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2016届《创新设计》数学一轮(文科)北师大版配套作业 2-3 函数的奇偶性与周期性


第3讲

函数的奇偶性与周期性

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1.(2014· 重庆卷)下列函数为偶函数的是 A.f (x )=x -1 C.f (x )=2x-2-x 解析 B.f (x )=x2 +x D.f (x )=2x+2-x ( )

函数 f (x )=x -1 和 f (x )=x2 +x 既不是偶函数也不是奇函数,排除选项 A

和选项 B;选项 C 中 f (x )=2x-2-x,则 f (-x )=2-x-2x=-(2x-2-x)=-f (x ), 所以 f (x )=2x-2-x 为奇函数,排除选项 C;选项 D 中 f (x )=2x+2-x,则 f (-x ) =2 x+2x=f (x ),所以 f (x )=2x+2 x 为偶函数,故选 D.
- -

答案

D

2.(2014· 新余模拟)定义在 R 上的偶函数 f (x ),对任意 x1 ,x 2 ∈[0,+∞)(x1 ≠x2 ), 有 f (x2 )-f (x 1 ) <0,则 x2 -x1 B.f (1)<f (-2)<f (3) D.f (3)<f (1)<f (-2) ( )

A.f (3)<f (-2)<f (1) C.f (-2)<f (1)<f (3) 解析

由题意知 f (x )为偶函数,所以 f (-2)=f (2),

又 x ∈[0,+∞)时,f (x )为减函数,且 3>2>1, ∴f (3)<f (2)<f (1),即 f (3)<f (-2)<f (1),故选 A. 答案 A

3.已知 f (x )是奇函数,g(x )是偶函数,且 f (-1)+g(1)=2,f (1)+g(-1)=4,则 g(1) 等于 A.4 C .2 解析 B.3 D.1 由题意知:f (-1)+g(1)=-f (1)+g(1)=2,
-1-

(

)



f (1)+g(-1)=f (1)+g(1)=4, ①+②得 g(1)=3. 答案 B



4.(2014· 福建统一检测)已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数,且在[0,+∞)上单调递 增,若 f (lg x )<0,则 x 的取值范围是 A.(0,1) C.(1,+∞) 解析 B.(1,10) D.(10,+∞) ( )

依题意,函数 f (x )在 R 上是增函数,且 f (0)=0,不等式 f (lg x )<0=f (0)

等价于 lg x <0,故 0<x <1,故选 A. 答案 A

5.(2014· 山东卷)对于函数 f (x ),若存在常数 a≠0,使得 x 取定义域内的每一个值, 都有 f (x )=f (2a-x ),则称 f (x )为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是 ( A.f (x )= x C.f (x )=tan x 解析 由 f (x )=f (2a-x ), B.f (x )=x2 D.f (x )=cos(x +1) )

∴y=f (x )关于直线 x =a 对称(a≠0), 题中四个函数中,存在对称轴的有 B,D,而 B 中 f (x )=x2 的对称轴为 x =0,不 满足题意,故选 D. 答案 D

二、填空题 6. 函数 f (x )在 R 上为奇函数, 且 x >0 时, f (x )= x +1, 则当 x <0 时, f (x )=________. 解析 ∵f (x )为奇函数,x >0 时,f (x )= x +1,

∴当 x <0 时,-x >0, f (x )=-f (-x )=-( -x +1), 即 x <0 时,f (x )=-( -x +1)=- -x -1. 答案 - -x -1

-2-

7.(2014· 湖南卷)若 f (x )=ln(e3 x+1)+ax 是偶函数,则 a=________. 解析 由题意知,f (x )的定义域为 R,

所以 f (-1)=f (1), 从而有 ln(e3 +1)+a= ln(e 3 +1)-a,


3 解得 a=- . 2 3 答案 - 2 8.(2014· 四川卷)设 f (x )是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x ∈[-1,1)时,f (x ) ?-4x2 +2,-1≤x <0, =? 则f ?x ,0≤x <1, 解析 ∵f (x )的周期为 2, 3 ? ? ? ? ?2?=________.

1 ?3? ?=f ? ?- ? ? ∴f ? ?2? ? 2?, 又∵当-1≤x <0 时, f (x )=-4x 2 +2 ?3? ? 1? ? 1?2 ∴f ? ?=f ?- ?=-4×?- ? +2=1. ?2? ? 2? ? 2? 答案 1

三、解答题 9.f (x )为 R 上的奇函数,当 x >0 时,f (x )=-2x 2 +3x +1,求 f (x )的解析式. 解 当 x <0 时,-x >0,则

f (-x )=-2(-x )2 +3(-x )+1=-2x 2 -3x +1. 由于 f (x )是奇函数,故 f (x )=-f (-x ), 所以当 x <0 时,f (x )=2x 2 +3x -1. 因为 f (x )为 R 上的奇函数,故 f (0)=0. 综上可得 f (x )的解析式为

?-2x +3x +1,x >0, f (x )=?0,x =0, ?2x2+3x -1,x <0.
10. 设 f (x )是定义在 R 上的奇函数, 且对任意实数 x , 恒有 f (x +2)=-f (x ), 当 x ∈[0, 2]时,f (x )=2x -x2 .
-3-

2

(1)求证:f (x )是周期函数; (2)当 x ∈[2,4]时,求 f (x )的解析式; (3)计算 f (0)+f (1)+f (2)+…+f (2 014). (1)证明 ∵f (x +2)=-f (x ),

∴f (x +4)=-f (x +2)=f (x ). ∴f (x )是周期为 4 的周期函数. (2)解 ∵x ∈[2,4],

∴-x ∈[-4,-2], ∴4-x ∈[0,2], ∴f (4-x )=2(4-x )-(4-x )2 =-x 2 +6x -8, 又 f (4-x )=f (-x )=-f (x ), ∴-f (x )=-x 2 +6x -8, 即 f (x )=x 2 -6x +8,x ∈[2,4]. (3)解 ∵f (0)=0,f (1)=1,f (2)=0,f (3)=-1.

又 f (x )是周期为 4 的周期函数, ∴f (0)+f (1)+f (2)+f (3)=f (4)+f (5)+f (6)+f (7) =…=f (2 008)+f (2 009)+f (2 010)+f (2 011)=0. ∴f (0)+f (1)+f (2)+…+f (2 014)=f (2 012)+f (2 013)+f (2 014)=f (0)+f (1)+f (2) =1.

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
11.(2014· 宝鸡模拟)已知 f (x )是定义在 R 上以 3 为周期的偶函数,若 f (1)<1,f (5) = 2a-3 ,则实数 a 的取值范围为 a+1 B.(-2,1) D.(-1,0) ( )

A.(-1,4) C.(-1,2) 解析 即

因为函数 f (x )是定义在 R 上以 3 为周期的偶函数, 所以 f (5)=f (-1)=f (1),

2a-3 <1,化简得(a-4)(a+1)<0,解得-1<a<4,故选 A. a+1 A
-4-

答案

12. (2015· 郑州模拟)已知 f (x )是 R 上最小正周期为 2 的周期函数, 且当 0≤x <2 时, f (x )=x 3 -x ,则函数 y=f (x )的图像在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为( A.6 解析 B.7 C .8 D.9 )

因为当 0≤x <2 时,f (x )=x 3 -x,又 f (x )是 R 上最小正周期为 2 的周期函

数,且 f (0)=0,所以 f (6)=f (4)=f (2)=f (0)=0. 又 f (1)=0,所以 f (3)=f (5)=0.故 函数 y=f (x )的图像在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为 7. 答案 B

13.已知函数 y=f (x )为奇函数,且对定义域内的任意 x 都有 f (1+x )=-f (1-x ).当 x ∈(2,3)时,f (x )=log2 (x -1).给出以下 4 个结论: ①函数 y=f (x )的图像关于点(k ,0)(k ∈Z)成中心对称; ②函数 y=|f (x )|是以 2 为周期的周期函数; ③当 x ∈(-1,0)时,f (x )=-log2 (1-x ); ④函数 y=f (|x |)在(k ,k +1)(k ∈Z)上单调递增. 其中所有正确结论的序号为________. 解析 因为 f (2+x )=-f (1-(1+x ))=-f (-x )=f (x ),所以 f (x )的周期为 2,

因为 f (x )为奇函数,其图像关于点(0,0)对称, 所以 f (x )的图像也关于点(2,0)对称,先作出函数 f (x ) 在(2,3)上的图像,然后作出在(1,2)上的图像,左右 平移即可得到 f (x )的草图如图所示,由图像可知 f (x )关于点(k ,0)(k ∈Z)对称, 故①正确; 由 y=|f (x )|的图像可知 y=|f (x )|的周期为 2,故②正确; 当-1<x <0 时,2<2-x <3,f (2-x )=log2 (1-x )=-f (x ), 即 f (x )=-log2 (1-x ),故③正确; y=f (|x |)在(-1,0)上为减函数,故④错误. 答案 ①②③

14.设 f (x )是(-∞,+∞)上的奇函数,f (x +2)=-f (x ),当 0≤x ≤1 时,f (x )=x . (1)求 f (π )的值; (2)当-4≤x ≤4 时,求 f (x )的图像与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f (x )的单调区间.

-5-



(1)由 f (x +2)=-f (x )得,

f (x +4)=f [(x +2)+2]=-f (x +2)=f (x ), 所以 f (x )是以 4 为周期的周期函数, ∴f (π )=f (-1×4+π )=f (π -4)=-f (4-π ) =-(4-π )=π -4. (2)由 f (x )是奇函数与 f (x +2)=-f (x ), 得:f [(x -1)+2]=-f (x -1)=f [-(x -1)], 即 f (1+x )=f (1-x ). 故知函数 y=f (x )的图像关于直线 x =1 对称. 又当 0≤x ≤1 时,f (x )=x ,且 f (x )的图像关于原点成中心对称,则 f (x )的图像如 图所示.

当-4≤x ≤4 时,f (x )的图像与 x 轴围成的图形面积为 S, ?1 ? ?=4. 则 S=4S△OAB=4×? × 2 × 1 ?2 ? (3)函数 f (x )的单调递增区间为[4k -1,4k +1](k ∈Z), 单调递减区间为[4k +1,4k +3](k ∈Z).

-6-


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