当前位置:首页 >> 数学 >>

通用版2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题10数学思想第38练数形结合思想文


第 38 练

数形结合思想

[思想方法解读] 数形结合是一个数学思想方法, 包含“以形助数”和“以数辅形”两个方 面,其应用大致可以分为两种情形:①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形 作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;②借助于数的精确 性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的

,如应用曲线的方程来 精确地阐明曲线的几何性质. 数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系, 既分析其代数意义, 又揭示其几 何直观,使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用 这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决.数形结合的思想, 其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转 化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时, 要注意三点: 第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征, 对数学题目 中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关 系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围. 数学中的知识,有的本身就可以看作是数形的结合.如:锐角三角函数的定义是借助于直角 三角形来定义的;任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的.

体验高考 1 . (2015? 北 京 ) 如 图 , 函 数 f(x) 的 图 象 为 折 线 ACB , 则 不 等 式

f(x)≥log2(x+1)的解集是(
A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2} 答案 C

)

解析 令 g(x)=y=log2(x+1),作出函数 g(x)的图象如图.

由?

? ?x+y=2, ?y=log2?x+1?, ?

得?

? ?x=1, ?y=1. ?

1

∴结合图象知不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1}. 2. 已知 f(x)=2 -1, g(x)=1-x , 规定: 当|f(x)|≥g(x)时, h(x)=|f(x)|; 当|f(x)|<g(x) 时,h(x)=-g(x),则 h(x)( A.有最小值-1,最大值 1 B.有最大值 1,无最小值 C.有最小值-1,无最大值 D.有最大值-1,无最小值 答案 C 解析 由题意得,利用平移变化的知识画出函数|f(x)|,g(x)的图象如图,
?|f?x?|,|f?x?|≥g?x? ? 而 h(x)=? ?-g?x?,|f?x?|<g?x? ?
x
2

)



故 h(x)有最小值-1,无最大值.

3.(2015?重庆)若函数 f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为 5,则实数 a=________. 答案 4 或-6 解析 由于 f(x)=|x+1|+2|x-a|, 当 a>-1 时, -3x+2a-1 ?x<-1?, ? ? f(x)=?-x+2a+1?-1≤x≤a?, ? ?3x-2a+1?x>a?. 作出 f(x)的大致图象如图所示, 由函数 f(x)的图象可知 f(a)=5, 即 a+1=5,∴a=4. 同理,当 a≤-1 时,-a-1=5,∴a=-6.

高考必会题型 题型一 数形结合在方程根的个数中的应用 例 1 方程 sin π x= 的解的个数是( 4

x

)
2

A.5 B.6 C.7 D.8 答案 C 解析 在同一平面直角坐标系中画出 y1=sin π x 和 y2= 的图象,如下图: 4

x

观察图象可知 y1=sin π x 和 y2= 的图象在第一象限有 3 个交点,根据对称性可知,在第 4 三象限也有 3 个交点,在加上原点,共 7 个交点,所以方程 sin π x= 有 7 个解. 4 点评 利用数形结合求方程解应注意两点 (1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数,使问题转化为讨论两曲线的交点问题, 但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性,否则会得到错解. (2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键,数形结合应以快和准为原则而采用, 不要刻意去数形结合.

x

x

x 2 ? ? -kx ,x≤0, 变式训练 1 若函数 f(x)=?x-1 ? ?ln x,x>0
的取值范围是( A.(-4,0) C.(-4,0] 答案 B 解析 当 x>0 时,f(x)=lnx 与 x 轴有一个交点, 即 f(x)有一个零点. 依题意,显然当 x≤0 时,f(x)= 解. 令 h(x)= ) B.(-∞,0] D.(-∞,0)

有且只有两个不同的零点,则实数 k

x x 2 2 -kx 也有一个零点,即方程 -kx =0 只能有一个 x-1 x-1

x 2 ,g(x)=kx , x-1

则两函数图象在 x≤0 时只能有一个交点. 若 k>0,显然函数 h(x)= 示).

x 2 与 g(x)=kx 在 x≤0 时有两个交点,即点 A 与原点 O(如图所 x-1

3

显然 k>0 不符合题意. 若 k<0,显然函数 h(x)= 即原点 O(如图所示).

x

x-1

与 g(x)=kx 在 x≤0 时只有一个交点,

2

若 k=0,显然函数 h(x)=

x

x-1

与 g(x)=kx 在 x≤0 时只有一个交点,即原点 O.

2

综上,所求实数 k 的取值范围是(-∞,0].故选 B. 题型二 利用数形结合解决不等式函数问题 2 ? ? ,x≥2, 例 2 已知函数 f(x)=?x ? ??x-1?3,x<2, 则实数 k 的取值范围是________. 答案 (0,1) 2 解析 当 x≥2 时,f(x)= ,

若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不等的实根,

x

此时 f(x)在[2,+∞)上单调递减, 且 0<f(x)≤1. 当 x<2 时,f(x)=(x-1) ,此时 f(x)过点(1,0), (0,-1), 且在(-∞,2)上单调递增. 当 x→2 时,f(x)→1. 如图所示作出函数 y=f(x)的图象,由图可得 f(x)在(-∞,2)上 单调递增且 f(x)<1,
3

f(x)在[2,+∞)上单调递减且 0<f(x)≤1,
故当且仅当 0<k<1 时,关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不等的实根,即实数 k 的取值范围是

4

(0,1). 点评 利用数形结合解不等式或求参数的方法 求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象, 根据不等式中量的特点, 选择适当的两个 (或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题,往往可以避 免烦琐的运算,获得简捷的解答. 变式训练 2 若存在正数 x 使 2 (x-a)<1 成立,则 a 的取值范围是( A.(-∞,+∞) C.(0,+∞) 答案 D 1 x x -x 解析 因为 2 >0,所以由 2 (x-a)<1 得 x-a< x=2 ,在直角坐标系中,作出函数 f(x)=x 2 -a,g(x)=2 在 x>0 时的图象,如图.
-x

x

)

B.(-2,+∞) D.(-1,+∞)

当 x>0 时,g(x)=2 <1,所以如果存在 x>0,使 2 (x-a)<1,则有 f(0)<1,即-a<1,即 a> -1,所以选 D. 题型三 利用数形结合求最值 例 3 已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)?(b-c)=0,则 |c|的最大值是( A.1 C. 2 答案 C 解析 如图, B.2 D. 2 2 )

-x

x

设 O A =a,O B =b,O C =c,则 C A =a-c,C B =b-c. 由题意知 C A ⊥C B , ∴O、A、C、B 四点共圆.
5















∴当 OC 为圆的直径时,|c|最大,此时,|O C |= 2. 点评 利用数形结合求最值的方法步骤 第一步:分析数理特征,确定目标问题的几何意义.一般从图形结构、图形的几何意义分析 代数式是否具有几何意义. 第二步:转化为几何问题. 第三步:解决几何问题. 第四步:回归代数问题. 第五步:回顾反思. 应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式,主要有:(1)比值 ——可考虑直线的斜率; (2)二元一次式——可考虑直线的截距; (3)根式分式——可考虑点 到直线的距离;(4)根式——可考虑两点间的距离. 变式训练 3 已知圆 C:(x-3) +(y-4) =1 和两点 A(-m,0),B(m,0)(m>0),若圆 C 上存 在点 P,使得∠APB=90°,则 m 的最大值为( A.7 C.5 答案 B 解析 根据题意,画出示意图,如图所示, B.6 D.4 )
2 2



则圆心 C 的坐标为(3,4),半径 r=1,且|AB|=2m. 1 因为∠APB=90°,连接 OP,易知|OP|= |AB|=m. 2 要求 m 的最大值, 即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离. 因为|OC|= 3 +4 =5, 所以|OP|max=|OC|+r=6, 即 m 的最大值为 6.
2 2

高考题型精练 1.若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线(x-2) +y =1 有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围是 ( )
2 2

6

A.[- 3, 3] C.[- 3 3 , ] 3 3

B.(- 3, 3) D.(- 3 3 , ) 3 3

答案 C 解析 设直线方程为 y=k(x-4),即 kx-y-4k=0,

直线 l 与曲线(x-2) +y =1 有公共点, 圆心到直线的距离小于等于半径, |2k-4k| 即 d= ≤1, k2+1 1 3 3 2 2 2 得 4k ≤k +1,k ≤ .所以- ≤k≤ . 3 3 3 2.已知 f(x)=|x?e |,又 g(x)=f (x)+t?f(x)(t∈R),若满足 g(x)=-1 的 x 有四个, 则 t 的取值范围为( e +1 A.( ,+∞) e e +1 C.(- ,-2) e 答案 B 解析 依题意 g(x)=f (x)+t?f(x)=-1, -1-f ?x? 1 即 t= =-[f(x)+ ]≤-2, f?x? f?x? 可排除 A,C,D.也可以画出函数-[f(x)+ B. 1
2 2 2 2

2

2

x

2

) e +1 B.(-∞,- ) e e +1 D.(2, ) e
2 2

f?x?

]图象如下图所示,要有四个交点,则选

3.已知函数 f(x)满足下列关系:①f(x+1)=f(x-1);②当 x∈[-1,1]时,f(x)=x ,则 方程 f(x)=lgx 解的个数是( A.5 B.7 C.9 D.10 答案 C
7

2

)

解析 由题意可知, f(x)是以 2 为周期, 值域为[0,1]的函数. 又 f(x)=lgx, 则 x∈(0,10], 画出两函数图象, 则交点个数即为解的个数.由图象可知共 9 个交点.

4.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意 x∈R,都有 f(x)=f(x+4),且当 x∈[- 1 x 2,0]时,f(x)=( ) -1,若在区间(-2,6]内关于 x 的方程 f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有 2 三个不同的实数根,则 a 的取值范围是( A.( 3,2) 3 C.[ 4,2) 答案 B 解析 作出 f(x)在区间(-2,6]上的图象, 可知 loga(2+2)<3,loga(6+2)>3? 3 4<a<2,选 B. 3 B.( 4,2) 3 D.( 4,2] )

5.若方程 x+k= 1-x 有且只有一个解,则 k 的取值范围是( A.[-1,1) B.k=± 2

2

)

C.[-1,1] D.k= 2或 k∈[-1,1) 答案 D 解析 令 y1=x+k,y2= 1-x , 则 x +y2=1(y≥0).作出图象如图, 在 y1=x+k 中,k 是直线的纵截距,由图知:方程有一个解?直线与上述 半圆只有一个公共点?k= 2或-1≤k<1. 6.已知函数 f(x)=|4x-x |-a,当函数有 4 个零点时,则 a 的取值范围是__________. 答案 (0,4) 解析 ∵函数 f(x)=|4x-x |-a 有 4 个零点, ∴方程|4x-x |=a 有 4 个不同的解.
8
2 2 2 2 2 2

令 g(x)=|4x-x |
?4-?x-2? , ? =? 2 ??x-2? -4, ?
2

2

0≤x≤4,

x<0或x>4.

作出 g(x)的图象,如图,由图象可以看出,当 h(x)=a 与 g(x)有 4 个 交点时,0<a<4, ∴a 的取值范围为(0,4). 7.设 f(x)=|lg(x-1)|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 ab 的取值范围是________. 答案 (4,+∞) 解析 由于函数 f(x)=|lg(x-1)|的图象如图所示.由 f(a)=f(b)可得 -lg(a-1)=lg(b-1),解得 ab=a+b>2 ab(由于 a<b),所以 ab>4. |x -1| 8.已知函数 y= 的图象与函数 y=kx-2 的图象恰有两个交点, x-1 则实数 k 的取值范围是________. 答案 (0,1)∪(1,4) 解析 根据绝对值的意义,
2

y=

?x+1?x>1或x<-1?, |x -1| ? =? x-1 ?-x-1?-1≤x<1?. ?
2

在直角坐标系中作出该函数的图象, 如图中实线所示. 根据图象可知,当 0<k<1 或 1<k<4 时有两个交点.

x+2y-5≤0, ? ?x≥1, 9.已知实数 x,y 满足? y≥0, ? ?x+2y-3≥0,
答案 2

则 的最大值为________.

y x

解析

x+2y-5≤0, ? ?x≥1, 画出不等式组? y≥0, ? ?x+2y-3≥0,

对应的平面区域 Ω (含边界)为图中的四边形 ABCD,

y y-0 = 表示平面区域 Ω 上的点 P(x,y)与原点的连线的斜率,显然 OA 的斜率最大. x x-0
1 -1 2 3 10.给出下列命题:①在区间(0,+∞)上,函数 y=x ,y=x ,y=(x-1) ,y=x 中有 2

9

三个是增函数;②若 logm3<logn3<0,则 0<n<m<1;③若函数 f(x)是奇函数,则 f(x-1)的图 象关于点(1,0)对称;④若函数 f(x)=3 -2x-3,则方程 f(x)=0 有两个实数根,其中正确 的命题是________. 答案 ②③④ 1 3 解析 对于①,在区间(0,+∞)上,只有 y=x ,y=x 是增函数,所以①错误.对于②, 2 1 1 由 logm3<logn3<0,可得 < <0,即 log3n<log3m<0,所以 0<n<m<1,所以②正确.易 log3m log3n 知③正确.对于④,方程 f(x)=0 即为 3 -2x-3=0,变形得 3 =2x+3,令 y1=3 ,y2= 2x+3,在同一坐标系中作出这两个函数的图象,如图.
x x x x

由图象可知,两个函数图象有两个交点,所以④正确.

10


相关文章:
...高考数学知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题11...
通用版2017届高考数学知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题11数学方法第44练关于计算过程的再优化文_数学_高中教育_教育专区。第 44 练 关于计算过程的再优化 [...
...高考数学知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题11...
通用版2017届高考数学知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题11数学方法第42练整体策略与换元法文_数学_高中教育_教育专区。第 42 练 整体策略与换元法 [题型...
通用版2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练专题1...
通用版2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练专题1集合与常用逻辑用语第5练如何让“线性规划”不失分文_数学_高中教育_教育专区。第5练 如何让“线性规划”不...
...版2017届高考数学专题训练第一部分知识方法篇专题1...
通用版2017届高考数学专题训练第一部分知识方法篇专题1集合与常用逻辑用语第4练用好基本不等式文_数学_高中教育_教育专区。第4练 用好基本不等式 [题型分析·高考...
通用版2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第22练...
通用版2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第22练常考的递推公式问题的破解方略文_数学_高中教育_教育专区。第 22 练 常考的递推公式问题的破解方略 [题型...
...高考数学知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题5...
通用版2017届高考数学知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题5数列推理与证明第23练数列求和问题文_数学_高中教育_教育专区。第 23 练 数列求和问题 [题型分析·...
...版2017届高考数学专题训练第一部分知识方法篇专题7...
通用版2017届高考数学专题训练第一部分知识方法篇专题7解析几何第31练直线与圆锥曲线的综合问题文_数学_高中教育_教育专区。第 31 练 直线与圆锥曲线的综合问题 [...
...版2017届高考数学专题训练第一部分知识方法篇专题1...
通用版2017届高考数学专题训练第一部分知识方法篇专题1集合与常用逻辑用语第1练小集合大功能文_数学_高中教育_教育专区。第1练 小集合,大功能 [题型分析·高考...
通用版2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第21练...
通用版2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第21练基本量法__破解等差等比数列的法宝文_数学_高中教育_教育专区。第 21 练 基本量法——破解等差、等比数列...
...版2017届高考数学专题训练第一部分知识方法篇专题6...
通用版2017届高考数学专题训练第一部分知识方法篇专题6立体几何第26练完美破解立体几何的证明问题文_数学_高中教育_教育专区。第 26 练 完美破解立体几何的证明问题...
更多相关标签: