ? f ( x) ? (a ? b ) ? b ?


2 ? sin( 2 x ? ) 2 4 ,

?8 分

?


?
2

?x?0

3? ? ? ? 2x ? ? 4 4, ,∴ 4 ?

? 1 ? sin( 2 x ?


?
4

)?

2 2 ,

?10 分

?


2 1 ? f ( x) ? 2 2,

?12 分

? 2 1? , ? ?? 2 2? f ( x ) ? ∴函数 的值域为 .

?13 分

16.解: (1)一共有 6 种不同的结果. 列举如下: (红红黑) (红黑红) (黑红红) (红黑黑) (黑红黑) (黑黑红)?6 分 (2)记“3 次摸球所得总分为 5”为事件 A. 事件 A 包含的基本事件为: (红红黑) (红黑红) (黑红红) 由(1)可知,基本事件总数为 6

P( A) ?
∴事件 A 的概率

3 1 ? 6 2.
P

?12 分

E F

17.证明: (1)连结 AC 交 BD 与 O ,连结 EO . ∵底面 ABCD 是正方形, ∴点 O 是 AC 的中点. 又∵ E 是 PC 的中点 ∴在△ PAC 中, EO 为中位线 ∴ PA ∥ EO . 而 EO ? 平面 EDB , PA ? 平面 EDB , ∴ PA ∥平面 EDB . (2)由 PD ⊥底面 ABCD ,得 PD ⊥ BC . ∵底面 ABCD 是正方形, ∴ DC ⊥ BC , ∴ BC ⊥平面 PDC . ∴ BC ⊥ DE .① ∵ PD ? DC , E 是 PC 的中点, 而 DE ? 平面 PDC ,
A

D

C O B

?3 分

?6 分

?8 分

∴△ PDC 是等腰三角形, DE ⊥ PC .② 由①和②得 DE ⊥平面 PBC . 而 PB ? 平面 PBC , ∴ DE ⊥ PB . 又 EF ⊥ PB 且 DE ? EF = E , ∴ PB ⊥平面 EFD . 18.解: (1)设切线的斜率为 k ,

?10 分

?12 分

?13 分

? 则 f ( x) ? x ? 6 x ? 10 ? ( x ? 3) ? 1 ,
2 2

?2 分

显然当 x ? 3 时切线斜率取最小值 1, 又 f (3) ? 12 , ∴所求切线方程为 y ? 12 ? x ? 3 ,即 x ? y ? 9 ? 0 。 ?4 分 ?6 分 ?8 分

? (2) f ( x) ? x ? 2ax ? 10 .
2

∵ y ? f ( x) 在 x ? (0,??) 为单调递增函数

? 即对任意的 x ? (0,??) ,恒有 f ( x) ? 0 ,

?10 分

? 即 f ( x) ? x ? 2ax ? 10 ? 0 .
2

a?


x 2 ? 10 x 5 ? ? 2x 2 x,

?12 分

x 5 ? ? 10 而2 x ,当且仅当 x ? 10 时,等号成立,
∴ a ? 10 . ?14 分

19.解: (1)依题意,有

? b?3 ? ?e ? c ? 4 ? a 5 ? 2 2 2 ? ?a ? b ? c

?a ? 5 ? b?3 ,解得 ?

?3 分

x2 y2 ? ?1 9 ∴椭圆方程为 25 .
(2)∵ MP ? PN , AP ? MN ? 0 , ∴ AP ? MN ,且 P 是线段 MN 的中点,

?5 分

?7 分

? y ? kx ? 3 ? 2 y2 ?x ? ?1 ? 9 由 ? 25 消去 y 并整理得,

(25k 2 ? 9) x 2 ? 150kx ? 0 .
设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x 2 , y 2 ) 、

?9 分

P( x0 , y 0 )



x1 ? x 2 ?

x ? x2 75k 150k x0 ? 1 ? 2 2 25k 2 ? 9 25k ? 9 ,∴
? 27 25k 2 ? 9



y 0 ? kx0 ? 3 ?

P(


75k ? 27 , ) 2 25k ? 9 25k 2 ? 9

?11 分

k AP
∵ k ? 0 ,∴直线 AP 的斜率为

? 27 ?3 2 ? 25k 2 ? 18 ? 25k ? 9 ? 75k 25k 2 25k ? 9

? 25k 2 ? 18 ? k ? ?1 25k 由 MN ? AP ,得 ,
k??
解得

7 5

(此时满足判别式 ? ? 0 )

?13 分

∴直线 ? 的方程为 20.解: (1)∵

y??

7 x?3 5 .

?14 分

?a n ?是等差数列,且 a3 ? 5 , a7

? 13 ,设公差为 d 。

? a1 ? 2d ? 5 ?a1 ? 1 ? ? a ? 6d ? 13 d ?2 ∴? 1 , 解得 ?


a n ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1

(n? N )

?

?2 分



?bn ?中,∵ S n

? 2bn ? 1

当 n ? 1 时, b1 ? 2b1 ? 1 ,∴ b1 ? 1 当 n ? 2 时,由

S n ? 2bn ? 1 及 S n ?1 ? 2bn ?1 ? 1 可得

bn ? 2bn ? 2bn ?1 ,∴ bn ? 2bn ?1
∴ ∴ (2)

?bn ?是首项为 1 公比为 2 的等比数列
bn ? 2 n ?1
(n? N )
?

?4 分

c n ? a n bn ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 Tn ? 1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 2Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? 5 ? 2 3 ? ? ? (2n ? 3) ? 2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 n
①-②得 ① ②

? Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 ? 2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 n

? 1? 2?

2(1 ? 2 n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n 1? 2

? 1 ? 4(2 n ?1 ? 1) ? (2n ? 1) ? 2 n ? ?3 ? (2n ? 3) ? 2 n
∴ (3)

Tn ? (2n ? 3) ? 2 n ? 3

(n? N )

?

?8 分

Tn ? a n S n ? (2n ? 3) ? 2 n ? 3 ? (2n ? 1)(2 n ? 1)

? (2n ? 3) ? 2 n ? 3 ? (2n ? 1) ? 2 n ? 2n ? 1 ? 2n ? 2 ? 2 ? 2 n ? 2(n ? 1 ? 2 n )
x x ? 令 f ( x) ? x ? 1 ? 2 ( x ? 1) ,则 f ( x) ? 1 ? 2 ln 2

?9 分

? ? ∵ f ( x) 在 ?1,?? ? 是减函数,又 f (1) ? 1 ? 2 ln 2 ? 1 ? ln 4 ? 0
? ∴ x ? 1 时, f ( x) ? 0
∴ x ? 1 时, f ( x) 是减函数. 又 f (1) ? 1 ? 1 ? 2 ? 0

∴ x ? 1 时, f ( x) ? 0 ∴ x ? 1 时, x ? 1 ? 2 ? 0
x

?13 分

∴ n ? N 时, n ? 1 ? 2 ? 0
n

?

∴ n ? N 时,

?

Tn ? a n S n

?14 分


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