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2013年湖南省数学学业水平考试要点解读


2013 年湖南省普通高中学业水平考试要点解读





湖南省普通高中学业水平考试大纲编写组 二 0 一二年八月

1





《2013 年湖南省普通高中学业水平考试要点解读》(以下简称 《解读》)是在《2012 年湖南省普通高中学业水平考试要点解读》的 基础上修订完成的, 《2013 年湖南省普通高中学业水平考试大纲》 是与 (以下简称 《考纲》 配套使用的学业水平考试复习指导丛书. 解读》 ) 《 面向全体高中学生,旨在帮助高中教师与学生理解《考纲》,对高中 教学加以积极的影响,减轻高中学生的学业负担,推进高中新课程, 促进高中学生的全面发展和素质教育的全面实施. 《解读》所要“解读”的不只是学业水平考试的内容和形式,更重 要的是要体现建立这一考试制度的目的和任务——回归基础教育的 本源,构建一个衡量高中教育教学质量,促进学生全面发展的质量评 价体系.因此, 《解读》面向全体高中学生,特别注重各学科学习方法 指导,特别注重训练能力层级和难度的梯度分布. 《解读》大体上分为复习目标、复习要点、学法指导、题型示例、 达标训练和综合测试等五个板块,各板块的内容依据《考纲》和高中 教材的必修模块编写.由于各学科特点的不同, 编写体例也根据需要做 了些小调整. 像所有的新生事物一样, 学业水平考试作为一种新的考试制度也 有一个逐步完善的过程,因此,欢迎来自各个方面,特别是高中师生 的建设性的意见.当然, 《解读》也要听取大家的意见与建议,才不会 停下不断完善的脚步. 《2013 年湖南省普通高中学业水平考试大纲》专家组 2012 年 8 月

2

目录
数学 1:............................................................................................................................................ 4 第一章 集合与函数概念....................................................................................................... 4 第二章 基本初等函数(I).................................................................................................... 8 第三章 函数的应用 .............................................................................................................. 12 数学 2:.......................................................................................................................................... 18 第一章 空间几何体 ............................................................................................................ 18 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 ......................................................................... 21 第三章 直线与方程 ............................................................................................................. 28 第四章 圆与方程................................................................................................................. 33 数学 3:.......................................................................................................................................... 38 第一章 算法初步................................................................................................................. 38 第二章 统计......................................................................................................................... 43 第三章 概 率....................................................................................................................... 47 数学 4:.......................................................................................................................................... 52 第一章 三角函数................................................................................................................. 52 第二章 平面向量................................................................................................................. 58 第三章 三角恒等变换 ......................................................................................................... 62 数学 5:.......................................................................................................................................... 67 第一章 第二章 第三章 解三角形............................................................................................................... 67 数 列..................................................................................................................... 71 不等式................................................................................................................... 76

学业水平考试检测卷 ..................................................................................... 错误!未定义书签。
3

数学 1 第一章 ★考试目标
节 次 考 试 目 标

集合与函数概念

1.1.1 集合的含义 与表示 1.1.2 集合间的基 本关系 1.1.3 集合的基本 运算 1.1.4 函数的表示 法 1.1.5 函数的单调 性与最大(小)值 1.1.6 函数的奇偶 性

了解集合的含义;能用列举法、描述法表示集合;了解元素与集合的关系, 能判断元素与集合的关系. 了解集合之间的包含与相等的含义,知道全集与空集的含义.理解用 Venn 图表示集合的关系. 理解集合的并集、 交集和补集的含义及运算, 能用 Venn 图解释集合的运算; 会求集合的交集、并集和补集. 知道映射的概念;了解函数的概念;掌握函数的表示法,并能求简单函数 的定义域和值域;了解简单的分段函数及应用. 掌握函数的单调性与最大(小)值,会证明简单函数的单调性;并能利用 函数的单调性求函数的最大(小)值. 理解函数奇偶性的含义,会判断简单函数的奇偶性.

★要点解读
1.集合的含义与表示 【知识要点】集合的三个属性,集合的表示及元素与集合的关系. 【案例剖析 1】已知集合 A ? {x | x ? 3x ? a ? 0} ,若 2 ? A ,则实数 a =
2

.

【解析】因为 2 ? A ,所以 2 ? 3 ? 2 ? a ? 0 ,得 a ? 2 .
2

【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.95,为容易题. 2.集合间的基本关系 【知识要点】集合间的基本关系有子集,真子集,集合相等. 【案例剖析 2】 A.1 已知集合 A={1,2,3, x },B={1,4},若 B ? A,则 x 为( B. 2 C.3 D. 4 ).

【解析】由子集的意义,可知 x ? 4 ,答案选 D. 【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.93,为容易题.
4

3.集合的基本运算 【知识要点】 交集:A ? B ? ?x | x ? A且x ? B?; 并集:A ? B ? ?x | x ? A或x ? B?; (1) (2) (3)补集: CU A ? {x | x ? U且x ? A} . 【案例剖析 3】设集合 A={0,1,2},A ? B= {0,2},则集合 B 可能是( ). A.{0,1} B.{1,2} C.{0,2,3} D.{0}

【解析】由已知集合 B 中必有元素 0 和 2,所以选 C. 【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.92,为容易题. 4.函数的概念及表示 【知识要点】(1)函数的三要素:定义域、值域和对应关系;(2)函数的表示:解析法、 列表法、图象法. 【案例剖析 4】求下列函数的定义域:(1) f ( x) ? ln( x ? 1) ;(2) f ( x) ?

1 ? x ?1 . x

【解析】(1)要使函数有意义,则 x ? 1 ? 0 ,即 x ? 1,故所求函数定义域为 {x | x ? 1} ;

(2)要使函数有意义,则 ? 且 x ? 0} .

? x?0 ,得 x ? ?1 且 x ? 0 ,故所求函数定义域为 {x | x ? ?1 ?x ? 1 ? 0

【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.86,为容易题. 5.函数的奇偶性 【知识要点】如果对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) (或

f (? x) ? ? f ( x) ),那么函数 f ( x) 就叫做偶(或奇)函数.
【案例剖析 5】(1)已知函数 f ( x) ? x ? a 为奇函数,则 a =
3

; .

(2)已知 f ( x) ? x ?
2

1 ,若 f (a) ? 4 ,则 f (?a) ? x2

【解析】(1)因为 f (x) 为奇函数,又 f (x) 的定义域为 R,所以 f (0) ? 0 ,得 a ? 0 ; (2)因为 f (x) 为偶函数,又 f (a) ? 4 ,所以 f (?a) ? f (a) =4. 【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.90,为容易题.
5

6.函数的单调性与最大(小)值 【知识要点】(1)如果对于函数 y ? f (x) 定义域 I 的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 ,

x 2 ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ),那么就说 f ( x) 在区间 D 上
是增(减)函数;(2)函数 y ? f (x) 的最大(小)值 M(m)是函数 y ? f (x) 的所有函 数值中最大(小)的. 【案例剖析 6】已知函数 f ( x) ? x ?

a ( a ?R). x

(1)当 a ? 0 时,指出函数 f (x) 在 (0,?? )上的单调性(不要求证明);

(2)当 a ? 0 时,求函数 f (x) 在 x ? 0 时的最小值,并指出取得最小值时的自变量 x 的值;

(3)当 a ? 2 时,求函数 f (x) 在[ 2 ,2]上的值域. 【解析】(1)函数 f (x) 在 (0,?? )上为增函数;

(2)当 a ? 0 时,因为 x ? 0 ,所以 f ( x) ? x ?

a ? 2 a ,当且仅当 x ? a 时取等号, x

即x ?

a 时, f (x) 的最小值为 2 a ;

(3)当 a ? 2 时,先证明 f ( x) ? x ?

2 在[ 2 ,2]上的单调性。 x
2 2 ? ) x1 x 2

任取 x1 , x 2 ? [ 2 ,2],且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? (

=

( x1 ? x 2 )( x1 x 2 ? 2) ,因为 x1 x 2 ? 2 ,所以 x1 x2 ? 2 ? 0 ,又 x1 ? x 2 ? 0 ,所以 x1 x 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故 f ( x) ? x ?

2 在[ 2 ,2]上为增函数, x

所以 f ( x) min ? f ( 2 ) ? 2 2 , f ( x) max ? f (2) ? 3 ,故函数 f (x) 在[ 2 ,2]上的值域为 [ 2 2 ,3]。

6

【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数 0.70,为稍难题.

★达标练习
1.已知全集 U ? ?? 1 , 0,1,2 , 3 , 4 ?, A ? ?? 1,0, 2 ,4?,则 Cu A ? ( A. ? ).

B. {0,2,4}

C. {1,3}

D. {?1,1,3}

2.函数 f ( x) ?

x ?1 的定义域为( x?2

).

A.[1,2)∪(2,+∞) B.(1,+∞)
x

C.[1,2)

D.[1,+∞) ).

3.已知函数 f ( x) ? a (a ? 0 且 a ? 1) ,若 f (1) ? 2 ,则函数 f (x) 的解析式为( A. f ( x) ? 4 B. f ( x) ? ( ) ). B. 偶函数的图象关于 y 轴成轴对称

x

1 4

x

C. f ( x) ? 2

x

D. f ( x) ? ( )

1 2

x

4.下列说法错误的是(
4 2

A. y ? x ? x 是偶函数

C. y ? x ? x 是奇函数
3 2

D. 奇函数的图象关于原点成中心对称

? x 2 ? x ( x ? 0) 5. 已知函数 f ( x) ? ? ,则 f (2) = ? x ? 1( x ? 0)

.

6.建造一个容积为 8 立方米, 深为 2 米的无盖长方体蓄水池, 池壁的造价为每平方米 100 元, 池底的造价为每平方米 300 元,则总造价 y (元)表示为底面一边长 x (米)的函数关系式 为 .

7.已知全集 U=R,集合 A ? {x | ?1 ? x ? 3}, B ? {x | 2 ? x ? 5} ,求:

(1) A ? B ;(2) A ? B ;(3) (CU A) ? B ;(4) A ? (CU B) .

7

8. 某家庭进行理财投资,根据市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比, 投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资 1 万元时两类产品的 收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元(如图). (1)设投资额为 x 万元,收益为 y 万元,试分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系; (2)该家庭现用 20 万元资金进行理财投资,问怎样分配资金能使投资收益最大,其最大收 益为多少万元?

第二章 基本初等函数(I) ★考试目标
节 次 考 试 目 标

2.1.1 指数与指数 幂的运算 2.1.2 指数函数及 其性质 2.2.1 对数与对数 运算 2.2.2 对数函数及 其性质

理解根式、分数指数幂的意义;能进行指数幂的运算. 掌握指数函数的概念、图象和性质;了解指数函数模型的简单应用. 理解对数的概念及其运算性质,知道换底公式;能进行对数的运算. 掌握对数函数的概念、图象和性质;了解对数函数模型的简单应用;知道 函数 y ? a 与 y ? log a x (a ? 0, a ? 1) 是互为反函数.
x

2.3 幂函数

了解幂函数的概念;知道函数 y=x, y=x , y=x , y ? x , y ? x 的图象和性 质.
2 3

?1

1 2

★要点解读
1.指、对数运算 【知识要点】(1)指数的运算性质: ① a ?a ? a
r s r ?s

;② (a ) ? a ;③ (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r , s ? Q) .
r s rs r r r

8

(2)对数的运算性质: ① log a MN ? log a M ? log a N ; ② log a

M ? log a M ? log a N ; N

③ log a M

n

? n log a M (n ? R) (a ? 0, a ? 1, M , N ? 0) .

④换底公式: log a b ?

log c b (a ? 0且a ? 1, c ? 0且c ? 1, b ? 0) . log c a
6

【案例剖析 1】化简下列各式:(1)
(3) log 3 2 ? log 2 5 ? log 5

a 13

a ? 3 a2

; (2) (lg 2 ? lg 5)(log 2 8 ? log 5 25) ;

3.
13 1 2 ? ? 6 2 3

【解析】(1)原式=

a
1 2

13 6 2 3

?a

? a;

a ?a

(2)原式= (lg 2 ? 5)(log 2 2 ? log 5 5 ) ? 1 ? (3 ? 2) ? 5 ;
3 2

(3)原式=

lg 2 lg 5 lg 3 1 ? ? ? . lg 3 lg 2 lg 5 2

【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.80,为中档题. 2.指数函数与对数函数 【知识要点】(1)形如 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的函数称为指数函数,其定义域为 R,值域
x

为 (0,??) .当 0 ? a ? 1 时, y ? a 为减函数,当 a ? 1 时, y ? a 为增函数。
x x

(2)形如 y ? log a x(a ? 0, 且a ? 1) 的称为对数函数,其定义域为 (0,??) ,值域为 R。 当 0 ? a ? 1 时, y ? log a x 为减函数,当 a ? 1 时, y ? log a x 为增函数.
x ?1

【案例剖析 2】函数 y ? 3

的定义域为

;值域为

.

【解析】因为 x ? 1 ? 0 ,所以 x ? ?1 ,故函数 y ? 3

x ?1

的定义域为 {x | x ? ?1} ,

9

因为 x ? 1 ? 0 ,所以 y ? 3

x ?1

? 1 ,故函数 y ? 3

x ?1

的值域是 { y | y ? 1} .

【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数 0.78,为中档题. 【案例剖析 3】已知函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 1) , g ( x) ? log 2 (1 ? x) . (1)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的定义域;

(2)判断函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的奇偶性,并说明理由.

【解析】(1)因为 h( x) ? log 2 ( x ? 1) ? log 2 (1 ? x) ,由 ?

? x ? 1 ? 0, 得 ? 1 ? x ? 1 ,故函数 ?1 ? x ? 0

y ? f ( x) ? g ( x) 的定义域为 (?1,1) ;
(2)因为 h( x) ? log 2 ( x ? 1) ? log 2 (1 ? x) ,所以 h(? x) ? log 2 (? x ? 1) ? log 2 (1 ? x) =

? [log 2 ( x ? 1) ? log 2 (1 ? x)] ? ?h( x) ,故函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 为奇函数.
【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数 0.76,为中档题.主要考查对数函数的概念、 性质及简单的对数运算. 【案例剖析 4】已知函数 f ( x) ? a ?

1 1 的图象经过点 (0, ) . 2 2 ?1
x

(1)求函数 y ? f (x) 的解析式;(2)求证: f ( x) ? f (? x) ? 1 .

【解析】(1)因为函数 f ( x) ? a ?

1 1 1 的图象经过点 (0, ) ,所以 f (0) ? , 2 2 2 ?1
x

即a ?

1 2x 1 1 ? x ; ? ,得 a ? 1 ,所以函数 y ? f (x) 的解析式为 f ( x) ? 1 ? x 2 ?1 2 ?1 20 ? 1 2 2x 2?x 1 ? ,所以 f (? x) ? ? x , x 2 ?1 2 ?1 1? 2x

(2)证明:因为 f ( x) ?

所以 f ( x) ? f (? x) ?

2x 1 2x ?1 ? ? x ? 1. 2x ?1 1? 2x 2 ?1
10

【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数 0.76,为中档题.主要考查指数函数的定义及 指数式的运算. 3.幂函数 【知识要点】(1)形如 y ? x (? ?Q)的函数叫做幂函数;(2)幂函数 y=x, y=x2, y=x3,
?

y ? x ?1 , y ? x 2 的图象和性质.
【案例剖析 5】若点(2, 2 )在幂函数 y ? f (x) 的图象上,则 f (16) ?
?

1

.

【解析】因为 y ? f (x) 为幂函数,所以可设 f ( x) ? x ,又点(2, 2 )在幂函数的图象

1 上,所以 2 ? 2 ,解得 ? ? ,所以 f ( x) ? x 2 ,故 f (16) ? 16 2 ? 4 ,答案为 4. 2
?

1

1

【说明】本题属于“了解”层次,预估难度系数 0.89,为容易题.

★达标练习
1.下列函数是幂函数的是( A. y ? 2 x
2

).
3

B. y ? x ? x
x

C. y ? 3

x

D. y ? x ).

1 2

2.指数函数 y = a 的图象经过点(2,16),则 a 的值是(

A.

1 4

B.

1 2
).

C.2

D.4

3.( log 2 9 )· log 3 4)=( ( A.

1 4

B.

1 2

C.2

D.4

4.下列函数,在区间 (0,??) 上不是增函数的是(

).

A. y ? 2

x

B. y ? log 2 x

C. y ?

2 x
.

D. y ? 2 x ? x ? 1
2

5.函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 2) 的定义域是

11

6.化简 (a ? b

8 5

?

6 5

)

?

1 2

? 5 a 4 ? 5 b3 ?

.

? 2? x x ? 1 1 7.设函数 f ( x ) ? ? ,求满足 f ( x ) = 的 x 值. 4 ?log 4 x x ? 1

8. 已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) , g ( x) ? log a (1 ? x) ( a ? 0 且 a ? 1 ). (1)当 a ? 6 时,求 f (1) ? g (?2) 的值;(2)当 a ? 的取值范围.

1 时,求满足 f ( x) ? g ( x) 的实数 x 2

第三章 函数的应用 ★考试目标
节 次 3.1.1 方程的根与函数的 零点 3.1.2 用二分法求方程的 近似解 3.2.1 几类不同增长的函 数模型 3.2.2 函数模型的应用实 例 考 试 目 标

理解方程的根与函数的零点的概念及关系;会判别简单函数的零点所 在的区间. 知道用二分法求方程的近似解的步骤;能根据给出的函数值及精确 度,求一个方程的近似解. 理解指数函数、对数函数和幂函数模型的变化规律,能根据不同的条 件,选择适当的函数模型解决有关问题. 应用常见函数模型,解决一些数学问题.

★要点解读
1.方程的根与函数的零点 【知识要点】 (1) 方程 f ( x) ? 0 的根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴的交点的横坐标 ? 函 数 y ? f (x) 的零点;(2)如果函数 y ? f (x) 在区间 [ a , b ] 上的图象是连续不断的一条

12

曲线,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f (x) 在区间 ( a , b ) 内有零点,即存在

c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根.
【案例剖析 1】设 x 0 是方程 ln x ? x ? 4 的解,则 x 0 ∈( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) ).

D.(3,4)

【解析】令 f ( x) ? ln x ? x ? 4 ,则 f (2) ? ln 2 ? 2 ? ln e ? 2 ? ?1 ? 0 ,

f (3) ? ln 3 ? 1 ? ln e ? 1 ? 0 ,所以 x 0 ? (2,3),选 C.
【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.89,为容易题.主要考查方程的根与函数零 点的关系及函数零点所在范围的判别. 2.二分法求方程的近似解 【知识要点】二分法求方程根的基本思路:如果 f ( x1 ) 和 f ( x 2 ) 符号相反,说明( x1 , x 2 ) 之间有实根;再取( x1 , x 2 )的中点 x ,若 f ( x) ? 0 ,则 x 就是方程 f ( x) ? 0 的根,若

f ( x) ? 0 ,则进一步判断 f (x) 与 f ( x1 ) 是否同号.如果不同号,说明方程 f ( x) ? 0 在区间
( x1 , x )内有实根,如果同号,则 f (x) 与 f ( x 2 ) 一定不同号,说明方程 f ( x) ? 0 在区间 ( x , x 2 )内有实根,这样做就已经将寻找根的范围减少了一半,然后用同样的办法再进 一步缩小范围,直到所求根的精确度符合题目要求为止. 【案例剖析 2】为了求方程 ln ?2 x ? 6? ? 2 ? 3 根的近似值,令 f ?x ? ? ln ?2 x ? 6? ? 3 ? 2 ,
x

x

并用计算器得到了下表:

x
f ?x ?

1.00 1.0794

1.25 0.2000

1.35 -0.3661

1.50 -1.0000

则由表中的数据,可得方程 ln ?2 x ? 6? ? 2 ? 3 的一个近似解(精确到 0.1)为(
x

).

A.1.2

B.1.3

C.1.4

D.1.5

【解析】由表可知方程的根在区间 ?1.25,1.35 ? 内,精确到 0.1 的近似值是 1.3,选 B.
13

【说明】本题属于“了解”层次,预估难度系数为 0.90,为容易题.主要考查“二分法”求方 程根的近似值. 3.利用给定函数模型解决实际问题 【知识要点】 这类问题是指在问题中明确了函数关系式或函数类型, 需要利用已知函数来处 理实际问题. 【案例剖析 3】 一工厂生产某种产品, 已知该产品每吨的价格 p (元/吨) 与月生产量 x(吨) 之间的关系为 p ? 242 ?

x ,生产 x (吨)的成本为 r (元),其中 r ? 50000 ? 2 x .问该 5

厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少元? (注: 利润=收入-成本) 【解析】每月生产 x (吨)时的利润为 f ( x) ? (242 ? ) x ? (50000 ? 2 x)

x 5

1 1 ? ? x 2 ? 240 x ? 50000 ? ? ( x ? 600 ) 2 ? 310000 ( x ? 0 ), 5 5
所以当 x ? 600 时, f (x) 有最大值 310000,即每月生产 600 吨产品能使利润达到最大,最 大利润是 310000 元。 【说明】本题属于“应用”层次,预估难度系数为 0.70,为稍难题. 4.选择函数模型解决实际问题 【知识要点】选择函数模型解决实际问题的一般步骤:①收集数据;②画散点图,预测函数 模型;③确定求函数模型;④检验是否符合实际. 【案例剖析 4】某沿海地区养植一种特殊的海鲜,计划 8 月 1 日上市,上市时间仅能维持 5 个月.预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上升趋势,而中期又将出现供大于求 使价格连续下跌.规定定义域是 ?0,5? ,其中 x ? 0 表示 8 月 1 日, x ? 1表示 9 月 1 日,区间 [0,1)之间的实数对应 8 月 1 日到 9 月 1 日之间的时刻,??,依此类推.现有三种价格模拟 函数:

① f ( x) ? p ? q ;② f ( x) ? px ? qx ? 1 ;③ f ( x) ? ?
x 2

?

?a?x ? 3? ? 2?1 ? x ? 5?.
2

px ? q?0 ? x ? 1?,

(注:以上三个函数中, p, q, a 均为待定常数且 q ? 0 .) (1)为准确确定其价格走势,应选择哪个价格模拟函数,为什么? (2)若 f (0) ? 4, f (1) ? 8 ,试求出所选函数 f (x) 的解析式;

14

(3)为了保证养殖户的的经济效益,当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销,请 你预测该海鲜将在那几个月份内价格下跌? 【解析】(1)要符合题设要求,①②③中均必须 p ? 0 .对于模拟函数① f ( x) ? p ? q 为单
x

调函数;模拟函数② f ( x) ? px ? qx ? 1 ,当
2

p ? 0 时为先减后增函数,当 p ? 0 时为先

增后减函数.因此函数①②均不符合题设“先增,再减,后增”的模型要求,模型③可以符 合这个要求.

所以应选择③ f ( x) ? ?

?

?a?x ? 3? ? b?1 ? x ? 5?
2

px ? q?0 ? x ? 1?,

作为价格模拟函数.

(2)由 f (0) ? 4, f (1) ? 8 ,得 p ? 4, q ? 4 ;

由 f (1) ? 8 ,得 a ?

3 , 2

所以函数 f (x) 的解析式为 f ( x) ? ? 3

? ?

4 x ? 4?0 ? x ? 1?,

?2 ?

?x ? 3?2 ? 2?1 ? x ? 5?.

(3) 作出函数 f ( x) ? ? 3

? ?

?2 ?

由图象可知, x ? (1,3) 时, 当 ?x ? 3?2 ? 2?1 ? x ? 5?. 的图象,

4 x ? 4?0 ? x ? 1?,

函数 f (x) 为减函数,所以可以预测这种海鲜将在 9、10 两个月份内价格下跌. 【说明】本题属于“应用”层次,预估难度系数为 0.68,为稍难题.

★达标练习
1. 函数 f ( x) ? 2 ? x ? 3 的零点个数是(
x

). C.2
x

A.0
x

B.1

D.3

2.设 f ?x ? ? 3 ? 3x ? 8 ,用二分法求方程 3 ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,2? 内近似解的过程中得

f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0 ,则方程的根落在区间(
A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C. (1.5, 2)

).

D.不能确定

15

3.某人骑自行车沿直线匀速旅行,先前进了 a 千米,休息了一段时间,又沿原路返回 b 千米 (b<a),再前进 c 千米,则此人离起点的距离 s 与时间 t 的关系示意图是( ).

4.今有一组实验数据如下: t v 1.99 1.5 3.0 4.04 4.0 7.5 5.1 12 6.12 18.01 ) .

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律, 其中最接近的一个是 (

A. v ? log 2 t

B. v ? 2

x

C. v ?

t 2 ?1 2

D. v ? 2t ? 2

5.偶函数 f (x) 在[0, a ]( a ? 0 )上是单调函数,且 f (0) f (a) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在

区间[ ? a , a ]内根的个数为

.

6. 四个物体同时从某一点出发向前运动,其路程 f i ( x ) (i ? 1,2,3,4 )关于时间 x ( x ? 1 )的函数关系 是 f1 ( x) ? x 2 , f 2 ( x) ? 2 x, f 3 ( x) ? log 2 x, f 4 ( x) ? 2 x ,如果它们一直运动下去,最终在最前面的物 体具有的函数关系是 7.已知函数 f ( x) ? .

x?2?

1 . x ?3

(1)求函数 y ? f (x) 的定义域;(2)若函数 y ? f ( x) ? a 在区间(-2,2)上有且仅有一 个零点,求实数 a 的取值范围.

16

8.甲商店某种商品 9 月份(30 天,9 月 1 日为第一天)的销售价格 P(元)与时间 t (天) 函数关系如图(一)所示,该商品日销售量 Q(件)与时间 t (天)函数关系如图(二) 所示.

(1)写出:图(一)表示的销售价格与时间的函数关系式 P ? f (t ) ,图(二)表示的日销 售量与时间的函数关系式 Q ? g (t ) 及日销售金额 M (元) 与时间的函数关系 M ? h(t ) ; (2)乙商店销售同一种商品,在9月份采用另一种销售策略,日销售金额 N(元)与时间 t (天)之间的函数关系为 N ? ?2t 2 ? 10t ? 2750 ( t ? 0 ),比较 9 月份每天两商店销售金 额的大小.

17

数学 2: 第一章 ★考试目标
节 次 考 试 目 标

空间几何体

1.1.1 柱、锥、台、球的结 识记柱、锥、台、球的结构特征. 构特征 1.1.2 简单组合体的结构 特征 1.2.1 平行投影与中心投 影 1.2.2 空间几何体的三视 图 1.2.3 空间几何体的直观 图 识记简单组合体的结构特征, 能识别一个几何体是由那些简单几 何体组合而成的. 能描述平行投影与中心投影,能用平行投影的方法,画空间图形 的三视图与直观图. 理解空间几何体的三视图, 能画出空间简单几何体的三视图并能 根据几何体的三视图想象立体模型. 了解斜二测画法,会用斜二测画法画空间几何体的直观图.

1.3.1 柱体、锥体、台体的 识记柱体、锥体、台体的表面积和体积公式,并能运用公式求简 表面积和体积 单几何体的表面积和体积. 1.3.2 球的体积和表面积 识记球的体积和表面积公式,并能运用公式求球的体积和表面 积.

★要点解读
1.柱、锥、台、球的结构特征 【知识要点】(1)多面体:棱柱、棱锥、棱台;(2)旋转体:圆柱、圆锥、圆台、球. 【案例剖析 1】下列结论: (1)有两个面平行,其余各个面都是平面四边形的几何体叫棱柱; (2)有两个面平行,其余各个面都是梯形的几何体叫棱台; (3)用一个平面去截棱锥,棱锥的底面和截面之间的部分叫棱台; (4)以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴将直角三角形旋转一周而形成的曲面 所围成的几何体叫做圆锥. 其中正确结论的个数为( A. 3 B. 2 C. 1
18

). D. 0

【解析】如图可知(1)(2)(3)均不正确,而圆锥是以直角三角形一条直角边所在 的直线为旋转轴将直角三角形旋转一周而形成 的曲面所围成的几何体,故选 D. 【说明】本题属于“识记”层次,预估难度系数 0.80,为中档题. 2.简单组合体的结构特征 【知识要点】简单组合体的构成有两种:一种是简单几何体拼接而成,另一种是简单几 何体截去或挖去一部分而成. 【案例剖析 2】如图所示的空间几何体中,是柱体或由柱体组合而成的是( ).

(1) A.(1)(2)(3)(4)

(2) B.(2)(4)(5)

(3) C.(1)(2)

(4)

(5) D.(1)(2)(5)

【解析】(1)是三棱柱,(2)是四棱柱,(3)是一个圆台挖去一个圆柱而得到的组 合体,(4)可以看作是一个四棱柱截去一个三棱锥而得到的组合体,(5)可以看作是 一个四棱柱截去一个三棱柱而得到的组合体,故选 D. 【说明】本题属于“识记”层次,预估难度系数 0.95,为容易题. 3.空间几何体的三视图和直观图 【知识要点】(1)会画空间几何体的三视图和直观图;(2)由空间几何体的三视图或 直观图想象所表示的立体模型. 【案例剖析 3】某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能 是( ).

19

【解析】D 答案对应的几何体的正视图上面的部分应是矩形中间有一条虚线,故选 D. 【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数 0.86,为容易题. 4.几何体的表面积和体积 【知识要点】(1)根据给出的几何体,求表面积或体积;(2)根据几何体的三视图, 求几何体的表面积或体积. 【案例剖析 4】下图是一个几何体的三视图,根据图中的数据,计算该几何体的表面积 为( ).
A.15π C.22π B.18π D.33π

【解析】由三视图知该几何体上部为半径是 3 的半球,下
部为圆锥,圆锥的底面半径为 3,母线长为 5,高为 4,则 圆锥侧面积 S1=π× 5=15π,半球的表面积(不包括大圆 3× 2 面)S2=2π× =18π,∴S=S1+S2=15π+18π=33π,故选 D. 3

【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数 0.90,为容易题.先要由几何体的三视 图想象几何体的形状,再用相应的公式计算,这种题型是高中学业水平考试中最常见的 题型.

★达标练习
1.一个几何体只有 4 个面,则该几何体为( A.三棱柱 2.下列结论正确的是( B.四棱柱 ). B.棱锥的侧面都是等腰三角形 D.棱柱的侧面都是矩形 ). ). C.三棱锥 D.三棱台

A.棱柱的侧面都是平行四边形 C.棱台的侧面都是等腰梯形

3.已知长方体的长、宽、高分别 2、3、 2 3 ,则该长方体的一条体对角线长为( A.2 3 B. 14 C.5 D.6

4.下列几何体中,三视图都相同的是 A. 圆台 B.圆柱
20

C.圆锥

D. 球

5.如图, Rt?ABC 的两直角边 AC ? 4 、 BC ? 3 ,将它绕直线 AC 旋转一周形成几何体 的体积为 . A

4
C
6.右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题: ①存在三棱 柱,其正视图、俯视图如右图; ②存在四棱柱,其正视图、俯视图如右图; ③存在圆柱,其正视图、俯视图如右图. 其中真命题的序号是 . 正视图

B
3

(第 5 题图)

俯视图 (第 6 题图)

7.一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形,求这个圆柱的全面积与侧面积的比.

8. 将一个边长为 6cm 的正方形卷成一个底面为正三角形的三棱柱, 求此三棱柱的体积.

21

第二章 ★考试目标
节 次 2.1.1 平面

点、直线、平面之间的位置关系

考 试 目



了解平面的概念和特性,能直接运用三个公理解决一些 简单的空间点、线、面关系的问题.

理解空间中直线与直线之间的三种位置关系,会判定两 2.1.2 空间中直线与直线之间的位 条直线平行、垂直和异面,会求简单空间图形中两条异 置关系 面直线所成的角. 2.1.3 空间中直线与平面之间的位 理解空间中直线与平面之间的三种位置关系. 置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系 理解平面与平面之间的两种位置关系. 2.2.1 直线与平面平行的判定与性 能运用直线与平面平行的判定定理与性质定理,证明一 质 些简单空间图形中的线面平行问题. 2.2.2 平面与平面平行的判定与性 能运用平面与平面平行的判定定理与性质定理,证明一 质 些简单空间图形中的线面平行问题. 能运用直线与平面垂直的判定定理与性质定理,证明一 2.3.1 直线与平面垂直的判定与性 些简单空间图形中的线面垂直问题,会求简单空间图形 质 中直线与平面所成的角. 能运用平面与平面垂直的判定定理与性质定理,证明一 2.3.2 平面与平面垂直的判定与性 些简单空间图形中的线面垂直问题,会求简单空间图形 质 中二面角的大小.

★要点解读
1.平面 【知识要点】公理 1 的主要作用是判定直线是否在平面内;公理 2 的主要作用是确定平 面;公理 3 的主要作用是判定点共线与线共点. 【案例剖析 1】 下列结论: “直线 l 在平面 ? 内” (1) 用符号表示为 l ? ? ; 若 ? ? ? =l, (2)

b ? ? , c ? ? , b ? c ? A ,则 A? l ;(3)如果三条直线两两相交,有三个不同的
交点,那么这三条直线确定一个平面.其中正确结论的序号是 .

【解析】直线 l 在平面 ? 内,不能用 l∈ ? ,应该用 l ? ? 表示,所以(1)不对;由公 理 3 可知(2)对;因为不在同一直线上的三点确定一个平面,所以(3)对.
22

答案:(2)(3 ). 【说明】本题属于“识记”层次,预估难度系数 0.90,为容易题. 2.空间中直线与直线之间的位置关系 【知识要点】(1)直线与直线的位置关系有平行、相交和异面;(2)两异面直线所成 的角.(详见教材) 【案例剖析 2】E、F、G、H 是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点,则 EFGH 是 形;若空间四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 垂直,则 EFGH 是 形. 形; 若空间四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相等,则 EFGH 是

【解析】用公理 4 可以证明 EFGH 是平行四边形;又∠EFG 为 AC 与 BD 所成的角,所以 当 AC 与 BD 垂直时,EFGH 是矩形;当 AC 与 BD 相等时,EF=FG,所以 EFGH 是菱形. 答案:平行四边;矩;菱. 【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.86,为容易题. 【案例剖析 3】 如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱垂直底面,∠ BCA=90°,点 D1、F1 分别是 A1B1、A1C1 的中点.若 BC=CA=CC1, 则 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值是( ). B1 D1 C1 D. F1 A1

A.

30 10

B.

1 2

C.

30 15

15 10

B E C

A

【解析】设 BC 的中点为 E,连结 F1E,则 F1E∥BD1, 所以∠AF1E 为 AF1 与 BD1 所成的角,在三角形 AF1E 中,由余弦定理可得 cos∠AF1E=

30 ,故选 A. 10

【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数 0.80,为中档题.求两异面直线所成的角关 键是将两条异面直线(或其中一条)平移,使它们变成相交直线,再解三角形求角. 3.空间中直线与平面之间的位置关系 【知识要点】(1)直线与平面的位置关系有直线与平面平行、直线与平面相交和直线 在平面内;(2)直线和平面所成的角. 【案例剖析 4】下列结论:① a ∥ b , a ⊥ ? ? b ⊥ ? ;② a ⊥ ? , b ⊥ ? ? a ∥ b ; ③ a ⊥ ? , a ⊥ b ? b ∥ ? ; ④ a ∥ ? , a ⊥ b ? b ⊥ ? .其中正确的结论( A.①② B.①②③ C.②③④
23

).

D.①②④

【解析】 ①即为直线与平面垂直的判定定理 2; ②即直线与平面垂直的性质定理; b 可 ③ 以在平面 ? 内;④ b 可以在平面 ? 内,还可以与平面 ? 平行.故选 A. 【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.86,为容易题. 【案例剖析 5】如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2, AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为(
6 3 2 6 5

).

A.

B.

C.

15 5

D. 10
5

【解析】连结 A1C1 交 B1D1 于 O,可以证明 A1C1⊥平面 BB1D1D, 所以∠OBC1 为 BC1 与平面 BB1D1D 所成角,在直角三角形 BC1O 中,BC1= 5 ,C1O= 2 , 所以 sin∠OBC1= 10 .故选 D.
5

【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数 0.78,为中档题.求直线和平面所成的角关 键是找(作)出直线和平面所成的角,而找(作)直线和平面所成的角的关键是找(作) 到直线在平面内的射影. 4.空间中平面与平面之间的位置关系 【知识要点】(1)平面与平面的位置关系有平行与相交;(2)二面角及其平面角(详 见教材). 【案例剖析 6】已知直线 a ⊥平面 ? , m 表示直线, ? 表示平面,有以下四个结论: (1) ? ⊥ ? ? a ∥ ? ;(2) a ∥ m , m ? ? ? ? ⊥ ? ;(3) m ∥ ? ? a ⊥ m ; (4)若 a 与 ? 相交,则 ? 必与 ? 相交.其中正确的结论个数有( A.4 B.3 C.2

). D.1

【解析】(1) a 可以在 ? 内,故(1)不对;(2)对;(3)对;(4) ? 与 ? 可以平 行,故(4)不对.故选 C. 【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.86,为容易题. 【案例剖析 7】如图,Rt△ABC 的斜边 BC 在平面 ? 内,两直角边 AB、AC 与平面 ? 所成 的角分别为 30?、45?,则平面 ABC 与平面 ? 所成的锐二面角的大小为(
24

).

A.30?

B.45?

C.60?

D.90?
A O D C

【解析】过 A 作 AO⊥平面 ? 于 O,连结 BO,CO,过 A 作 AD ⊥BC 于 D,连结 DO,则∠ABO,∠ACO 分别为 AB、AC 与 ? 所成的角, ∠ADO 为平面 ABC 与平面 ? 所成的角, AO= a , 设

2 3 a ,sin∠ 则 AB=2 a ,AC= 2 a ,BC= 6 a ,所以 AD= 3
ADO=

?

B

3 ,所以∠ADO=60? .故选 C. 2

【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数 0.68,为稍难题.解题的关键是要能作出直 线和平面所成的角和二面角的平面角,然后解三角形求角. 5.立体几何的综合问题 【知识要点】 在高中学业水平考试中, 立体几何的解答题一般都是以综合题的形式出现. 它主要考查空间几何体的结构特征、体积和面积的计算、空间各种线面的平行和垂直关 系的论证以及空间角的简单计算.解这类题要有较强的空间想象能力、 逻辑推理能力和运 算能力. 【案例剖析 8】如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PCD 是边长 为 2cm 的等边三角形,且与底面垂直,而底面 ABCD 是面积为
2 3cm2 的菱形,∠ADC 是锐角. (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)求证 PA⊥CD.

【解析】(1)过 P 作 PE⊥CD,垂足是 E,
∵侧面 PCD∩底面 ABCD=CD,侧面 PCD⊥底面 ABCD, PE⊥侧面 PCD,∴PE⊥底面 ABCD,又△PCD 是等边三角 3 × 2= 3(cm).已知 S 底 2 1 1 2 S 2 3= 面=2 3cm ,∴四棱锥的体积 V= PE· 底面= × 3× 3 3 形,边长 2 cm,PE⊥CD,∴PE= 2(cm3); (2)证明:记∠ADC=θ,∵底面 ABCD 是菱形,∴S 底面 2 3 3 =CD2· sinθ,又 CD=2 cm,S 底面=2 3cm2,∴sinθ= = .∵θ 是锐角(题设),∴θ=60° , 4 2 连接 AC,则△ADC 是等边三角形,∵△PCD 也是等边三角形,PE⊥CD,∴E 是 CD 的中 点,连接 AE,有 AE⊥CD,AE∩PE=E,∴CD⊥平面 PAE.又 PA? 平面 PAE,∴PA⊥CD.

【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数 0.68,为稍难题.
25

★达标练习
1.若直线上有两个点在平面内,则下列结论正确的是( A.直线在平面内 C.直线上有点都在平面外 ).

B.直线不一定在平面内 D.直线与平面相交

2.如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥BC,则三 棱锥 P-ABC 的四个面 PAB,PAC,PBC 和 ABC 中,直角三角 形的个数为( A.1 C.3 ). B.2 D.4
A B (第 2 题图) C P

3.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下面结论错误的是 ( ). B.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 角的为 60° (第 3 题图) 4.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB=1,AC=2,BC= 3 ,D、E 分别是 AC1 和 BB1 的中点,则直线 DE 与平面 BB1C1C 所成角的大小 为( A.900 ). B. 600 C. 450 D. 300 D 5、若 ?、? 是两个不重合的平面,以下条件中可以判断 ? ∥ ? 的 是:_______:① ?、? 都垂直于平面 ? ;② ? 内有不共线的三点 到 ? 的距离相等; l、m 是 ? 内的两条直线, l ∥ ? , ∥ ? ; ③ 且 m ④ l、m 是两条异面直线,且 l ∥ ? , l ∥ ? , m ∥ ? , m ∥ ? . C A (第 4 题图) B C1 A1 E B1

A.BD∥平面 CB1D1 C.AC1⊥BD

26

6.已知 ? , ? 是平面,m,n 是直线,下列命题中正确命题的个数是__________: ①若 m ? ? , m ? ?,则? ? ? ;②若 m ? ? , n ? ? , m // ?,n // ? , 则? // ? ; ③如果 m ? ? , n ? ? , m、n是异面直线,那么n与? 相交; ④若 ? ? ? ? m, n // m,且n ? ? , n ? ?,则n // ?且n // ? . 7.如图, ABCD ? A1 B1C1 D1 为长方体. (1)求证: B1 D1 ∥平面 BC1 D ; (2)若 BC ? CC1 ,求直线 BC1 与平面 ABCD 所成角 的大小. D A (第 7 题图) B C

D1 A1

C1 B1

8.如图, 四棱锥 P-ABCD 中, PD⊥底面 ABCD, 底面 ABCD 是边长为 a 的正方形, PD= a . 且 (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)若 E 为 PC 中点,求证:PA∥平面 BDE; (3)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正切值. P

E D A
(第 8 题图)

C B

27

第三章 ★考试目标
节 次

直线与方程



试 目



3.1.1 倾斜角与斜率 3.1.2 两直线平行与垂直的判 定 3.2.1 直线的点斜式方程

理解倾斜角与斜率的概念,会根据倾斜角求直线的斜 率,能运用斜率公式求直线的斜率. 掌握两直线平行与垂直的条件,并能运用它们判定两 直线平行与垂直. 掌握直线的点斜式和斜截式方程,并能运用它们求直 线的方程. 掌握直线的两点式和截距式方程,并能运用它们求直

3.2.2 直线的两点式方程

线的方程. 掌握直线的一般式方程,并能根据直线的一般式方程 求直线的斜率、截距及作直线的图形. 理解两直线交点坐标即两直线的方程对应的方程组的 解,会由两直线的方程求两直线的交点坐标. 理解两点间的距离公式,能运用公式求两点间的距离. 理解点到直线的距离公式,能运用公式求点到直线的 距离. 识记两条平行直线间的距离公式,能直接运用公式求 两条平行直线间的距离.

3.2.3 直线的一般式方程 3.3.1 两直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离 3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离

★要点解读
1.直线的倾斜角和斜率 【知识要点】(1)当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴为基准, x 轴正方向与直线 l 向 上的方向之间所成的角 ? ,叫做直线 l 的倾斜角;当直线与 x 轴平行或重合时,直线的 倾斜角为 0?;(2)倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率. 【案例剖析 1】直线 l 经过原点和点(1,1),则直线 l 的倾斜角是( A. ).

? 4

B.

3? 4

C.

? 3? 或 4 4

D.-

? 4

28

【解析】由已知可得直线 l 的斜率为 k =1,所以倾斜角 ? 的正切值为 tan? ? 1 ,因为倾 斜角的范围为[0, ? ),所以 ? =

? .故选 A. 4

【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.92,为容易题. 【案例剖析 2】下列结论: ①倾斜角为 ? 的直线的斜率为 k ? tan? ;②经过 A(-1,0),B(-1,3)两点的直线 不存在斜率;③直线 A x +B y +C=0 的斜率为 k ? ? 其中正确结论的序号是 .

A ;④直线 y =1 的斜率为 0. B

【解析】当 ? =90°时直线没有斜率,故①错误; ②正确;当 B=0 直线 A x +B y +C=0 的 斜率不存在,故③错误;④正确.故答案为:②④. 【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.88,为容易题. 2.求直线的方程 【知识要点】直线方程的形式有:点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式.根据条 件求直线方程,一般用待定系数法.在设直线方程时,要注意四种特殊形式的条件. 【案例剖析 3】已知直线 l 过点 M(1,1)且在 x 轴、 y 轴上的截距相等,求直线 l 的 方程. 【解析】解法一:设直线在 x 、 y 轴上的截距分别为 a , b , 当 a ? b =0 时,直线过点(0,0),由两点式可得直线方程为 y ? x , 当 a ? b ≠0 时,直线方程为 x ? y ? a ,所以 a ? b =2,直线方程为 x ? y ? 2 ? 0 , 所以直线 l 的方程为 y ? x 或 x ? y ? 2 ? 0 . 解法二:设直线方程为 y-1=k(x-1),令 y=0,得 x ? 1 ? 所以 1 ?

1 ;令 x=0,得 y ? 1 ? k , k

1 ? 1 ? k ,解得 k ? ?1 或 k ? 1 ,代入直线方程可得答案. k

【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数 0.74,为中档题.
29

3.两条直线平行和垂直的判定 【知识要点】(1)两条不重合的直线 l1,l2 的斜率存在,且分别为 k 1 , k 2 ,则 l1∥ l2 ? k1 ? k 2 ; (2) 两条直线 l1,2 的斜率存在, l 且分别为 k 1 ,k 2 , l1⊥ l2 ? k1k 2 ? ?1 . 则 【案例剖析 4】过点(3,4)且与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行的直线的方程为 【解析】因为直线 3x ? y ? 2 ? 0 的斜率为 k =3,所以所求直线的方程为

.

y ? 4 ? 3( x ? 3) ,即 3x ? y ? 5 ? 0 .
【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.92,为容易题. 【案例剖析 5】点 A(4,0)关于直线 l: 5 x ? 4 y ? 21 ? 0 的对称点是( A.(-6,8) B.(-8,-6) C.(6,8) ).

D.(-6,-8)

【解析】设点 A(4,0)关于直线 l: 5 x ? 4 y ? 21 ? 0 的对称点为 B(x0,y0),则 AB ⊥l 且 AB 的中点 ( 故选 D. 【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数 0.80,为中档题. 4.两直线的交点坐标 【知识要点】两条直线 l1:A1 x +B1 y +C1=0 与 l2:A2 x +B2 y +C2=0 的交点坐标是方程组
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 的解;当方程组只有一组解时,两条直线相交,当方程组无解时,两 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

? 4 x 0 ? 5 y 0 ? 16 ? 0 ? x 0 ? ?6 4 ? x0 y 0 , ) 在直线 l 上, 所以 ? , 解得 ? , 2 2 ?5 x 0 ? 4 y 0 ? 62 ? 0 ? y 0 ? ?8

条直线平行,当方程组有无数组解时,两条直线重合. 【案例剖析 6】 经过直线 y ? 2 x ? 3 和 y ? 3x ? 2 的交点, 且垂直于第一条直线的直线方 程为 .

30

【解析】因为直线 y ? 2 x ? 3 和 y ? 3x ? 2 的交点坐标为(1,5), y ? 2 x ? 3 的斜率为

k =2,所以所求直线过点(1,5),斜率为 ?
x ? 2 y ? 11 ? 0 .

1 1 ,其方程为 y ? 5 ? ? ( x ? 1) ,即 2 2

【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度 0.88,为容易题. 5.三个距离公式 【知识要点】三个距离公式: (1)两点间的距离公式; (2)点到直线的距离公式; (3) 两条平行直线的距离公式. 【案例剖析 7】已知点 A(-3,-4),B(6,3)到直线 l: kx ? y ? 1 ? 0 的距离相等, 则 k =( A. ). B. ?

1 7 或? 3 9

1 7 或 3 9

C.

1 7 或 3 9

D. ?

1 7 或? 3 9

【解析】由已知,有

| ?3k ? 4 ? 1 | k 2 ?1

?

| 6k ? 3 ? 1 | k 2 ?1

,解得 k ? ? 或 k ? ?

1 3

7 .故选 D. 9

【说明】本题属于“理解”层次,预估难度 0.85,为容易题. ★达标练习 1.已知点 P(2,3),Q(1,4),则直线 PQ 的倾斜角为( A.30? B.45? C.90? ). D.135? ).

2.如果直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 互相平行,那么 a 的值等于( A.2 B.1 C.-1 D.-2 ).

3.已知点 A(7,-4),B(-5,6),则线段 AB 的垂直平分线的方程为( A. 6 x ? 5 y ? 11 ? 0 C. 5x ? 6 y ? 1 ? 0 B. 6 x ? 5 y ? 1 ? 0 D. 5x ? 6 y ? 11 ? 0

4.与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行且距离为

5 的直线的方程是( 5
31

).

A. 2 x ? y ? 2 ? 0 C. 2 x ? y ? 0 和 2 x ? y ? 2 ? 0

B. 2 x ? y ? 0 D. 2 x ? y ? 0 和 2 x ? y ? 2 ? 0

5.直线 x cos? ? y ? 2 ? 0 ( ? ?R)的斜率的范围是

.

6.已知直线 l 过点 P(2, 1) ,且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A 、 B 两点, O 为坐标原点, 则△ OAB 面积的最小值为 .

7.已知三条直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0, 4 x ? 3 y ? 1 ? 0, mx ? y ? 0 不能构成三角形,求实数 m 的 取值范围.

8.将一张坐标纸折叠一次,使点(10,0)与点(-6,8)重合. (1)求折痕所在直线的方程; (2)求与点(-4,2)重合的点的坐标。

32

第四章 ★考试目标
节 次 4.1.1 圆的标准方程

圆与方程

考 试 目 标 会根据条件求圆的标准方程, 能根据圆的标准方程求圆 心坐标和半径,并能判别点与圆的位置关系. 能判别一个不含x、 y的乘积项的二元二次方程是否表示 圆, 会根据条件求圆的一般方程和由圆的一般方程求圆 心坐标、半径,并能求一些简单的动点的轨迹方程.

4.1.2 圆的一般方程

4.2.1 直线与圆的位置关系 4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应 用 4.3.2 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公 式

掌握直线与圆的位置关系的判定, 会根据直线和圆的方 程判定直线与圆的位置关系. 理解圆与圆的位置关系的判定, 会根据圆的方程判定圆 与圆的位置关系. 了解坐标法, 能建立平面直角坐标系, 利用直线与圆的 方程解答一些简单的实际问题. 知道空间直角坐标系, 能用空间直角坐标系刻画空间点 的位置. 识记空间两点间的距离公式,会求空间两点间的距离.

★要点解读
1.点与圆的位置关系 【知识要点】点在圆上、点在圆内和点在圆外的判定:利用点和圆心的距离与半径的关 系来判定. 【案例剖析 1】点(1,1)在圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? a) 2 ? 4 上,则 a 的值为( ).

A. a ? 1

B. a ? ?1

C. a ? 1 ? 2 或 a ? 1 ? 2

D. a ? ?1

【解析】由已知,得 (1 ? a) 2 ? (1 ? a) 2 ? 4 ,化简,得 a 2 ? 1 ,所以 a ? ?1 .故选 D. 【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.90,为容易题. 2.求圆的方程

33

【知识要点】圆的标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ;一般方程:

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
【案例剖析 2】已知圆心为 C 的圆经过两点 A(1,1)和 B(2,-2),且圆心 C 在直线 l: x ? y ? 1 ? 0 上,求圆 C 的方程.
? D E ?- 2 ? 2 ? 1 ? 0, ? ? D ? E ? F ? 2 ? 0, ?2 D ? 2 E ? F ? 8 ? 0, ? ?

【解析】设圆的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则由已知得

解得 D=6,E=4,F=-12,∴ 所求圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 y ? 12 ? 0 . 【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.84,为中档题. 3.直线与圆的位置关系 【知识要点】直线与圆的位置关系有:相交,相切和相离三种.判定直线与圆的位置关 系有两种方法, 即利用圆心到直线的距离与半径的关系和判别式法.直线与圆相交主要涉 及弦长的问题,掌握好 r 2 ? d 2 ? ( 表示弦长)的应用. 【案例剖析 3】直线 x ? y ? 1 ? 0 与 x 2 ? y 2 ? 4 的位置关系是( A.相交 B.相切 C.相离 ).

| AB | 2 ) (其中 r 表示圆的半径, d 表示弦心距,|AB| 2

D.不确定

【解析】因为圆心(0,0)到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 d = 为 2,所以直线和圆相交.故选 A. 【说明】本题属“掌握”层次,预估难度系数 0.85,为容易题.

| ?1 | 1?1

=

2 ,又圆的半径 2

【案例剖析 4】已知圆 C: ( x ? a) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ( a >0)及直线 l: x ? y ? 3 ? 0 ,当 直线 l 被圆截得的弦长为 2 3 时,则 a = .

【解析】圆心到直线的距离为 d ?

| a ?1| 2

,由 r 2 ? d 2 ? ( 3 ) 2 及 a >0,得 a = 2 ? 1 .

34

【说明】 本题属于“掌握”层次, 预估难度系数 0.83, 为中档题.主要考查直线和圆相交时, 弦长、半径和弦心距的关系. 【案例剖析 5】求圆心在直线 l1: 5 x ? 3 y ? 0 上,并且与直线 l2: x ? 6 y ? 10 ? 0 相切 于点 P(4,-1)的圆的方程. 【解析】设圆的方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,则由已知得

? ?(4 ? a ) 2 ? (?1 ? b) 2 ? r 2 ? ,解得 a=3,b=5,r= 37 , ?5a ? 3b ? 0 ? b ?1 1 ? ? ? ?1 ?a ? 4 6
∴ 所求圆的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 37 . 【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数 0.78.考查应用直线和圆的位置关系求圆的 方程.对于直线和圆相切,若已知切点,一般来说,利用圆心与切点的连线和切线垂直比 利用圆心到直线的距离等于半径要简单.如解法二比解法一就要简单. 4.圆与圆的位置关系 【知识要点】(1)判断两圆的位置关系主要是利用两圆的圆心距与两圆的半径和(或 差)的关系;(2)两圆的交点坐标即两圆的方程对应的方程组的解. 【案例剖析 6】圆 C1: x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 ,C2: x 2 ? y 2 ? 4 x ? 10 y ? 13 ? 0 的公 切线有( A.2 条 ). B.3 条 C.4 条 D.1 条

【解析】因为 C1(-2,2),C2(2,5), r1 =1, r2 =4,所以|C1C2|=5= r1 ? r2 ,两圆外 切,选 B. 【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.83,为中档题.若两圆外离,则两圆有 4 条公切线;若两圆外切,则两圆有 3 条公切线;若两圆相交,则两圆有 2 条公切线;若 两圆内切,则两圆有 1 条公切线;若两圆内含,则两圆没有公切线. 5.直线与圆的方程的应用 【知识要点】利用直线和圆的方程,解答实际问题.
35

【案例剖析 7】如图,某圆拱桥的水面跨度是 20 米,拱高为 4 米.现有一船宽 9 米,在 水面以上部分高 3 米, 故船可以在桥下通行无阻.近日该地连降大雨, 水位暴涨了 1.5 米, 为此,必须加重船载,降低船身.求当船身至少应降低多少米时,船才能通过桥洞?(结 果精确到 0.01 米) 【解析】建立如图所示的直角坐标系,设圆拱所 在圆的方程为 x 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 , ∵圆经过点 A(10,0),B(0,4),∴ y B

?100 ? b 2 ? r 2 ?b ? ?10 .5 ,解得 ? ,∴圆的方程 ? 2 2 ? r ? 14 .5 ? ( 4 ? b) ? r
是 x 2 ? ( y ? 10.5) 2 ? 14.5 2 (0 ? y ? 4) . 令

O

A

x

x ? 4.5 ,得 y ? 3.28 ,故当水位暴涨 1.5 米后,
船身至少应降低 1.5-(3.28-3)=1.22( m ),船才能通过桥洞. 【说明】本题属于“应用”层次,预估难度系数 0.70,为稍难题. 6.确定空间点的坐标、求空间两点之间的距离 【知识要点】(1)建立空间直角坐标系,确定正方体或长方体中的点的坐标;(2)空 间两点之间的距离公式. 【案例剖析 8】正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,以 D 为原点,DA、DC、DD1 为 x 、 y 、

z 轴建立空间直角坐标系,则正方体的中心 O 的坐标为(
A.(1,0,1) B.(0,1,1) C.(1,1,0)

). D.(1,1,1)

【解析】因为 B1 的坐标为(2,2,2),又 O 为 DB1 的中点,所以 O 的坐标为(1,1, 1). 【说明】本题属于“识记”层次,预估难度系数 0.90,为容易题. 【案例剖析 9】 已知点 A (1, 2) B 0, ,(1, 1) 在 z 轴上有一点 M 满足|MA|=|MB|, -3, , 则点 M 的坐标为 .

【解析】因为 M 在 z 轴上,可设 M 坐标为(0,0,z),由|MA|=|MB|,解得 z =-3,所 以点 M 的坐标为(0,0,-3).故答案为(0,0,-3). 【说明】本题属于“识记”层次,预估难度系数 0.92,为容易题.

36

★达标练习
1.已知圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 y ? 12 ? 0 ,则圆 C 的圆心坐标和半径分别为 ( ). B.(-3,2), r ? 5 D.(3,-2), r ? 5 ). D.不能确定 ).

A.(3,-2), r ? 1 C.(-3,2), r ? 1

2.直线 x ? y ? 2 ? 0 与 x 2 ? y 2 ? 2 的位置关系是( A.相交 B.相离 C.相切

3.直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 被圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为(

A. 4 2

B. 2 2 ).

C.4

D.2

4.点 P( x 0 , y 0 ,0)一定在( A. z 轴上 B.平面 y O z 内

C.平面 x O z 内

D. 平面 x O y 内

5.过坐标原点且与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ?

5 ? 0 相切的直线方程为____________。 2
2

6.已知直线 5x ? 12 y ? a ? 0 与圆 x ? 2 x ? y ? 0 相切,则 a 的值为
2

.

7.已知直线 l1 : y ? 2 x ? 3 , l 2 : y ? x ? 2 相交于点 P. (1)求过点 P 且与直线 l1 垂直的直线的方程; (2)求以点 P 为圆心,且与直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 相切的圆的方程.

8.求过点 P(-2,4),Q(3,-1),并且在 x 轴上截得的弦长等于 6 的圆的方程.

37

数学 3: 第一章 ★考试目标
节 次 考 试 目 标

算法初步

1.1.1 算法的概念 1.1.2 程序框图与算 法的基本逻辑结构 1.2.1 输入语句、输 出语句、赋值语句 1.2.2 条件语句 1.2.3 循环语句

知道算法的思想和含义,能判断一些语句是否为算法. 理解程序框图的三种基本逻辑结构,能读懂程序框图所表示的算 法. 理解输入语句、输出语句、赋值语句,能读懂简单的程序和用这 三种语句编写一些简单的程序. 理解条件语句,能读懂用条件语句书写的简单程序. 理解循环语句,能读懂用循环语句书写的简单程序 知道辗转相除法、 更相减损术、 秦九韶算法与进位制的算法思想,

1.3 算法案例

能用辗转相除法、更相减损术求两个正整数的最大公约数、用秦 九韶算法求 n 次多项式的值,进行各种进制的数的互化.

★要点解读
1.算法的概念 【知识要点】在数学中,算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步 骤.算法的特点:有限性、确定性、有效性. 【案例剖析 1】下列语句中,是算法的有( ).

①从济南到巴黎可以先乘火车到北京再坐飞机抵达; ②利用公式 S ? 为 2 的三角形的面积;③

1 ah 计算底为 1 高 2

1 x ? 2 x ? 4 ;④求过 M(1,2)与 N(-3,-5)两点的直线 2

方程,可先求 MN 的斜率,再利用点斜式方程求得. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

【解析】由算法的定义和特点可知,①②④是算法,③不是算法,因为③只是一个不等 式,并不是求解不等式.故选 C.
38

【说明】本题属于“识别”层次,预估难度系数为 0.86,为容易题. 2.算法的基本逻辑结构 【知识要点】算法的基本逻辑结构有:顺序结构、条件结构、循环结构(详教材). 【案例剖析 2】 给出以下四个问题:①输入一个数 x,输出它的相反数;②求面积为 6 的正方形的周长;③求两个数 a , b 中的最大数;④求函数 f ( x) ? ? 数值. 其中不需要用条件语句来描述其算法的有 ( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 ). D. 4 个

? x ? 1( x ? 0) 的函 ? x ? 2( x ? 0)

【解析】①②不需要用到条件语句,③④要用到条件语句.故选 B. 【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数为 0.85,为容易题. 3.程序框图 【知识要点】读懂简单的程序框图.既能指出一些简单程序框图的功 能,也能根据给出的程序框图得到输出的结果. 【案例剖析 3】阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的 i 值等于( ).
A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】当 i=1 时,a=1× 2=2,s=0+2=2,i=1+1=2;由于 2>11 2 不成立,故 a=2× =8,s=2+8=10,i=2+1=3;由于 10>11 不成 2 立,故 a=3× 3=24,s=10+24=34,i=3+1=4;34>11 成立,故输 2 出的 i=4.答案选 C.

【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数为 0.85,为容易题. 4.基本算法语句
INPUT

【知识要点】基本算法语句有输入语句、输出语句、 赋值语句、条件语句、循环语句. 【案例剖析 4】在右边的程序中,若输入的 x ? 13 , 则输出的 x 值为( A.31 C.30 ).

x

IF x >9 AND x <100 THEN

a = x \10
b = x MAD 10

B.13 D.10

x =10* b + a
PRINT END IF
39

x

END

【解析】当 x ? 13 时, a ? 1 , b ? 3 ,所以 x ? 31 ,故选 A. 【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数为 0.80,为中档题. 5.算法案例 【知识要点】辗转相除法、更相减损术求两个正整数的最大公约数,用秦九韶算法求多 项式的值,进位制之间的转化. 【案例剖析 5】下列各数中最小的数是 ( A. 85 ( 9 ) B. 210 ( 6 ) ). C. 1000 ( 4 ) D. 111111 ( 2)

【解析】因为 85 ( 9 ) =77, 210 ( 6 ) =78, 1000 ( 4 ) =64, 111111 ( 2) =63,所以选 D. 【说明】本题属于“识记”层次,预估难度系数为 0.90,为容易题.

★达标练习
1 在输入实数 x 的值,求 f ( x) ? ?
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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? 2 x ? 1 ( x ? 0) 得函数值的程序框图中( ? 2 x ? 1 ( x ? 0)
B.只有条件结构 D.有顺序结构和条件结构 ).
A=3 B=A*A A=A+B

).

A.只有循环结构 C.有顺序结构和循环结构

2.用“辗转相除法”求得 45 和 57 的最大公约数是( A.3 B.9 C.5 ). D.19

3.如图的程序运行时输出的结果是( A.12,5 B.12,21

C.12,3 ).

D.21,12

B=B+A PRINT A,B

4.如图的程序运行后输出的结果为( A.50 B.5 C.25

D.0

END

(第 3 题图) 5.已知如图所示的程序框图,若输入的 x 值为 1 ,则输出的 y 值 为 .

40

6.如图的程序运行后输出的结果为

.

x =5
a =0
开始
j=1 WHILE j<=5

y =-20
IF

x <0 THEN x = y -3

输入 x

a =( a +j) MOD 5
j=j+1

y ? 2 x ?1
输出 y

ELSE

y = y +3
END IF

WEND

PRINT

a

结束 (第 5 题图)
PRINT END

x- y

(第 4 题图) END

(第 6 题图)
7.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明 文(解密),已知加密规则如图所示。例如,当发送方输入的明文为 1,2,3,4 时,接受 方收到的密文为 5,7,18,16. 若接收方收到密文 9,10,22,24,求发送方发出的明文.

开始 输入 a,b,c,d

m ? a ? 2b n ? 2b ? c p ? 2c ? 3d q ? 4d
输出 m,n,p,q
结束

(第 7 题图 )

41

8.在如图所示的程序框图中,分别输入 x ? 0 和 x ? ?1 时,输出的 y 值记为 a1 , a 2 . (1)求 a1 , a 2 的值; 开始 (2)若 a1 , a 2 是等比数列{ a n }的第 1 项和第 2 项, 求数列{ a n }的通项公式 a n ; (3) (2) 若 中等比数列{ a n }的前 n 项和为 S n , S n 求 的取值范围. 输出 y 结束 (第 8 题图) 输入x

x ? 0?




y ? 2x ? 1

y ? 2x

42

第二章 ★考试目标
节 次

统 计









2.1.1 简单随机抽 样 2.1.2 系统抽样 2.1.3 分层抽样

了解随机抽样的必要性和重要性;理解简单随机抽样,能用抽签法和 随机数法确定样本. 理解系统抽样,会用系统抽样解决简单的抽样问题. 理解分层抽样,能用分层抽样解决有关的抽样问题.

2.2.1 用样本的频 掌握频率分布表,频率分布直方图、频率折线图和茎叶图. 会列样本 率分布估计总体分 频率分布表,画样本频率分布直方图、频率折线图和茎叶图,并能因 布 此估计总体的分布. 2.2.2 用样本的数 掌握众数、中位数、平均数、方差和标准差的意义和作用;能合理选 字特征估计总体的 取样本,并从样本数据中提取基本的数字特征,做出合理的解释;能 数字特征 综合运用样本估计总体的基本思想解决一些实际问题. 2.3.1 变量间的相 关关系 2.3.2 两个变量的 线性相关 了解变量间的相关关系的概念,能判断两个变量是否具有相关关系. 理解散点图;能利用散点图直观认识变量之间的相关关系,判断两个 变量是否为正相关或负相关;知道最小二乘法;掌握根据给出的线性 回归方程系数公式建立线性回归方程和根据线性回归方程由一个量估 计另一个量的方法.

★要点解读
1.抽样方法 【知识要点】抽样方法有:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样.其中简单随机抽样主 要有抽签法、随机数法. 【案例剖析 1】某小礼堂有 25 排座位,每排有 20 个座位.一次心理讲座时礼堂中坐满了 学生,会后为了了解有关情况,留下座位号是 15 的 25 名学生.这里运用的抽样方法是 ( ). B.随机数表法 C.系统抽样 D.分层抽样

A.抽签法

【解析】本题为抽样方法的选取问题,由题意可知应为系统抽样.故选 C. 【说明】本题属“理解”层次,预估难度系数为 0.92,为容易题.一般地,当总体中个体较 多且个体无明显的差异特征时,宜采用系统抽样;当总体中的个体差异较大时,宜采用 分层抽样;当总体中个体较少时,宜采用简单随机抽样.
43

【案例剖析 2】某高中共有学生 900 人,其中高一年级 300 人,高二年级 200 人,高三 年级 400 人,现采用分层抽样抽取容量为 45 的样本,那么高一、高二、高三各年级抽 取的人数分别为( A.15, 5, 25 ). B.15, 15, 15 C.10, 5, 30 D.15, 10, 20

【解析】因为 300:200:400=3:2:4,设三部分各抽取的个体数分别为 3 x ,2 x ,4 x , 由 3 x +2 x +4 x =45,得 x =5,故抽取的人数分别为 15,10,20,故选 D. 【说明】本题属“理解”层次,预估难度系数为 0.90,为容易题. 2.用样本估计总体 【知识要点】用样本估计总体包括下面两个方面:(1)用样本的频率分布估计总体分 布,主要是通过样本的频率分布直方图、样本数据的茎叶图来估计总体的分布;(2) 用样本的数字特征估计总体的数字特征,主要是根据直方图或茎叶图估计总体的众数、 中位数、平均数、方差和标准差等数据,要注意每个数据的计算方法. 【案例剖析 3】某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均 为整数)分成六段 ?40,50 ? , ?50,60 ? ,?, ?90,100 ? 后画出如图的频率分布直方图.观察 图形的信息,回答下列问题: (1)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格); (2)估计这次考试的平均分.
0.03 频率 组距

【解析】(1)根据直方图,可以估计出这次考试的 及格率为 75%;(2)平均分为 45 ? 0.1+55 ? 0.15+65 ? 0.15+75 ? 0.3+85 ? 0.25+95 ? 0.0 5=71.

0.025 0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 分数

【说明】此题属“综合应用”层次,预估难度系数为 0.83,为中档题. 【案例剖析 4】右图是甲,乙两名篮球运动员在某赛 季每场比赛得分的茎叶图,则甲,乙两人这几场比赛 得分的中位数之和为( A.65 C.63 ). B.64 D.62
甲 5 3 1 3 6 8 2 4 5 4 7 9 3 2 6 3 7 8 1 4 5 7 乙

【解析】因为甲运动员几场比赛得分的中位数为 28,
44

乙运动员几场比赛得分的中位数为 36,故答案为 B. 【说明】此题属“简单应用”层次,预估难度系数为 0.90,为容易题. 3.变量的相关关系 【知识要点】根据给出的数据作出散点图,并能根据散点图判断两个变量是否具有相关 关系;对于线性回归方程,水平考试一般只要求根据给出的回归方程,由一个变量的值 估计另一个量的值. 【案例剖析5】影响居民消费水平的因素是很多的,其中重要的一项是工资收入.国家统 计局,通过抽样的方法,在部分省市调查了一些城市职工的月平均工资( x )与消费水 平( y )(单位:元)的情况.经统计,得到月平均工资( x )与消费水平( y )的回归

? 直线方程为 y ? 0.7 x ? 1250 .若某人的月工资收入为4000元,则可以估计该人的消费水
平为 元.

【解析】将 x =4000 代入方程,求得 y =1550.答案为 1550. 【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数为 0.90,为容易题.

★达标练习
1.下面哪组变量具有相关关系( A.出租车费与行驶的里程 C.人的身高与体重 ). B.房屋面积与房屋价格 D.铁的体积与质量

2.对总数为 N 的一批零件抽取一个容量为 30 的样本,若每个零件被抽取的可能性为 25%,则 N 为( A.150 ). B.200 C.100 D.120

3.10 名工人某天生产同一零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12. 设其平均数为 a, 中位数为 b, 众数为 c, 则有( A. a ? b ? c C. c ? a ? b B. b ? c ? a D. c ? b ? a ).

4.观察新生婴儿的体重, 其频率分布直方图如图 所示, 则新生婴儿体重在 ? 2700,3000? 的频率为
45

(第 4 题图)

( ). A.0.001 B.0.1 C.0.03 D.0.3
甲 7 87510 2 3 乙 89 3468

5.要从甲、乙两名划艇运动员中选拔一名去参加比 赛,为此对甲、乙两人在相同的条件下进行了 6 次 测试,得到他俩最大速度( m / s )数据的茎叶图如右 图,那么你认为选 参加比赛更合适.

6.在一次人才招聘会上,有一家公司的招聘员告诉 你:“我们公司收入水平很高.”理由是:①去年公 司员工的年平均收入达到 3.5 万元;②公司的 51 名 员工中最高的年收入达到了 100 万元. (1)你认同招聘员 “我们公司收入水平很高”的 说法吗? (填“认同”或“不认同”); 0.5 (第 5 题图)

频率 组距

(2)若去掉工资收入 100 元的一个人,将剩下的 50 人按照招聘员提供的信息画出了如右的直方图, 根据直方图估计,这 50 名工人中工资低于 2.5 万元 的人数有 人. 0.1 7.关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元),有如下的统计数据 ( xi,yi )(i ? 1 2,4, , , 3, 5) O 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 (第 6 题图) 工资 0.3

由资料知 y 对 x 呈线性相关,并且统计的五组数据的平均值分别为 x ? 4 , y ? 5.4 ,若用

? 五组数据得到的线性回归方程 y ? bx ? a 去估计,使用 8 年的维修费用比使用 7 年的维
修费用多 1.1 万元. (1)求回归直线方程; (2)估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少? 8.一个容量为 100 的样本, 数据的分组和各组的一些相关 信息如下表: (1)补充表中每一行的空格; (2)画出频率分布直方图和频率分布折线图; (3)根据频率分布直方图和频率分布折线图估计总体的 平均数、中位数和众数.

46

第三章 概 率 ★考试目标
节 次 考 试 目 标

3.1.1 随机事件的概率 3.1.2 概率的意义 3.1.3 概率的基本性质 3.2.1 古典概型 3.2.2(整数值)随机 数的产生 3.3.1 几何概型 3.3.2 均匀随机数的产 生

了解随机事件的概念,能识别频率和概率的区别与联系. 理解概率的意义,能解释某事件发生的概率的意义. 理解互斥事件和对立事件,能利用概率的基本性质求简单事件的概率. 掌握古典概型及其概率的计算公式,能用列举法计算简单事件的概率. 理解随机数的概念,能用随机模拟的方法计算简单事件的概率. 掌握几何概型及其概率的计算公式,能计算一些简单几何概型的概率. 理解均匀随机数的概念,能用随机模拟的方法,将几何概型转化为古 点概型来计算一些简单事件的概率.

★要点解读
1.随机事件的概率 【知识要点】(1)随机事件、必然事件和不可能事件;(2)概率的意义、频率与概率 的关系.某事件发生的概率为 a ,并不是说,进行多少次试验,某事件一定会发生,而是 说明随着试验次数的增加,该事件发生的频率可能越接近于 a ;在具体的试验中,当试 验次数足够多时,所得频率就可近似地当作随机事件的概率. 【案例剖析 1】下列事件:①某射手射击一次中靶; ②某一自动装置无故障运行;③ 掷一枚均匀硬币一次出现正面朝上; ④常温下, 焊锡熔化.其中是随机事件的是 ( A.①②③ B.①③ C.②③ D.①②③④ ) .

【解析】①②③是随机事件,④是不可能事件.故选 A. 【说明】本题属于“识记”层次,预估难度系数为 0.93,为容易题. 【案例剖析 2】某种菜籽在相同的条件下发芽试验结果如下表:

47

种子粒数 (n) 发芽粒数 (m)

2

5

10

70

130

310

700

1500

2000

3000

2

4

9

60

116

282

639

1339

1806

2715

m n

1

0.8

0.9

0.857

0.892

0.910

0.913

0.893

0.903

0.905

则这种种子发芽的概率为

.

【解析】根据表格可知随着种子粒数的增加,菜籽发芽的频率越接近于 0.9,且在它附 近摆动.故此种子发芽的概率为 0.9.答案为 0.9. 【说明】本题属于“识记”层次,预估难度系数为 0.90,为容易题. 2.概率的性质 【知识要点】(1)互斥事件与对立事件:对立一定互斥,互斥不一定对立;(2)概率 的性质:①0≤P(A)≤1;②当 A、B 互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B);③当 A、B 对立 时,P(A∪B)=1,即 P(A)=1-P(B);④必然事件的概率为 1;⑤不可能事件的概 率为 0. 【案例剖析 3】把标号为 1,2,3,4 的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人, 每人分得一个.事件 A:“甲分得 1 号球”与事件 B:“乙分得 1 号球”,则 A 与 B 是( A.必然事件 B.不可能事件 C.互斥但不对立事件 D.对立事件 ).

【解析】由题意,事件 A 与事件 B 不可能同时发生,也可能都不发生,所以 A 与 B 是 互斥但不对立事件.故选 C. 【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数为 0.91,为容易题. 【案例剖析 4】先后抛掷两颗骰子(各面上分别标以数字 1 到 6 的均匀正方体玩具), 两次都出现 1 点的概率是 ;至少有一次不出现 1 点的概率是 .

【解析】先后掷两颗骰子,有 36 种不同的结果,其中两次都出现 1 点的结果只有 1 种,

1 ;因为“两次都出现 1 点”与“至少有一次不出现 1 点”是 36 35 1 35 对立事件,所以至少有一次不出现 1 点的概率为 .答案为 ; . 36 36 36
故两次都出现 1 点的概率为 【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数为 0.86,为容易题. 3.古典概型
48

【知识要点】古典概型的计算公式 P(A)= A包含的基本事件的个数 .
基本事件的总数

【案例剖析 5】已知 3 件产品中有 2 件正品和 1 件次品,从中任意抽取 2 件,则“2 件产 品中恰有 1 件次品”的概率为 .

【解析】设 2 件正品分别为 A、B,1 件次品为 a ,从中任意抽取 2 件的不同的结果有 AB,A a ,B a 共 3 种,其中恰有 1 件次品的不同结果有 2 种,所以“2 件产品中恰有 1 件次品”的概率为 P=

2 2 .答案为 . 3 3

【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数为 0.92,为容易题. 4.几何概型 【知识要点】 几何概型的计算公式 P (A) =
构成事件A的区间长度(面积或体积) . 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

【案例剖析 6】如图,假如你在圆内随机撒一粒黄豆,那么黄豆落在圆中阴影部分的概 率为( A. ). B.

1 8

1 4

C.

3 8

D.

1 2

【解析】由几何概型的计算公式,可知所求概率为

3 ,故答案为 C. 8

【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数为 0.92,为容易题. 5.随机模拟方法 【知识要点】有些试验的结果虽然是有限的,但每个结果的出现不是等可能的,不能用 古典概型来计算概率, 或者利用几何概型求概率时, 其平面图形不规则, 面积不易计算, 可以用随机模拟方法来计算其概率或将几何概型转化为古典概型来计算. 【案例剖析 7】天气预报说,在今后三天中,每天下雨的概率均为 40%.用 1,2,3,4 表示下雨, 6, 8, 0 表示不下雨, 5, 7, 9, 现由计算器产生了 20 组三位随机数: 907 966 191 113 为 925 537 271 931 812 . 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 989.根据这 20 组随机数,可以估计这三天中恰有两天下雨的概率

【解析】产生了 20 组随机数,就相当于做了 20 次试验,其中三位数中含有两个(可以 重复)1,2,3,4 的有 191,271,931,812,393 共 5 个,所以可以估计这三天中恰 有两天下雨的概率为 P=

5 1 = . 20 4
49

【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数为 0.90,为容易题.用随机模拟的方法,可 以计算某些试验结果虽然是有限的,但每个结果的出现并不是等可能的事件的概率. ★达标练习 1.在 1,2,3,?,10 这 10 个数字中,任取 3 个数,那么“这 3 个数字之和大于 6”这一 事件是( A.必然事件 ). B.随机事件 C.不可能事件 D.以上均不正确

2. 抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷 1000 次,那么第 999 次出现正面朝上的概 率为( A. ). B.

1 999

1 1000

C.

999 1000

D.

1 2
).

3.在区间(0,3)上随机取一个实数 x ,则 x ?(1,2)的概率为( A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 5

4.从{1, 3, 5}中随机选取一个数为 a , 2, 4, 从{1, 3}中随机选取一个数为 b , b ? a 2, 则 的概率是( A. ). B.

4 5

3 5

C.

2 5

D.

1 5

5.如图,矩形的长为 5,宽为 2,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆, 数得落在阴影部分的黄豆数为 138 颗,则我们可以估计出阴影部分 的面积为 (第 5 题图) .

6.某学校共有教职工 130 人,对他们进行年龄和受教育程度的调查,得到如下数据:

本科学历 35 岁以下 35~50 岁 50 岁以上 50 20 10

研究生学历 35 13 2

合计 85 33 12 ;该人是 35

从该校教职工中随机抽取 1 人,则该人具有本科学历的概率为 岁以下且具有研究生学历的概率为 .

50

7.一个盒子中有 4 支圆珠笔,其中 2 支一等品,2 支二等品.求: (1)“从中任取一支圆珠笔恰是一等品”的概率; (2)“从中任取两支圆珠笔恰有一支是一等品”的概率.

8.一个均匀的四面体的四个面上分别标有 1,2,3,4 四个数字,现将四面体随机投掷 两次,四面体向上的数字分别记为 x, y ,设 A ? ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 . (1)分别求 A 取得最大值和最小值时的概率;(2)求 A≥3 的概率.

51

数学 4: 第一章 三角函数 ★考试目标
节 次 考 试 目 标

1.1.1 任意角 1.1.2 弧度制 1.2.1 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系 1.3 三角函数的诱导公式 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 1.4.3 正切函数的性质与图象 1.5 函数 y ? A sin??x ? ? ? 的图象

知道任意角的概念;了解正角、负角、零角;体会象限角和终 边相同的角的概念,会判别一个角所在的象限,能判别两个角 的终边是否相同. 理解弧度制的意义,能进行弧度与角度的互化. 理解任意角三角函数的定义,会由一个角终边上一点的坐标求 这个角的三角函数值. 掌握同角三角函数的基本关系式,能利用这些关系式进行三角 函数的简单变换. 理解正弦、余弦、正切函数的诱导公式,能利用这些公式求任 意角的三角函数值. 掌握正弦函数、余弦函数的图象;会用“五点法”作一些简单的 与正弦函数、余弦函数有关的函数的图象. 掌握正弦函数、余弦函数的性质;能分析与正弦函数、余弦函 数有关的简单函数的性质. 理解正切函数的性质和图象;能利用正切函数的图象解释一些 简单的与正切函数有关的函数的性质. 掌握 y ? A sin??x ? ? ? 的图象及其实际意义;能利用函数 y ? A sin??x ? ? ? 的图象分析、推导它们的性质. 应用三角函数的图象和性质建立三角函数模型,解决一些简单 的实际问题;能探究、讨论一些与三角函数有关的函数的图象 和性质.

1.6 三角函数模型的简单应用

★要点解读
1.任意角和弧度制 【知识要点】(1)任意角包括正角、负角和零角;象限角;终边相同的角; (2)弧度制的定义;弧度与角度的换算: ? =180? . 【案例剖析 1】下列角中,终边在第二象限的是( A. ). D.

? 6

B. ?

?
3

C.

2? 3

4? 3

【解析】答案选 C. 【说明】本题属于“识记”层次,预估难度系数为 0.92,为容易题.
52

2.任意角的三角函数的定义 【知识要点】 ? 是任意角, 设 它的终边与单位圆交于点 x ,y ) 则 si ? ? y ,cos? ? x , ( , n

tan ? ?

y . x

【案例剖析 2】若角 ? 的顶点在原点,始边在 x 轴的正半轴上,终边与单位圆的交点为

?1 3? ? ,? ? ,则 sin? ? ?2 2 ? ? ?

; cos ? ?



【解析】由任意角的三角函数的定义可知, sin ? ? ?

3 1 , cos ? ? . 2 2

【说明】本题系三角函数核心知识,属于“理解”层次,预估难度系数为 0.90,为容易题. 3.同角三角函数的基本关系 【知识要点】同角三角函数的基本关系式:① sin ? ? cos ? ? 1 ;②
2 2

sin ? ? tan ? . cos?

【案例剖析 3】已知角 ? 是第二象限的角,且 sin ? ?

3 ,求 cos ? , tan ? 的值. 5
2

【解析】因为 ? 是第二象限的角,且 sin ? ?

4 3 ?3? ,所以 cos ? ? ? 1 ? ? ? ? ? , 5 5 ?5?

tan ? ?

sin ? 3 ?? . cos ? 4

【说明】本题系三角函数最重要知识,属于“掌握”层次,预估难度系数为 0.92,为容易题. 4.诱导公式 【知识要点】诱导公式:(1)- ? ,? ? ? ,? ? ? , 2? ? ? , 2k? ? ? ?k ? Z ? 的三角函数值等 于角 ? 的同名三角函数值,前面加上一个将 ? 角看成锐角时原函数值的符号; (2)

?
2

?? ,

?
2

?? ,

加上一个将 ? 角看成锐角时原函数值的符号;

3? ? ? , 3? ? ? 的三角函数值等于角 ? 的余名三角函数值,前面 2 2

(3)诱导公式可简单地概括为“奇变偶不变, 符号看象限”. 【案例剖析 4】 cos

7? 的值为 6



【解析】 cos

7? ? ? 3 3 ? cos(? ? ) ? ? cos ? ? .答案: ? . 6 6 6 2 2
53

【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数为 0.82,为中档题.解答的关键是正确运用诱 导公式,并掌握特殊角的三角函数值. 5.三角函数的图象与性质 【知识要点】(1)三角函数的性质主要有:定义域、值域(最值)、周期性、奇偶性和单 调性;(2)三角函数的图象:一是要熟悉正弦函数、余弦函数和正切函数的图象;二是熟 悉“五点法”作图;三是利用三角函数的图象来讨论和探究三角函数的性质. 【案例剖析 5】已知函数

f ( x) ? A sin 2 x( A ? 0) 的部分图象
如图所示. (1)判断函数 y ? f (x) 在区间

? 3? [ , ] 上是增函数还是减函数,并 4 4
指出函数 y ? f (x) 的最大值;

(2)求函数 y ? f (x) 的周期 T .

【解析】(1)函数 y ? f (x) 在区间 [ (2)函数 y ? f (x) 的周期 T ? ? .

? 3?
4 , 4

] 上为减函数;函数 y ? f (x) 的最大值为 2;

【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数 0.86,为容易题. 6.函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象 【知识要点】函数 y =Asin( ? x + ? )(A>0, ? >0)的图象与函数 y =sin x 图象的关系: 先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0)平移| ? |个单位,得到函数 y =sin( x + ? ) 的图象,再将 y =sin( x + ? )图象上各点的横坐标变为原来的

1

=sin( ? x + ? )的图象,最后将 y =sin( ? x + ? )的图象上所有点的纵坐标变成原来的 A 倍(横坐标不变),得到函数 y =Asin(ω x + ? )的图象. 【案例剖析 6】 已知函数 f (x) ? Asin(? x ? 最大值是 3. (1)求函数 y ? f (x) 的解析式;
54

?

倍(纵坐标不变),得到 y

?
4

0 ) (A>0, >0, ? ? ? ? )的最小正周期是 ? , ?

(2)说明函数 y ? f (x) 的图象可以由函数 y =sin x 图象经过怎样的变换而得到?

【解析】(1)由题意得 T ?

2?

?

? ? ,所以 ? ? 2 ,又函数 f (x) 的最大值是 3,所以 A=3,

故 y ? f (x) 解析式为 y ? 3sin(2 x ?

?
4

);

? ? 个单位,得到函数 y =sin( x ? )的图象,再将 y = 4 4 1 ? ? sin( x ? )图象上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变),得到 y =sin(2 x ? )的 2 4 4 ? 图象,最后将 y =sin( x ? )的图象上所有点的纵坐标变成原来的 3 倍(横坐标不变), 4 ? 得到函数 y ? 3sin(2 x ? ) 的图象. 4
(2)先将 y =sinx 的图象向右平移 【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数 0.74,为中档题.主要考查 y =Asin(ω x + ? ) 的图象和性质. 7.三角函数模型的简单应用 【知识要点】解答三角函数应用题的基本步骤:(1)审题;(2)建模;(3)解模;(4) 检验. 【案例剖析 7】如图,已知某产品的出厂价( y )是在 6 元的基础上按月份( x )随函数

f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ? 6( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?
2

)
y 8 6 4 O 3 7 x

波动.若 3 月份的出厂价最高为 8 元,7 月份的出 厂价最低为 4 元. (1)根据图象,求函数 y ? f (x) 的周期;

(2)求函数 y ? f (x) 的解析式; (3)在这一年的 12 个月中,出厂价低于 6 元的有哪几个月?

【解析】(1)由图象可知,函数 y ? f (x) 的周期为 T= 2(7 ? 3) ? 8 ;

(2) 由图象可知, A=2, 解得 ? ? ?

2?

?

得 ? 8, ? ?

?
4

i , x ? 3 时,y ? 8 , 2n 由 得 s

? 3? ? ?? ? ?8 ? , 6 ? ? 4 ?

?
4

,所以出厂价格为 f ( x) ? 2 sin(

?

x? )?6; 4 4

?

55

(3)由 f ( x) ? 2 sin(

?
4

x?

?

?? ?? ) ? 6 ? 6 ,得 sin ? x ? ? ? 0 ,即 4? 4 ?4

2k? ? ? ?

?
4

x?

?
4

? 2k? ? 2? , k ? Z ,即 8k ? 5 ? x ? 8k ? 9 ,又1 ? x ? 12 ,故 k ? 0 ,

x ? 6,7,8 ,所以出厂价低于 6 元的有 6 月、7 月、8 月.
【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数为 0.69,为稍难题.主要考查考生能运用所学 过的知识分析日常生活或生产实践中的数学问题, 本题解题的关键是建立出厂价格与月份之 间的函数关系,并能利用函数的图象和性质解决问题.

★达标练习
1.下列各角中,与 50? 终边相同的是( A.-40? B.130? ). C. f ( x) ? 1 ? sin x D. f ( x) ?| sin x | ). C.230? D.410?

2.下列函数中,为奇函数的是( A. f ( x) ? sin x

B. f ( x) ? cos x

3.若点 P( x, y ) 是 120? 角终边上异于原点的一点,则

y 的值为( x

).

A. 3

B. ? 3

C. ?

3 3
).

D.

3 3

4.要得到 y ? 3sin( x ?

?
6

) 的图象只需将 y =3sin x 的图象(

A.向左平移

? 个单位 6

B.向右平移

? 个单位 6
? 个单位 2


C.向左平移

? 个单位 2
sin ? ? 2cos ? = 2sin ? ? 3cos ?

D.向右平移

5.已知 sin ? ? 3 cos? ,则 6.已知 cos ? ? ?

5 ,且 ? 是第三象限角,则 tan(? ? ? ) 的值等于 13



56

7. 已知函数 f ( x) ? 2 sin(x ?

?
3

)( x ? R) .

(1)完成下表,并作出函数 y ? f (x) 在一个周期内的图象;

(2)当 x 为何值时,函数 y ? f (x) 有最大值.

y

x?

?
3

0

? 2

?

3? 2

2?
O

x
f (x)

x

8.已知函数 f ( x) ?

1 cos 3x ? 1 ,求: 2

(1) f (x) 的最小正周期;(2) f (x) 的单调递增区间;(3) f (x) 的对称轴.

57

第二章 平面向量 ★考试目标
节 次 2.1.1 向量的物理背景与 概念 2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向 量 2.2.1 向量加法运算及其 几何意义 2.2.2 向量减法运算及其 几何意义 2.2.3 向量数乘运算及其 几何意义 2.3.1 平面向量基本定理 2.3.2 平面向量的正交分 解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运 算 2.3.4 平面向量共线的坐 标表示 2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义 2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角 2.5.1 平面几何中的向量 方法 2.5.2 向量在物理中的应 用举例 考 试 目 标

了解平面向量的物理背景和概念. 了解向量的几何表示和向量的模、零向量、单位向量等概 念,会用适当的符号表示向量. 了解相等向量和共线向量的概念,能判别两个向量是否共 线或相等. 理解向量的加法运算,能描述两个向量的和向量的几何意 义. 理解向量的减法运算,能描述两个向量的差向量的几何意 义. 理解向量的数乘运算,能描述一个实数与一个向量的积向 量的几何意义,能运用两个向量共线的条件解决有关问题. 理解平面向量的基本定理,能在一些简单图形中选择适当 的基底表示某一个向量. 了解平面向量的正交分解及坐标表示,会在给定的直角坐 标系中,求一个向量的坐标. 掌握平面向量的加、减及数乘的坐标运算,了解用坐标表 示平面向量共线的条件. 理解平面向量共线的坐标表示,能利用平面向量共线的结 论判断两个向量是否共线或解决一些简单问题. 理解平面向量数量积的物理背景及其含义,了解两个向量 数量积的几何意义,会根据定义计算两个向量的数量积. 掌握平面向量数量积的坐标表达式及其运算,能运用数量 积表示两个向量的夹角,能用坐标表示一个向量的模,并 能根据坐标判断两个平面向量的垂直关系. 能应用平面向量解决一些简单的平面几何问题. 能应用平面向量解决一些简单的物理问题.

★要点解读
1.平面向量的有关概念 【知识要点】平面向量一章的概念比较多,主要有向量的模、 零向量、 单位向量、 平行向量、 相等向量、共线向量等,要注意从数和形两个方面加以理解,这样才不会弄错.

58

【案例剖析 1】给出下列命题: ① 向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在 一直线上;② 两个单位向量是相等向量;③ 若 a=b,b=c,则 a=c;④ 若|a|=|b|,则 a=b. 其中正确命题的个数是( ). A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

【解析】①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量

AB 、 AC 在同一直线上;②不正确.单位向量模均相等且为 1,但方向并不一定相同;③
正确.因为 a=b,所以 a、b 的长度相等且方向相同;同理 b、c 的长度相等且方向相同,故 a、 c 的长度相等且方向相同,即 a=c;④不正确.向量相等除了模相等,还必须方向相同.选 A. 【说明】本题属于“识记”层次,预估难度系数 0.85,为容易题. 2.平面向量的线性运算 【知识要点】(1)两个向量的加、减、数乘运算;(2)两个向量的加、减、数乘运算的几 何意义(平行四边形法则和三角形法则);(3)两个向量共线的条件. 【案例剖析 2】已知向量 a , b 不共线,且 | a ? b |?| a ? b | ,则以向量 a , b 为邻边的平行 四边形是( A.矩形 ). B.菱形 C.正方形 D.梯形

【解析】因为 a ? b, a ? b 分别表示以向量 a , b 为邻边的平行四边形的两条对角线对应的 向量,由 | a ? b |?| a ? b | ,知平行四边形的对角线相等,所以平行四边形为矩形.故选 A. 【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.86,为容易题. 3.平面向量的基本定理 【知识要点】平面向量的基本定理: a , b 是同一平面内两个不共线向量,则对于这一平 面内的任意向量 p ,有且只有一对实数 x, y ,使 p ? x a ? yb .

【案例剖析 3】设 e1 , e 2 是两个不共线的向量, AB ? 2e1 ? k e2 , CB ? e1 ? 3e2 ,

CD ? 2e1 ? e2 ,若 A、B、D 三点共线,则 k =



【解析】 BD ? CD ? CB ? 2e1 ? e2 ? e1 ? 3e2 ? e1 ? 4e2 , A, D 三点共线, AB与BD 若 B, 则 ? 共线,? 设 AB ? ? BD 故 ? ? 2, k ? ?8 .

???

??? ???

?? ?? ? ?

?

?? ?

?? ?

?

?? ?

?? ?

?? ?? ? ?

?? ?

?? ?

即 2e1 ? ke2 ? ? e1 ? 4? e2 ,由于平面向量基本定理,得 ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? 2?? , ? k ? ?4?

59

【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.78,为中档题.解答的关键是理解两个向量
? 共线的条件:a∥b( b ? 0 ) ? a ? ? b 及平面向量的基本定理.

4.平面向量的坐标运算 【知识要点】(1)两个向量的加、减、数乘的坐标运算;(2)两个向量共线的坐标表示: 若 a ? ( x1 , y 2 ) , b ? ( x 2 , y 2 ) ,则 a ∥ b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 . 【案例剖析 4】已知 a ? ( ?2, 4) , b ? ( x, 6) ,且 a ∥ b ,则 x 的值为( A.3 B.-3 C.12 D.-12

?

?

).

【解析】因为 a ∥ b ,所以 ?2 ? 6 ? 4 x ? 0 ,得 x ? 3 .故选 A. 【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.88,为容易题. 5.平面向量的数量积 【知识要点】(1)两个向量的数量积的定义;(2)两个向量数量积的几何意义;(3)两 个向量的数量积的坐标表示;(4)两个向量垂直的条件:若 a ? ( x1 , y 2 ) , b ? ( x 2 , y 2 ) , 则 a ⊥ b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ; (5)两个向量的夹角公式:向量 a ? ( x1 , y 2 ) ,b ? ( x 2 , y 2 ) 的夹角为 ? ,则 cos? ?

a ?b | a || b |

?

x1 x2 ? y1 y 2
2 2 x ? y12 ? x2 ? y 2 2 1



【案例剖析 5】若 a ? 1, b ? 2, c ? a ? b 且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为( A. 30
?

).

B. 60

?

C. 120

?

D. 150

?

【解析】∵ a ? 1, b ? 2, c ? a ? b , c ? a , ∴ a ? c ? a ? (a ? b) ? a ? a ? b ? 1 ? a ? b ? 0,? a ? b ? ?1 ,∴cos ? =
2

a ?b ?1 1 ? ?? , | a || b | 1? 2 2

故 ? = 120 ,选 C.
?

【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.80,为中档题.主要考查向量的数量积运算、 两个向量垂直的条件和两个向量的夹角公式. 6.平面向量的应用

60

【知识要点】用向量方法研究几何问题,需要用向量的观点看问题,将几何问题化归为向量 问题来解决.其中合理设置向量,并建立向量关系,是解决问题的关键.

???? ??? ??? ? ? ??? 2 ??? ? ? 【案例剖析 6】在△ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD ? 2 DB, ? ? CA ? CB ,则 CD 3

? ?(
A.

). B.

2 3

1 3

C. ?

1 3
????

D. ?

2 3
??? ? ? 2 ??? CB ,则 3

【解析】在?ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD ? 2 DB , CD = ? CA ?

??? ?

??? ??? ???? ??? 2 ??? ??? 2 ??? ??? 1 ??? 2 ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 CD ? CA ? AD ? CA ? AB ? CA ? (CB ? CA) = CA ? CB ,所以 ? = ,故选 B. 3 3 3 3 3
【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数 0.80,为中档题.如何在问题中建立向量关系, 充分利用向量知识是解决问题的关键. ★达标练习 1.化简 MN ? PQ ? NQ 得(

???? ??? ???? ? ?

).

A. MN

???? ?

B. PM

???? ?

C. QP

??? ?

D. MP

????

2.设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,那么分别与向量 OA , OB , OC 相等的向量的个数 分别为( A.1,1,2 ). B.2,2,2 C.2,2,3 D.3,3,3 ).

??? ?

??? ?

????

3.已知向量 a ? (3, ?2), b ? (4, y ) ,且 a ? b ,则 y 的值为( A.-3 B. -6 C. 6 D.12

?

?

?

?

4. 已知 | a |? 2 , | b |? 1 , a 与 b 的夹角为 60? ,则 | 2a ? 3b | =(

?

?

).

A.

5
? ?

B.

13

C.13

D. 37

5. 已知 a ? ? 3, 0 ? , b ? ? m,5 ? ,且 a 与 b 的夹角为

?

?

3? ,则实数 m 的值是_________. 4


6.已知点 A(2,3),B(4,5),点 P 满足 AP ? ?2PB ,则 P 点坐标是

??? ?

??? ?

61

? ? ? ? ? ? 7.已知向量 a, b 满足 a ? b ? 1 , 3a ? 2b ? 7 ,求:
(1)向量 a, b 夹角的大小;(2) (3a ? b) ? (a ? 2b) 的值.

? ?

?

?

?

?

8.已知 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及 OP ? OA ? t AB .求: (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由.

第三章 ★考试目标
节 次

三角恒等变换









3.1.1 两角和与差的正弦、 理解两角和与差的正弦、余弦、正切公式, 能利用这些公式进行三 余弦和正切公式 角函数的求值、化简和证明. 3.1.2 二倍角的正弦、余 弦、正切公式 3.2 简单的三角恒等变换 ★要点解读 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【知识要点】 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式:sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; 理解二倍角的正弦、余弦、正切公式,能利用这些公式进行三角函数 的求值、化简和证明.

能运用相关公式进行简单的三角恒等变换.

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? ; 1 ? tan ? tan ? 【案例剖析 1】 sin 75? 的值为( ).
6? 2 4 6? 2 4 6? 2 2 6? 2 2

A.

B.

C.
62

D.

【解析】 sin 75? ? sin(45? ? 30?) ? sin 45? cos30? ? cos 45? sin 30? =

6? 2 .故选 A. 4

【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数为 0.90,为容易题. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 【知识要点】二倍角的正弦、余弦、正切公式: sin 2? ? 2sin ? cos ? ;

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? ; tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

【案例剖析 2】下列各式中,值为

3 的是( 2



A. 2sin15 cos15

?

?

B. cos 15 ? sin 15
2 ? 2

?

C. 2sin 15 ? 1
2 ?

D. cos 15 ? sin 15
2 ? 2

?

【解析】由于 2sin15 cos15 = sin 30 ? ?
? ?

3 1 2 ? 2 ? ; cos 15 ? sin 15 = cos30? ? , 2 2

2sin 2 15? ? 1 =- cos30? ? ?

1 2 ? 2 ? , cos 15 ? sin 15 =1,故选 B. 2

【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数为 0.87,为容易题. 3.简单的三角恒等变换 (1)角度变换 【知识要点】充分利用两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式转化角度,要通过已知角 度和待求角度的关系来寻找解题的切入点.

【案例剖析 3】设实数 a ?

2 1 (cos16 ? ? sin16 ?) , b ? ,则有( 2 2
C. a ? b

).

A. a ? b

B. a ? b

D. a, b 的大小关系不确定

【解析】由于 a ? sin 45? cos16 ? ? cos 45 ?sin16 ? ? sin(45 ? ?16 ? ?sin 29 ? ,所以 )

b ? sin 30? ? sin 29? ? a ,故选 B.
【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数为 0.78,为中档题.要能灵活运用三角公式化 简三角函数式.
63

【案例剖析 4】已知

?

4 1 ? ? ? ? ? ? , sin ? ? , cos(? ? ? ) ? ,求 cos ? 的值. 2 5 2

【解析】由已知,得 ?

?
2

? ? ? ? ? 0 , sin(? ? ? ) ? ?

3 3 ,又 cos ? ? ? ,则 2 5

cos ? ? cos ?? ? (? ? ? )? ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )

3 1 4 3 4 3 ?3 . ?? ? ? ? ? 5 2 5 2 10
【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数为 0.72,为中档题.解答的关键在于分析角的 特点,将 ? 表示为 ? ? ? ? (? ? ? ) ,并正确识记公式. (2)函数变换 【知识要点】充分利用两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式转化函数名称,要通过函 数的转化来寻找解题的切入点. 【案例剖析 5】化简:

sin 2? ? tan? ? tan?



【解析】原式=

2 sin ? cos? ? 1 ? 2 cos2 ? ? 1 ? cos 2? ,答案: cos2? . sin ? cos?

【说明】 本题属于“理解”层次, 预估难度系数为 0.86, 为容易题.解题的关键在于灵活运用“化 切为弦”的方法. (3)等式变换 【知识要点】 充分利用三角公式转化已知等式, 通过已知等式的转化来求解待求函数式的值. 【案例剖析 6】已知 sin( ? + ? )= 值.
? sin(? ? ? ) ? ? ?sin(? ? ? ) ? ? ? 2 2 ? ?sin ? cos ? ? cos? sin ? ? 3 ,解得 sin ? cos ? ? 3 ?? 3 ?sin ? cos ? ? cos? sin ? ? 3 ? 4 4 ?

2 3 ,sin( ? - ? )= ,求 sin ? cos ? 和 cos? sin ? 的 3 4

【解析】由 ? ?

?

17 , 24

cos? sin ? ? ?

1 . 24
64

【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数为 0.75,为中档题.要求学生对所学过的内容 能进行理性分析,善于利用题中的条件,运用方程思想达到求值的目的. 4.三角函数的综合问题 【知识要点】三角函数在学科内的联系广泛,主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知 识的联系与综合,特别是与平面向量的综合,要注意知识间的联系与整合.

? ? ? ? 【案例剖析 7】已知向量 a ? ( 3, ?1) , b ? (sin 2 x, cos 2 x) ,函数 f ( x) ? a ? b .
(1)若 f ( x) ? 0 ,求锐角 x 的值;

(2)当函数 f ( x) 取得最大值时,求向量 a 与 b 的夹角 ? . 【解析】∵ f ( x) ? a ? b = 3 sin 2 x ? cos 2 x ,

?

?

? ?

(1)由 f ( x) ? 0 ,得 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 0 ,即 tan 2 x ? 所以 2x ? 30? ,得 x ? 15? ;

3 ,因为 x 为锐角, 3

(2)∵ f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2(

3 1 sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

= 2(sin 2 x cos

?

? cos 2 x sin ) ? 2sin(2 x ? ) , 6 6 6
a ?b | a || b |


?

?

∴ f ( x) max ? 2 ,当 f ( x) ? 2 时,由 a ? b ?| a || b | cos? ? 2 ,得 cos? ?

又 | a |? 2, | b |? 1 ,所以 cos? ? 1,因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? 0 . 【说明】本题属于“应用”层次,预估难度系数为 0.58,为稍难题.主要考查应用平面向量、 三角函数知识解决问题的能力. ★达标练习 1.sin10? cos20? +cos10? sin20? 的值是( ).

A.

3 2

B.

1 2

C.

3 2

D. ?

1 2

65

2.已知 cos x ?

4 ,则 cos 2x ? ( 5
B. ?

).

A.

7 25

7 25

C.

25 7
).

D. ?

9 25

3.化简:2sin(

π π - x )cos( ? x )=( 4 4
B.cos2 x

A.sin2 x

C.-cos2 x

D.-sin2 x

4.化简: A. tan? 5.化简

1 1 ? ?( 1 ? tan? 1 ? tan?
B. ? tan?

). C. tan 2? . D. ? tan 2?

tan 75? ? tan15? 的值为 1 ? tan 75? tan15?

6.化简 sin ?? ? ? ? cos(? ? ? ) ? cos ?? ? ? ? sin(? ? ? ) ? _________ . 7.已知函数 f ( x) ? sin x cos x ( x ? R) .求:

(1) f (

?

12

) 的值;(2)函数 y ? f (x) 的最小正周期;(3)函数 y ? f (x) 的值域.

8. 已知向量 a ? (sin x, cos x) , b ? (1, 3 ) ( x ?R).

(1)当 a ⊥ b 时,求 tan x 的值; (2)若 f ( x) ? a ? b ,求函数 f (x) 的单调递增区间.

66

数学 5: 第一章 ★考试目标
节 次 考 试 目 标 理解正弦定理,能利用正弦定理解三角形. 理解余弦定理,能利用余弦定理解三角形. 掌握利用正弦定理和余弦定理解决有关距离、 高度、 角度等 几何量测量问题.

解三角形

1.1.1 正弦定理 1.1.2 余弦定理 1.2 正弦定理和余弦 定理的应用举例 ★要点解读

1.用正弦定理求三角形的边或角 【知识要点】正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦值的比相等,即

a b c =2R. ? ? sin A sin B sin C
【案例剖析 1】在△ ABC 中,已知 a ? 4 , b = 4 3 ,B=600,则 A= .

【解析】由正弦定理,得 sinA=

a sin B 4sin 600 1 . ? ? ,因为 a ? b ,所以 A=30? b 2 4 3

【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.92,为容易题. 2.用余弦定理求三角形的边和角 【知识要点】 余弦定理: 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它 们的夹角的余弦值的积的两倍,即 a ? b ? c ? 2bc cos A , b ? c ? a ? 2ca cos B ,
2 2 2 2 2 2

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C .
【案例剖析 2】在△ ABC 中,已知 a ? 4, b ? 6, C ? 60 ,则 c 的值为
0



2 2 2 0 【解析】因为 c ? a ? b ? 2ab cos C ? 16 ? 36 ? 2 ? 4 ? 6cos60 ? 28 ,所以 c ? 2 7 .

【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.90,为容易题.
67

3.三角形的面积公式 【知识要点】三角形面积公式:S=

1 1 1 absin C = bcsin A = acsin B . 2 2 2


【案例剖析 3】在△ ABC 中,AC=2,AB=3,BC= 7 ,则△ ABC 的面积为

【解析】由余弦定理,得 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 4 ? 9 ? 7 1 , ? ? ,所以 A=60? 2bc 2? 2?3 2

故△ ABC 的面积为 S=

1 3 3 . ? 2 ? 3 sin 60 ? ? 2 2

【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.88,为容易题. 4.利用正弦定理和余弦定理解三角形 【知识要点】一个三角形有三条边和三个角共六个元素,已知其中的某些元素(至少已知一 边),利用正弦定理和余弦定理,可求出其它一些元素.解三角形时,一般要求求出未知的 所有元素. 【案例剖析 4】已知△ ABC 中, B ? 120?, AC ? 7, AB ? 5 ,求△ ABC 的面积.

【解析】设 BC ? x ,由余弦定理得: 7 ? 5 ? x ? 2 ? 5x cos120? ,即
2 2 2

1 15 3 . x2 ? 5x ? 24 ? 0 ,解得 x ? 3( x ? ?8 舍去).所以 S?ABC ? ? 5 ? 3sin120? ? 2 4
本题还有其他解法吗?请试一试. 【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.83,为中档题.可以考查三角形内角和定理, 正、余弦定理的综合应用. 5.应用正、余弦定理解决实际问题 【知识要点】(1)正弦定理和余弦定理解决有关的实际问题的基本思路如下图所示:

实际问题

作图

数学问题 解三角形 数学问题的 解
68

实际问题的解 检验 决 实际问题的 解

(2)应用解三角形知识解决实际问题的步骤:①准确理解题意,尤其理解有关名词和术语, 如坡度、仰角、俯角、方位角、铅直平面等;②画出示意图,将已知条件在图形中标出;③ 将问题涉及的条件化归 到一个或几个三角形中;④合理选用正弦定理和余弦定理求解并作 答. 【案例剖析 5】如图所示,要测量河对岸A、B之间的距离,选
0 取相距 3 km 的C、D两点并测得 ?ACB ? 75 ,

?BCD ? 45 0 , ?ADC ? 30 0 , ?ADB ? 45 0 ,求 A,B 之间
的距离. 【解析】在 ?ACD 中,因为 ?ACD ? 120 , ?CAD ? ?ADC ? 30 ,
0 0

0 0 0 所以 AC ? CD ? 3 .在 ?BCD 中,因为 ?BCD ? 45 , ?BDC ? 75 , ?CBD ? 60 ,

所以 BC ?

3 sin 750 6? 2 ? ;在 ?ABC 中,由余弦定理,得 0 sin 60 2

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC ? cos?ACB ? 5 ,所以 AB ? 5 .
答:A,B 之间的距离为 5 . 【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数 0.72,为中档题. ★达标练习 1.在△ ABC 中, a =2, b =3,则 sinA:sinB 的值是( A. ). D.

2 3

B.

3 2
2 2 2

C.

2 5

5 2

2.在△ ABC 中,已知 c ? a ? b ? ab ,则角 C 为(

).

A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D. ). D.

? 2? 或 3 3

3.在△ ABC 中,已知 a =8,B=600,C=750,则 b =( A. 4 2 B. 4 3 C. 4 6

32 3

4.已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 点距离都是 a ,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 200, 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 400,则灯塔 A 与 B 的距离为( ).
69

A. a

B. 3a

C. 2a

D. 2a .

5.在△ ABC 中,已知 b =4, c =3,A=1350,则 S△ ABC=

6.某人向正东方向走了 4 千米后向右转了一定的角度,然后沿新方向直走了 3 千米,此时离 出发地恰好为 37 千米,则此人右转的角度是 .

7.在△ ABC 中,边 a 、b 的长是方程 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 的两个根,C=1200,则边 c =



8.如图,某渔轮在 A 处看灯塔 B 在该轮的北偏东 75° ,距离为 12 6 海里,在 A 处看灯塔 C 在渔轮北偏西 30° ,距离为 8 3 海里,渔轮由 A 处向正北航行到 D 处,再看灯塔 B 在南偏 东 60° .求:(1)A 与 D 的距离; (2)灯塔 C 与 D 的距离.

D C B

A
(第 8 题图)

70

第二章 ★考试目标
节 次

数 列

考 试 目 标 识别数列的概念与简单表示法. 理解等差数列的有关概念,掌握等差数列的定义和通项公式. 掌握等差数列的前 n 项和公式,关注数列方法的应用. 理解等比数列的有关概念,掌握等比数列的定义和通项公式. 掌握等比数列的前 n 项和公式,关注数列方法的应用.

2.1 数列的概念与简单表示法 2.2 等差数列 2.3 等差数列的前 n 项和 2.4 等比数列 2.5 等比数列的前 n 项和

★要点解读
1.数列的概念与简单表示 【知识要点】(1)数列是按一定次序排列的一列数;(2)如果数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,这个式子就叫做数列的通项公式.观察法是求数列通项 公式的一个重要方法. 【案例剖析 1】已知数列 ?an ? 的前 4 项分别是: ? 可以为 .
n

1 2 3 4 、 、 ? 、 ,则该数列的通项公式 2 3 4 5 n . n ?1

【解析】观察可知,数列 ?an ? 的一个通项公式为 an ? (?1)

【说明】本题属于“识记”层次,预估难度系数 0.85,为容易题. 2.等差数列的概念 【知识要点】(1)等差数列的定义: an ?1 ? an ? d ;(2)若 a 、A、 b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A= a ? b . 2 【案例剖析 2】已知等差数列{ a n }的通项公式为 a n ? ?2n ? 3 ,则等差数列{ a n }的公差 为 。

【解析】因为 a n ?1 ? a n ? (?2n ? 1) ? (?2n ? 3) ? ?2 ,所以公差为-2.

71

【说明】本题属于“识记”层次,预估难度系数 0.90,为容易题. 3.等差数列的通项公式 【知识要点】(1)等差数列的通项公式为 an ? a1 ? ?n ? 1?d ;(2)若 ?an ? 为等差数列,且

m ? n ? p ? q ( m, n, p, q 为正整数),则 am ? an ? a p ? aq .
【案例剖析 3】等差数列 ?an ? 中, a1 ? a3 ? a5 ? 30 ,则数列 ?an ? 的第 3 项的值为 .

【解析】由等差数列的通项公式得 a1 ? ? a1 ? 2d ? ? ? a1 ? 4d ? ? 30 ,所以 a1 ? 2d ? 10 ,故 数列 ?an ? 的第 3 项为 a3 ? a1 ? 2d ? 10 .另解:由 a1 ? a5 ? 2a3 ,得 3a3 ? 30 , a3 ? 10 . 【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数 0.90,为容易题. 4.等差数列的前 n 项和 【知识要点】等差数列的前 n 项和 Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d. 2 2

【案例剖析 4】已知等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n , a 2 ? ?2, S 4 ? ?4 . (1)求数列 ?a n ?的通项公式;(2)当 n 为何值时, S n 取得最小值.

【解析】(1)? a 2 ? ?2, S 4 ? ?4 ,? ?

? a1 ? d ? ?2, ? 解得 a1 ? ?4, d ? 2 , 4?3 ?4a1 ? 2 d ? ?4, ?

? an ? ?4 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 6 ;

(2) Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? d 2

5 ? 25 ? * ? ?4n ? n ? n ? 1? ? n ? 5n ? ? n ? ? ? ,? n ?N , 2? 4 ?
2

2

?当 n ? 2 或 n ? 3 时, S n 取得最小值 ?6 .
【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数 0.74,为中档题. 5.等比数列概念

72

【知识要点】(1)等比数列的定义:

a n ?1 ? q ;(2)若 a 、G、 b 成等比数列,则 G 叫 an

做 a 与 b 的等比中项,且 G 2 ? ab .

【案例剖析 5】下列数列{ a n }中,为等比数列的是( A. a n ?

)。

1 n

B. a n ? n

2

C. a n ? 2n ? 1

D. a n ?

1 2n

【解析】由等比数列的概念,可知,答案选 D. 【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.88,为容易题. 6.等比数列的通项公式 【知识要点】(1)等比数列的通项公式为 a n ? a1 q
n ?1

;(2)若 ?an ? 为等比数列,且

m ? n ? p ? q ( m, n, p, q 为正整数),则 a m a n ? a p a q .
【案例剖析 6】3.在等比数列 ?an ? 中,已知 a2 ? 9 ,公比 q ? 3 ,则 a4 =( A.27 B.81
2

).

C.243

D.192

【解析】因为 a 4 ? a 2 q ? 81 ,所以答案选 B。 【说明】本题属于“理解”层次,预估难度系数 0.88,为容易题. 7.等比数列的前 n 项和

? na1 , ? 【知识要点】等比数列前 n 项和公式 S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?
【案例剖析 7】求和 S n ? 1 ? a ? a ? ? ? a =
2 n

(q ? 1), (q ? 1).



1 ? a n ?1 【解析】当 a ? 1 时, S n ? n ? 1 ;当 a ? 1时, S n ? . 1? a
【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数 0.80,为中档题. 8.数列的实际应用问题
73

【知识要点】应用等差数列和等比数列的通项公式、前 n 项和公式解决实际问题. 【案例剖析 8】为了参加运动会中的 5000 米长跑比赛,某同学给自己制定了一个为期 7 天 的训练计划:第一天跑 5000 米,以后每天比前一天多跑 500 米. 求该同学在训练期间: (1) 第 n 天跑的路程,其中 n ? N 且 1 ≤ n ≤ 7 ;(2)7 天所跑的总路程.
*

【解析】(1) 设第 n 天该同学跑的路程为 an 米,由题意可知, {an } 是首项 a1 ? 5000 ,公 差 d ? 500 的等差数列,? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 500n ? 4500 (1 ≤ n ≤ 7) ;

(2)设 S n 为数列 {an } 的前 n 项和,则训练期间所跑的总路程为

1 S7 ? 7a1 ? ? 7 ? 6 ? d ? 7 ? 5000 ? 21? 500 ? 45500 (米). 2
答:该同学第 n 天跑的路程为 an ? 500n ? 4500 米,训练期间所跑总路程为 45500 米. 【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数 0.78,为中档题.

★达标练习
1.已知数列{ a n }的通项公式为 a n ? n ? 2n ,则 15 是数列{ a n }的(
2

).

A.第 3 项

B.第 4 项

C.第 5 项 ).

D.第 6 项

2.在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a5 ? a9 ? 39 ,则 a 5 =( A.13 B.14 C.15

D.16 ).

3.在 2 ? 3 与 2 ? 3 之间插入一个数,使这三个数成等比数列,则这个数为(

A. ?

2

B. ? 1
n

C.1

D. 2

4.已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n ? 3 ? 1,则数列{ a n }的通项公式为( A. a n ? 3n ? 1 B. a n ? 3n ? 2 C. a n ? 3
n ?1

).

D. a n ? 2 ? 3

n ?1

5. 在等比数列{ a n }中,已知 a1 =

3 , a 4 =12,则 q = 2
74

, an =



6.一间扇形小会议室共有 6 排座位,其中第 1 排有 4 个座位,从第 2 排起每一排比前一排多 2 个座位,则这间会议室共有 个座位. 7. 已知等比数列{ a n }的公比 q ? 0 ,且 a 3 =4, a 5 =16.

(1)求等比数列{ a n }的通项公式 a n ; (2)设等比数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,求 Tn ? S1 ? S 2 ? ? ? S n .

8.定义:若数列 ? An ? 满足 An ?1 ? An ,则称数列 ? An ? 为“平方递推数列”.已知数列 ? an ?
2

满足 a1 ? 2, an ?1 ? 2(an ? an )(n ? N ) .
2 *

(1)令 bn ? 2a n ? 1 ,证明:数列 {bn } 为“平方递推数列”; (2)问数列 ?lg(2an ? 1)? 是否为等比数列?若是,求出数列 ? an ? 的通项公式;若不是,请 说明理由。

75

第三章 ★考试目标
节 次 3.1 不等关系与不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面 区域 3.3.2 简单的线性规划问题

不等式

考 了解不等式的性质.

试 目 标

掌握一元二次不等式的解法. 理解二元一次不等式(组)与平面区域的关系,能作 出二元一次不等式(组)表示的平面区域, 理解二元一次不等式的几何意义,掌握简单的线性规 划问题的解法,会解简单的线性规划问题. 掌握两个正数的基本不等式,能应用基本不等式解决 一些简单的实际问题.

3.4 基本不等式 ab ?

a?b 2

★要点解读
1.不等式的性质 【知识要点】(1) a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ;(2) 不等式的有关性质(详教材). 【案例剖析 1】下列结论成立的是( A. a ? b ? c ? d ? a ? c 且 b ? d ). B. ac ? bc ? a ? b
2 2

C.

1 1 ? ?a?b a b

D. a ? b ?

a? b

【解析】由不等式的性质可知,选 B. 【说明】本题属于“识记”层次,预估难度系数 0.88,为容易题. 2.解一元二次不等式 【知识要点】一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的解就是二次函数 y ? ax ? bx ? c 的零点;
2
2

一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 或 ax ? bx ? c ? 0 的解集分别是二次函数
2 2

y ? ax 2 ? bx ? c 的函数值大于零或小于零的 x 的取值范围,一元二次方程

ax2 ? bx ? c ? 0 的根就是 ax2 ? bx ? c ? 0 或 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集的端点值.
76

【案例剖析 2】不等式 x 2 ? 2 x ? 3 的解集为



【解析】原不等式可整理为 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,且方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的两根为
2 2

x1 ? ?1, x2 ? 3 ,所以不等式的解集为 ? x | x ? ?1或x ? 3? .
【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数 0.90,为容易题. 3.二元一次不等式(组)与平面区域 【知识要点】在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 其作法分两步: 画直线 Ax ? By ? C ? 0 (1) Ax ? By ? C ? 0 某侧所有点组成的平面区域, 确定边界.直线画成虚线表示区域不包含边界,画成实线表示区域包含边界;(2)取特殊点 确定区域.

? x ? y ? 4, ? 【案例剖析 3】不等式组 ? x ? 0, 表示的平面区域的面积为 ? y?0 ?



?x ? y ? 4 ? 【解析】不等式组 ? x ? 0 表示的平面区域是直角边为 4 的等腰直角三角形,面积为 8. ? y?0 ?
【说明】本题属于“识记”层次,预估难度系数 0.91,为容易题. 4.简单的线性规划问题 【知识要点】解答线性规划问题的步骤是:(1)将已知数据列成表格形式,设出自变量 x 、 y 及目标函数 z ;(2)找出约束条件及目标函数;(3)找出可行域,并结合图象求出最优 解;(4)对结果进行检验,考虑最优解是否符合实际意义;(5)作答. 【案例剖析 4】某工厂用 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件耗时 1h,每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h,该厂每天最多可以从配件厂获 得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件,若生产一件甲产品获利 2 万元,生产一件乙产品获利 3 万 元,按每天工作 8h 计算,怎么安排生产才能获得最大利润? 【解析】设甲、乙两种产品分别生产 x 、 y 件,获得的利润为 z ,

77

?x ? 2 y ? 8 ? 4 x ? 16 ? ? 则 x , y 满足不等式组 ? 4 y ? 12 , ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?
目标函数为 z ? 2 x ? 3 y ,作出 x, y 表示的平面区 域,由图象可知,当直线 z ? 2 x ? 3 y 过点 M(4,2),即 x =4 且 y =2 时, z 取得最大值 14. 答:每天生产甲产品 4 件,乙产品 2 件时,工厂可获得最大利润 14 万元. 【说明】本题属于“掌握”层次,预估难度系数 0.78,为中档题. 5.基本不等式 【知识要点】(1)基本不等式:若 a, b 均为正数,则 ab ?

a?b ,当且仅当 a ? b 时等号 2

成立;(2)应用中要注意“一正、二定、三相等”这三个条件. 【案例剖析 5】一批救灾物资随 26 辆汽车从某市以 v km/ h 的速度匀速直达灾区,已知两 地公路线长 400 km ,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于 ( 全部到达灾区,最少需要 小时.

v 2 ) km ,那么这批物资 20

【解析】由题意,得时间 t ?

400 v 400 25v 400 25v ? 25 ? ( ) 2 ? v ? ? ?2 ? ? 10 ,当 v 20 v 400 v 400

且仅当

400 25v ,即 v ? 80 ( km/ h )时取等号,所以最少需要 10 小时. ? v 400

【说明】本题属于“应用”层次,预估难度系数 0.70,为稍难题. ★达标练习 1.函数 y ?

x 2 ? 4 的定义域为(

). B. ? x | x ? ?2或x ? 2? D. ? x | ?2 ? x ? 2?

A. ? x | x ? ?2或x ? 2? C. ? x | x ? ?2?

2.不等式 x ? 3x ? 0 的解集为(
2

).
78

A. {x | 0 ? x ? 3}

B. {x | x ? 0 或 x ? 3}

C. {x | 0 ≤ x ≤ 3}

D. {x | x ≤ 0 或 x ≥ 3}

3. 要将两种大小不同的钢板截成 A,B 两种规格,每张钢板可同时截得 A,B 两种规格的小 钢板块数如下表所示: 规格类型 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板 2 1 1 3 A 规格 B 规格

今需要 A,B 两种规格的小钢板块数分别不少于 15 和 18.若设需截第一种钢板 x 张,第二 种钢板 y 张,则 x, y 满足的关系式为( ).

? 2 x ? y ? 15 ? A. ? x ? 3 y ? 18 ?x ? N , y ? N ?

? 2 x ? y ? 15 ? B. ? x ? 3 y ? 18 ?x ? N , y ? N ?

? 2 x ? y ? 15 ? C. ? x ? 3 y ? 18 ?x ? N , y ? N ?

? 2 x ? y ? 15 ? D. ? x ? 3 y ? 18 ?x ? N , y ? N ?
).

2 4.若不等式 ax ? bx ? 10 ? 0 的解集 ? x | ?2 ? x ? 5? ,则 a ? b 值是(

A.-2

B.-4

C.4

D.2

? x ? y ? 1, ? 5.已知 x, y 满足约束条件 ? y ? ?1, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? x ? 0, ?
6.用 20cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形,则其面积最大值为 7.等差数列{ a n }中, a1 =2, a 3 =6.

,最小值为





(1)求等差数列{ a n }的通项公式 a n 及前 n 项和为 S n ;

(2)设 bn ?

S n ? 16 ,问数列{ bn }中的第几项的值最小?并求最小项的值. n

79

8. 某种汽车在水泥路面上的刹车距离(指汽车刹车后,由于惯性往前滑行的距离) S (米) 和汽车的速度 x (千米/小时)有如下的关系: S ?

1 2 1 x ? x. 180 20 284 (米),求这辆汽车刹车前的 9

(1)在一次交通事故中,测得这种汽车的刹车距离 S ? 车速至少为多少(千米/小时)?

(2)若一辆这种汽车在一拐弯处以 60(千米/小时)的速度行驶,突然发现前方约 20(米) 处的路中央有一行人,此时,汽车紧急刹车,问汽车是否可能撞上行人?说明理由.

80

2013 湖南省普通高中学业水平考试数学模拟试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若 a ? {4,5,6} 且 a ? {6,7} ,则 a 的值为( A.4 B.5 ).

C.6

D.7 ). D.球

2.已知一个简单几何体的正视图为矩形,则这个简单几何体不可能是( ... A. 长方体 B.四棱柱 ). B.圆的半径与面积 D.某人的年龄与身高 C. 圆柱

3.下列两个变量具有相关关系的是( A.正方形的边长与周长 C.球的半径与体积

4.在 ?ABC 中,a ,b ,c 分别是角 A, C 的对边, a ? 8, B ? 60?, C ? 30? , ?ABC B, 若 则 的面积为( ). B. 16 3 C. 8 3 D. 4 3

A.32

5.如图, 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 直线 CD1 与直线 AB 所成角的大小是( A.30? C.60?
2

D1 A1 B1

C1

). B.45? D.90? ).

D A (第 5 题图) B

C

6.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 2 的零点的个数为( A.0 C.2
? ?

B.1 D.3 ).

7. sin 27? cos18 ? cos 27 sin18? 的值等于(

A.

1 2

B.

3 2

C.
81

2 2

D.1

8.过点 A(3,-1)且与直线 y ? ?2 x ? 3 垂直的直线方程为(

).

A. x ? 2 y ? 1 ? 0

B. x ? 2 y ? 5 ? 0

C. 2 x ? y ? 5 ? 0

D. x ? 2 y ? 1 ? 0

?x ? y ? 2 ? 2 2 9.设不等式组 ? x ? 0 表示的平面区域为 M,在圆 x ? y ? 4 内随机取一点 P,则点 P ? y?0 ?
落在 M 内的概率为( A. ). B.

1 4?

1 2?

C.

1 ?

D.

1 4

10.某汽车制造厂引进一条新的汽车生产流水线,这条流水线每天生产的汽车数量 x (辆) 与利润 y (千元)之间有如下的关系: y ? ? x ? 40 x ? 300 .若要使该生产线每天的利润大
2

于 0,则每天生产汽车数量的范围为( A. x ? 10 或 x ? 30 C. x ? 10 或 x ? 30

). B. 10 ? x ? 30 D. 10 ? x ? 30

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分.
11.函数 f ( x) ? cos 2 x 的周期为 .

开始
12.已知数列{ a n }的通项公式为 a n ? n ? 2n ,则
2

输入 m, n 是

a4

.

m?n



13.若 m ? n 的运算原理如图所示,则

1 (log 2 2) ? ( ) ?1 =___ ___. 2
14.一个总体中有 100 个个体, 随机编号为 0, 2, 1, ?, 99,依编号顺序平均分成 10 个小组,组号依次为 1, 2,3,?,10.现用系统抽样方法抽取一个容量为 10

输出 m

输出 n

结束
(第 13 题图)

的样本,规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m ,那么在第 k 小组中抽取的号码个位数字 与 m ? k 的个位数字相同.若 m ? 6 ,则在第 2 组中抽取的号码是 .

82

15.若直线 x ? y ? b ? 0 与圆 ( x ? 2) ? y ? 2 相切,则 b =
2 2

.

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.
16.(本小题满分 6 分)等比数列{ a n }的公比 q ? 1 ,且 a1 ? a 2 ? a3 ? 7 ,a1 a 2 a3 ? 8 ,求: (1) a1 ? a3 的值;(2)数列{ a n }前 8 项的和 S 8 .

17.(本小题满分 8 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是边长 为 a 的正方形,且 PD= a . (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)若 E 为 PC 中点,求证:PA∥平面 BDE;

P

E

D B
(第 17 题)

C

A

18. (本小题满分 8 分) 从某校参加高二年级学业水平考试模拟考试的学生中抽取 60 名学生, 将其数学成绩分成 6 段[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]后, 画出如图的频率分布直方图.根据图形信息,解答下列问题: (1)估计这次考试成绩的平均分; (2)估计这次考试成绩的及格率和众数. 0.030 0.025
频率 组距

0.01 0.005 O

40 50 60 70 80 90 100 (第 18 题)

分数

83

19.(本小题满分 8 分)已知向量 a ? (sin x, cos x) , b ? (1,1) .

(1)当 a ∥ b 时,求 tan x 的值; (2)若 f ( x) ? a ? b ? m 对一切 x ?R 恒成立,求实数 m 的取值范围.

20.(本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ?

5x , f [( g ( x)] ? 4 ? x . x?3

(1)求 f (1) 的值;

(2)求函数 g (x) 的解析式,并指出其定义域;

(3)求函数 g (x) 在 x ? [2,4] 时的值域.

84

参考答案
数学 1 第一章 1~4 CA C C 5.2 6. y ? 400 x ? 集合与函数概念

1600 ? 2400 ( x ? 0 ) 7.(1) {x | 2 ? x ? 3};(2) x x {x | ?1 ? x ? 5} ;(3) {x | 3 ? x ? 5} ;(4) {x | ?1 ? x ? 2} 8. 解:(1) y1 ? , 8
y2 ? x 1 x 1 ;(2)设 x 万元投资股票,则收益 y ? (20 ? x) ? ? ? ( x ? 2) 2 ? 3 , 8 2 8 2

所以 x ? 4 ,即用 16 万元投资债券,4 万元投资股票,能使投资获得最大收益 3 万元.

(注:如果设 x 万元投资债券,则收益 y ?

x 20 ? x ? ( 0 ? x ? 20 ),但进一步处理需 8 2

要先作变量代换,再按前面的思路配方,求解过程要复杂一些) 第二章 基本初等函数(I) 5. (2,??)

1~4 DDDC

6.1

7.

2

8. (1)1;(2) ? 1 ? x ? 0 .

第三章 函数的应用 1~4 CBCC 5.2 6. f 4 ( x) ? 2
x

7. 解:(1) {x | x ? ?2 且 x ? 3} ;(2)因为

y ? f ( x) ? a 在(-2,2)上为增函数,所以 [ f (?2) ? a][ f (2) ? a] ? 0 ,即

1 1 (a ? )( a ? 5) ? 0 ,所以实数 a 的取值范围为 (?5,? ) . 5 5 t , , ? 15( t ? 0 ) g (t ) ? ?4t ? 160( t ? 0 ) h(t ) ? ?2t 2 ? 20t ? 2400 2 ( t ? 0 );(2)因为 M ? N ? 30t ? 350 ,所以前 11 天,甲商店的销售金额比乙商店小,
8. 解: (1) f (t ) ? 第 12 天起甲商店的销售金额比乙商店大.

数学 2
1~4 CACD 5. 12?

第一章

空间几何体
1? 2? 2?

6.①②③

7.

8. 6 3

第二章

空间点、直线、平面之间的位置关系
85

1~4 ADDD

5. ④

6. ①④

7.(1)略,(2)45?

8. 解:(1)四棱锥 P-ABCD 的体积为 V ?

1 1 1 S ?ABCD ? PD ? a 2 ? a ? a 3 ; 3 3 3

(2)连接 AC 交 BD 于 F,连 EF,则 EF 为△PAC 的一条中位线,所以 PA∥EF,又 EF 在 平面 BDE 内,PA 不在平面 BDE 内,所以 PA∥平面 BDE; (3)因为 BD 是直线 PB 在平面 ABCD 内的射影,所以∠PBD 为直线 PB 与平面 ABCD 所 成的角,在 Rt△ PBD 中, tan ?PBD ?

PD a 2 ? ? . BD 2 2a
直线与方程
7. m ? ?

第三章
1~4 DADD 5.[-1,1] 6.4

2 4 且 m ? 1且 m ? 3 3

8.(1) y ? 2 x ,(2)(4,-2)

第四章
1~4 ACAD

圆的方程
6. 8 或-18

5. 3x ? y ? 0 或 x ? 3 y ? 0

7.(1)点 P 的坐标为(-1,1),直线的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 ;

(2)圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 .
2 2

8. x + y -2 x -4 y -8=0 或 x + y 2-6 x -8 y =0.

2

2

2

数学 3 第一章 算法初步
1~4 DABD ; 5.4 ; 6. 22 ; 7.1,4,2,6; 8. 解:(1) a1 ? 1 , a 2 ?

1 ; 2

(2)由已知等比数列{ a n }的公比为 q ?

1 1 ,所以数列{ a n }的通项公式 a n ? n ?1 ; 2 2

1 2 n ? 2 ? 1 ,而 S ? 2 ? 1 ? 2 , (3)因为等比数列{ a n }的前 n 项和为 S n ? n 1 2 n?1 2 n ?1 1? 2 1?
又 S n 是关于 n 的增函数,所以 S n ? S1 ? 1 ,故 S n 的取值范围为[1,2).

86

第二章 1~4 CDDD

统 计

5.乙; 6.(1)不认同;(2)30

? 7. 解:(1) y ? 1.1x ? 1 ;
(2)使用年限为 10 年时,维修费是 12 万元. 12.解:(1)如右表;(2)图略;(3)总体的平 均数为 24;中位数为 23

6 ;众数为 22.5. 7

第三章 1~6 BDBD 5.

概率 8. (1)

23 5

6.

8 7 ; 13 26

7.(1)

1 2 ;(2) 2 3
三角函数

1 1 7 , ,(2) . 16 16 16

数学 4 第一章 1~4 DABA 5.

1 9

6. ?

12 5

7. (1)略;(2)当 x ? 2k? ?

?
6

(k ? Z ) 时,

k? ? (2k ? 1)? 2k? ? y max ? 2 . 8.(1) T ? ? ;(2) ? , ? (k ? Z ) ;(3) x ? 3 , k ? Z . 3 3 ? ?
第二章 平面向量 1~4 DDCB 5.-5 6. (6,7) 7. (1) a 与 b 所成的角为

?

?

2? 7 ;(2) . 3 2

8.解:(1) OP ? OA ? t AB ? (1 ? 3t ,2 ? 3t ) ,若 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,?t ? ? 2 ; 3

若 P 在 y 轴上, 只需 1+3t=0, ?t ? ?

?1 ? 3t ? 0 2 1 1 ,? ? ? t ? ? ; ; P 在第二象限, ? 若 则 3 3 3 ?2 ? 3t ? 0

(2)因为 OA ? (1,2), PB ? (3 ? 3t ,3 ? 3t ) ,若 OABP 为平行四边形,则 OA ? PB ,

? 3 ? 3t ? 1 无解,所以四边形 OABP 不能成为平行四边形. ?? ?3 ? 3t ? 2
第三章 三角恒等变换
87

1~4 BABC

5. 3

6. sin 2?

7. (1)

1 1 1 ;(2) T ? ? ;(3) [? , ] . 4 2 2

8. (1) ? 3 ;(2) [2k? ?

5? ? , k? ? ]( k ? Z ) . 6 6
数学 5 第一章 解三角形 8. 解:由已知,有 ?BAD ? 75? ,

1~4 ABCB

5. 3 2

6. 60

0

7. 19

?ADB ? 60? , ?DAC ? 30? ,AB= 12 6 ,AC=8 3 ,
(1)由已知,可得 ?ABD ? 45? ,在△ABD 中,由正弦定理,得

AD AB , ? sin 45? sin 60?

12 6 ?
所以 AD=

3 2

2 2 ? 24 (海里);(2)在△ACD 中,由余弦定理,得

CD2 ? AC 2 ? AD 2 ? 2 AC ? AD cos?DAC =8 3 (海里).
第二章 数列 1~4 CABD 5.2; 3 ? 2
2

n?2

6.54
n

7.(1) a n ? 2
n ?1

n ?1

;(2)因为 S n ? 2 ? 1 ,所
n

以 Tn ? (2 ? 1) ? (2 ? 1) ? ? ? (2 ? 1) ? 2

?2?n.

2 2 8.(1)由于 2an ?1 ? 1 ? 4an ? 4an ? 1 ? (2an ? 1) ,所以数列 ?2an ? 1? 为“平方递推数列”;

(2)因为 lg(2an ?1 ? 1) ? 2lg(2an ? 1) ,即

lg(2an ?1 ? 1) ? 2 ,所以数列 ?lg(2an ? 1)? 为等 lg(2an ? 1)
n ?1

比数列, lg(2an ?1 ? 1) ? 2 且

n ?1

lg(2a1 ? 1) ? 2

lg 5 , 所以 2an ?1 ? 1 ? 5

2n?1

52 ? 1 an ? , 即 . 2

n?1

第三章 不等式

1~4 BACD

5.3;-1

6.25

7.(1)因为 d ?

a3 ? a1 ? 2 ,所以 a n ? 2n , 2

88

S n ? n(n ? 1) ;(2)因为 bn ?

n 2 ? n ? 16 16 16 ? n ? ?1 ? 2 n ? ? 1 ? 9 ,当且仅当 n n n

n?

16 ,即 n ? 4 时,取等号,所以数列{ bn }的第 4 项的值最小,最小项的值为 b4 ? 9 . n 1 2 1 284 ,得 ( x ? 80)( x ?71) ?0 ,又 x ? 0 ,所以 x ? 71 , x ? x? 180 20 9

8.解:(1)由 S ?

故这辆汽车的速度至少为 71(千米/小时); (2)因为当 x ? 60 时, S ?

3600 60 ? ? 23 ? 20 ,所以汽车有可能撞上行人. 180 20
模拟试卷

一、选择题: C D C B B 二、填空题:11. ? 三、解答题: 12.8

BCAAD 13.2 14.18 15.4 或 0.

16.(1)4;(2)63.

17.(1)

a3 ,(2)略. 3

18.解:(1)由直方图可知这次考试的平均分为

45 ? 0.05 ? 55 ? 0.1 ? 65 ? 0.25 ? 75 ? 0.25 ? 85 ? 0.3 ? 95 ? 0.05 ? 73 ;
(2)由直方图可知,这次考始的及格率和众数分别为 85%和 85. 19.(1)1, (2) m ? ? 2 .

20.(1)

5 12 ? 3x 12 ? 3x 15 , (2) g ( x) ? ,可以 ( x ? ?1) ,(3) g ( x) ? ? ?3 ? 4 x ?1 x ?1 x ?1

证明 g (x) 在 x ? [2,4] 时为减函数,所以 g ( x) ? [0,2] .(没有证明 g (x) 在 x ? [2,4] 时为减 函数的扣-2).

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