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高一数学人教A版必修一《1.3.2-奇偶性》课件


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特级教师 王新敞
w xckt@126.com

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引入课题
1.实践操作: 取一张纸,在其上画出平面直角坐标系,并在 第一象限任画一可作为函数图象的图形,然后按如 下操作并回答相应问题: (1)以y轴为折痕 将纸对折,并在 纸的背面(即第 二象限)画出第 一象限内图形的 痕迹,然后将纸 展开,观察坐标 系中的图形;

引入课题
问题:将第一象限和第二象限的图形看成一个 整体,则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象, 若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象 上相应的点的坐标有什么特殊的关系? ①可以作为某个 函数y=f(x)的图象, P`(-x,f(x)) 并且它的图象关 于y轴对称; P(x,f(x))

②若点(x,f(x))在函数图象上,则相应的点 (-x,f(x))也在函数图象上,即函数图象上横坐 标互为相反数的点,它们的纵坐标一定相等.

引入课题
(2)以y轴为折痕将纸对折,然后以x轴为折痕将纸 对折,在纸的背面(即第三象限)画出第一象限内图形 的痕迹,然后将纸展开,观察坐标系中的图形: 问题:将第一象限 和第三象限的图形看成 一个整体,则这个图形 可否作为某个函数y=f(x) 的图象,若能请说出该 图象具有什么特殊的性 质?函数图象上相应的 点的坐标有什么特殊的 关系?

引入课题
(2)以y轴为折痕将纸对折,然后以x轴为折痕将纸 对折,在纸的背面(即第三象限)画出第一象限内图形 的痕迹,然后将纸展开,观察坐标系中的图形: ①可以作为某个函数y=f(x)的图象,并且它的图象关 于原点对称; ②若点(x,f(x))在函数 P(x,f(x)) 图象上,则相应的点 P`(-x,f(x)) (-x,-f(x))也在函数 图象上,即函数图象 上横坐标互为相反数 的点,它们的纵坐标 也一定互为相反数. P``(-x,-f(x))

新课教学 (一)函数的奇偶性定义 象上面实践操作 (1)中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数, (2)中的图象关于原点对称的函数即是奇函数.

偶函数

奇函数

新课教学 (一)函数的奇偶性定义 1.偶函数(even function) 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. 偶函数的 图象关于y 轴对称; 偶函数

新课教学 (一)函数的奇偶性定义 2.奇函数(odd function) 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

奇函数的图象关于 原点对称. 奇函数

新课教学 注意: ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性, 函数的奇偶性是函数的整体性质; ②由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性 的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x, 则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域 关于原点对称). (二)具有奇偶性的函数的图象的特征: ①偶函数的图象关于y轴对称; ②奇函数的图象关于原点对称.

(三)典型例题 例1.判断下列函数的奇偶性:

(1) f ( x) ? x ;
4

(2) f ( x) ? x ;
5

1 (3) f ( x) ? x ? ; x 1 (4) f ( x) ? 2 ; x

例1.判断下列函数的奇偶性:

(1) f ( x) ? x 4 ;
解: (1)对于函数 f ( x) ? x 4 ,其定义域为( -∞,+∞ ). ∵ 对定义域内的每一个x,都有

f (? x) ? (? x) ? x ? f ( x).
4 4

f ( x) ? x 4 为偶函数。 ∴ 函数

例1.判断下列函数的奇偶性:

(2) f ( x) ? x ;
5

解:(2)对于函数 f ( x) ? x ,其定义域为( -∞,+∞ ).
5

∵ 对定义域内的每一个x,都有

f (? x) ? (? x) ? ? x ? ? f ( x).
5 5

f ( x) ? x5 为奇函数。 ∴ 函数

例1.判断下列函数的奇偶性:

1 (3) f ( x) ? x ? ; x 解:(3)对于函数 f ( x) ? x ? 1 ,其定义域为{ x|x≠0 }. x
∵ 对定义域内的每一个x,都有

1 1 f ( ? x) ? ? x ? ? ?( x ? ) ? ? f ( x). ?x x 1 ∴ 函数 f ( x) ? x ? 为奇函数。 x

例1.判断下列函数的奇偶性:

1 解: (4)对于函数 f ( x) ? 2 ,其定义域为{ x|x≠0 }. x
∵ 对定义域内的每一个x,都有

1 (4) f ( x) ? 2 ; x

1 1 f (? x) ? ? 2 ? f ( x). 2 (? x) x 1 ∴ 函数 f ( x) ? x ? 为奇函数。 x

总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否 关于原点对称; ②确定f(-x)与f(x)的关系; ③作出相应结论: 若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0, 则f(x)是偶函数; 若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0, 则f(x)是奇函数.

利用函数的奇偶性补全函数的图象
例2.如图是函数 f ( x) ? x3 ? x 图像的一部分,你

能根据 f ( x) 的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗?

3 解: 对于函数 f ( x) ? x ? x ,其定义域为(-∞,+∞).

∵ 对定义域内的每一个x,都有

f (? x) ? (? x)3 ? (? x) ? ?( x3 ? x) ? ? f ( x).
3 ∴ 函数 f ( x) ? x ? x 为奇函数。

奇函数的图象关于原点 对称,因此可以画出函数

f ( x) ? x ? x 的图象:
3

规律:
偶函数的图象关于y轴对称;

奇函数的图象关于原点对称.
说明:这也可以作为判断函数奇偶性的依据.

课堂小结
本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的

奇偶性通常有两种方法,即定义法和图象法,用
定义法判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断

函数的定义域是否关于原点对称.单调性与奇偶
性的综合应用是本节的一个难点,需要学生结合 函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性 质.

点滴积累 丰富人生

谢谢!

再见!
王新敞 特级教师 源头学子小屋
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