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7.1空间立体几何体的机构及其三视图和直观图


第一节 空间几何体的结构特征及其三视图和直观图

[备考方向要明了]

考 什 么 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构 特征,并能运用这些特征描述现实生活中简 单物体的结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、 圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别 上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测 法画出它们的直观图. 3.会用平

行投影与中心投影两种方法画出简 单空间图形的三视图与直观图,了解空间图 形的不同表示形式. 4.会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影 响图形特征的基础上,尺寸、线条等没有严 格要求).

怎 么 考 1.对空间几何体的结构特征的考查, 很少单独 命题,多与命题真假判断相结合,在考查线 面位置关系时,常以几何体为载体. 2.对三视图的考查一直是高考的考查重点, 且 有以下特点: (1)多以选择题或填空题的形式考查. (2)单独考查三视图问题,如 2012 年福建 T4, 湖南 T3 等. (3)与空间几何体的体积、表面积的求法相结 合,考查三视图的还原问题,如 2012 年新课 标全国 T7,安徽 T12,广东 T6,天津 T10, 辽宁 T13 等. 3.直观图的画法作为一种图技画法融合于三 视图的还原问题中,高考几乎不单独命题.

[归纳· 知识整合] 1.空间几何体的结构特征

①棱柱的侧棱都互相平行,上下底面是互相平行且全等的多边形 多面体 ②棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形 ③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上下底面是相互平行且相似的 多边形 ①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到 ②圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到 旋转体 ③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到,也可由 平行于圆锥底面的平面截圆锥得到 ④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到

[探究] 1.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗? 提示:不一定.如图所示,尽管几何体满足了两个平面平行且其余各面 都是平行四边形,但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行. 2.中心投影与平行投影 平行投影的投影线是平行的, 而中心投影的投影线相交于一点. 在平行投影中投影线垂 直于投影面的投影称为正投影. 3.三视图与直观图 三视图 空间几何体的三视图是用平行投影得到的,它包括正视图、侧视图、俯视图, 其画法规则是:长对正,高平齐,宽相等 空间几何体的直观图常用斜二测画法规则来画,基本步骤是: ①画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴,两轴相交于点 O,画直观图时,把它们 画成对应的 x′轴、 y′轴, 两轴相交于点 O′, 且使∠x′O′y′=45° (或 135° ), 已知图形中平行 x 轴、 y 轴的线段在直观图中分别画成平行于 x′轴、 y′轴的线 直观图 段.已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中长度不变,平行于 y 轴的线段, 长度变为原来的一半. ②画几何体的高 在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面,在直观图中对应的 z′轴,也垂 直于 x′O′y′平面,已知图形中平行于 z 轴的线段,在直观图中仍平行于 z′ 轴且长度不变

[探究] 2.正方体的正视图、侧视图、俯视图一定相同吗? 提示:由于正视图的方向没确定,因此正视图、侧视图、俯视图不一定相同.

[自测· 牛刀小试] 1.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是( A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.圆柱,圆锥,球体的组合体 解析:选 C 由球的性质可知,用平面截球所得的截面都是圆面. 2.(教材习题改编)如图所示的几何体是棱柱的有( ) )

A.②③⑤ C.③⑤

B.③④⑤ D.①③

解析:选 C 根据棱柱结构特征可知③⑤是棱柱. 3.(教材习题改编)已知一个几何体的三视图如图所示,分析此几何体的组成为( )

A.上面为棱台,下面为棱柱 B.上面为圆台,下面为棱柱 C.上面为圆台,下面为圆柱 D.上面为棱台,下面为圆柱 解析:选 C 由三视图可知,此几何体由上面的圆台和下面的圆柱组合而成的. 4.关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( A.直角三角形的直观图仍是直角三角形 B.梯形的直观图是平行四边形 C.正方形的直观图是菱形 D.平行四边形的直观图仍是平行四边形 解析:选 D 由斜二测画法规则可知,平行于 y 轴的线段长度减半,直角坐标系变成了 斜坐标系,而平行性没有改变,因此,只有 D 正确. 5.一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的 ________(填入所有可能的几何体前的编号). ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 )

⑥圆柱 解析:只要判断正视图是不是三角形就行了,画出图形容易知道三棱锥、四棱锥、圆锥 一定可以,对于三棱柱,只需要放倒就可以了,所以①②③⑤均符合题目要求. 答案:①②③⑤

空间几何体的结构特征

[例 1] 下列结论中正确的是(

)

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫 圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 [自主解答] A 错误.如图,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成 的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥. B 错误.如下图,若△ABC 不是直角三角形,或是直角三角形但旋转 轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥。

C 错误.若六棱锥的所有棱都相等,则底面多边形是正六形.但由几何图形知,若以正 六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长. [答案] D ————— —————————————— 求解空间几何体概念辨析题的常用方法 (1)定义法,即严格按照空间几何体的有关定义判断. (2)反例法,即通过举反例来说明一个命题是错误的.

1.下列命题中,正确的是(

)

A.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B.侧面都是等腰三角形的棱柱是正棱锥 C.侧面都是矩形的四棱柱是长方体

D.底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 解析: 选 D 对于 A, 两个侧面是矩形并不能保证侧棱与底面垂直, 故 A 错误; 对于 B, 侧面都是等腰三角形,不能确保此棱锥顶点在底面在底面的射影在底面正多边形的中心上, 且也不能保证底面是正多边形,故 B 错误;对于 C,侧面是矩形不能保证底面也是矩形, 因而 C 错误.

空间几何体的三视图

[例 2] (1)(2012· 湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视 图不可能是( )

(2)(2012· 厦门质检)某几何体的三视图如图所示,则该几何体是(

)

A.三棱锥 C.四棱台

B.四棱锥 D.三棱台

[自主解答] (1)A 图是两个圆柱的组合体的俯视图;B 图是一个四棱柱与一个圆柱的组 合体的俯视图;C 图是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱与一个四棱柱的组合体的俯视 图,采用排除法,故选 D. (2)由三视图可知,该几何体是四棱锥(如图所示),且其中一条棱与底面 垂直. [答案] (1)D (2)B

—————

—————————————— 由三视图还原实物图应明确的两个方面

(1)首先要熟悉柱、锥、台、球的三视图,较复杂的几何体也是由这些简单几何体组合

而成的. (2)要明确三视图的形成原理,并能结合空间想象将三视图还原为实物图.

2.已知某组合体的正视图与侧视图相同(其中 AB=AC,四边形 BCDE 为矩形),则该组 合体的俯视图可以是________(把你认为正确的图的序号都填上).

解析:几何体是四棱锥与四棱柱组成时,得①正确.几何体由四棱锥与圆柱组成时,得 ②正确. 几何体由圆锥与圆柱组成时, 得③正确. 几何体由圆锥与四棱柱组成时, 得④正确. 故 填①②③④. 答案:①②③④

空间几何体的直观图

[例 3] 如图所示, △A′B′C′是△ABC 的直观图, 且△A′B′C′ 是边长为 a 的正三角形,求△ABC 的面积. [自主解答] 建立如图所示的坐标系 xOy′, △A′B′C′的顶点 C′ 在 y′轴上,A′B′边在 x 轴上,把 y′轴绕原点逆时针旋转 45° 得 y 轴,在 y 轴上取点 C 使 OC=2OC′,A、B 点即为 A′、B′点,长度不变.

已知 A′B′=A′C′=a,在△OA′C′中, OC′ A′C′ 由正弦定理得 = , sin∠OA′C′ sin 45° sin 120° 6 所以 OC′= a= a, sin 45° 2 所以原三角形 ABC 的高 OC= 6a, 1 6 所以 S△ABC= ×a× 6a= a2. 2 2

本例若改为“已知△ABC 是边长为 a 的正三角形, 求其直观图△A′B′C′的面积, ”

应如何求? 解:由斜二测画法规则可知,直观图△A′B′C′一底边上的高为 1 6 6 故其面积 S△A′B′C′= a× a= a2. 2 8 16 3 1 2 6 a× × = a, 2 2 2 8

—————

—————————————— 平面图形的直观图与原图形面积的两个关系

按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系: S 直观图= 2 S ,S 原图形=2 2S 直观图. 4 原图形

记住上述关系,解题时能起到事半功倍的作用.

3.如图,矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观 图,其中 O′A′=6 cm,O′C′=2 cm,则原图形是( A.正方形 C.菱形 B.矩形 D.一般的平行四边形 )

解析:选 C 将直观图还原得?OABC,则

∵O′D′= 2O′C′=2 2(cm), OD=2O′D′=4 2(cm), C′D′=O′C′=2(cm),∴CD=2 (cm), OC= CD2+OD2= 22+?4 2?2=6 (cm), OA=O′A′=6(cm)=OC, 故原图形为菱形.

? 1 种数学思想——转化与化归思想 利用转化与化归思想解决棱台、圆台的有关问题 由棱台和圆台的定义可知棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥 和圆锥后得到的,所以在解决棱台和圆台的相关问题时,常“还台为锥”,体现了转化的数 学思想. ? 1 个疑难点——三视图的还原问题 由三视图还原几何体是解答三视图问题的重要手段和方法, 在明确三视图画法规则的基

础上,按以下步骤可轻松解决:

? 3 个注意事项——画三视图应注意的三个问题 (1)若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要注意实、 虚线的画法. (2)确定正视、侧视、俯视的方向,观察同一物体方向不同,所画的三视图也不同. (3)观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的,并注意它们的组成方式,特别是它 们的交线位置. ? 3 个“变”与“不变”——斜二测画法的要求 坐标轴的夹角改变, ? ? “三变”?与y轴平行的线段的长度变为原来的一半, ? ?图形改变. 平行性不改变, ? ? “三不变”?与x、z轴平行的线段的长度不改变, ? ?相对位置不改变.

易误警示——三视图识图中的易误辨析

[典例] (2012· 陕西高考)将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到如图 2 所示的几 何体,则该几何体的侧视图为( )

[解析] 侧视图中能够看到线段 AD1, 应为实线, 而看不到 B1C, 应画为虚线. 由于 AD1 与 B1C 不平行,投影为相交线,故应选 B.

[答案] B [易误辨析] 1.因对三视图的原理认识不到位,区分不清选项 A 和 B,而易误选 A. 2.因对三视图的画法要求不明而误选 C 或 D.在画三视图时,分界线和可见轮廓线都用 实线画,被遮住的部分的轮廓线为虚线. 3.解答此类问题时,还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视 图.在复习时要明确三视图的含义,掌握“长对正、高平齐、宽相等”的要求. [变式训练] 若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( )

解析:选 B 由正视图与俯视图可以将选项 A、C 排除;根据侧视图,可以将 D 排除, 注意正视图与俯视图中的实线.

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.(2012· 福建高考)一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不 可以是( A.球 C.正方体 ) B.三棱锥 D.圆柱

解析:选 D 圆柱的三视图,分别是矩形,圆,不可能三个视图都一样,而球的三视图 可以都是圆,三棱锥的三视图可以都是三角形,正方体的三视图可以都是正方形. 2.(2013· 西城模拟)有一个几何体的三视图如图所示,这个几何体应是一个( )

A.棱台

B.棱锥

C.棱柱

D.都不对

解析:选 A 从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但大小不一样,可以判断是棱台. 3.一梯形的直观图是一个如右图所示的等腰梯形,且该梯形的面 积为 2,则原梯形的面积为( A.2 C.2 2 ) B. 2 D.4

解析:选 D 直观图为等腰梯形,若上底设为 x,高设为 y, 1 则 S 直观图= y(x+2y+x)= 2, 2 1 而原梯形为直角梯形,其面积 S= · 2 2y(x+2y+x)=2 2× 2=4. 2 4.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示,则该 几何体的俯视图为( )

解析:选 C 由正视图和侧视图可知,该长方体挖掉一个小长方体后,相应位置在俯视 图中应为左下角位置,且可看见轮廓线,故选 C. 5.一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是 ( )

解析:选 C 若俯视图是等边三角形且为图中的位置,则正视图是等腰三角形,且高线 是实线,故选 C. 6.一个几何体的三视图如图所示,其正视图的面积等于 8,俯视图

是一个面积为 4 3的正三角形,则其侧视图的面积为( A.4 3 C.8 2 B.8 3 D.4

)

解析:选 A 由三视图知该几何体是正三棱柱,设其底面边长为 a,高为 h,则其正视 图为矩形,矩形的面积 S1=ah=8,俯视图为边长为 a 的正三角形,三角形的面积 S2= =4 3,则 a=4,h=2,而侧视图为矩形,底边为 =4 3. 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.以下四个命题:①正棱锥的所有侧棱相等;②直棱柱的侧面都是全等的矩形;③圆 柱的母线垂直于底面;④用经过旋转轴的平面截圆锥,所得的截面一定是全等的等腰三角 形.其中,真命题的序号为________. 解析:①③④均正确,对②,直棱柱的侧面都是矩形而不一定全等,②错误. 答案:①③④ 8.一个几何体是由若干个相同的小正方体组成的,其正视图和侧视图如图所示,则这 个几何体最多可由________个这样的小正方体组成. 3 2 a 4

3 3 a,高为 h,故侧视图的面积为 S= ah 2 2

解析:依题意可知这个几何体最多可由 9+2+2=13 个这样的小正方体组成. 答案:13 9.正四棱锥的底面边长为 2,侧棱长均为 3,其正视图和侧视图是全等的等腰三角形, 则正视图的周长为________.

解析:由题意知,正视图就是如图所示的截面 PEF,其中 E、F 分别 是 AD、BC 的中点,连接 AO,易得 AO= 2,而 PA= 3,于是解得 PO =1,所以 PE= 2,故其正视图的周长为 2+2 2. 答案:2+2 2 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为 1∶ 16,截去的圆锥的母线长是 3 cm,求圆台的母线长. 解:抓住轴截面,利用相似比,由底面积之比为 1∶16,设半径分别为 r、4r.

设圆台的母线长为 l,截得圆台的上、下底面半径分别为 r、4r.根据相似三角形的性质 得 3 r = ,解得 l=9.所以,圆台的母线长为 9 cm. 3+l 4r

11.已知:图①是截去一个角的长方体,试按图示的方向画出其三视图;图②是某几何 体的三视图,试说明该几何体的构成.

解:图①几何体的三视图为:

图②所示的几何体是上面为正六棱柱、下面为倒立的正六棱锥的组合体. 12.如图所示的三幅图中,图(1)所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图, 它的正视图和侧视图如图(2)(3)所示(单位:cm).

(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的数据,求该多面体的体积. 解:(1)如图.

1 1 284 ×2×2?×2= (cm3). (2)所求多面体的体积 V=V 长方体-V 正三棱锥=4×4×6- ×? ? 3 ?2 3

1.给出下列命题:①在正方体上任意选择 4 个不共面的顶点,它们可能是正四面体的 4 个顶点;②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;③若有两个侧 面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱.其中正确命题的序号是________. 解析:①正确,正四面体是每个面都是等边三角形的四面体,如正方 体 ABCD-A1B1C1D1 中的四面体 A-CB1D1;②错误,举反例如图所示, 底面△ABC 为等边三角形,可令 AB=VB=VC=BC=AC,则△VBC 为等 边三角形,△VAB 和△VCA 均为等腰三角形,但不能判定其为正三棱锥;③错误,必须是 相邻的两个侧面. 答案:① 2.(2011· 江西高考)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所 示,则该几何体的侧视图为( )

解析: 选 D 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线, 它们在右 侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合,另一条为体对角线,它在右侧面上的投影与 右侧面的对角线重合,对照各图,只有选项 D 符合. 3.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PC 与底面垂直.若该四棱锥 的正视图和侧视图都是腰长为 1 的等腰直角三角形,则该四棱锥中最长的棱的长度为( )

A.1 C. 3

B. 2 D.2

解析:选 C 在四棱锥 P-ABCD 中,连接 AC,由正视图和侧视图可得 PC=BC=CD =1,故 AC= 2,最长的棱为 PA= PC2+AC2= 3. 4 . (2011· 北京高考 )某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是 ( )

A.8 C.10

B.6 2 D.8 2

解析:选 C 由三视图可知,该几何体的四个面都是直角三角形,面积分别为 6,6 2, 8,10,所以面积最大的是 10.


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