当前位置:首页 >> 数学 >>

2013年秋北师大版必修1示范教案2.1生活中的变量关系


第二章





通过本章的学习,使学生关注现实,了解函数、映射等知识产生的背景.发展对变量的 认识,了解现实世界充满变量间的相互依赖关系.通过操作和思考,感受抽象出函数概念的 过程和方法.理解函数和映射等概念的本质,并掌握函数的单调性等性质.在初中学习的基 础上,能熟练地说出二次函数图像的大小、位置和单调性、最大(

小)值等性质.对幂函数和 函数的奇偶性有所 了解.使学生能借助图像想象出函数的单调性、奇偶性等性质,也能用 解析式的特点抽象地得出函数的性质, 能熟练地对二次函数配方, 会用解析式证明函数的单 调性和奇偶性,能根据需要对各种函数的解析式作变形,会对一些有关函数的应用题求解 , 会对有关数据作相应的处理.培养学生提出、分析、解决问题的能力,表达交流的能力,独 立获取数学知识的能力,同时发展学生的应用意识、创新意识和数学地思考问题的意识.引 导学生形成批判性、崇尚理性的思维习惯,体会数学美,树立辩证唯物主义的世界观.引导 学生热爱数学,帮助他们建立学好数学的信心,并具有一定的数学视野;使其树立坚韧不拔 的态度和崇尚科学的理性精神,强化对真善美的追求. 在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶段是在义务教育阶段,学习了函数的 描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数,了解 了它们的图像、性质等.本章学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等 函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段, 这是对函数概念的再认识阶段. 第三 阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步深化和提高. 在章头语里,把函数的地位和意义作了简单说明.有作为背景的意图,也是想让学生在 无形中想到曲线、图像和函数.本书从高速公路的里程和加油站的思考引入,一方面,让学 生认识现实中处处充满变量间的依赖关系,另一方面,希望学生能由此及彼想到邮局、机场 等实例.函数概念从实际引入,让学生在现实情境中体验和理解数学.函数是核心概念,初 中讲了,高中还要深化.它将贯穿整个高中阶段,希望使学生遇到问题的时候,马上会有一 种想到函数的潜意识产生.这种意识和函数观点是至关重要的.教材对函数概念,努力改变 过去把因变量叫作自变量的函数的做法, 而明确提出把对应关系 f 叫作函数. 只是为了与学 生过去的认识接轨,才又补充说:习惯上我们称 y 是 x 的函数.教材中,提到函数的时候, 必须要说明函数的定义域.但是,教材有意弱化了求定义域和值域的技巧,不在这里浪费学 生过多时间.本教材力图突出本质,而不在技巧上下更多工夫.考虑到分段函数在实际中会 经常出现,明确给出了“分段函数”的概念.一般到特殊、特殊到一般,都是人类创造的重 要思维方法,都很重要,只是要根据所遇到的具体情况而决定选用哪一种.考虑到与初中知 识的衔接,同时又考虑到学生的认知次序,在函数概念和映射概念的处理上,特意先给出函 数的概念再引出映射概念,从特殊到一般地安排了这段教材.在函数性质中,教材突出了更 具本质的单调性,而弱化了函数的奇偶性.如前所说,我们没有把奇偶性专门列出一节,而 是把它和幂函数放在了一起.有意把幂函数留了个尾巴到下一章,意在顺理成章.因为,此 前学生只有整数幂,而分数指数幂、无理数指数幂在下章出现,所以,到下一章再重复一下 幂函数,也十分自然. 本章教学时间约需 9 课时,具体分配如下(仅供参考): §1 生活中的变量关系 约 1 课时 2.1 函数概念 约 1 课时 2.2 函数的表示法 约 1 课时 2.3 映射 约 1 课时 §3 函数的单调性 约 1 课时 4.1 二次函数的图像 约 1 课时 4.2 二次函数的性质 约 1 课时 §5 简单的幂函数 约 1 课时 本章复习 约 1 课时

§1

生活中的变量关系

整体设计 教学分析 在学生学习 用集合语言刻画函数之前,学生已经把函数看成变量之间的依赖关系.生 活中的变量关系一节,从高速公路的实例引入,“思考交流”则引导学生对类似的情境,如 邮局、机场等进行思考并与同伴交流.安排了函数关系与非函数关系的对比.教学中一定要 注意以人为本,要尊重学生,为了学生,调动学生参与到教学中. 值得注意的是在本节的教学中, 一定要给学生“留白”, 即为学生留下必要的时间和空 间让其自主地活动.当然,学生的数学活动必须以学生的思维为基础,可以是动手实践,也 可以是平静的思考.思维,必须以学生独立的悟为前提,在独立思考的前提下,再强调必须 与同伴的交流与合作; 思维, 必须以抓住知识的本质为目的, 不能只求热闹. 对教材中的“思 考交流”应该组织学生进行讨论,不能一说而过. 三维目标 1.通过公路上的实际例子,引起积极的思考和交流,从而使学生认识到生活中处处可 以遇到变量间的依赖关系. 2.能够利用初中对函数的认识,了解依赖关系中有的是函数关系,有的则不是函数关 系.培养学生广泛的联想能力,树立热爱数学的态度. 重点难点 区分生活中的变量关系是否为函数关系. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.现实世界中充满了变化,静止是相对的,运动是永恒的.我们的生活中存在着 各种各样的变量关系, 其中函数关系是描述这种变化的重要数学模型, 也是数学的基本概念, 函数思想是研究问题的重要数学思想之一. 今天我们学习如何确定函数关系, 教师引出课题. 思路 2.人的体重和身高是函数关系吗?小麦的亩产量与亩施肥量是函数关系吗?正方 体的体积和棱长是函数关系吗?如何判断呢?这就是本节课学习的内容,教师引出课题. 推进新课 新知探究 提出问题 ? 1? 说出初中所学函 数定义? ? 2? 如何确定两个变量之间是函数关系? 讨论结果:(1)函数定义:设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y,如果对于 x 的每一 个值,y 都有唯一的值与它对应,那么就说 x 是自变量,y 是 x 的函数,y 是因变量. (2)定义法: 当且仅当变量 x 每取一个值, 另一个变量 y 总有唯一确定的值与之对应时, 变量 x,y 之间具有函数关系,并且,y 是 x 的函数. 应用示例 思路 1 例 1 我国自 1998 年开始建设高速公路,全国高速公路通车总里程,于 1998 年底,位 居世界第八;1999 年底,位居世界第四;2000 年底,位居世界第三;2001 年底,超过了加 拿大,跃居世界第二位.(如下表) 1988—2001 年全国高速公路总里程 单位:千米 年份 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 总里程 147 271 522 574 652 1 145 1 603 年份 1995 1996 总里程 2 141 3 422 根据表内数据作图(如图 1). 1997 4 771 1998 8 733 1999 11 605 2000 16 314 2001 19 453

问: (1)高速公路里程数是年度的函数吗? (2)高 速公路里程数与年度的变化有什么特点? 活动:学生回顾函数的定义及确定函数关系的方法,教师适当提示或点拨. 解:不难看出: (1)高速公路里程数随年度的变化而变化.所以,高速公路里程数可以看成因变量,年 度看成自变量,从而高 速公路里程数是年度的函数. (2)从 1988 年到 2001 年, 里程数是不断增加的, 其中从 1999 年到 2000 年增长得最快. 点评:本题主要考查函数的定义. 变式训练 一辆汽车在高速公路上行驶的过程中,请指出哪些变量是时间的函数. 解: 一辆汽车在高速公 路上行驶的过程中, 每个时刻都有唯一的行驶路程与它对应. 行 驶路程(因变量)随时间(自变量)的变化而变化,故行驶路程是时间的函数.同样,汽车的速 度、耗油量也是时间的函数. 例 2 图 2 是某高速公路加油站的图片,加油站常用圆柱体储油罐储存汽油.储油罐的 长度 d、截面半径 r 是常量;油面高度 h、油面宽度 ω 、储油量 v 是变量.这些变量中,请 指出哪两个具有依赖关系,哪两个变量具有函数关系.

图2 活动:学生结合生活经验思考.教师可提示,也可介绍相关知识. 解:储油量 v 与油面高度 h 存在着依赖关系,储油量 v 与油面宽度 ω 也存在着依赖关 系. 并非有依赖关系的两个变量都有函数关系. 只有满足对于其中一个变量的每一个值, 另 一个变量都有唯一确定的值时,才称它们之间有函数关系.对于油面高度 h 的每一个取值, 都有唯一的储油量 v 和它对应,所以,储油量 v 是油面高度 h 的函数.而对于油面宽度 ω 的一个值可以有两种油面高度和它对应,于是可以有两种储油量 v 和它对应,所以,储油量 v 不是油面宽度 ω 的函数. 点评:本题主要考查依赖关系和函数关系及其区别.由本题可见,函数关系一定是依赖 关系,而依赖关系不一定是函数关系. 变式训练 1.进一步分析上述储油罐的问题,讨论: (1)还有哪些常量?哪些变量?

(2)哪些变量之间存在依赖关系? (3) 哪些依赖关系是函数关系?哪些依赖关系不是函数关系? 解:(1)常量有圆柱底面积、油罐容积、油的密度等,变量有油的体积、圆柱底面上的 弓形面积等; (2)依赖关系有:储油量和油的体积,储油量和圆柱底面上的弓形面积,油的体积和油 面宽度; (3)储油量是油的体积的函数,油的体积也是储油量的函数,储油量是圆柱底面上的弓 形面积的函数,油的体积不是油面宽度的函数. 2.请列举一些与公路交通有关的函数关系. 解:如修路中所花的费用和所修公路长度是函数关系等. 3.请思考在其他情境下存在的函数关系,例如邮局、机场等. 解:在邮局中,邮资是邮件重量的函数等.在机场,飞机票价是路程的函数等. 思路 2 例 1 在学校里你能发现哪些函数关系? 活动:仔 细观察,联系学校中老师、学生、师生的生活、校内物品等. 解:(1)学生的学号是学生的函数; (2)教学任务是老师的函数; (3)学校的用电量是时间的函数,用水量也是时间的函数. 点评:本题考查观察能力及发现问题、分析问题的能力. 变式训练 1.已知集合 A={1,2,3,4,5},集合 B={2,4,6,8}.集合 A 中的元素乘 2.若 A 中的元 素为自变量,B 中的元素为因变量,能形成函数吗? 答案:不能.因为 A 中的元素 5 的 2 倍为 10,并没有在集合 B 中. 2.在矩形中,若面积值作为自变量,其中一边长为因变量,能形成函数吗? 答案:不能.因为面积一定时,其中一边的长不确定. 3.某人骑车的速度是 20 千米/时.他骑 1.5 小时,走的路程是多少?你能写出时间与 路程的函数吗? 答案: 小时走的路程是 20×1.5=30(千米). 1.5 设时间为 t, 路程为 s, s=20t(t≥0). 则 4.由下列式子是否能确定 y 是 x 的函数? 2 2 (1)x +y =2; (2) x-1+ y-1=1; (3)y= x-2+ 1-x. 2 2 2 解:(1)由 x +y =2,得 y=± 2-x ,因此由它不能确定 y 是 x 的函数; 2 (2)由 x-1+ y-1=1,得 y=(1- x-1) +1, 所以当 x 在{x|x≥1}中任取一值时, 由它可以确定一个唯一的 y 与之对应, 故由它可以确定 y 是 x 的函数; (3)由{x-2≥0,?1-x≥0 得 x∈ ? , 故 x 无值可取,y 不是 x 的函数. 例 2 新华网北京 2006 年 3 月 24 日电:中国卫生部 24 日通报,上海市确诊一例人感 染高致病性禽流感病例,患者 3 月 13 日发病,后因病情加重,经抢救无效,于 3 月 21 日死 亡. 为了更好地对付禽流感病毒, 某医药研究所开发一种新药, 如果成人按规定的剂量服用, 据检测,服药后每毫升血液中含药量 y(毫克)与时间 x(小时)之间近似满足图 3 所示的曲线 关系.请根据图 3 中给出的变化曲线,试判断每毫升 血液中含药量 y(毫克)与时间 x(小时) 之间是否构成函数关系.

图3 解:时间的变化范围是数集 A={x|x≥0},每毫升血液中含药量 y(毫克)的变化范围是 数集 B={y|4≥y≥0},并且,对于数集 A 中的每一个时间 x,按照图中的曲线,数集 B 中都 有唯一确定的 y 与它相对应. 所以每毫升血液中含药量 y(毫克)是时间 x(小时)的函数. 点评:本题主要考查实际问题中的函数关系. 变式训练 从 20 世纪 70 年代开始, 我国就致力于控制人口过快增长, 并逐步制定和完善了严格控 制人口增长的政策措施.2002 年我国颁布了第一部《人口与计划生育法》 ,将计划生育从一 项基本国策上升为国家法律. 根据国家统计局普查资料显示, 我国人口再生产类型已经转入 低生育、低死亡、低增长的发展阶段,进入了世界低生育水平国家行列.2005 年底,我国总 人口为 13.075 6 亿人,约占世界人口的 20.12%.自实行计划生育以来,全国累计少生人口 近 3.1 个亿.

图4 请根据图 4 中给出的我国人口出生率变化曲线, 试判断我国人口出生率 p 和时间 t(年) 是否构成函数关系. 解:时间 t 的变化范围是 数集 A={t|t≥1950},我国人口出生率 p 的变化范围是数集 B={p|p≥0},并且,对于数集 A 中的每一个时间 t,按照图中的曲线,数集 B 中都有唯一 确定的 p 与它相对应,所以我国人口的出生率 p 是时间 t(年)的函数. 知能训练 1.自由落体运动中,有哪几个常量,哪几个变量?这些变量之间有怎样的关系? 答案:常量有:自由落体的质量和重力加速度; 变量有:时间 t、速度 v 和位移 s,其中,速 度依赖时间变化,关系是 v=gt;位移也 1 2 依赖时间变化,关系是 s= gt . 2 2.银行的存款利息表算不算函数? 答案:是函数关系. 拓展提升 思考:字母一定是变量吗? 探究:一般地,在研究一个问题的变化过程中,变量通常是一个字母,也就是说,只有 字母才可以取不同的值来表示不同的量,那就是变量.但能否这样说,在变化过程中,字母 就一定是变量呢?答案是否定的. 2 例如,我们所熟悉的二次函数 y=ax (a≠0),它表示 y 与 x 之间存在依赖关系,这时, x、y 都是变量,它表示的是 y 关于 x 的函数.虽然函数随着 a 的变化而表示不同的函数,

但它是二次项的系数,是一个常量. 2 2 2 如果把 y=ax 看作表示 y 与 a 只存在依赖关系,则 y=ax =x a 在 x≠0 时是一个 y 关 于 a 的一次函数,这里 y,a 是变量,x 是常量. 课堂小结 本节课学习了:用定义法判断变量之间的函数关系. 作业 习题 2—1 A 组 1,2. 设计感想 本节课内容比较简单,在设计过程中,注重了与下节函数概念的 联系. 备课资料 [备选例题] 【例 1】 下表展示了我国从 1998 年到 2002 年每年的国内生产总值. 年份 生产总值(亿元) 1998 78 345 1999 82 067 2000 89 442 2001 95 933 2002 102 398 观察上表,年国内生产总值是年份的函数吗? 答案:是函数关系. 【例 2】 农业科学家研究玉米的生长过程,把生长过程分为 32 个时间段,通过实验得 到了各时间段与植株高度之间的相关数据,如图 5 所示.

图5 观察上图,植株高度是时间的函数吗? 答案:是函数关系.


相关文章:
北师大版数学必修1《2.1 生活中的变量关系》教学设计
北师大版数学必修12.1 生活中的变量关系教学设计_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 北师大版数学必修12.1 生活中的变量关系教学设计...
北师大版必修1第二章函数教案-2.1《生活中的变量关系》教案
北师大版必修1第二章函数教案-2.1生活中的变量关系教案_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 北师大版必修1第二章函数教案-2.1《生活中的...
北师大版必修一《生活中的变量关系》word教案1
北师大版必修一《生活中的变量关系》word教案1_英语_高中教育_教育专区。§2.1 生活中的变量关系 知识与技能: 1.通过高速公路上的实际例子,引起积极的思考和...
北师大版高中数学(必修1)2.1《生活中的变量关系》word教案
北师大版高中数学(必修1)2.1生活中的变量关系》word教案_数学_高中教育_教育...探究结论 :依赖关系与函数关系 (1)、依赖关系不一定是函数关系,但函数关系一定...
精 品 教 学 设 计2.1生活中的变量关系
精品教学设计2.1生活中的变量关系_数学_高中教育_教育专区。精品教育教学资料。高一数学必修一第二章第一节 生活中的变量关系 设计理念:这节课是新教材新增内容,...
2.1生活中的变量关系(北师大必修1)
2.1生活中的变量关系(北师大必修1)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2.1生活中的变量关系(北师大必修1)_数学_高中教育_教育专区...
2014高中数学 第二章《生活中的变量关系》参考教案 北师大版必修1
2014高中数学 第章《生活中的变量关系》参考教案 北师大版必修1_数学_高中教育_教育专区。2014 高中数学 第二章《生活中的变量关系》参考教案 北师大版必 修1...
2016年新高一数学参考教学案:2.1 生活中的变量关系(北师大版必修1)
2016年新高一数学参考教学案:2.1 生活中的变量关系(北师大版必修1)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com 2.1 生活中的变量...
2016年高中北师大版数学必修一教案教学设计:2.1 生活中的变量关系
2016年高中北师大版数学必修一教案教学设计:2.1 生活中的变量关系_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2.1 生活中的变量关系一、教材的地位与作用 《生活中的...
更多相关标签:
北师大高一英语必修一 | 北师大版英语必修一 | 北师大英语必修一 | 北师大高中数学必修2 | 北师大高中英语必修一 | 北师大英语必修五课文 | 北师大高一数学必修1 | 北师大版英语必修五 |