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2.4.2


2.4.2抛物线的简单几 何性质(1)

一、温故知新
(一) 圆锥曲线的统一定义
平面内,到定点F的距离与到定直线l的距离 (定点F不在定直线l上) 比为常数e的点的轨迹, 当0<e<1时,是椭圆;当e>1时,是双曲线 . 当e=1时,是抛物线 .

(二) 抛物线的标准方程
(1)开口向右 y

2 = 2px (p>0) (2)开口向左 y2 = -2px (p>0) (3)开口向上 x2 = 2py (p>0) (4)开口向下 x2 = -2py (p>0)

二、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px(p>0)的几何性质?

1、


范围

l

y

由抛物线y2 =2px(p>0)

2 px ? y ? 0 p?0
2

O

F

x

x?0 ?

所以抛物线的范围为 x ? 0

2、

对称性
关于x轴

l

y

( x, y)

对称

( x, ? y )
O F

x

若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px, 则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.

3、

顶点

l

y

定义:抛物线与它 的轴的交点叫做抛物线

的顶点。

2 = 2px (p>0)中, y ?

O

F

x

令y=0,则x=0.
即:抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点(0,0).

4、

离心率 l

y

抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离之比,叫做抛物线 的离心率。 由定义知, 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.

O

F

x

5、

通径

过焦点而垂直于对称轴的弦 AB,称为抛物线的通径, |AB|=2p 利用抛物线的顶点、通 径的两个端点可较准确 画出反映抛物线基本特 征的草图.

y
A O B F

y2=2px
? p ? ? , p? ?2 ?

2p

x

?p ? ? ,? p ? ?2 ?

2p越大,抛物线张口越大.

6、

焦半径

连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物 线的焦半径。 y 焦半径公式:
P

|PF|=x0+p/2
下面请大家推导出
O F

x

其余三种标准方程抛 物

7、焦点弦:

y

A ( x1 , y1 )
F

通过焦点的直线,与抛物 线相交于两点,连接这两点的
O

线段叫做抛物线的焦点弦。
焦点弦公式: p ? x1 ? x2

B ( x 2 , y2 )

x

下面请大家推导出其余三种标准方程 抛物线的焦点弦公式。

方程
图 形 范围

y2 = 2px

y2 = -2px (p>0) y l
x

x2 = 2py (p>0) y
F x

x2 = -2py (p>0) y
x l

(p>0) y
l O F

l x

F

O

O

O

F

x≥0 y∈R

x≤0 y∈R

x∈R y≥0

x∈R y≤0
关于y轴对称

对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称

顶点
焦半径

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? y0 2

(0,0)
p ? y0 2
p ? ( y1 ? y2 )

焦点弦 的长度

p ? x1 ? x2

p ? ( x1 ? x2 )

p ? y1 ? y2

归纳:
(1)、抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它 也可以无限延伸,但没有渐近线; (2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)、抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条 准线; (4)、抛物线的离心率e是确定的为1,

⑸、抛物线的通径为2P, 2p越大,抛物线的张 口越大.

一、对称性问题
例1、正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个 顶点在抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0)上,求这个三角形的边长。

| AB |? 4 3 p.

y

A(x1,y1)

o

x
B (x2,y2)

2 y ? 2 px( p ? 0上两点, ) .已知A、B是抛物线 O为坐标原点,若

OA ? OB , 且?AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点,则直线AB的方

程是:( D )
y

A

O

F

x

(A) x ? p

5 3 p(D) x ? p (B)x ? 3 p (C) x ? 2 2

.
B

等腰Rt△ABO内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶 点,OA⊥OB,则△ABO的面积是( A.8p2 B.4p2 )

C.2p2
[答案] B

D.p2

二、焦点弦问题

例2 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的 焦点F,且与抛物线相交于A、B两点, 求线段AB的长.
解这题,你有什么方法呢?
法1:解出交点坐标;计算弦长(运算量一般较大);

法2:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法3:焦半径公式。

|AB|=8

过抛物线y2=8x的焦点作直线l,交抛物线于A,B两点,若 线段AB中点的横坐标为3,则|AB|的值为________.

[答案] 10

5.焦点弦问题

如图所示:AB 是抛物线 y2=2px(p>0)过焦点 F 的一条弦, 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 M(x0,y0),抛物线的准线 为 l.

(1)以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切; p (2)|AB|=2(x0+ )(焦点弦长与中点关系); 2 (3)|AB|=x1+x2+p; 2p (4)若直线 AB 的倾斜角为 α,则|AB|=sin2α; 如当 α=90° 时,AB 叫抛物线的通径,是焦点弦中最短的; (5)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值, p2 即 x1· x2= ,y1· y2=-p2. 4

最值问题
设 P 是抛物线 y2=4x 上的一个动点,F 为抛物 线焦点. (1)求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 x=-1 的距 离之和的最小值; (2)若 B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.

定点

? 10? M?3, 3 ?与抛物线 y2=2x ? ?

上的点 P 之间的距离为 d1,

P 到抛物线准线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 取最小值时,P 点坐 标为( ) B.(1, 2)
?1 1? D.?8,-2? ? ?

A.(0,0) C.(2,2)

[答案] C

五、归纳总结
1、范围: 抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可 以无限延伸,但没有渐近线; 2、对称性: 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3、顶点:抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线; 4、离心率:抛物线的离心率是确定的,等于1; 5、通径: 抛物线的通径为2P, 2p越大,抛物线的张口 越大. 6、光学性质: 从焦点出发的光线,通过抛物线反射就 变成了平行光束.

5.焦点弦问题

如图所示:AB 是抛物线 y2=2px(p>0)过焦点 F 的一条弦, 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 M(x0,y0),抛物线的准线 为 l.

(1)以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切; p (2)|AB|=2(x0+ )(焦点弦长与中点关系); 2 (3)|AB|=x1+x2+p; 2p (4)若直线 AB 的倾斜角为 α,则|AB|=sin2α; 如当 α=90° 时,AB 叫抛物线的通径,是焦点弦中最短的; (5)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值, p2 即 x1· x2= ,y1· y2=-p2. 4


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