当前位置:首页 >> 数学 >>

江苏省扬州市2013届高三数学5月考前适应性考试试题 理 苏教版


江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试理科数学 全卷分两部分:第一部分为所有考生必做部分(满分 160 分,考试时间 120 分钟) ,第二部分为选修物理考生的加试部分(满分 40 分, 考试时间 30 分钟) . 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.第一部分试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 3.选修物理的考生在第一部分考试结束后,将答卷交回,再参加加试部分的考试. 第一部分 T←1 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)

1. 已知集合 A ? {1, 2}, B ? {2,3} ,则 A ? B ? 2. 若复数 z ?





1 ? (a 2 ? 4)i, (a ? R) 是实数,则 a ? a?2



. ▲ . ▲

I←3 While I<50 T←T +I I←I +2 End While Print T

3. 已知某一组数据 8,9,11,12, x ,若这组数据的平均数为 10,则其方差为

4. 若以连续掷两次骰子得到的点数 m, n 分别作为点 P 的横、纵坐标,则点 P 在直线 x ? y ? 4 上的概率为 5. 运行如图语句,则输出的结果 T= 6. 若抛物线 y 2 ? 8x 的焦点与双曲线
▲ .



x2 ? y 2 ? 1的右焦点重合,则双曲线的离心率为 m





7. 已知一个圆锥的底面圆的半径为 1,体积为 8. 将函数 f ( x) ? 2sin(? x ?
增函数,则 ? 最大值为

2 2 ? ,则该圆锥的侧面积为 3





?
3

), (? ? 0) 的图象向左平移


? ? ? 个单位得到函数 y ? g ( x) 的图象,若 y ? g ( x) 在 [ ? , ] 上为 3? 6 4



?x ? y ? 2 ??? ???? ? ? ? OM 的取值范围是 9. 已知 O 是坐标原点,点 A(?1,1) ,若点 M ( x, y ) 为平面区域 ? x ? 1 上的一个动点,则 OA? ?y ? 2 ?





, 3, ,且 10. 数列 {an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1 2,? ) a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列,则 {an } 的通项
公式是 ▲ .
2

11. 若对任意 x ? R ,不等式 3x ? 2ax ? x ? 12. 函数 f ( x) ? ?

3 恒成立,则实数 a 的范围 4
▲ .对.





?log 4 x, x ? 0 的图象上关于原点 O 对称的点有 ? cos x, x ? 0

13. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 是椭圆
点 P 横坐标的最大值为 ▲ .
3

??? ??? ? ? x2 y 2 ? ? 1 上的一个动点,点 P 在线段 OA 的延长线上,且 OA ? OP ? 72 ,则 25 9

14. 从 x 轴上一点 A 分别向函数 f ( x) ? ? x 与函数 g ( x) ?

2 引不是水平方向的切线 l1 和 l2 ,两切线 l1 、 l2 分别与 y 轴相交 | x | ? x3
3

于点 B 和点 C,O 为坐标原点,记△OAB 的面积为 S1 ,△OAC 的面积为 S2 ,则 S1 + S2 的最小值为



. 1

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分) 已知函数 (1)求

f ( x) ? 2 3 sin x ? sin( ? x) ? 2 cos(? ? x) ? cos x ? 2 . 2

?

f (x) 的最小正周期; f ( A) ? 4 , b ? 1 , ?ABC 的面积为

(2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 ? A、 ? B、 ? C 的对边,若

3 ,求 a 的值. 2

16. (本小题满分 14 分) 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AD⊥平面 A1BC,其垂足 D 落在直线 A1B 上. (1)求证:平面 A1BC⊥平面 ABB1A1; (2)若 AD ?

3 ,AB=BC=2,P 为 AC 中点,求三棱锥 P ? A BC 的体积。 1

2

17. (本小题满分 15 分) 某地区注重生态环境建设,每年用于改造生态环境总费用为 x 亿元,其中用于风景区改造为

y 亿元。该市决定建立生态环境改造投资

方案,该方案要求同时具备下列三个条件:①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加;②每年改造生态环境总费 用至少 a 亿元, 至多 b 亿元; ③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的 15%, 但不得每年改造生态环境总费用的 22%。 (1)若 a

? 2 , b ? 2.5 ,请你分析能否采用函数模型 y=

1 ( x3 ? 4 x ? 16) 作为生态环境改造投资方案; 100

(2)若 a 、 b 取正整数,并用函数模型 y=

1 ( x3 ? 4 x ? 16) 作为生态环境改造投资方案,请你求出 a 、 b 的取值. 100

18. (本小题满分 15 分)

椭圆 C 的右焦点为 F ,右准线为 l ,离心率为

3 ,点 A 在椭圆上,以 F 2

为圆心, FA 为半径的圆与 l 的两个公共点是 B, D .

(1)若 ?FBD 是边长为 2 的等边三角形,求圆的方程; (2)若

A, F , B 三点在同一条直线 m 上,且原点到直线 m 的距离为 2 ,求椭圆方程.

3

19. (本小题满分 16 分)已知函数

f ( x) ? x ? ln x , g ( x) ? ln x ?

a x

, a (

? 0) .

(1)求函数 g ( x ) 的极值; (2)已知 x1

? 0 ,函数 h( x) ?

f ( x) ? f ( x1 ) , x ? ( x1 , ??) ,判断并证明 h( x) 的单调性; x ? x1

(3)设 0 ?

x1 ? x2 ,试比较 f (

x1 ? x2 1 ) 与 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ,并加以证明. 2 2

20. (本小题满分 16 分)设满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 , ???, an 为 n

(n ? 2,3, 4,?) 阶“期待数列” :

① a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 0 ;② a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 1 . (1)若等比数列 {an } 为 2k ( k ? N * )阶“期待 数列” ,求公比 q ; (2)若一个等差数列 {an } 既是 2k ( k ? N * )阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式;
(3)记 n 阶“期待数列” {ai } 的前 k 项和为 Sk (k ? 1, 2,3,?, n) : (ⅰ)求证: | (ⅱ)若存在 m ?{1, 2,3,?, n} 使 S m 理由.

S k |?

1 ; 2

?

1 ,试问数列 {Si } 能否为 n 阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明 2

4

第二部分(加试部分) (总分 40 分,加试时间 30 分钟) 21.B 选修 4 - 2:矩阵与变换(本题满分 10 分)已知矩阵

A? ?

? 2 1? ?10? 2 ? ,向量 b ? ? 2 ? .求向量 a ,使得 A a ? b . ?0 1? ? ?

21.C 在直角坐标系

? x ? 2 ? 2t , xOy 内,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数 ) .以 Ox 为极轴建立极坐标系,圆 C y ? 1 ? 4t , ?
).判断直线 l 和圆 C 的位置关系.

的极坐标方程为

? ? 2 2 sin( ? ?

?
4

22. (本题满分 10 分)某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题,按照题目要求独立完成全 部实验操作。规定:至少正确完成其中 2 题的便可提交通过。已知 6 道备选题中考生甲有 4 道题能正确完成,2 道题不能完成。 (1)求出甲考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望;(2)若考生乙每题正确完成的概率都是 响。试从至少正确完成 2 题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.

2 3

,且每题正确完成与否互不影

23. (本题满分 10 分) (1)设 x

? ?1 ,试比较 ln(1 ? x) 与 x 的大小; (2)是否存在常数 a ? N ,使得 a ?

1 n 1 ? (1 ? k )k ? a ? 1 对 n k ?1

任意大于 1 的自然数 n 都成立?若存在,试求出 a 的值并证明你的结论;若不存在,请说明理由。

5

参考答案第一部分 2013.05 1.

?1, 2,3?
11. ?1 ?

2. ? 2

3. 2

4.

1 12

5.625

6.

2 3 3

7. 3?

8. 2

9. [0, 2] 10



an ? n2 ? n ? 2

a ? 1 12.3 ??? ??? ? ? ??? 2 ? ??? ? ??? ? 72 13. 15 提示:设 OP ? ? OA(? ? 1) ,由 OA ? OP ? ? ? OA ? 72 ,得 ? ? OA2



xP ? ? ? xA ?

72 72 72 72 ? xA = ? xA = ? xA = 2 9 2 16 2 9 16 x ? yA 2 9? ? xA ? xA 9? ? xA ? ? xA 25 25 x A 25
2 A



研究点 P 横坐标的最大值,仅考虑 0 ?

xA ? 5 , x P ?

72 15 ? 15 (当且仅当 x A ? 时取“=”) . 12 4 2? 5

14.8 提示: g ( x )

?

1 1 , ( x ? 0) ,设两切点分别为 (m, ?m3 ) , ( n, 3 ) , m ? 0 , n ? 0 ) ( , 3 x n

2 l1 : y ? m3 ? ?3m2 ( x ? m) ,即 y ? ?3m2 x ? 2m3 ,令 x ? 0 ,得 yB ? 2m3 ;令 y ? 0 ,得 x ? m . 3 1 3 3 4 4 4 l2 : y ? 3 ? ? 4 ( x ? n) ,即 y ? ? 4 x ? 3 ,令 x ? 0 ,得 yC ? 3 ;令 y ? 0 ,得 x ? n . n n n n n 3 2 4 1 1 4 4 8 1 m ? n ,得 m ? 2 n , f (n) ? S1 + S2 = (| yB | ? | yC |) ? x A = (2m3 ? 3 ) ? n = (4n 4 ? 2 ) , 依题意, 3 3 2 2 n 3 3 n 8 2 2 f '(n) = (16n3 ? 3 ) ,可得当 n ? 3 n 2
15. 解: (1) 时,

f (n) 有最小值 8.
4分 6分

? f ( x) ? 3sin 2x ? 2cos2 x ? 2 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 ? 2sin(2 x ? ) ? 3 6 2? ?T ? ? ? . ·································· 2 ? ? 1 (2)由 f ( A) ? 4 ,? f ( A) ? 2 sin( 2 A ? ) ? 3 ? 4 ,? sin( 2 A ? ) ? . 6 6 2 ? ? 13 ? 5 ? ? ? , ? 2 A ? ? ? ,? A ? . 又? A为?ABC 的内角,? ? 2 A ? 8分 6 6 6 6 6 3
? S ?ABC ? 3 1 3 , b ? 1 ,? bc sin A ? ,? c ? 2 2 2 2

·············· 11 分

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2b cos A ? 1 ? 4 ? 2 ? 1 ? 2 ?

1 ? 3 ,?a ? 3. 2

··········· 14 分

16.证:直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A A1⊥平面 ABC,∴A A1⊥BC,∵AD⊥平面 A1BC,∴AD⊥BC,
∵A A1 ,AD 为平面 ABB1A1 内两相交直线,∴BC⊥平面 ABB1A1,又∵ BC (2) 由等积变换得 VP? A BC
1

? 平面 A BC,∴平面 A BC⊥平面 ABB A ? VA1 ?PBC ,在直角三角形 A1 AB 中,由射影定理( AB 2 ? BD ? BA1 )知 AA1 ? 2 3 ,
1 1

1 1

--

7分



AA1 ? 平面PBC ,∴三棱锥的高为 AA1 ? 2 3
3

10 分 ······· 14 分

又∵底面积 S?PBC

? 1----12 分∴ VP? A1BC ? VA1 ?PBC = 1 S?PBC ? AA1 ? 2 3
3

6

法二:连接 CD ,取 CD 中点 Q ,连接 PQ ,∵P 为 AC 中点,? PQ // AD, PQ ? 由(1)AD⊥平面 A1BC,∴ PQ ⊥平面 A1BC,∴ PQ 为三棱锥 P- A1BC 的高, 由(1)BC⊥平面 ABB1A1

1 3 , AD ? AD ? 3 ,? PQ ? 2 2
11 分 ····· 14 分

9分

? BC ? BA1 ,? S?PBC ? 4 ---12 分?VP-A BC ? 2 3 ,
1

3

17.解: (1)∵

y' ?

1 1 (3x 2 ? 4) ? 0 ,∴函数 y= ( x3 ? 4 x ? 16) 是增函数,满足条件①。 100 100

3分

y 1 16 1 16 ( x ? 2)( x 2 ? 2 x ? 4) 2 ? ( x ? 4 ? ) ,则 g '( x) ? (2 x ? 2 ) ? 设 g ( x) ? , x 100 x 100 x 50 x 2
令 g '( x) 当x

? 0 ,得 x ? 2 。当 x ? 2 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 (??, 2) 上是减函数;
, g ( x ) 在 [2, 2.5] 上是增函数,

? 2 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 (2, ??) 上是增函数,又 a ? 2 , b ? 2.5 ,即 x ? [2,2.5]

∴当 x

? 2 时, g ( x) 有最小值 0.16=16%>15%,当 x ? 2.5 时, g ( x) 有最大值 0.1665=16.65%<22%,

1 ( x3 ? 4 x ? 16) 作为生态环境改造投资方案。 ·········· 9 分 100 y 1 16 ? ( x 2 ? 4 ? ) ,依题意,当 x ? [a, b] , a 、 b ? N * 时, 15% ? g ( x) ? 22% 恒成立; (2)由(1)知 g ( x) ? x 100 x 16 16 2 ? 22 的正整数解。令 h( x) ? x 2 ? 4 ? , 12 分 下面求 15 ? x ? 4 ? x x
∴能采用函数模型 y= 由(1)知 x ? N , ( x) 在 (??, 2) 上是减函数, (2, ??) 上是增函数, (1) 在 x 在 又由 知, h
*

? 0 时,g ( x)min ? g (2) , g (2) =16% 且

∈[15%,22%],

? x ? 2 合条件,经枚举 g (1) , g (3) ∈[15%,22%],而 g (4) ?[15%,22%],可得 x ? 1 或 x ? 2 或 x ? 3 ,

由 g ( x ) 单调性知 a

? 1, b ? 2 或 a ? 1, b ? 3 或 a ? 2, b ? 3 均合题意。

········· 15 分

18.解设椭圆的半长轴是 a ,半短轴是 b ,半焦距离是 c ,由椭圆 C 的离心率为

x2 y2 3 ? ? 1, ,可得椭圆 C 方程是 4b 2 b 2 2
,设点

2分

(只要是一个字母,其它形式同样得分, )焦点 F (

3b,0) ,准线 x ?

4b 3

A( x0 , y0 ) ,

(1) ?FBD 是边长为 2 的等边三角形,则圆半径为 2 ,且 F 到直线 l 的距离是

3,

又 F 到直线 l 的距离是 FM

b a2 b2 b ? 3 , b ? 3 ,所以 c ? 3 3 ,所以, ? ?c ? ? c c 3 3
6分

所以,圆的方程是 ( x ? 3

3)2 ? y2 ? 4 。 ························
F
是 圆 心 , 所 以

( 2 ) 因 为

A, F , B

三 点 共 线 , 且

F

是 线 段

AB

中 点 , 由

B

点 横 坐 标 是

4b 3

得 ,

x0 ? 2c ?

a2 4 2 ? 2 3b ? 3b ? 3b , 8 分 c 3 3
7

6 b 2 2 2 y0 x0 y0 x0 2 2 6 2 ? 3 ?? 2 ? 2 ? 1 得: y0 ? b 2 ? ? b , y0 ? 再由 b ,所以直线 m 斜率 k ? x0 ? c 4b 2 b 4 3 3 3b ? 3
直线 m :

10 分

y ? ? 2( x ? c) , 2x ? y ? 2c ? 0 --12 分

原点 O 到直线 m 的距离 d

?

2c , 3

依题意

2c x2 y 2 ? 1. ? 2 , c ? 6 ,所以 b ? 2 ,所以椭圆的方程是 ? 8 2 3
?

15 分

19.解: (1) g '( x )

1 a x?a ? 2 ? 2 ,令 g '( x) ? 0 ,得 x ? a .当 x ? (0, a) 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 是减函数; x x x

当 x ? (a, ??) 时, g '( x)

? 0 , g ( x) 是增函数.∴当 x ? a 时, g ( x) 有极小值 ln a ? 1 , g ( x) 无极大值.

4分

1 (1 ? )( x ? x1 ) ? x ? ln x ? x1 ? ln x1 f '( x)( x ? x1 ) ? f ( x) ? f ( x1 ) x (2) h '( x) ? = 2 ( x ? x1 ) 2 ( x ? x1 )
由(1)知 ? ( x )

=

x1 ? ln x ? 1 ? ln x1 x ( x ? x1 ) 2



?

x1 x ? ln x 在 [ x1 , ??) 上是增函数,当 x ? ( x1 , ??) 时, ? ( x) ? ? ( x1 ) ,即 1 ? ln x ? 1 ? ln x1 , x x
10 分

∴ h '( x)

? 0 ,即 h( x) 在 ( x1 , ??) 上是增函数. ····················

(3) 0 ?

x1 ? x ? x2 ,由(2)知, h( x) ?
?

f ( x) ? f ( x1 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x) ? f ( x1 ) 在 ( x1 , ??) 上是增函数,则 , ? x2 ? x1 x ? x1 x ? x1
················ 16 分

令x

x1 ? x2 x1 ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] . 得, f ( 2 2 2

a1 (1 ? q 2k ) 1 20.解: (1)若 q ? 1 ,则由① a1 ? a2 ? ? ? a2k ? =0,得 q ? ?1 ,由②得 a1 ? 2k 1? q
若q

或 a1

??

1 2k



? 1 ,由①得, a1 ? 2k ? 0 ,得 a1 ? 0 ,不可能.综上所述, q ? ?1.

(2)设等差数列 a1 , a2 , a3 ,?, a2 k (k

? 1) 的公差为 d , d >0.∵ a1 ? a2 ? ? ? a2k ? 0 ,∴
>0, ak 由

2k ? (a1 ? a2 k ) ? 0, 2
1 , 2

∴ a1

? a2k ? ak ? ak ?1 ? 0 ,∵ d

? ak ?1 ? 0 得 ak ? 0 ,ak ?1 ? 0 ,由题中的①、②得 a1 ? a2 ? ? ? ak ? ?

1 1 2 ,两式相减得, k ? d ? 1 , ∴ d ? 2 , 2 k k (k ? 1) 1 2k ? 1 2k ? 1 1 ?2k ? 1 ? i ? d ? ? ,得 a1 ? ? ? (i ? 1) ? 2 ? 又 a1 ? k ? ,∴ ai ? a1 ? (i ? 1) ? d ? ? 2 2 2 2 2k k 2k 2 2k 1 1 (3)记 a1 , a2 ,?, an 中非负项和为 A ,负项和为 B ,则 A ? B ? 0 , A ? B ? 1 ,得 A ? , B ? ? , 2 2 ak ?1 ? ak ? 2 ? ? ? a2 k ?



8

1 1 1 ? B ? Sk ? A ? ,即 | S k |? . 2 2 2 1 (ⅱ)若存在 m ?{1, 2,3,?, n} 使 S m ? ,由前面的证明过程知: a1 ? 0 , a2 ? 0 ,?, am ? 0 , am?1 ? 0 , am? 2 ? 0 ,?, 2 1 1 an ? 0 ,且 am?1 ? am?2 ? ? ? an ? ? .记数列 {Si } (i ? 1, 2,3,?, n) 的前 k 项和为 Tk ,则由(ⅰ)知, | Tk |? , 2 2 1 1 1 ∴ Tm = S1 ? S2 ? ? ? Sm ? ,而 S m ? ,∴ S1 ? S2 ? ? ? Sm?1 ? 0 ,从而 a1 ? a2 ? ? ? am?1 ? 0 , am ? , 2 2 2 1 又 am?1 ? am? 2 ? ? ? an ? ? ,则 Sm?1 , Sm?2 ,?, Sn ? 0 ,∴ S1 ? S2 ? S3 ? ?? Sn ? S1 ? S2 ? S3 ? ?? Sn , 2
(ⅰ) ?

S1 ? S2 ? S3 ? ? ? Sn ? 0 与 S1 ? S2 ? S3 ? ? ? Sn ? 1不能同时成立,
所以,对于有穷数列

a1 , a2 , ???, an (n ? 2,3, 4,?) , 若 存 在 m ?{1, 2,3,?, n} 使 Sm ?

1 2

,则数列

{ai }

和数列

. {Si } (i ? 1, 2 ,?, n 不能为 n 阶“期待数列” 3 , ) 第二部分(加试部分) 21.B 解:

A2 ? ?

?2 1? ?2 1? ? 4 3? ?? ??? ?, ?0 1? ?0 1? ?0 1?
8分 解得 ?

4 分设 a

? x? ? 4 3? ? x ? ?10 ? ? ? ? ,由 A2a ? b 得 ? ? ? ??? ?, ? y? ? 0 1? ? y ? ? 2 ?
·············· 10 分

即?

?4 x ? 3 y ? 10 ,--y?2 ?

?x ? 1 ?1 ? ,所以 a ? ? ? ? 2? ?y ? 2

21.C

解: 将 ?

? x ? 2 ? 2t , 消去参数 t ,得直线 l 的直角坐标方程为 y ? 2 x ? 3 ; ? y ? 1 ? 4t ,

3分

由?

? 2 2 (sin ? ?

?
4

) ,即 ? ? 2(sin? ? cos? ) ,两边同乘以 ?
2

得?

2

? 2( ? sin ? ? ? cos? ) ,

所以⊙ C 的直角坐标方程为: ( x ? 1) 所以直线 l 和⊙ C 相交.

? ( y ?1)2 ? 2

--7 分

又圆心 C 到直线 l 的距离 d

?

| 2 ?1 ? 3 | 22 ? 12
k 3 C4 C2 ?k 3 C6

?

2 5 ? 2, 5

······························ 10 分

22.解:(Ⅰ)设考生甲正确完成实验操作的题数分别为 X ,则 所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为:

X ~ H (3, 4, 6) ,所以 P( X ? k ) ?

,k

? 1, 2,3 -2 分

X
P

1

2

3

1 5

3 5

1 5
4分

1 3 1 E ( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 ; ·························· 5 5 5
(Ⅱ)设考生乙正确完成实验操作的题数为 Y ,则

2 2 1 Y ~ B(3, ) ,所以 P (Y ? k ) ? C3k ( ) k ( )3? k , k ? 0,1, 2,3 3 3 3

············· 6 分 9

P (Y ? 2) ?

3 1 4 12 8 20 ? ? 又 P ( X ? 2) ? ? ? , 且 P( X ? 2) ? P(Y ? 2) , 5 5 5 27 27 27

8分 10 分

从至少正确完成 2 题的概率考察,甲通过的可能性大,因此可以判断甲的实验操作能力较强。 23.解: (Ⅰ)设

f ( x) ? x ? ln(1 ? x) ,则 f '( x) ? 1 ?

1 x ? ,当 x ? (?1, 0) 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减; 1? x x ?1
4 分

当 x ? (0, ??) 时,

f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;故函数 f ( x) 有最小值 f (0) ? 0 ,则 ln(1 ? x) ? x 恒成立

(Ⅱ)取 m ? 1, 2,3, 4 进行验算:

1 (1 ? )1 ? 2 1

1 9 (1 ? ) 2 ? ? 2.25 2 4

1 64 1 625 (1 ? )3 ? ? 2.37 (1 ? ) 4 ? ? 2.44 3 27 4 256
6分

猜测:① 2 ? (1 ?

1 m 1 n 1 ) ? 3 , m ? 2,3, 4,5,? ②存在 a ? 2 ,使得 a ? ? (1 ? )k ? a ? 1 恒成立。 m n k ?1 k

证明一:对 m ? N ,且 m

? 1 ,有 (1 ?

1 m 0 1 1 2 1 k 1 m 1 ) ? Cm ? Cm ( ) ? ?Cm ( ) 2 ? ? ? Cm ( ) k ? ? ? Cm ( ) m m m m m m

? 1?1? ?

m ? m ? 1? 1 2 m ? m ? 1??? m ? k ? 1? 1 k m ? m ? 1?? 2 ?1 1 m ( ) ??? ( ) ??? ( ) 2! m k! m m! m

? 2?

1? 1? 1? 1 ?? 2 ? ? k ?1 ? 1 ? 1 ? ? m ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ?? 1 ? ? 2! ? m ? k ! ? m ?? m ? ? m ? m! ? m ? ? m ?

? 2?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ??? ? 2? ? ??? ??? 2! 3! k! m! 2 ?1 3 ? 2 k ? k ? 1? m ? m ? 1?

1 1? 1? ? 1? ?1 1? ? 1 ? 1 k 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 3 ? ? 3 又因 Cm ( ) k ? 0 ? k ? 2,3, 4,? , m ? , m m ? 2? ? 2 3? ? k ?1 k ? ? m ?1 m ?
故 2 ? (1 ?

1 m ) ? 3 ----8 分 m

从而有 2n ?

? (1 ? k )
k ?1

n

1

k

? 3n 成立,即 a ?

1 n 1 ? (1 ? k )k ? a ? 1 n k ?1

所以存在 a 证明二:

? 2 ,使得 a ?

1 n 1 ? (1 ? k )k ? a ? 1 恒成立 n k ?1

··············· 10 分

1 , k ? 1, 2,3, 4,?, k 1 1 1 1 k 1 k 则 ln(1 ? ) ? ,所以 k ln(1 ? ) ? 1 , ln(1 ? ) ? 1 , (1 ? ) ? e ? 3 , k k k k k 1 k 0 1 1 2 1 2 k 1 k 0 1 1 当 k ? 2 时,再由二项式定理得: (1 ? ) ? Ck ? Ck ( ) ? Ck ( ) ? ? ? Ck ( ) ? Ck ? Ck ( ) ? 2 k k k k k
由(1)知:当 x ? (0,1] 时, ln(1 ? x) ?

x ,设 x ?



1 2 ? (1 ? ) k ? 3 k

对任意大于

1

的自然数

k

恒 成 立 , -- 8 分

从而有

n 1 2n ? ? (1 ? ) k ? 3n k k ?1

成立,即

a?

1 n 1 ? (1 ? k )k ? a ? 1 n k ?1

所以存在 a

? 2 ,使得 a ?

1 n 1 ? (1 ? k )k ? a ? 1 恒成立 n k ?1

· 10 分

10


相关文章:
江苏省扬州市2013届高三数学5月考前适应性考试试题 理 ...
适​应​性​考​试​试​题​ ​​ ​苏​教​版...江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试理科数学 全卷分两部分:...
江苏省扬州市2013届高三5月考前适应性考试数学理试题
江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试 理科数学 2013.05 全卷分两部分:第一部分为所有考生必做部分(满分 160 分,考试时间 120 分钟) ,第二...
江苏省扬州市2013届高三5月考前适应性考试数学文试题 W...
江苏省扬州市2013届高三5月考前适应性考试数学试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试 文科数学 2013...
江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学(...
江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学()试题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。www.ewt360.com 升学助考一网通 江苏省扬州市 2013 届高三下学期...
江苏省扬州市2013届高三5月考前适应性考试(数学理)
世纪金榜 圆您梦想理科数学 www.jb1000.com 江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试 2013.05 全卷分两部分:第一部分为所有考生必做部分(满分 ...
江苏省扬州市2013届高三5月考前适应性考试数学文试题
江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试 文科数学 2013.05 全卷分两部分:第一部分为所有考生必做部分(满分 160 分,考试时间 120 分钟) ,第二...
江苏省扬州市2013届高三5月考前适应性考试物理试题
江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试 物理试卷注意事项: 考生在答题前请认真阅读本注意事项: 1.本试卷包含选择题和非选择题两部分,考生答题全部...
江苏省扬州市2013届高三5月考前适应性考试物理试题 Wor...
江苏省扬州市2013届高三5月考前适应性考试物理试题 Word版含答案_理化生_高中教育_教育专区。今日推荐 78份文档 不小心又胖了 胖女人必看 ...
江苏省扬州市2013届高三5月考前适应性考试地理试题 Wor...
江苏省扬州市2013届高三5月考前适应性考试地理试题 Word版含答案_高三政史地_政史地_高中教育_教育专区。江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试 ...
扬州市2013高三理科数学5月考前适应性考试有答案
江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试 理科数学 2013.05 全卷...(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的...
更多相关标签: