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高中抛物线经典练习题(中等偏难)


抛物线
一.选择题(共 18 小题) 1. (2014?武汉模拟)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y =4 x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4 积为( ) A .2 B.2 C .2 D.4
2 2

,则△ POF 的面

2. (2014?和平区模拟)在抛物线 y=x +ax﹣5(a≠0)上取横坐标为

x1=﹣4,x2=2 的两点,经过两点引一条割线, 2 2 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x +5y =36 相切,则抛物线顶点的坐标为( ) A.(﹣2,﹣9) B.(0,﹣5) C.(2,﹣9) D.(1,6) 3. (2014?南阳三模)动圆 C 经过点 F(1,0) ,并且与直线 x=﹣1 相切,若动圆 C 与直线 总有公共点, 则圆 C 的面积( ) A.有最大值 8π B.有最小值 2π C.有最小值 3π D.有最小值 4π 4. (2014?九江模拟)点 P 是抛物线 y =4x 上一动点,则点 P 到点 A(0,﹣1)的距离与到直线 x=﹣1 的距离和的 最小值是( ) A. B. C .2 D. 5. (2014?鄂尔多斯模拟)已知直线 y=k(x+2) (k>0)与抛物线 C:y =8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点,若 |FA|=2|FB|,则 k=( ) A. B. C. D.
2 2

6. (2014?宜宾一模)已知抛物线 y =2px 的焦点 F 到其准线的距离是 6,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K,A 在抛 物线上,且 ,则△ AFK 的面积为( ) A.18 B.16 C .9 D.6
2

2

7. (2014?河南) 已知抛物线 C: y =8x 的焦点为 F, 准线为 l, P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个交点, 若 则|QF|=( A. ) B.3 C. D.2

=4



8. (2014?甘肃二模)过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点,如果 x1+x2=6,那么 |AB|=( ) A .6 B.8 C .9 D.10 9. (2014?宣城二模)已知抛物线方程为 y =4x,直线 l 的方程为 x﹣y+4=0,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离 为 d1,P 到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为( ) A. B. C. D.
2

2

10. (2012?山东)已知双曲线 C1:



=1(a>0,b>0)的离心率为 2,若抛物线 C2:x =2py(p>0)的焦点

2

到双曲线 C1 的涟近线的距离是 2,则抛物线 C2 的方程是( ) 2 A. B. 2 C.x =8y x= y

D.x2=16y

11. (2012?烟台一模)已知 P 为抛物线 y =4x 上一个动点,Q 为圆 x +(y﹣4) =1 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A. B. C. D. 12. (2011?湖南模拟)设抛物线 y =4x 上一点 P 到直线 x=﹣3 的距离为 5,则点 P 到该抛物线焦点的距离是( A .3 B.4 C .6 D.8
2 2

2

2

2



13. (2011?黑龙江一模)已知抛物线 y =2px(p>0) ,F 为其焦点,l 为其准线,过 F 任作一条直线交抛物线于 A、 B 两点,A'、B'分别为 A、B 在 l 上的射影,M 为 A'B'的中点,给出下列命题: ① A'F⊥ B'F; ② AM⊥ BM; ③ A'F∥ BM; ④ A'F 与 AM 的交点在 y 轴上; ⑤ AB'与 A'B 交于原点. 其中真命题的个数为( ) A .2 个 B.3 个 C .4 个 D.5 个 14. (2011?西城区二模)已知点 A(﹣1,0) ,B(1,0)及抛物线 y =2x,若抛物线上点 P 满足|PA|=m|PB|,则 m 的最大值为( ) A .3 B.2 C. D. 15. (2010?陕西)已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x﹣3) +y =16 相切,则 p 的值为( A. B.1 C .2 D.4
2 2 2 2



16. (2010?宁波二模)已知 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆 则此椭圆的离心率为( A. ) B.

=1(a>b>0)上的一点,若 PF1⊥ PF2,tan∠ PF1F2= ,

C.

D.

17. (2009?天津)设抛物线 y =2x 的焦点为 F,过点 M( 准线相交于点 C,|BF|=2,则△ BCF 与△ ACF 的面积之比 A. B.

2

,0)的直线与抛物线相交于 A、B 两点,与抛物线的 =( C. ) D.

18. (2006?江西)设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y =4x 的焦点,A 是抛物线上一点,若 是( ) A.(2,±2 ) B.(1,±2) C.(1,2)

2

=﹣4 则点 A 的坐标

D.(2,2



二.填空题(共 4 小题) 2 19. (2014?宜春模拟)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的准线 l,过 M(1,0)且斜率为 与 C 的一个交点为 B,若 ,则 p= _________ .
2

的直线与 l 相交于 A,

20. (2012?重庆)过抛物线 y =2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点,若 _________ .
2

2

,则|AF|=

21. (2010?重庆)已知以 F 为焦点的抛物线 y =4x 上的两点 A、B 满足 _________ .

=3

,则弦 AB 的中点到准线的距离为

22. (2004?陕西)设 P 是曲线 y =4(x﹣1)上的一个动点,则点 P 到点(0,1)的距离与点 P 到 y 轴的距离之和 的最小值是 _________ . 三.解答题(共 5 小题) 23. (2013?广东)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F(0,c) (c>0)到直线 l:x﹣y﹣2=0 的距离为 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|?|BF|的最小值. 24. (2014?包头一模)设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,l 与 x 轴交于点 R,A 为 C 上一点,已 知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (1)若∠ BFD=120°,△ ABD 的面积为 8 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)在(1)的条件下,若 A,B,F 三点在同一直线上,FD 与抛物线 C 交于点 E,求△ EDA 的面积. 25. (2012?湛江模拟)已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方的点, A 到抛物线准线的距离等于 5.过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M. (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN⊥ FA,垂足为 N,求点 N 的坐标; (3)以 M 为圆心,MB 为半径作圆 M,当 K(m,0)是 x 轴上一动点时,讨论直线 AK 与圆 M 的位置关系.
2 2

2

,设

26. (2011?浙江模拟)在平面直角坐标系中,已知点 P(1,﹣1) ,过点 P 作抛物线 T0:y=x 的切线,其切点分别 为 M(x1,y1) 、N(x2,y2) (其中 x1<x2) . (Ⅰ )求 x1 与 x2 的值; (Ⅱ )若以点 P 为圆心的圆 E 与直线 MN 相切,求圆 E 的面积; (Ⅲ )过原点 O(0,0)作圆 E 的两条互相垂直的弦 AC,BD,求四边形 ABCD 面积的最大值. 27. (2014?长春三模)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,若过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线相交于 M, N 两点,且|MN|=8. (1)求抛物线 C 的方程; (2)设直线 l 为抛物线 C 的切线,且 l∥ MN,P 为 l 上一点,求
3
2

2

的最小值.

参考答案与试题解析
一.选择题(共 18 小题) 2 1. (2014?武汉模拟)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y =4 x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4 积为( ) A .2 B.2 C .2 D.4

,则△ POF 的面

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据抛物线方程, 算出焦点 F 坐标为 ( ) . 设P (m, n) , 由抛物线的定义结合|PF|=4 , 算出 m=3 , 从而得到 n= , 得到△ POF 的边 OF 上的高等于 2 , 最后根据三角形面积公式即可算出△ POF 的面积. 2 解答: 解:∵ 抛物线 C 的方程为 y =4 x
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∴ 2p=4

,可得 =

,得焦点 F(



设 P(m,n) 根据抛物线的定义,得|PF|=m+ =4 即 m+ =4 ,解得 m=3 2 ∵ 点 P 在抛物线 C 上,得 n =4 ∴ n= = ∵ |OF|= ∴ △ POF 的面积为 S= |OF|×|n|= 故选:C ,

×3

=24

=2

点评: 本题给出抛物线 C:y =4 x 上与焦点 F 的距离为 4 的点 P,求△ POF 的面积.着重考查了三角形的面积 公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题. 2. (2014?和平区模拟)在抛物线 y=x +ax﹣5(a≠0)上取横坐标为 x1=﹣4,x2=2 的两点,经过两点引一条割线, 2 2 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x +5y =36 相切,则抛物线顶点的坐标为( ) A.(﹣2,﹣9) B.(0,﹣5) C.(2,﹣9) D.(1,6) 考点: 抛物线的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 求出两个点的坐标,利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率;利用导数在切点处的值为切线的斜率求出 切点坐标; 利用直线方程的点斜式求出直线方程; 利用直线与圆相切的条件求出 a, 求出抛物线的顶点坐标. 解答: 解:两点坐标为(﹣4,11﹣4a) ; (2,2a﹣1)
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2

2

4

两点连线的斜率 k= 对于 y=x +ax﹣5 y′ =2x+a ∴ 2x+a=a﹣2 解得 x=﹣1 在抛物线上的切点为(﹣1,﹣a﹣4) 切线方程为(a﹣2)x﹣y﹣6=0 直线与圆相切,圆心(0,0)到直线的距离=圆半径
2

解得 a=4 或 0(0 舍去) 2 抛物线方程为 y=x +4x﹣5 顶点坐标为(﹣2,﹣9) 故选 A. 点评: 本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆 心到直线的距离等于半径. 3. (2014?南阳三模)动圆 C 经过点 F(1,0) ,并且与直线 x=﹣1 相切,若动圆 C 与直线 总有公共点, 则圆 C 的面积( ) A.有最大值 8π B.有最小值 2π C.有最小值 3π D.有最小值 4π 考点: 抛物线的定义;点到直线的距离公式;圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意可得动圆圆心 C(a,b)的方程为 y2=4x.即 b2=4a.由于动圆 C 与直线 总有公共点, 利用点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系可得圆心 C 到此直线的距离 d≤r=|a+1|=a+1.据此可得出 b 或 a 满足的条件,进而得出圆 C 的面积的最小值. 2 2 解答: 解:由题意可得:动圆圆心 C(a,b)的方程为 y =4x.即 b =4a.
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∵ 动圆 C 与直线 ∴ 又 ≤a+1, ,上式化为

总有公共点,∴ 圆心 C 到此直线的距离 d≤r=|a+1|=a+1.

,化为

解得 b≥2 或 . 2 当 b=2 时,a 取得最小值 1,此时圆 C 由最小面积 π×(1+1) =4π. 故选:D. 点评: 本题综合考查了抛物线的定义、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、一元二次不等式及其圆的面 积等基础知识,考查了推理能力和计算能力. 4. (2014?九江模拟)点 P 是抛物线 y =4x 上一动点,则点 P 到点 A(0,﹣1)的距离与到直线 x=﹣1 的距离和的 最小值是( ) A. B. C .2 D. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 由抛物线的性质,我们可得 P 点到直线 x=﹣1 的距离等于 P 点到抛物线 y2=4x 焦点 F 的距离,根据平面上 两点之间的距离线段最短,即可得到点 P 到点 A(0,﹣1)的距离与到直线 x=﹣1 的距离和的最小值. 2 解答: 解:∵ P 点到直线 x=﹣1 的距离等于 P 点到抛物线 y =4x 焦点 F 的距离 故当 P 点位于 AF 上时,点 P 到点 A(0,﹣1)的距离与到直线 x=﹣1 的距离和最小 此时|PA|+|PF|=|AF|=
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2

5

故选 D 点评: 本题考查的知识点是抛物线的简单性质,其中根据抛物线的性质,将点 P 到点 A(0,﹣1)的距离与到直 线 x=﹣1 的距离和,转化为 P 点到 A,F 两点的距离和,是解答本题的关键. 5. (2014?鄂尔多斯模拟)已知直线 y=k(x+2) (k>0)与抛物线 C:y =8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点,若 |FA|=2|FB|,则 k=( ) A. B. C. D.
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据直线方程可知直线恒过定点,如图过 A、B 分别作 AM⊥ l 于 M,BN⊥ l 于 N,根据|FA|=2|FB|,推断出
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|AM|=2|BN|,点 B 为 AP 的中点、连接 OB,进而可知
2

,进而推断出|OB|=|BF|,进而求得点 B

的横坐标,则点 B 的坐标可得,最后利用直线上的两点求得直线的斜率. 解答: 解:设抛物线 C:y =8x 的准线为 l:x=﹣2 直线 y=k(x+2) (k>0)恒过定点 P(﹣2,0) 如图过 A、B 分别作 AM⊥ l 于 M,BN⊥ l 于 N, 由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|, 点 B 为 AP 的中点、连接 OB, 则 ,

∴ |OB|=|BF|,点 B 的横坐标为 1, 故点 B 的坐标为 故选 D ,

点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了对抛物线的基础知识的灵活运用. 6. (2014?宜宾一模)已知抛物线 y =2px 的焦点 F 到其准线的距离是 6,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K,A 在抛 物线上,且 ,则△ AFK 的面积为( ) A.18 B.16 C .9 D.6 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线的性质可求 p,进而可求抛物线的方程,设 A(x,y) ,K(﹣4,0) ,F(4,0) ,由 , 及点 A 在抛物线上,利用两点间的距离公式可得关于 x,y 的方程,解方程可求 A 的坐标,进而可求△ AFK 的面积.
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2

6

解答: 解:由题意可得,p=6 ∴ 抛物线的方程为 y =12x 设 A(x,y) ,K(﹣3,0) ,F(3,0) ∵ , ∴ ∵ y =12x 2 ∴ x ﹣6x+9=0 ∴ x=3,|y|=6 = ×6×6=18 故选:A. 点评: 本题主要考查了抛物线的性质的简单应用及基本的运算能力,属于中档题.
2 2 2

=

整理可得,x +y ﹣18x+9=0

2

2

7. (2014?河南) 已知抛物线 C: y =8x 的焦点为 F, 准线为 l, P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个交点, 若 则|QF|=( A. ) B.3 C. D.2

=4



考点: 专题: 分析: 解答:

抛物线的简单性质. 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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求得直线 PF 的方程,与 y =8x 联立可得 x=1,利用|QF|=d 可求. 解:设 Q 到 l 的距离为 d,则|QF|=d, ∵ =4 ,

2

∴ |PQ|=3d, ∴ 直线 PF 的斜率为﹣2 , ∵ F(2,0) , ∴ 直线 PF 的方程为 y=﹣2 (x﹣2) , 2 与 y =8x 联立可得 x=1, ∴ |QF|=d=1+2=3, 故选:B. 点评: 本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线的位置关系,属于基础题. 8. (2014?甘肃二模)过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点,如果 x1+x2=6,那么 |AB|=( ) A .6 B.8 C .9 D.10 考点: 专题: 分析: 解答: 抛物线的简单性质. 综合题;转化思想;综合法.
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2

抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点,故|AB|=x1+x2+2,由此易得弦长值. 解:由题意,p=2,故抛物线的准线方程是 x=﹣1, 2 ∵ 抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点 ∴ |AB|=x1+x2+2, 又 x1+x2=6 ∴ ∴ |AB|=x1+x2+2=8 故选 B. 点评: 本题考查抛物线的简单性质,解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等,由此关系将求弦长的
7

2

问题转化为求点到线的距离问题,大大降低了解题难度. 9. (2014?宣城二模)已知抛物线方程为 y =4x,直线 l 的方程为 x﹣y+4=0,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离 为 d1,P 到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为( ) A. B. C. D.
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 如图点 P 到 y 轴的距离等于点 P 到焦点 F 的距离减 1, 过焦点 F 作直线 x﹣y+4=0 的垂线, 此时 d1+d2 最小, 根据抛物线方程求得 F,进而利用点到直线的距离公式求得 d1+d2 的最小值. 解答: 解:如图点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离, 从而 P 到 y 轴的距离等于点 P 到焦点 F 的距离减 1.
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过焦点 F 作直线 x﹣y+4=0 的垂线,此时 d1+d2=|PF|+d2﹣1 最小, ∵ F(1,0) ,则|PF|+d2= 则 d1+d2 的最小值为 故选 D. . = ,

点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质,两点距离公式的应用.解此列题设和先画出图象,进而利用数形结合 的思想解决问题.

10. (2012?山东)已知双曲线 C1:



=1(a>0,b>0)的离心率为 2,若抛物线 C2:x =2py(p>0)的焦点

2

到双曲线 C1 的涟近线的距离是 2,则抛物线 C2 的方程是( ) 2 A. B. 2 C.x =8y x= y

D.x2=16y

考点: 抛物线的简单性质;点到直线的距离公式;双曲线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 利用双曲线的离心率推出 a,b 的关系,求出抛物线的焦点坐标,通过点到直线的距离求出 p,即可得到抛 物线的方程. 解答: 解:双曲线 C1: 的离心率为 2.
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所以

,即:

=4,所以

;双曲线的渐近线方程为:

抛物线

的焦点(0, )到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,
8

所以 2=
2

,因为

,所以 p=8.

抛物线 C2 的方程为 x =16y. 故选 D. 点评: 本题考查抛物线的简单性质,点到直线的距离公式,双曲线的简单性质,考查计算能力. 11. (2012?烟台一模)已知 P 为抛物线 y =4x 上一个动点,Q 为圆 x +(y﹣4) =1 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A. B. C. D. 考点: 抛物线的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据抛物线方程求得焦点坐标,根据圆的方程求得圆心坐标,根据抛物线的定义可知 P 到准线的距离等 于点 P 到焦点的距离,进而问题转化为求点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的焦点距离之和的最小值,根 据图象可知当 P,Q,F 三点共线时 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的焦点距离之和的最小,为圆心到焦点 F 的距离减去圆的半径. 2 2 解答: 解:抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0) ,圆 x +(y﹣4) =1 的圆心为 C(0,4) , 根据抛物线的定义可知点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点的距离, 进而推断出当 P,Q,F 三点共线时 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的焦点距离之和的最小为:
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2

2

2

, 故选 C. 点评: 本题主要考查了抛物线的应用.考查了学生转化和化归,数形结合等数学思想. 12. (2011?湖南模拟)设抛物线 y =4x 上一点 P 到直线 x=﹣3 的距离为 5,则点 P 到该抛物线焦点的距离是( A .3 B.4 C .6 D.8
2



考点: 抛物线的定义. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程,根据点 P 到直线 x=﹣3 的距离求得点到准线的距离,进而利 用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等,从而求得答案. 解答: 解:抛物线 y2=4x 的准线为 x=﹣1, ∵ 点 P 到直线 x=﹣3 的距离为 5, ∴ 点 p 到准线 x=﹣1 的距离是 5﹣2=3, 根据抛物线的定义可知,点 P 到该抛物线焦点的距离是 3, 故选 A. 点评: 本题主要考查了抛物线的定义.充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等这一特性.
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13. (2011?黑龙江一模)已知抛物线 y =2px(p>0) ,F 为其焦点,l 为其准线,过 F 任作一条直线交抛物线于 A、 B 两点,A'、B'分别为 A、B 在 l 上的射影,M 为 A'B'的中点,给出下列命题: ① A'F⊥ B'F; ② AM⊥ BM; ③ A'F∥ BM; ④ A'F 与 AM 的交点在 y 轴上; ⑤ AB'与 A'B 交于原点. 其中真命题的个数为( ) A .2 个 B.3 个 C .4 个 D.5 个
9

2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: ① 由于 A,B 在抛物线上,根据抛物线的定义可知 A'F=AF,B'F=BF,从而由相等的角,由此可判断 A'F⊥ B'F;
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② 取 AB 中点 C,利用中位线即抛物线的定义可得 CM=

,从而 AM⊥ BM;

③ 由② 知,AM 平分∠ A′ AF,从而可得 A′ F⊥ AM,根据 AM⊥ BM,利用垂直于同一直线的两条直线平行,可 得结论; ④ 取 AB⊥ x 轴,则四边形 AFMA'为矩形,则可得结论; ⑤ 取 AB⊥ x 轴,则四边形 ABB'A'为矩形,则可得结论. 解答: 解:① 由于 A,B 在抛物线上,根据抛物线的定义可知 A'F=AF,B'F=BF,因为 A′ 、B′ 分别为 A、B 在 l 上 的射影,所以 A'F⊥ B'F; ② 取 AB 中点 C,则 CM= ,∴ AM⊥ BM;

③ 由② 知,AM 平分∠ A′ AF,∴ A′ F⊥ AM,∵ AM⊥ BM,∴ A'F∥ BM; ④ 取 AB⊥ x 轴,则四边形 AFMA′ 为矩形,则可知 A'F 与 AM 的交点在 y 轴上; ⑤ 取 AB⊥ x 轴,则四边形 ABB'A'为矩形,则可知 AB'与 A'B 交于原点 故选 D.

点评: 本题以抛物线为载体,考查抛物线的性质,解题的关键是合理运用抛物线的定义. 14. (2011?西城区二模)已知点 A(﹣1,0) ,B(1,0)及抛物线 y =2x,若抛物线上点 P 满足|PA|=m|PB|,则 m 的最大值为( ) A .3 B.2 C. D. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由题意可得 m =
2 2

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=

=

=1+

≤3,可得 m≤



解答: 解:设 P( ,y) ,由题意可得 m =
2

=

=

=1+

≤1+

=3,∴ m≤

,当且仅当 y =2 时,等号成立,
10

2

故选 C. 点评: 本题考查抛物线的标准方程,以及简单性质,基本不等式的应用,运用基本不等式求出 m ≤3,是解题的关 键. 15. (2010?陕西)已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x﹣3) +y =16 相切,则 p 的值为( A. B.1 C .2 D.4
2 2 2 2



考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据抛物线的标准方程可知准线方程为
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,根据抛物线的准线与圆相切可知 ,
2 2

求得 p.

解答:

解:抛物线 y =2px(p>0)的准线方程为
2

2

因为抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x﹣3) +y =16 相切, 所以 ;

故选 C. 点评: 本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系.

16. (2010?宁波二模)已知 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆 则此椭圆的离心率为( A. ) B.

=1(a>b>0)上的一点,若 PF1⊥ PF2,tan∠ PF1F2= ,

C.

D.

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设|PF1|=m,根据△ PF1F2 为直角三角形和 tan∠ PF1F2= ,可分别表示出|PF2|和|F1F2|,进而表示出 a 和 c,最
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后根据 e= 求得答案. 解答: 解:由题得△ PF1F2 为直角三角形,设|PF1|=m, 则 tan∠ PF1F2= ∴ |PF2|= ,|F1F2|= ∴ e= = 故选 D. 点评: 本题考查椭圆离心率的求法.属基础题. 17. (2009?天津)设抛物线 y =2x 的焦点为 F,过点 M( 准线相交于点 C,|BF|=2,则△ BCF 与△ ACF 的面积之比 A. B. C.
11
2

m,

,0)的直线与抛物线相交于 A、B 两点,与抛物线的 =( ) D.

考点: 抛物线的应用;抛物线的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题;压轴题;数形结合. 分析: 根据 F 到直线 AB 的距离为定值.推断出 = ,进而根据两三角形相似,推断出
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=



根据抛物线的定义求得 = ,根据|BF|的值求得 B 的坐标,进而利用两点式求得直线的方程,把 x= 代入,即可求得 A

的坐标,进而求得 的值,则三角形的面积之比可得. 解答: 解:如图过 B 作准线 l:x=﹣ 的垂线,垂足分别为 A1,B1, 由于 F 到直线 AB 的距离为定值. ∴ = .

又∵ △ B1BC∽ △ A1AC、 ∴ = ,

由拋物线定义

=

=



由|BF|=|BB1|=2 知 xB= ,yB=﹣ ∴ AB:y﹣0= (x﹣ ) .



把 x=

代入上式,求得 yA=2,xA=2,

∴ |AF|=|AA1|= . 故 故选 A = = = .

12

点评: 本题主要考查了抛物线的应用,抛物线的简单性质.考查了学生基础知识的综合运用和综合分析问题的能 力.
2

18. (2006?江西)设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y =4x 的焦点,A 是抛物线上一点,若 是( ) A.(2,±2 B.(1,±2) C.(1,2)

=﹣4 则点 A 的坐标



D.(2,2



考点: 抛物线的标准方程. 专题: 计算题;压轴题. 分析:

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先求出抛物线的焦点 F(1,0) ,根据抛物线的方程设 A( ﹣4 可求得 y0 的值,最后可得答案. 解答: 解:F(1,0)设 A( ,y0)

,y0) ,然后构成向量



,再由

=



=(

,y0) ,

=(1﹣

,﹣y0) ,



?

=﹣4∴ y0=±2,∴ A(1,±2)

故选 B. 点评: 本题主要考查抛物线的标准方程.抛物线的标准方程是高考的考点,是圆锥曲线的重要的一部分,要重视 复习. 二.填空题(共 4 小题) 2 19. (2014?宜春模拟)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的准线 l,过 M(1,0)且斜率为 与 C 的一个交点为 B,若 ,则 p= 2 .

的直线与 l 相交于 A,

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 2 设直线 AB 的方程与抛物线方程联立消去 y 得 3x +(﹣6﹣2p)x+3=0,进而根据
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,可知 M 为 A、B

的中点,
13

可得 p 的关系式,解方程即可求得 p. 解答: 解:设直线 AB: 又∵ ,代入 y =2px 得 3x +(﹣6﹣2p)x+3=0,
2 2

,即 M 为 A、B 的中点,

∴ xB+(﹣ )=2,即 xB=2+ , 得 p +4P﹣12=0, 解得 p=2,p=﹣6(舍去) 故答案为:2 点评: 本题考查了抛物线的几何性质.属基础题.
2 2

20. (2012?重庆)过抛物线 y =2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点,若 .

,则|AF|=

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设出点的坐标与直线的方程,利用抛物线的定义表示出|AF|、|BF|再联立直线与抛物线的方程利用根与系数 的关系解决问题,即可得到答案. 解答: 解:由题意可得:F( ,0) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .
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因为过抛物线 y =2x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点, 所以|AF|= +x1,|BF|= +x2. 因为 ,所以 x1+x2=

2

设直线 l 的方程为 y=k(x﹣ ) , 联立直线与抛物线的方程可得:k x ﹣(k +2)x+ 所以 x1+x2= .
2 2 2

=0,

∴ ∴ k =24 2 ∴ 24x ﹣26x+6=0, ∴ ,
2

∴ |AF|= +x1= 故答案为: 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的定义,以及掌握直线与抛物线位置关系,并且结合准确的运算也 是解决此类问题的一个重要方面

14

21. (2010?重庆)已知以 F 为焦点的抛物线 y =4x 上的两点 A、B 满足 .

2

=3

,则弦 AB 的中点到准线的距离为

考点: 抛物线的简单性质;点到直线的距离公式;抛物线的定义. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设 BF=m,由抛物线的定义知 AA1 和 BB1,进而可推断出 AC 和 AB,及直线 AB 的斜率,则直线 AB 的方 程可得,与抛物线方程联立消去 y,进而跟韦达定理求得 x1+x2 的值,则根据抛物线的定义求得弦 AB 的中 点到准线的距离. 解答: 解:设 BF=m,由抛物线的定义知
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AA1=3m,BB1=m ∴ △ ABC 中,AC=2m,AB=4m, 直线 AB 方程为 2 与抛物线方程联立消 y 得 3x ﹣10x+3=0 所以 AB 中点到准线距离为 故答案为

点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题.常需要利用抛物线的定 义来解决. 22. (2004?陕西)设 P 是曲线 y =4(x﹣1)上的一个动点,则点 P 到点(0,1)的距离与点 P 到 y 轴的距离之和 的最小值是 . 考点: 抛物线的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据抛物线方程求出其准线与焦点坐标,在与抛物线的性质可得到当点 P 为(0,1)点与(2,0)点的 连线与抛物线的交点时,距离和最小,最后根据两点间的距离公式得到答案. 2 解答: 解:y =4(x﹣1)的图象是以 y 轴为准线, (2,0)为焦点的抛物线,∴ 当点 P 为(0,1)点与(2,0)点 的连线与抛物线的交点时,距离和最小,
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2

最小值为:

=



故答案为: . 点评: 本题主要考查抛物线的基本性质和两点间的距离公式的应用.抛物线的简单性质是高考的重点,考题一般 不难,但是灵活性要求比较高.
15

三.解答题(共 5 小题) 23. (2013?广东)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F(0,c) (c>0)到直线 l:x﹣y﹣2=0 的距离为 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|?|BF|的最小值. 考 抛物线的标准方程;利用导数研究曲线上某点切线方程;抛物线的简单性质. 点: 专 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 题: 分 (1)利用焦点到直线 l:x﹣y﹣2=0 的距离建立关于变量 c 的方程,即可解得 c,从而得出抛物线 C 的方程; 析: (2)先设 , ,由(1)得到抛物线 C 的方程求导数,得到切线 PA,PB 的
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,设

斜率,最后利用直线 AB 的斜率的不同表示形式,即可得出直线 AB 的方程; (3)根据抛物线的定义,有 , ,从而表示出|AF|?|BF|,再由(2)得 x1+x2=2x0,

x1x2=4y0,x0=y0+2,将它表示成关于 y0 的二次函数的形式,从而即可求出|AF|?|BF|的最小值. 解 解: (1)焦点 F(0,c) (c>0)到直线 l:x﹣y﹣2=0 的距离 答: 所以抛物线 C 的方程为 x =4y (2)设 , , ① PB: ,即 , ,所以切线 PA,PB 的斜率分别为 ② ,
2

,解得 c=1

由(1)得抛物线 C 的方程为 所以 PA: 联立① ② 可得点 P 的坐标为

又因为切线 PA 的斜率为

,整理得

直线 AB 的斜率 所以直线 AB 的方程为 整理得 ,即

因为点 P(x0,y0)为直线 l:x﹣y﹣2=0 上的点,所以 x0﹣y0﹣2=0,即 y0=x0﹣2 所以直线 AB 的方程为 (3)根据抛物线的定义,有 所以 =
16



由(2)得 x1+x2=2x0,x1x2=4y0,x0=y0+2 所以 =

所以当

时,|AF|?|BF|的最小值为

点 本题以抛物线为载体,考查抛物线的标准方程,考查利用导数研究曲线的切线方程,考查计算能力,有一定的 评:综合性. 24. (2014?包头一模)设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,l 与 x 轴交于点 R,A 为 C 上一点,已 知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (1)若∠ BFD=120°,△ ABD 的面积为 8 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)在(1)的条件下,若 A,B,F 三点在同一直线上,FD 与抛物线 C 交于点 E,求△ EDA 的面积. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)根据∠ BFD,|BF|=|FD|,推断出∠ FBD=∠ FBD=30°,进而表示出|FR|,|BF|,|BR|,|DF|,|DR|,进而表示 出|BD|及圆的半径,进而利用抛物线的定义求得 A 到直线 l 的距离,利用三角形的面积,求得 p,进而求得 F 的坐标和圆的方.
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2

(2) 根据 A, B, F 三点一线, 推断出 AB 为圆 F 的直径, 求得∠ ADB=90°, 利用抛物线的定义求得|AD|= |AB|, 求得∠ ABD,进而求得直线 DF 的斜率及直线的方程,与抛物线方程联立,求得交点的坐标即 E 点坐标,进 而求得点 E 到直线 AD 的距离,最后利用三角形面积公式求得△ EDA 的面积. 解答: 解: (1)∵ ∠ BFD=120°,|BF|=|FD|, ∴ ∠ FBD=∠ FBD=30°, ∵ 在 Rt△ BFR 中,|FR|=p, ∴ |BF|=2p,|BR|= p, 同理有|DF|=2p,|DR|= p, ∴ |BD|=|BR|+|RD|= P, 圆 F 的半径|FA|=|FB|=2p, 由抛物线的定义可知 A 到 l 的距离 d=|FA|=2p, ∵ △ ABD 的面积为 8 , ∴ |BD|?d= ,即 ?2 p?2p=8 ,解的 p=2 或 p=﹣2(舍去) ,
2 2

∴ F(1,0) ,圆 F 的方程为(x﹣1) +y =16. (2)∵ A,B,F 三点在同一直线上, ∴ AB 为圆 F 的直径,∠ ADB=90°, 由抛物线定义知|AD|=|FA|= |AB|, ∴ ∠ ABD=30°, 直线 DF 的斜率 k=tan60°= , ∴ 直线 DF 的方程为 y= (x﹣1) ,

17

解方程组

,求得

(舍去)或



∴ 点 E( ,﹣

) ,到 DA 的距离 d′ =|DR|﹣|yB|=2 = .



=



∴ S= |DA|?d′ = ×4×

点评: 本题主要考查了抛物线的基本性质,圆锥曲线的位置关系,圆的方程等问题.综合性强,计算量大,考查 了学生分析推理和运算的能力. 25. (2012?湛江模拟)已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方的点, A 到抛物线准线的距离等于 5.过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M. (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN⊥ FA,垂足为 N,求点 N 的坐标; (3)以 M 为圆心,MB 为半径作圆 M,当 K(m,0)是 x 轴上一动点时,讨论直线 AK 与圆 M 的位置关系.
2

考点: 抛物线的标准方程;直线与圆的位置关系;抛物线的简单性质. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 2 (Ⅰ )抛物线的准线为 ,于是 ,p=2,由此可知抛物线方程为 y =4x.
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(Ⅱ )由题意得 B,M 的坐标,



,直线 FA 的方程,直线 MN 的方程,由此可知点 N 的

坐标即可; (Ⅲ )由题意得,圆 M 的圆心坐标为(0,2) ,半径为 2.当 m=4 时,直线 AP 的方程为 x=4,此时,直线 AP 与圆 M 相离;当 m≠4 时,写出直线 AP 的方程,圆心 M(0,2)到直线 AP 的距离,由此可判断直线 AP 与圆 M 的位置关系. 解答: 解: (1)抛物线
2

,∴ p=2.

∴ 抛物线方程为 y =4x. (2)∵ 点 A 的坐标是(4,4) ,由题意得 B(0,4) ,M(0,2) ,
18

又∵ F(1,0) ,∴

,∴

, .*k*s*5*u

则 FA 的方程为 y= (x﹣1) ,MN 的方程为

解方程组

,∴



(3)由题意得,圆 M 的圆心是点(0,2) ,半径为 2. 当 m=4 时,直线 AK 的方程为 x=4,此时,直线 AK 与圆 M 相离, 当 m≠4 时,直线 AK 的方程为 圆心 M(0,2)到直线 AK 的距离 ,即为 4x﹣(4﹣m)y﹣4m=0, ,令 d>2,解得 m>1∴ 当 m>1 时,直线 AK 与圆

M 相离; 当 m=1 时,直线 AK 与圆 M 相切; 当 m<1 时,直线 AK 与圆 M 相交. 点评: 本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质、直线和圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,仔细 解答. 26. (2011?浙江模拟)在平面直角坐标系中,已知点 P(1,﹣1) ,过点 P 作抛物线 T0:y=x 的切线,其切点分别 为 M(x1,y1) 、N(x2,y2) (其中 x1<x2) . (Ⅰ )求 x1 与 x2 的值; (Ⅱ )若以点 P 为圆心的圆 E 与直线 MN 相切,求圆 E 的面积; (Ⅲ )过原点 O(0,0)作圆 E 的两条互相垂直的弦 AC,BD,求四边形 ABCD 面积的最大值. 考点: 抛物线的应用;基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 压轴题. 分析: 2 (Ⅰ ) 由 y=x 先求出 y′ =2x. 再由直线 PM 与曲线 T0 相切, 且过点 P ( 1, ﹣1) , 得到
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2

, , .



.同理可得

,或

,然后由 x1<x2 知

(Ⅱ )由题意知,x1+x2=2,x1?x2=﹣1,则直线 MN 的方程为:2x﹣y+1=0.再由点 P 到直线 MN 的距离即 为圆 E 的半径,可求出圆 E 的面积. (Ⅲ )四边形 ABCD 的面积为 线 BD 的距离为 d2,垂足为 E2; 由此可求出四边形 ABCD 面积的最大值.
2 解答: 解: (Ⅰ )由 y=x 可得,y′ =2x. (1 分) ∵ 直线 PM 与曲线 T0 相切,且过点 P(1,﹣1) ,

,设圆心 E 到直线 AC 的距离为 d1,垂足为 E1,圆心 E 到直



,即 x1 ﹣2x1﹣1=0, ,或 ,或 , (3 分) (4 分)

2

∴ 同理可得:

19

∵ x1<x2,∴



. (5 分)

(Ⅱ )由(Ⅰ )知,x1+x2=2,x1?x2=﹣1, 则直线 MN 的斜率 ,﹣﹣(6 分)
2

∴ 直线 M 的方程为:y﹣y1=(x1+x2) (x﹣x1) ,又 y1=x1 , 2 2 ∴ y﹣x1 =(x1+x2)x﹣x1 ﹣x1x2,即 2x﹣y+1=0. (7 分) ∵ 点 P 到直线 MN 的距离即为圆 E 的半径,即 故圆 E 的面积为 (Ⅲ )四边形 ABCD 的面积为 不妨设圆心 E 到直线 AC 的距离为 d1,垂足为 E1; 圆心 E 到直线 BD 的距离为 d2,垂足为 E2; 则
2 2

, (8 分)

. (9 分)

, (10 分)
2 2 2

由于四边形 EE1OE2 为矩形.且 d1 +d2 =|OE| =(1﹣0) +(﹣1﹣0) =2(11 分) 所以 由基本不等式 2ab≤a +b 可得 , 当且仅当 d1=d2 时等号成立. (14 分) 注: (Ⅲ )解法较多,阅卷时可酌情给分. 点评: 本题考查直线和圆锥轼线的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答. 27. (2014?长春三模)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,若过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线相交于 M, N 两点,且|MN|=8. (1)求抛物线 C 的方程; (2)设直线 l 为抛物线 C 的切线,且 l∥ MN,P 为 l 上一点,求 的最小值.
2 2 2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)过点 F 且斜率为 1 的直线代入抛物线,利用|MN|=8,可得 x1+x2+p=8,即可求抛物线 C 的方程; 2 (2)设 l 方程为 y=x+b,代入 y =4x,利用直线 l 为抛物线 C 的切线,求出 b,再利用向量的数量积公式求
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,利用配方法可求最小值. 解答: 解: (1)由题可知 代入 y =2px(p>0)得:
2

,则该直线方程为: ,

,…(1 分)

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则有 x1+x2=3p…(3 分) ∵ |MN|=8,∴ x1+x2+p=8,即 3p+p=8,解得 p=2 2 ∴ 抛物线的方程为:y =4x.…(5 分) 2 2 2 (2)设 l 方程为 y=x+b,代入 y =4x,得 x +(2b﹣4)x+b =0, ∵ l 为抛物线 C 的切线,∴ △ =0,
20

解得 b=1,∴ l:y=x+1…(7 分) 由(1)可知:x1+x2=6,x1x2=1 设 P(m,m+1) ,则 ∴ = ∵ x1+x2=6,x1x2=1, ,y1y2=﹣4, ,





∴ =2[m ﹣4m﹣3]=2[(m﹣2) ﹣7]≥﹣14 当且仅当 m=2 时,即点 P 的坐标为(2,3)时,
2 2

…(10 分)

的最小值为﹣14.…(12 分)

点评: 本题考查抛物线方程,直线与抛物线的位置关系,考查抛物线的定义,韦达定理的运用,考查向量的数量 积,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

21


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