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2.4.1 平面向量数量积的物理背景及含义 课件(人教A版必修4)


第二章

平面向量

复习 平 面 向 量 的 夹 角

已知两个非零向量a和b,作OA=a, OB=b,则 ∠AOB=θ (0°≤θ ≤180°)叫做向量a与b的夹 角。 B

θ
O

A

当θ=0°时,a与b同向;

O<

br />
A

B

当θ=180°时,a与b反向; A 当θ=90°时,称a与b垂直,
记为a⊥b.
B

O
b O a A

B

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第二章

平面向量

情景引入
一个物体在力F的作用下产生位移s(如图)

F

θ
S

那么力F所做的功W为:

W=|F| |S|cosθ

其中θ是F与S的夹角

从力所做的功出发,我们引入向量“数量积”的概念。
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第二章

平面向量

2.4.1 平面向量数量积的物理 背景及含义

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第二章

平面向量

新知初探思维启动
1.平面向量数量积的定义
已知两非零向量a与b,它们的夹角为θ,则 |a||b|· cosθ 数量积 把数量___________叫做a与b的________ (或 a· b=|a||b|cosθ a· b 内积 ______),记作_____,即______________. 规定零向量与任一向量的数量积均为____. 0 注 意 (1)两向量的数量积是一个数量,

(2) a · b不能写成a×b ,‘· ’不能

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平面向量

做一做 1.若|m|=4,|n|=6,m与n的夹角为135°, 则m· n=________.

?- 2?= 解析:m· n=|m||n|cos135°=4×6× ? 2?
-12 2.
答案:-12 2

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平面向量

想一想

1.向量的数量积与数乘向量的区别是什么?
提示:向量的数量积a· b是一个实数;数乘

向量λa是一个向量,这是二者的主要区别.

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平面向量

2.向量的数量积的几何意义 a b (1)投影:|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量__在___ 投影 方向上(b在a方向上)的_________. |a| (2)几何意义:数量积a· b等于a的长度______ |b|cosθ 与b在a的方向上的投影__________的乘积.

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平面向量

想一想 2.投影是向量吗? 提示:投影是数量而不是向量,它可正可负

可为零,它的符号由θ的取值决定.

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第二章

平面向量

3.向量的数量积的性质
设a与b都是非零向量,θ为a与b的夹角. a· b=0 (1)a⊥b?___________. |a||b| (2)当a与b同向时,a· b=_________, -|a||b| 当a与b反向时,a· b=____________. |a|2 (3)a· a=________或|a|= a·a= a2.
a·b |a||b| (4)cosθ =______________.

(5)|a· ≤ b|_______|a||b|.

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平面向量

做一做 3 2.已知|b|=3,a 在 b 上的投影为 ,则 a· b= 2 ________.
3 解析:∵|a|cos〈a·b〉= . 2 9 ∴a·b=|a||b|cos〈a·b〉= . 2 9 答案: 2

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平面向量

4.向量数量积的运算律 b· a (1)a· b=___________ (交换律). λ(a· b)=a· (λb) (2)(λa)· b=_______________ (结合律). a· c+b· c (3)(a+b)· c=______________ (分配律).

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平面向量

想一想 3.对于向量a· c,等式(a· c=a· c)一定成 b· b)· (b· 立吗?

提示:不一定成立,∵若(a· c≠0,其方向 b)·
与c相同或相反,而a· c)≠0时其方向与a相 (b· 同或相反,而a与c方向不一定相同,故该等 式不一定成立.

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平面向量

典题例证技法归纳
题型探究 向量数量积的运算
例1 (1)已知|a|=4,|b|=5,且向量 a 与 b
的夹角为 60°,求(2a+3b)· (3a-2b); (2)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC → → =4,求AB·BC.

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第二章

平面向量

【解】 (1)(2a+3b)· (3a-2b) =6a2-4a· b+9a· b-6b2 =6×42+5×4×5×cos60°-6×52=-4. (2)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5, 3 AC=4,故 BC=3,且 cos∠ABC= , 5 → → AB与BC的夹角 θ=180°-∠ABC, → → → → ∴AB·BC=-|AB||BC|cos∠ABC 3 =-5×3× =-9. 5
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平面向量

【名师点评】

求两向量数量积的步骤是:

(1)求a与b的夹角;

(2)分别求|a|,|b|;
(3)求数量积,即a· b=|a||b|cosθ.应注意书写

时a与b之间用“· ”连接,而不能用“×”
连接,也不能省去.

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平面向量

互动探究
1.若例 1(2)中 AB=4 2,其余条件不变,则 → → AB·BC为何值?
解:∵在 Rt△ABC 中,∠C=90° AB=4 2,AC=1 ∴BC=4

→ → → → ∴|AB|=|BC|=4 且AB与BC的夹角 θ=135°, → → → → ∴AB·BC=|AB||BC|cos135°

?- 2?=-8 2. =4×4× ? 2?

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平面向量

向量的模长问题
例2 已知向量a、b满足|a|=|b|=5,且a与

b的夹角为60°,求|a+b|,|a-b|,|2a+b|.
【解】 ∵|a+b|2 =(a+b)2 =|a|2 +|b|2 +2a· b =25+25+2|a||b|cos60° 1 =50+2×5×5× =75.∴|a+b|=5 3. 2 同理可得|a-b|=5,|2a+b|=5 7.

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平面向量

【名师点评】

求解模问题一般转化求模的

平方,与向量的数量积联系,要灵活应用a2 =|a|2,勿忘记开方.

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第二章

平面向量

向量的夹角问题
例3

(本题满分12分)已知a+b+c=0,|a|

=3,|b|=5,|c|=7. (1)求a与b的夹角θ; (2)是否存在实数λ,使λa+b与a-2b共线? (3)是否存在实数μ,使μ a+b与a-2b垂直?

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第二章

平面向量

【解】 (1)∵a+b+c=0,∴a+b=-c, ∴|a+b|=|c|,∴(a+b)2=c2, 即 a2+2a·b+b2=c2, c2-a2-b2 |c|2-|a|2-|b|2 ∴ a · b = = = 2 2 49-9-25 15 = . 2 2 15 又 a· b=|a|· |b|cosθ ,∴ =3×5×cosθ , 2 1 ∴cosθ = ,∴θ =60°.4 分 2
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第二章

平面向量

(2)假设存在实数 λ, 使(λa+b)∥(a-2b), 则存 在实数 k,满足 λa+b=k(a-2b)=ka-2kb,
?λ=k ? 1 ∴? ,∴λ=k=- , 2 ? ?1=-2k

1 ∴存在 λ=- ,满足 λa+b 与 a-2b 共线. 2 8分

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平面向量

(3)假设存在实数 μ 使(μ a+b)⊥(a-2b), ∴(μ a+b)· (a-2b)=0 ∴μ|a|2-2|b|2-2μ a· b+a· b=0, 15 15 ∴9μ-2× 25-2μ× + =0, 2 2 85 ∴μ=- . 12 85 ∴存在 μ=- ,使得 μ a+b 与 a-2b 垂直.12 分 12

名师微博

利用m⊥n?m· n=0

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平面向量

变式训练
2.已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互 相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,求a与b 的夹角.
解:由已知得
?(a+3b)· (7a-5b)=0 ? ? , ? (7a-2b)=0 ?(a-4b)·

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平面向量

?7a +16a· b-15b =0 ? 即? 2 2 ? ?7a -30a·b+8b =0

2

2

① ②

②-①得 23b2=46a·b,∴2a·b=b2,代入 ①得 1 2 b a·b 2 1 2 2 a =b ,∴|a|=|b|,∴cosθ = = = . |a||b| b2 2 π ∵θ ∈[0,π],∴θ = . 3

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平面向量

备选例题
→ 1.若 O 为△ABC 所在平面内一点, 且满足(OB → → → → -OC)· +OC-2OA)=0, (OB 则△ABC 的形状 为( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.A、B、C 均不是

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平面向量

→ → → → → 解析: C.由(OB-OC)· +OC-2OA)=0, 选 (OB → → → 得CB·(AB+AC)=0, → → → → → → → 又∵CB =AB -AC ,∴(AB -AC )· +AC ) (AB =0, → → 即|AB|2-|AC|2=0. → → ∴|AB|=|AC|.∴△ABC 为等腰三角形.

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平面向量

2.已知向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|
=3,则|5a-b|=________.
解析: |5a-b|2=25|a|2+|b|2-10a· b=25×1+9

答案:7

?-1?=49,所以|5a-b|=7. -10×1×3×? 2?

3.已知a⊥b,且|a|=2,|b|=1,若对于两个
不同时为零的实数k,t,使得a+(t-3)b与 -ka+tb垂直,试求k的最小值.

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平面向量

解:因为 a⊥b,所以 a· b=0, 又由已知得[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0, 所以-ka2+t(t-3)b2=0,因为|a|=2,|b|=1, 所以-4k+t(t-3)=0, 1 2 1? 3?2 9 所以 k= (t -3t)= ?t- ? - (t≠0). 2 4 4 16 3 9 故当 t= 时,k 取最小值- . 2 16

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平面向量

方法感悟
方法技巧

1.两向量的数量积的结果是数量而非向量,
它可正可负还可能为0,这由两向量夹角的 余弦值来决定. 2.非零向量a· b=0?a⊥b是非常重要的性质, 它对于解决平面几何图形中有关垂直的问题

十分有效,应熟练掌握.

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平面向量

a· b 3.求向量夹角,是先求其余弦值 cosθ = , |a||b| 若 cosθ >0,则 θ∈[0°,90°);若 cosθ <0, 则 θ∈(90°, 180°]; cosθ =0, θ=90°. 若 则 ∴0°≤θ ≤180°.

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平面向量

失误防范
1.两个向量a,b的数量积为a· b,与代数中两

个数a,b的乘积ab(或a· b)不同,但又类似,
书写时一定要严格区分. 2.非零向量b在a方向上的投影|b|cosθ是一个 实数,可正、可负,也可为0,与线段区分 开.

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