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四种命题及其关系 充分必要条件


四种命题及其关系 充分必要条件 一、【最新考纲解读】 1、命题及其关系
①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题.②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义, 会分析四种命题的相互关系 ?理解复合命题真假的判断

二、【回归课本整合】
1.复合命题真假的判断.“或命题”的真假特点是“一真即真,要假全假” ; “且命题”的真 假特点是“一假即假,要真全真” ; “非命题”的真假特点是“真假相反”.如(6)在下列说法 中:⑴“ p 且 q ”为真是“ p 或 q ”为真的充分不必要条件;⑵“ p 且 q ”为假是“ p 或 q ” 为真的充分不必要条件;⑶“ p 或 q ”为真是“非 p ”为假的必要不充分条件; 2.四种命题及其相互关系.若原命题是“若 p 则 q” ,则逆命题为“若 q 则 p” ;否命题为“若 ﹁p 则﹁q” ;逆否命题为“若﹁q 则﹁p”.提醒: (1)互为逆否关系的命题是等价命题, 即原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假.但原命题与逆命题、否命题都 不等价; (2)在写出一个含有“或” 、 “且”命题的否命题时,要注意“非或即且,非且即或” ; (3)要注意区别“否命题”与“命题的否定” :否命题要对命题的条件和结论都否定,而命 题的否定仅对命题的结论否定; (4)对于条件或结论是不等关系或否定式的命题,一般利用 等价关系“ A ? B ? B ? A ”判断其真假,这也是反证法的理论依据. 3.充要条件.关键是分清条件和结论(划主谓宾) ,由条件可推出结论,条件是结论成立的充 分条件;由结论可推出条件,则条件是结论成立的必要条件.从集合角度解释,若 A ? B , 则 A 是 B 的充分条件;若 B ? A ,则 A 是 B 的必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件.

三、五年对应考题
1、 (2009 年山东 9 题) 已知α ,β 表示两个不同的平面,m 为平面α 内的一条直线,则 “ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2、 (2010 年山东 7 题)设 ?an ? 是首项大于零的等比数列,则“ a1 ? a2 ”是“数列 ?an ? 是递 增数列”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

2 2 2 3、 (2011 年山东 5 题)已知 a,b,c∈R,命题“若 a ? b ? c =3,则 a ? b ? c ≥3”,的否

命题是
2 2 2 (A)若 a+b+c≠3,则 a ? b ? c <3 2 2 2 (B)若 a+b+c=3,则 a ? b ? c <3 2 2 2 (C)若 a+b+c≠3,则 a ? b ? c ≥3

1

(D)若 a 2 ? b2 ? c2 ≥3,则 a+b+c=3 4、(2012 年山东 5 题)设命题 p:函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为 图象关于直线 x ? (A)p 为真

? ;命题 q:函数 y ? cos x 的 2

?
2

对称.则下列判断正确的是 (C) p ? q 为假 (D) p ? q 为真

(B) ?q 为假

5、(2013 年山东 8 题)给定两个命题 p, q , ? p是q 的必要而不充分条件,则 p是?q (A)充分而不必要条件 件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条

四 限时训练
1.已知向量 a=(2,1),b=(-1,2),且 m=ta+b,n=a-kb(t、k∈R),则 m⊥n 的 充要条件是( A.t+k=1 C.t· k=1 ) B.t-k=1 D.t-k=0 )

2.命题“?x>0,x2+x>0”的否定是( A.?x>0,x2+x>0 C.?x>0,x2+x≤0

B.?x>0,x2+x≤0 D.?x≤0,x2+x>0 )

3.若集合 A={x|x2-x<0},B={x|(x-a)(x+1)<0},则“a>1”是“A∩B≠?”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 4.下列有关命题的叙述错误的是( B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

A.对于命题 p:?x∈R,x2+x+1<0,则綈 p 为:?x∈R,x2+x+1≥0 B.命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0” C.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 D.“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件 5.以下判断正确的是( )

A.“若 ab=0,则 a=0 或 b=0”的逆否命题是“若 a≠0 或 b≠0,则 ab≠0” B.命题“?x∈R,x2+x+4≤0”的否定是“?x∈R,x2+x+4>0” C.命题“对边平行且相等的四边形是平行四边形”是全称命题 D.“a,b,c 成等比数列”是“b2=ac”的充要条件 6.(2010· 辽宁高考)已知 a>0,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 x0 满足关于 x 的方程 2ax+b =0,则下列选项的命题中为假命题的是( )
2

A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B.?x∈R,f(x)≥f(x0) C.?x∈R,f(x)≤f(x0) D.?x∈R,f(x)≥f(x0) 7.下列命题中为真命题的是________. ①“A∩B=A”成立的必要条件是“A ? B”; ②“若 x2+y2=0,则 x,y 全为 0”的否命题; ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题; ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题. 8、(2010·安徽高考)命题“对任何 x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是________
2 ? ?x -4x+3<0, 9.(本小题满分 15 分)已知命题 p:2x -9x+a<0,命题 q:? 2 且綈 p ?x -6x+8<0, ? 2

是綈 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围. 3 10.(本小题满分 16 分)设命题 p:函数 f(x)=(a- )x 是 R 上的减函数,命题 q:函数 2 f(x)=x2-4x+3 在[0,a]上的值域为[-1,3],若“p 且 q”为假命题,“p 或 q”为真命题, 求 a 的取值范围. 11.已知集合 A={x|x2-6x+8<0},B={x|(x-a)· (x-3a)<0}. (1)若 A∪B=B,求 a 的取值范围; (2)若 A∩B={x|3<x<4},求 a 的值. 12.已知命题 p:方程 a2x2+ax-2=0 在[-1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x 满 足不等式 x2+2ax+2a≤0,若命题“p 或 q”是假命题,求实数 a 的取值范围.

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答案
一、选择题 1. 解析:∵a=(2,1),b=(-1,2),∴a· b=0,|a|=|b|= 5,∴m⊥n?m· n=0?(ta+b)(a -kb)=0?ta2-kta· b+a· b-kb2=0?5t-5k=0,即 t-k=0. 答案:D 2. 答案:B 3 解析:A={x|0<x<1}.若 a>1,则 B={x|-1<x<a},则 A∩B=(0,1),故“a>1”能推出 “A∩B≠?”;若 A∩B≠?,可得 a>0.因此“a>1”是“A∩B≠?”的充分不必要条件. 答案:A 4. 解析:选项 A,要注意否命题和命题的否定的区别,否命题是对原命题的条件和结论 都进行否定,命题的否定是只否定原命题的结论,并注意特称(存在性)命题的否定为全称命 题,故 A 正确;互为逆否关系的命题的条件、结论相反且条件、结论都否定,互为逆否关 系的两个命题具有真假一致性, 可用此结论判定选项 B 正确; “且”命题的真假性满足“一 假俱假”,故 C 选项中的命题 p 和命题 q 至少有一个是假命题,所以选项 C 错误;不等式 x2-3x+2>0 的解集是 x>2 或 x<1,故 x>2 一定能够得到不等式成立,但是,反之不一定成 立,符合充分不必要条件的定义,故 D 正确. 答案:C 5. 解析:因为 A 中“a=0 或 b=0”的否定应为“a≠0 且 b≠0”,故 A 不正确;B 中特 称(存在性)命题的否定是全称命题,B 不正确;D 中“a,b,c 成等比数列”是“b2=ac” 的充分不必要条件,只有 C 正确. 答案:C 6. 解析:由题知:x0=- b 为函数 f(x)图象的对称轴方程,所以 f(x0)为函数的最小值,即 2a

对所有的实数 x,都有 f(x)≥f(x0),因此?x∈R,f(x)≤f(x0)是错误的. 答案:C

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7. 解析:①A∩B=A?A?B 但不能得出 A ? B,∴①不正确; ②否命题为:“若 x2+y2≠0,则 x,y 不全为 0”,是真命题; ③逆命题为:“若两个三角形是相似三角形,则这两个三角形全等”,是假命题; ④原命题为真,而逆否命题与原命题是两个等价命题, ∴逆否命题也为真命题. 答案:②④ 8、 9. 解:解 q 得:Q={x|2<x<3}, ∵綈 p 是綈 q 的充分条件, ∴綈 p?綈 q 即 q?p. 设函数 f(x)=2x2-9x+a,则命题 p 为“f(x)<0”. ∴q?p,利用数形结合,
?f?2?≤0, ?2×22-9×2+a≤0, ?a≤10, ? ? ? 应有? 即? 解得? 2 ?f?3?≤0, ? ?a≤9, ? ?2×3 -9×3+a≤0, ?

∴a≤9. 故实数 a 的取值范围是{a|a≤9}. 3 3 5 10. 解:由 0<a- <1 得 <a< , 2 2 2 ∵f(x)=(x-2)2-1 在[0,a]上的值域为[-1,3], 则 2≤a≤4, ∵p 且 q 为假,p 或 q 为真, ∴p、q 为一真一假, 3 若 p 真 q 假,得 <a<2, 2 5 若 p 假 q 真,得 ≤a≤4, 2 3 5 综上可知:a 的取值范围是 <a<2 或 ≤a≤4. 2 2 11. 解:A={x|2<x<4}, (1)∵A∪B=B,∴A?B,a>0 时,B={x|a<x<3a},
?a≤2 ? 4 ∴应满足? ? ≤a≤2. 3 ? 3 a ≥ 4 ?

a<0 时,B={x|3a<x<a},显然 A

B.
5

a=0 时,B=?,显然不符合条件. 4 4 ∴ ≤a≤2 时,A?B,即 A∪B=B 时,a∈[ ,2]. 3 3 (2)要满足 A∩B={x|3<x<4}, 显然 a>0,a=3 时成立. ∵此时 B={x|3<x<9},A∩B={x|3<x<4}, 故所求的 a 值为 3. 12. 解:由 a2x2+ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0, 2 1 显然 a≠0,∴x=- 或 x= . a a 2 1 ∵x∈[-1,1],故|a|≤1 或|a|≤1,∴|a|≥1. “只有一个实数 x 满足 x2+2ax+2a≤0”, 即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0 或 2, ∴命题“p 或 q”为真命题时,|a|≥1 或 a=0. ∵命题“p 或 q”为假命题, ∴a 的取值范围为{a|-1<a<0 或 0<a<1}.

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