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“含参数不等式的恒成立”问题及其解法


“含参数不等式的恒成立”问题及其解法
西峡一高分校 刘波

在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现含参数不等式恒成立问题, 题目一般 综合性强,是高考热点题型之一。下面结合例题浅谈恒成立问题的常见解法: 1 转换主元法 例 1:若对于任意 a ? ? ? 1,1? ,函数 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值恒大于 0,求 x 的取值范围。 解:设 g ? a ? ? ? x ? 2 ?a ? x ? 4 x ? 4 ,把它看成关于 a 的直线,由题意知,直线恒在横
2

轴上方。

所以

g ?? 1? ? 0 g ?1 ? ? 0

解得:

x ? 1或x ? 2 或x ? 3

2 化归二次函数法 例 2: R 上定义运算 ? : ? y=(1-y) 若不等式(x-a) ? (x+a)<1 对任意实数 x 成立, 在 x 则 (A)-1<a<1 (B)0<a<2 (C) ?
1 2 ? a ?

( )
3 2
2 2

(D) ?

3 2

? a ?

1 2

解:由题意可知 (x-a)[1-(x+a)] <1 对任意 x 成立,即 x -x-a +a+1>0 对 x? R 恒成立。 记 f(x)=x -x-a +a+1,则应满足△=(-1)2-4(-a2+a+1)<0 解得
? 1 2 ? a ? 3 2
2 2

,故选择 C。

3 分离参数法。 例 3:对于任意 x ? R ,都有 3 解:
x
2x

? ?1 ? k ? ? 3 ? 2 ? 0 恒成立,求 k 的取值范围。
x

分离参数,由 k ? 3 ? ? 3 ? 9 ? 2 得 k ? 3 ?
x x
x

2 3
x

?1.

由于 x ? R ,所以 3 ? 0 ,故 u ? 3 ?
x
x

2 3
x

? 1 ? 2 2 ? 1 ,即 u 的最小值为 2 2 ? 1 .

要使对于 x ? R 不等式 3 4.数型结合法

2x

? ?1 ? k ? ? 3 ? 2 ? 0 恒成立,只要 k ? 2 2 ? 1
x

例 4:如果对任意实数 x,不等式 x ? 1 ? kx 恒成立,则实数 k 的取值范围是 0 ? k ? 1 解:画出 y1= x ? 1 ,y2=kx 的图像,由图可看出 0 ? k ? 1 数学思想方法是解决数学问题的灵魂,同时它又离不开具体的数学知识。在解决含参

数不等式的恒成立的数学问题中要进行一系列等价转化.因此,更要重视转化的数学思想.


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