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2007年清华大学自主招生数学试题


清华大学保送生暨自主招生北京冬令营
数学笔试试题(2006 年 12 月 30 日)
1.求 f ( x) ?

ex 的单调区间及极值. x

2.设正三角形 T1 边长为 a , Tn ?1 是 Tn 的中点三角形, An 为 Tn 除去 Tn ?1 后剩下三个三角 形内切圆面积之和.求 lim
n ??

?A
k ?1

n

k

.

3.已知某音响设备由五个部件组成,A 电视机,B 影碟机,C 线路,D 左声道和 E 右声 道,其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音,当且仅当 A 与 B 中有一工作,C 工 作,D 与 E 中有一工作;且若 D 和 E 同时工作则有立体声效果. D 0.94 C 0.95 B 0.95 求:(1)能听到立体声效果的概率; (2)听不到声音的概率. 4.(1)求三直线 x ? y ? 60 , y ? E 0.94

A 0.90

1 x , y ? 0 所围成三角形上的整点个数; 2

? y ? 2x ? 1 ? (2)求方程组 ? y ? x 的整数解个数. 2 ? x ? y ? 60 ? ?
5.已知 A(?1, ?1) ,△ABC 是正三角形,且 B、C 在双曲线 xy ? 1( x ? 0) 一支上. (1)求证 B、C 关于直线 y ? x 对称; (2)求△ABC 的周长.
2 6.对于集合 M ? R ,称 M 为开集,当且仅当 ?P ? M , ?r ? 0 ,使得 0

{P ? R 2 PP0 ? r} ? M .判断集合 {( x, y) 4x ? 2 y ? 5 ? 0} 与 {( x, y) x ? 0, y ? 0} 是否
为开集,并证明你的结论.


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